Lorens kuchi — kuch bo‘lib, u orqali elektromagnit maydon klassik (kvant bo‘lmagan) elektrodinamikaga muvofiq nuqtasimon zaryadlangan zarraga ta’sir etadi. Ba’zan Lorens kuchi deb ${\displaystyle 𝐯}$ tezlikda harakatlanuvchi, ${\displaystyle q}$ zaryadga faqat magnit maydoni tomonidan ta’sir qiluvchi kuch tushuniladi. Ko‘pincha esa elektromagnit maydonning to‘liq, ya’ni elektr ${\displaystyle 𝐄}$ va magnit ${\displaystyle 𝐁}$ maydonlari ta’siridagi kuch nazarda tutiladi. U Xalqaro birliklar tizimida (SI) quyidagicha ifodalanadi:

${\displaystyle \overrightarrow{𝐅}=q(\overrightarrow{𝐄}+[\overrightarrow{𝐯},\overrightarrow{𝐁}]).}$

Zaryadga ta’sir etuvchi elektromagnit kuch q, elektr maydoni yo‘nalishida ta’sir etadigan kuchdan ${\displaystyle 𝐄}$, uning kattaligi maydon kuchlanganligi va zaryadga mutanosib; shuningdek, magnit maydon ${\displaystyle 𝐁}$ va tezlik ${\displaystyle 𝐯}$ vektorlariga perpendikulyar bo‘lgan, magnit maydoni, zaryad va tezlikka mutanosib kuchdan tashkil topadi. Ushbu asosiy formulaning turli ko‘rinishlari tokli o‘tkazgichga ta’sir qiluvchi magnit kuchini (ba’zan Laplas kuchi deb ataladi), elektr yurituvchi kuchni magnit maydonli soha bo‘ylab harakatlanayotgan sim halqada (Faradey induksiya qonuni) va harakatdagi zaryadlangan zarralarga ta’sir etuvchi kuchni tavsiflaydi.

Fan tarixchilarining taxminicha, ushbu qonun Jeyms Klerk Maksvellning 1865-yilda nashr etilgan maqolasida nazarda tutilgan. Xendrik Lorens 1895-yilda ushbu formulani to‘liq keltirib chiqargan va undan bir necha yil oldin Oliver Xevisayd magnit kuchi hissasini to‘g‘ri aniqlaganidan so‘ng elektr kuchi hissasini ham aniqlagan.

Lorens kuchi uchun ham, inersiya kuchlari uchun bo‘lgani kabi, Nyutonning uchinchi qonuni (ikki jismning bir-biriga ta’sir kuchlari ishoradan tashqari bir xil bo‘lishi haqidagi qoida sifatida qaralganda) buziladi. Lorens kuchi holatida ushbu Nyuton qonunini impulsning saqlanish qonuni (ISQ) sifatida zarralar va elektromagnit maydondan iborat yopiq tizimga tatbiq etish orqali uning to‘g‘riligini tiklash mumkin.

Bu fikrni to‘liq asoslash uchun «maydon impulsi» tushunchasini aniqlash zarur. Buning deyarli yagona yo‘li — klassik (kvant bo‘lmagan) maydon nazariyasida Emmi Nyoter teoremasidan (va u bilan chambarchas bog‘liq bo‘lgan energiya-impuls tenzori tushunchasidan) Lagranj formalizmida foydalanishdir. Biroq ko‘pgina amaliy texnik qo‘llanmalarda maydon yoki to‘lqinning o‘ziga xos impulsi («yorug‘lik bosimi») nihoyatda kichik bo‘ladi (maydon impulsi uning xarakterli energiyasini yorug‘lik tezligiga ${\displaystyle c}$ bo‘lish orqali topiladi). Bu faqat zaryadlangan modda uchun ham ISQ amal qilishini, agar modda atigi 2 ta moddiy nuqtadan iborat bo‘lsa, Nyutonning uchinchi qonuni ham amal qilishini bildiradi (u ikkita moddiy nuqta yoki jismdan tuzilgan yopiq tizim uchun ISQga teng kuchlidir).

Elektromagnetizm bo‘yicha ko‘plab darsliklarda Lorens kuchidan elektr va magnit maydonlari ta’rifi sifatida foydalaniladi. Bu maydonlar E va B bilan belgilanadi. Xususan, Lorens kuchi quyidagi tajribaviy tasdiq sifatida qaraladi:

Elektromagnit kuch F ma’lum nuqtada va vaqtda sinov zaryadiga ta’sir etadi va uning zaryadining muayyan funksiyasidir q hamda tezligining v funksiyasi bo‘lib, uni aynan ikkita E va B vektor orqali quyidagi funksional shaklda ifodalash mumkin :

${\displaystyle 𝐅=q(𝐄+𝐯\times 𝐁)}$.

Bu ifoda zarra tezligi yorug‘lik tezligiga yaqin bo‘lgan holat uchun ham o‘rinlidir (v = | v | ≈ c). Shunday qilib, ikkita vektor maydon E va B butun fazo va vaqt bo‘ylab aniqlanadi; ular «elektr maydoni» va «magnit maydoni» deb ataladi. Maydonlar fazo va vaqtning har bir nuqtasida elektromagnit maydonga joylashtirilgan sinov zaryadiga ta’sir etuvchi kuch orqali aniqlanadi.

Elektr va magnit maydonlarni E hamda B orqali ta’riflashda Lorens kuchi faqat nazariy ta’rifdir, chunki haqiqiy zarra (massasi va zaryadi cheksiz kichik deb faraz qilingan sinov jismidan farqli ravishda) o‘zining chekli E va B maydonlarini hosil qiladi va ular zarraga ta’sir etuvchi elektromagnit kuchni o‘zgartiradi. Bundan tashqari, magnit maydondagi zaryad odatda egri chiziqli trayektoriya bo‘ylab, ya’ni tezlanish bilan harakatlanadi. Shu sababli u nurlanish chiqarib, kinetik energiyasini yo‘qotadi (masalan, tormozlanish nurlanishi yoki sinxrotron nurlanishi haqidagi maqolalarga qarang). Bu hodisalar bevosita (shunday ataladigan nurlanish reaksiyasi kuchi) hamda bilvosita (yaqin atrofdagi zaryadlar va toklar harakatiga ta’sir qilish) tufayli sodir bo‘ladi.

Elektromagnit kuchni miqdoriy tavsiflashga dastlabki urinishlar 18-asr o‘rtalarida amalga oshirilgan. Iogann Tobias Mayer va boshqalar 1760-yilda magnit qutblari orasidagi kuch ham, elektr zaryadli jismlar orasidagi kuch kabi, Genri Kavendish 1762-yilda aniqlangan va teskari kvadratlar qonuniga bo‘ysunadi deb taxmin qilganlar. Biroq har ikkala holatda ham tajribaviy dalillar to‘liq va uzil-kesil bo‘lmagan. Faqat 1784-yilda Sharl-Ogyusten de Kulon, buralma tarozidan foydalanib, bu taxminning to‘g‘riligini tajribada ishonchli ko‘rsata olgan. 1820-yilda Xans Kristian Ersted elektr toki magnit strelkaga ta’sir qilishini kashf etgach, oradan ko‘p o‘tmay, Andre-Mari Amper o‘sha yili ikki tok elementining o‘zaro ta’sir kuchi burchakka qanday bog‘lanishini tajribada aniqlagan. Ushbu barcha tavsiflarda kuch elektr va magnit maydonlari orqali emas, moddaning xossalari hamda ikkita massa yoki zaryad orasidagi masofa orqali ifodalangan.

Elektr va magnit maydonlarining zamonaviy tushunchasi dastlab Maykl Faradeyning nazariyalarida paydo bo‘lgan. Ayniqsa, uning kuch chiziqlari haqidagi g‘oyasi muvaffaqiyatli bo‘lib, keyinchalik lord Kelvin va Jeyms Klerk Maksvell tomonidan to‘liq matematik tavsiflangan. Hozirgi nuqtayi nazardan qaraganda, Maksvellning elektromagnit maydon uchun 1865-yildagi tenglamalaridan elektr toklariga nisbatan Lorens kuchi tenglamasini chiqarish mumkin. Ammo Maksvell davrida uning tenglamalari zaryadlangan jismlar harakatlanganda yuzaga keladigan kuchlarga qanday bog‘lanishi aniq emas edi. J. J. Tomson birinchi bo‘lib Maksvell maydon tenglamalaridan harakatdagi zaryadlangan jismga ta’sir qiluvchi elektromagnit kuchni jism xossalari va tashqi maydonlar orqali keltirib chiqarishga uringan. U katod nurlaridagi zaryadlangan zarralar harakatiga qiziqib, 1881-yilda tashqi magnit maydon zarralarga ta’sir etuvchi kuchni quyidagi ko‘rinishda aniqlagan maqolani nashr ettirgan

${\displaystyle 𝐅=\frac{q}{2}𝐯\times 𝐁.}$

Tomson formulaning asosiy shaklini to‘g‘ri keltirib chiqargan, biroq ayrim xatolar va siljish tokining to‘liq tavsiflanmagani sababli formulaga noto‘g‘ri, yarmiga teng ko‘paytiruvchi koeffitsiyent kiritgan. Oliver Xevisayd zamonaviy vektor belgilashlarini ixtiro qilib, Maksvellning maydon tenglamalarini ular yordamida qayta yozgan. Shuningdek, u 1885 va 1889-yillarda Tomsonning xatolarini tuzatib, harakatdagi zaryadlangan zarraga ta’sir qiluvchi magnit kuchining to‘g‘ri ifodasini topgan. Nihoyat, 1895-yilda Xendrik Lorens elektr va magnit maydonlarining har ikkala hissasini hisobga oluvchi elektromagnit kuchning zamonaviy formulasini topgan. Lorens dastlab Maksvellning efir va o‘tkazuvchanlik haqidagi tavsifidan voz kechgan. Uning o‘rniga modda bilan yorug‘lik tashuvchi efir o‘rtasidagi farqlarni ko‘rsatib, Maksvell tenglamalarini mikroskopik miqyosda yozgan. Harakatsiz efir uchun Xevisaydning Maksvell tenglamalari variantidan foydalanib va Lagranj mexanikasini (quyiga qarang) qo‘llab, Lorens endilikda o‘z nomi bilan ataladigan elektromagnit kuch qonunining to‘g‘ri va to‘liq shakliga kelgan.

Amaliy jihatdan muhim ko‘plab holatlarda magnit maydonidagi elektr zaryadli zarraning (masalan, elektron yoki ionning plazmadagi) harakatini superpozitsiya — elektr va magnit maydonlarga perpendikulyar yo‘nalishda dreyf qiluvchi nuqta atrofidagi nisbatan tez aylana harakatining qo‘shilishi sifatida qarash mumkin. Dreyf tezliklari zaryad holati, massa yoki haroratga qarab farqlanadi; bu esa elektr toklarini yoki kimyoviy ajralishni keltirib chiqarishi mumkin.

Zamonaviy Maksvell tenglamalari elektr zaryadli zarralar va toklar, ya’ni harakatdagi zaryadlar elektr hamda magnit maydonlarni qanday hosil qilishini tavsiflasa, Lorens kuchi ushbu manzarani to‘ldirib, harakatdagi nuqtaviy zaryadga q elektromagnit maydonlar mavjudligida ta’sir etuvchi kuchni ifodalaydi. Lorens kuchi E va B maydonlarining nuqtaviy zaryadga ta’sirini tavsiflasa ham, elektromagnit kuchlar barcha ta’sirlarni qamrab olmaydi. Zaryadlangan zarralar boshqa kuchlar, ayniqsa, gravitatsiya va yadroviy kuchlar bilan ham bog‘liq bo‘lishi mumkin. Shuning uchun Maksvell tenglamalari boshqa fizika qonunlaridan ajralgan emas, balki zaryad va tok zichliklari orqali ular bilan bog‘langan. Nuqtaviy zaryadning Lorens qonuniga muvofiq harakati — hodisaning bir tomoni; E va B maydonlarining toklar hamda zaryadlar tomonidan hosil qilinishi esa boshqa tomonidir.

Haqiqiy materiallarda Lorens kuchi zaryadlangan zarralarning jamoaviy xatti-harakatini na nazariy, na hisoblash jihatidan yetarlicha tavsiflaydi. Moddiy muhitdagi zaryadlangan zarralar nafaqat E maydoniga va B, balki ularni o‘zlari ham hosil qiladi. Zaryadlarning vaqt va fazodagi javobini aniqlash uchun murakkab ko‘chish tenglamalarini, masalan, Bolsman tenglamasini, Fokker — Plank tenglamasini yoki Navye — Stoks tenglamalarini yechish zarur. (Masalan, quyidagi maqolalarga qarang: Magnit gidrodinamikasi, Gidrodinamika va aerodinamika, Elektr gidrodinamikasi, O‘ta o‘tkazuvchanlik, Yulduzlar evolyutsiyasi). Bu muammolarni yechish uchun fizik-matematik apparat ishlab chiqilgan (jumladan, Grin — Kubo formulalari, Grin funksiyalari (ko‘p jismlar nazariyasi)).

Elektr toki o‘tayotgan sim magnit maydoniga joylashtirilganda, tokni tashkil qiluvchi har bir harakatdagi zaryad Lorens kuchini sezadi. Bu kuchlar birgalikda simga ta’sir etuvchi makroskopik kuchni (ba’zan Laplas kuchi deb ataladi) hosil qiladi. Yuqoridagi Lorens qonunini elektr tokining ta’rifi bilan birlashtirib, to‘g‘ri va harakatsiz sim uchun quyidagi tenglama olinadi:

${\displaystyle 𝐅=I\ell \times 𝐁}$,

bu yerda ℓ — kattaligi sim uzunligiga teng, yo‘nalishi esa sim bo‘ylab an’anaviy tok I.

yo‘nalishiga mos vektor. Agar sim to‘g‘ri emas, egri bo‘lsa, unga ta’sir etuvchi kuch ushbu formulani simning har bir cheksiz kichik bo‘lagiga dℓ tatbiq etib, so‘ng barcha kuchlarni integrallash orqali yig‘ish yo‘li bilan hisoblanadi. Rasmiy ravishda o‘zgarmas tok I o‘tayotgan harakatsiz, qattiq simga ta’sir etuvchi natijaviy kuch quyidagiga teng

${\displaystyle 𝐅=I\int \mathrm{d}\ell \times 𝐁}$.

Bu — to‘liq kuch. Bundan tashqari, sim to‘liq qattiq bo‘lmasa, odatda aylantiruvchi moment va boshqa ta’sirlar ham yuzaga keladi.

Ushbu hodisaning qo‘llanishlaridan biri Amperning kuch qonuni bo‘lib, u ikki tokli simning tok yo‘nalishlariga qarab bir-birini tortishi yoki itarishini tavsiflaydi. Buning sababi — har bir simga ikkinchisining toki hosil qilgan magnit maydonidan Lorens kuchi ta’sir etishidir.

Lorens kuchi ifodasidagi magnit kuchi (qv × B) harakatga bog‘liq elektr yurituvchi kuch (yoki harakat EYuK) uchun javobgardir. Bu hodisa ko‘plab elektr generatorlarining ishlash asosini tashkil etadi. O‘tkazgich magnit maydonli sohadan o‘tganda magnit maydon undagi elektronlar va yadrolarga qarama-qarshi yo‘nalgan kuchlar bilan ta’sir qiladi va elektr yurituvchi kuch hosil bo‘ladi. «Harakat EYuK» atamasi ishlatiladi, chunki EYuK simning harakati tufayli yuzaga keladi.

Boshqa elektr generatorlarida esa magnitlar harakatlanadi, o‘tkazgichlar esa harakatsiz bo‘ladi. Bunda EYuK Lorens kuchi tenglamasidagi elektr kuchi (q E) sababli paydo bo‘ladi. Ko‘rilayotgan elektr maydoni o‘zgaruvchan magnit maydon tomonidan hosil qilinadi va induksiyalangan EYuKni yuzaga keltiradi. Bu Maksvell — Faradey tenglamasida.

tavsiflangan. Ushbu ikki EYuK manbasi turlicha bo‘lishiga qaramay, bir xil tenglama bilan ifodalanadi: EYuK — magnit oqimining sim konturi orqali o‘zgarish tezligidir. Bu Faradeyning elektromagnit induksiya qonunidir (quyiga qarang). Eynshteynning maxsus nisbiylik nazariyasi qisman aynan shu ikkita hodisa o‘rtasidagi bog‘lanishni yaxshiroq tushunish istagi tufayli yaratilgan. Aslida, elektr va magnit maydonlar yagona elektromagnit maydonning turli tomonlaridir (Fij maydon kuchi tenzorining yagona matritsasidagi turli elementlar). Bir inersial sanoq tizimidan boshqasiga o‘tilganda (ya’ni Fij matritsasiga bazisni almashtirish amali qo‘llanganda), elektromagnit vektor maydonning E qismi to‘liq yoki qisman B bilan almashtirilishi, yoki aksincha.

Magnit maydonida joylashgan sim halqasi uchun magnit maydoni sharoitida Faradey induksiya qonuni simdagi induksiyalangan elektr yurituvchi kuch (EYuK) quyidagiga tengligini aytadi:

${\displaystyle ℰ=-\frac{\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_B}{\mathrm{d}t}}$,

bu yerda

${\displaystyle {\mathrm{\Phi }}_B={\iint }_{\mathrm{\Sigma }(t)}\mathrm{d}𝐒\cdot 𝐁(𝐫,t)}$

— magnit oqimi halqa orqali o‘tadi, B — magnit maydoni, Σ (t) — vaqtning ayni paytida yopiq ∂Σ (t) kontur bilan chegaralangan sirt, t, dS — Σ (t) yuza vektorining cheksiz kichik elementi (uning kattaligi — cheksiz kichik sirt bo‘lagining yuzi, vektor yo‘nalishi esa shu bo‘lakka perpendikulyar bo‘ladi).

EYuKning ishorasi Lents qonuni bilan aniqlanadi. Bu nafaqat harakatsiz sim, balki harakatlanuvchi sim uchun ham o‘rinlidir.

Faradeyning elektromagnit induksiya qonuni va Maksvell tenglamalaridan Lorens kuchini keltirib chiqarish mumkin. Teskarisi ham to‘g‘ri: Lorens kuchi va Maksvell tenglamalari yordamida Faradey qonunini.

keltirib chiqarish mumkin. Σ (t) — doimiy tezlik bilan ilgarilanma harakatlanuvchi sim bo‘lsin, v, Σ (t) esa simning ichki sirti. Yopiq ∂Σ (t) yo‘l bo‘ylab EYuK quyidagicha aniqlanadi

${\displaystyle ℰ={\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }(t)}\mathrm{d}\ell \cdot 𝐅/q}$,

bu yerda

${\displaystyle 𝐄=𝐅/q}$

— elektr maydoni, dℓ — cheksiz kichik ∂Σ (t).

Konturining vektor elementi yo‘nalishi dℓ, va dS uchun bir qiymatli emas. To‘g‘ri ishorani aniqlashda o‘ng qo‘l qoidasi qo‘llanadi; bu Kelvin — Stoks teoremasi haqidagi maqolada bayon qilingan.

Yuqoridagi natijani zamonaviy Maksvell tenglamalarida uchraydigan Faradeyning elektromagnit induksiya qonuni bilan solishtirish mumkin. Bu yerda u Maksvell — Faradey tenglamasi:

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}.}$

deb ataladi. Maksvell — Faradey tenglamasini Kelvin — Stoks teoremasidan foydalanib integral shaklda yozish mumkin.

Maksvell — Faradey tenglamasi quyidagi ko‘rinishni oladi

${\displaystyle {\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }(t)}\mathrm{d}\ell \cdot 𝐄(𝐫,t)=-{\iint }_{\mathrm{\Sigma }(t)}\mathrm{d}𝐒\cdot \frac{\mathrm{d}𝐁(𝐫,t)}{\mathrm{d}t}}$,

Faradey qonuni esa

${\displaystyle {\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }(t)}\mathrm{d}\ell \cdot 𝐅/q(𝐫,t)=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\iint }_{\mathrm{\Sigma }(t)}\mathrm{d}𝐒\cdot 𝐁(𝐫,t).}$

Bu ikki ifoda sim harakatlanmaganda o‘zaro ekvivalent. Leybnitsning integral qoidasidan va div B = 0 bo‘lganda, quyidagini olish mumkin,

${\displaystyle {\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }(t)}\mathrm{d}\ell \cdot 𝐅/q(𝐫,t)=-{\iint }_{\mathrm{\Sigma }(t)}\mathrm{d}𝐒\cdot \frac{\partial }{\partial t}𝐁(𝐫,t)+{\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }(t)}𝐯\times 𝐁\mathrm{d}\ell }$

shuningdek, Maksvell — Faradey tenglamasidan foydalanib,

${\displaystyle {\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }(t)}\mathrm{d}\ell \cdot 𝐅/q(𝐫,t)={\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }(t)}\mathrm{d}\ell \cdot 𝐄(𝐫,t)+{\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }(t)}𝐯\times 𝐁(𝐫,t)\mathrm{d}\ell }$

bu natija simning istalgan vaziyati uchun to‘g‘ri bo‘lgani sababli,

${\displaystyle 𝐅=q𝐄(𝐫,t)+q𝐯\times 𝐁(𝐫,t).}$

Faradey induksiya qonuni sim halqasi qattiq va harakatsiz bo‘lishidan, harakatlanishi yoki deformatsiyalanishidan qat’i nazar, shuningdek magnit maydoni vaqt bo‘yicha o‘zgarmas yoki o‘zgaruvchan bo‘lishidan qat’i nazar o‘rinlidir. Biroq ayrim holatlarda Faradey qonuni yetarli bo‘lmaydi yoki undan foydalanish qiyin bo‘ladi; bunday paytda Lorens qonuni qo‘llanadi.

Agar magnit maydoni vaqtga bog‘liq bo‘lmasa va o‘tkazuvchi halqa maydon bo‘ylab harakatlansa, halqani kesib o‘tuvchi Φ_B magnit oqimi bir necha usulda o‘zgarishi mumkin. Masalan, magnit maydoni joylashuvga qarab o‘zgarsa va halqa kattaligi boshqacha bo‘lgan nuqtaga ko‘chsa, Φ_B ham o‘zgaradi. Yoki halqa o‘zining B ga nisbatan yo‘nalishini o‘zgartirsa, differensial element B ⋅ dS vektorlar orasidagi burchak o‘zgarishi tufayli o‘zgaradi: B va dS, shuningdek Φ_B ham o‘zgaradi. Uchinchi misol: elektr zanjirining bir qismi bir jinsli, vaqt bo‘yicha o‘zgarmas magnit maydonidan o‘tsa, zanjirning boshqa qismi esa harakatsiz qolsa, butun yopiq kontur bilan bog‘langan magnit oqimi zanjir qismlarining vaqt davomida bir-biriga nisbatan siljishi tufayli o‘zgarishi mumkin (sirt ∂Σ (t) vaqtga bog‘liq). Har uchala holatda ham Faradey induksiya qonuni Φ_B.

ning o‘zgarishi tufayli EYuK paydo bo‘lishini bashorat qiladi. Maksvell — Faradey tenglamasidan kelib chiqadiki, agar magnit maydoni B vaqt bo‘yicha o‘zgarsa, elektr maydoni E konservativ bo‘lmaydi va uni skalyar maydon gradienti sifatida ifodalab bo‘lmaydi, chunki uning rotori nolga teng emas.

E maydoni va B B maydonini magnit vektor potensiali A va (skalyar) elektrostatik potensial ${\displaystyle \varphi }$ orqali quyidagicha ifodalash mumkin

${\displaystyle 𝐄=-\mathrm{\nabla }\varphi -\frac{\partial 𝐀}{\partial t}}$

${\displaystyle 𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀}$,

bu yerda ∇ — gradient, ∇⋅ — divergensiya, ∇ × — rotor.

. Kuch quyidagi ko‘rinishda yoziladi

${\displaystyle 𝐅=q[-\mathrm{\nabla }\varphi -\frac{\partial 𝐀}{\partial t}+𝐯\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)].}$

Uch karra ko‘paytma ayniyatidan foydalanib, bu ifodani quyidagicha qayta yozish mumkin,

${\displaystyle 𝐅=q[-\mathrm{\nabla }\varphi -\frac{\partial 𝐀}{\partial t}+\mathrm{\nabla }(𝐯\cdot 𝐀)-(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐀],}$

Bu yerda koordinatalar va tezlik komponentlari mustaqil o‘zgaruvchilar deb qaraladi. Shuning uchun nabla operatori faqat ${\displaystyle 𝐀}$ ga ta’sir etadi, ${\displaystyle 𝐯}$  ga emas; shu sababli yuqoridagi tenglamada Feynman indekslari belgilashini qo‘llash shart emas. Zanjir qoidasidan foydalanib, to‘liq hosila quyidagicha aniqlanadi: ${\displaystyle 𝐀}$ shundan

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}𝐀}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial 𝐀}{\partial t}+(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐀}$

yuqoridagi ifoda quyidagi shaklga keladi

${\displaystyle 𝐅=q[-\mathrm{\nabla }(\varphi -𝐯\cdot 𝐀)-\frac{\mathrm{d}𝐀}{\mathrm{d}t}]}$ .

Agar v = ẋ bo‘lsa, tenglamani qulay Eyler — Lagranj shaklida yozish mumkin

${\displaystyle 𝐅=q[-{\mathrm{\nabla }}_{𝐱}(\varphi -\dot{𝐱}\cdot 𝐀)+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\mathrm{\nabla }}_{\dot{𝐱}}(\varphi -\dot{𝐱}\cdot 𝐀)]}$

bu yerda quyidagi belgilashlar kiritilgan

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}_{𝐱}=\hat{x}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}+\hat{y}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}+\hat{z}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}}}$

va

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}_{\dot{𝐱}}=\hat{x}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial \dot{x}}}+\hat{y}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial \dot{y}}}+\hat{z}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial \dot{z}}}}$ .

Lagranjian massasi m va zaryadi q bo‘lgan zaryadlangan zarraning elektromagnit maydondagi dinamikasini unga ta’sir etuvchi kuch emas, balki uning energiyasi orqali tavsiflaydi. Klassik ifoda quyidagicha beriladi:

${\displaystyle L=\frac{m}{2}\dot{𝐫}\cdot \dot{𝐫}+q𝐀\cdot \dot{𝐫}-q\varphi }$

bu yerda A va ${\displaystyle \varphi }$ — yuqorida keltirilgan potensiallar. Kattalikni ${\displaystyle V=q(\varphi -𝐀\cdot \dot{𝐫})}$ tezlikka bog‘liq potensial funksiya sifatida qarash mumkin. Lagranj tenglamalaridan foydalanib, yuqorida keltirilgan Lorens kuchi tenglamasini yana hosil qilish mumkin.

Klassik lagranjiandan Lorens kuchini keltirib chiqarish (SI birliklarida)

Maydonda A tezlik bilan harakatlanayotgan zarra v = ṙ impulsga ega bo‘ladi ${\displaystyle q𝐀(𝐫,t)}$ va uning potensial energiyasi quyidagiga teng. ${\displaystyle q𝐀(𝐫,t)\cdot \dot{𝐫}}$ Maydonda ϕ zarraning potensial energiyasi quyidagiga teng. ${\displaystyle q\varphi (𝐫,t)}$. To‘liq potensial energiya quyidagicha yoziladi ${\displaystyle V=q\varphi -q𝐀\cdot \dot{𝐫}}$ va kinetik energiya: ${\displaystyle T=\frac{m}{2}\dot{𝐫}\cdot \dot{𝐫}}$ . Bundan lagranjian: ${\displaystyle L=T-V=\frac{m}{2}\dot{𝐫}\cdot \dot{𝐫}+q𝐀\cdot \dot{𝐫}-q\varphi }$ ${\displaystyle L=\frac{m}{2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2)+q(\dot{x}{A}_x+\dot{y}{A}_y+\dot{z}{A}_z)-q\varphi }$ Lagranj tenglamalari ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial L}{\partial x}}$ ( y va z komponentlar uchun ham xuddi shunday). Xususiy hosilalarni hisoblash natijasida ${\displaystyle \begin{array}{cc}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}& =m\ddot{x}+q\frac{\mathrm{d}{A}_x}{\mathrm{d}t}\\ & =m\ddot{x}+\frac{q}{\mathrm{d}t}(\frac{\partial A_x}{\partial t}dt+\frac{\partial A_x}{\partial x}dx+\frac{\partial A_x}{\partial y}dy+\frac{\partial A_x}{\partial z}dz)\\ & =m\ddot{x}+q(\frac{\partial A_x}{\partial t}+\frac{\partial A_x}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial A_x}{\partial y}\dot{y}+\frac{\partial A_x}{\partial z}\dot{z})\end{array}}$ ${\displaystyle \frac{\partial L}{\partial x}=-q\frac{\partial \varphi }{\partial x}+q(\frac{\partial A_x}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial A_y}{\partial x}\dot{y}+\frac{\partial A_z}{\partial x}\dot{z})}$ ifodalarni tenglashtirib va soddalashtirib ${\displaystyle m\ddot{x}+q(\frac{\partial A_x}{\partial t}+\frac{\partial A_x}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial A_x}{\partial y}\dot{y}+\frac{\partial A_x}{\partial z}\dot{z})=-q\frac{\partial \varphi }{\partial x}+q(\frac{\partial A_x}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial A_y}{\partial x}\dot{y}+\frac{\partial A_z}{\partial x}\dot{z})}$ ${\displaystyle \begin{array}{cc}{F}_x& =-q(\frac{\partial \varphi }{\partial x}+\frac{\partial A_x}{\partial t})+q[\dot{y}(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})+\dot{z}(\frac{\partial A_z}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial z})]\\ & =q{E}_x+q[\dot{y}(\mathrm{\nabla }\times 𝐀{)}_z-\dot{z}(\mathrm{\nabla }\times 𝐀{)}_y]\\ & =q{E}_x+q[\dot{𝐫}\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀){]}_x\\ & =q{E}_x+q(\dot{𝐫}\times 𝐁{)}_x\end{array}}$ hamda y va z komponentlar uchun ham shunga o‘xshash natijalar olinadi. Kuch tenglamasi ${\displaystyle 𝐅=q(𝐄+\dot{𝐫}\times 𝐁)}$

Potensial energiya zarra tezligiga bog‘liq. Shu sababli kuch ham tezlikka bog‘liq bo‘lib, konservativ kuch hisoblanmaydi.

Relyativistik lagranjian

${\displaystyle L=-m{c}^2\sqrt{1-{\left(\frac{\dot{𝐫}}{c}\right)}^2}+q𝐀(𝐫)\cdot \dot{𝐫}-q\varphi (𝐫)}$

Ta’sir — zarraning fazo-vaqtdagi yo‘lining relyativistik uzunligidan potensial energiya hissasi ayirilgan va qo‘shimcha had qo‘shilgan ifodadir. Bu had kvant mexanikasi nuqtayi nazaridan zaryadlangan zarraning vektor potensiali bo‘ylab harakatlanayotganda oladigan qo‘shimcha fazasidir .

Relyativistik lagranjiandan Lorens kuchini keltirib chiqarish (SI birliklarida)

Ta’sir uchun variatsion prinsipdan olinadigan harakat tenglamalari ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}𝐏}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial L}{\partial 𝐫}=q\frac{\partial 𝐀}{\partial 𝐫}\cdot \dot{𝐫}-q\frac{\partial \varphi }{\partial 𝐫}}$ ${\displaystyle 𝐏-q𝐀=\frac{m\dot{𝐫}}{\sqrt{1-{\left(\frac{\dot{𝐫}}{c}\right)}^2}}}$ Gamilton harakat tenglamalariga mos keladi: ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial }{\partial 𝐩}(\sqrt{(𝐏-q𝐀{)}^2+(m{c}^2{)}^2}+q\varphi )}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}𝐩}{\mathrm{d}t}=-\frac{\partial }{\partial 𝐫}(\sqrt{(𝐏-q𝐀{)}^2+(m{c}^2{)}^2}+q\varphi )}$ ular nokanonik shakldagi quyidagi ifodaga ekvivalentdir ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{m\dot{𝐫}}{\sqrt{1-{\left(\frac{\dot{𝐫}}{c}\right)}^2}}\right)=q(𝐄+\dot{𝐫}\times 𝐁).}$ Ushbu ifoda Lorens kuchini, ya’ni elektromagnit maydondan zarraga relyativistik impuls uzatilish tezligini tavsiflaydi.

Lorens kuchi ko‘plab qurilmalarda namoyon bo‘ladi, jumladan:

• Lorens kuchining (aniqrog‘i, uning xususiy holati bo‘lgan Amper kuchining) asosiy qo‘llanish sohasi elektr mashinalaridir (elektr dvigatellar va generatorlar). Lorens kuchi elektron asboblarda zaryadlangan zarralarga (elektronlar va ba’zan ionlarga) ta’sir etishda, masalan, televizorlarning elektron-nur trubkalarida, shuningdek massa-spektrometriyada va MGD-generatorlarda.
• keng qo‘llanadi. Lorens kuchi zaryadlangan zarralar tezlatkichlarida ham ishlatiladi: u zarralar harakatlanadigan orbitani belgilaydi.
• Lorens kuchi relsotronlarda.
• qo‘llanadi. Lorens kuchi yordamida velocimetriya o‘tkazuvchi suyuqlikning harakat tezligini kontaktsiz o‘lchash usulidir.
• Siklotronlar va boshqa aylanma harakatli zarra tezlatkichlari
• Massa-spektrometrlar
• Tezlik filtrlari
• Magnetronlar

• Feynman, Richard Fillips. Feynman fizikadan ma’ruzalari (3 jild) / Richard Fillips Feynman, Robert B. Leyton, Metyu L. Sends. — Pearson / Addison-Wesley, 2006. — ISBN 0-8053-9047-2.: 2-jild.
• Griffits, Devid J. Elektrodinamikaga kirish. — Prentice-Hall, 1999. — ISBN 0-13-805326-X.
• Jekson, Jon Devid. Klassik elektrodinamika. — Wiley, 1999. — ISBN 0-471-30932-X.
• Servay, Reymond A. Olimlar va muhandislar uchun fizika, zamonaviy fizika bilan / Reymond A. Servay, Jon V., kichik. Jyuett. — Thomson Brooks/Cole, 2004. — ISBN 0-534-40846-X.
• Srednitski, Mark A. Kvant maydon nazariyasi. — Cambridge University Press, 2007. — ISBN 978-0-521-86449-7.

• Lorens kuchi yo‘nalishini aniqlash. O‘ng vint qoidasi YouTube’da YouTube