Nyutonning klassik tortishish nazariyasi tortishish kuchi tushunchasiga asoslanadi. Bu kuch uzoqdan ta’sir etuvchi kuch hisoblanadi: u istalgan masofada bir zumda ta’sir qiladi. Bunday oniy ta’sir xususiyati zamonaviy fizikadagi maydon tushunchasiga zid. Nisbiylik nazariyasida hech qanday o‘zaro ta’sir vakuumda yorug‘lik tezligidan tez tarqala olmaydi.

Matematik nuqtayi nazardan Nyutonning gravitatsiya kuchi potensial energiyasidan kelib chiqadi. Jismning gravitatsion maydondagi bu potensial energiyasiga mos gravitatsion potensial Puasson tenglamasiga bo‘ysunadi; bu tenglama Lorens almashtirishlariga nisbatan invariant emas. Buning sababi shundaki, maxsus nisbiylik nazariyasida energiya skalyar kattalik emas, balki 4-vektorning vaqt komponentiga aylanadi. Gravitatsiyaning vektor nazariyasi esa elektromagnit maydon Maksvell nazariyasiga o‘xshash bo‘lib chiqadi va gravitatsion to‘lqinlarning manfiy energiyasiga olib keladi. Bu o‘zaro ta’sirning xususiyati bilan bog‘liq: gravitatsiyada bir xil ishorali zaryadlar (massalar) elektromagnetizmdagidek itarilmaydi, balki tortiladi. Demak, Nyutonning gravitatsiya nazariyasi maxsus nisbiylik nazariyasining asosiy tamoyili — tabiat qonunlarining Lorens almashtirishlariga nisbatan invariantligiga mos kelmaydi. Nyuton nazariyasini bevosita vektor shaklida umumlashtirishni esa ilk bor Puankare 1905-yilda «Elektron dinamikasi haqida» asarida taklif qilgan; bu fizik jihatdan qoniqarsiz natijalarga olib keladi.

Eynshteyn tabiat qonunlarining har qanday sanoq sistemasiga nisbatan invariantligi tamoyiliga mos keladigan gravitatsiya nazariyasini izlay boshladi. Ushbu izlanish natijasida gravitatsion va inert massalarning aynan bir xilligiga asoslangan umumiy nisbiylik nazariyasi yaratildi.

Relyativistik bo‘lmagan mexanikada ikki xil massa tushunchasi qo‘llanadi: birinchisi Nyutonning ikkinchi qonuniga, ikkinchisi esa butun olam tortishish qonuniga tegishli. Birinchi massa — inert (inersial) massa — jismga ta’sir etayotgan gravitatsion bo‘lmagan kuchning uning tezlanishiga nisbatidir. Ikkinchi massa — gravitatsion massa — jismning boshqa jismlarga tortilish kuchini va o‘zining tortish kuchini belgilaydi. Ta’riflardan ko‘rinib turibdiki, bu ikki massa turli tajribalarda o‘lchanadi, shu sababli ular bir-biri bilan bog‘liq yoki o‘zaro mutanosib bo‘lishi shart emas. Ammo tajribada aniqlangan qat’iy mutanosiblik gravitatsion va nogravitatsion o‘zaro ta’sirlarda jismning yagona massasi haqida gapirish imkonini beradi. O‘lchov birliklarini mos tanlab, bu massalarni bir-biriga teng qilish mumkin.

Ba’zan gravitatsion va inert massalarning tengligi tamoyili kuchsiz ekvivalentlik tamoyili deb ataladi. Bu g‘oya Galileyga borib taqaladi, zamonaviy shaklini esa Isaak Nyuton ilgari surgan. U massalarning tengligini tajribada 10⁻³ nisbiy aniqlik bilan tekshirgan. XIX asr oxirida yanada nozik tajribalarni fon Etvyosh o‘tkazib, tamoyil tekshiruvining aniqligini 10⁻⁹ darajasiga yetkazgan. XX asr davomida tajriba usullari massalarning tengligini 10⁻¹²—10⁻¹³ nisbiy aniqlik bilan tasdiqlash imkonini berdi (Braginskiy, Dikke va boshqalar). 2022-yil holatiga ko‘ra, kosmik MICROSCOPE^[ingl.] tajribasi yordamida kuchsiz ekvivalentlik tamoyili 10⁻¹⁵.

Agar gravitatsion massa inert massaga mutlaqo teng bo‘lsa, faqat gravitatsion kuchlar ta’siridagi jismning tezlanishi ifodasida har ikkala massa qisqarib ketadi. Demak, jismning tezlanishi va uning harakat trayektoriyasi massa hamda ichki tuzilishga bog‘liq bo‘lmaydi. Agar fazoning bitta nuqtasidagi barcha jismlar bir xil tezlanishga ega bo‘lsa, bu tezlanishni jismlarning emas, aynan shu nuqtadagi fazoning xossalari bilan bog‘lash mumkin.

Shunday qilib, jismlarning gravitatsion o‘zaro ta’sirini ular harakatlanayotgan fazo-vaqtni tavsiflashga keltirish mumkin. Eynshteyn jismlar inersiya bo‘yicha, ya’ni o‘z sanoq sistemasida tezlanishi nolga teng bo‘ladigan tarzda harakatlanadi, deb faraz qilgan. Bunda ularning trayektoriyalari geodezik chiziqlar bo‘ladi. Ularning nazariyasi matematiklar tomonidan hali XIX asrda ishlab chiqilgan.

Geodezik chiziqlarni fazo-vaqtdagi ikki hodisa orasidagi masofa analogi, odatda interval yoki dunyo funksiyasi deb ataluvchi kattalik orqali aniqlash mumkin. Uch o‘lchamli fazo va bir o‘lchamli vaqt (ya’ni to‘rt o‘lchamli fazo-vaqt) metrikasi 10 ta mustaqil komponent orqali aniqlanadi. Bu komponentlar metrik tenzorga tegishlidir. 10 ta son fazo metrikasini hosil qiladi. U fazo-vaqtning turli yo‘nalishlarida cheksiz yaqin ikkita nuqta orasidagi «masofa»ni belgilaydi. Tezligi yorug‘lik tezligidan kichik fizik jismlarning dunyo chiziqlariga mos geodezik chiziqlar eng katta xususiy vaqt chiziqlaridir. Xususiy vaqt shu trayektoriya bo‘ylab harakatlanayotgan jismga mahkamlangan soat bilan o‘lchanadi.

Agar bir-biriga yaqin ikki nuqtadan ikkita jism parallel yo‘nalishda uchirilsa, gravitatsion maydonda ular asta-sekin bir-biriga yaqinlashadi yoki uzoqlashadi. Bu hodisa deviasiya (geodezik chiziqlarning og‘ishi) deb ataladi. Shunga o‘xshash hodisani markaziga og‘ir buyum qo‘yilgan rezina membrana ustida ikkita sharchani bir-biriga parallel uchirish orqali bevosita kuzatish mumkin. Sharchalar bir-biridan uzoqlashadi: membranani bosib turgan buyumga yaqinroq sharcha markazga uzoqroq sharchadan kuchliroq tortiladi. Bu ajralish (deviasiya) membrananing egriligi bilan izohlanadi.

Xuddi shunday, fazo-vaqtda geodezik chiziqlarning deviasiyasi (jism trayektoriyalarining bir-biridan uzoqlashishi) uning egriligi bilan bog‘liq. Egrilik fazo-vaqtning metrikasi — metrik tenzor bilan bir qiymatli aniqlanadi.

Umumiy nisbiylik nazariyasi va muqobil gravitatsiya nazariyalari o‘rtasidagi farq aksariyat hollarda aynan materiya (gravitatsion maydonni hosil qiladigan nogravitatsion tabiatli jismlar va maydonlar^{[aniqlashtirish kerak]}) bilan fazo-vaqtning metrik xususiyatlari orasidagi bog‘liqlikni ifodalash usulidadir.

Ko‘pincha umumiy nisbiylik nazariyasining asosi gravitatsion va inersial maydonlarning ekvivalentligi tamoyili deb noto‘g‘ri hisoblanadi. Bu tamoyilni quyidagicha ifodalash mumkin:

Gravitatsion maydondagi yetarlicha kichik mahalliy fizik tizim o‘z xatti-harakati jihatidan maxsus nisbiylik nazariyasining yassi fazo-vaqtida tezlanayotgan (inersial sanoq sistemasiga nisbatan) sanoq sistemasida joylashgan xuddi shunday tizimdan farqlanmaydi.Maxsus nisbiylik nazariyasi.

Ba’zan shu tamoyil «maxsus nisbiylik nazariyasining mahalliy darajada amal qilishi» deb postulat sifatida qabul qilinadi yoki «kuchli ekvivalentlik tamoyili» deyiladi.

Tarixan bu tamoyil umumiy nisbiylik nazariyasi shakllanishida katta rol o‘ynagan va Eynshteyn undan nazariyani ishlab chiqishda foydalangan. Biroq nazariyaning yakuniy shakliga u aslida kirmaydi: maxsus nisbiylik nazariyasida ham tezlanayotgan, ham boshlang‘ich sanoq sistemasidagi fazo-vaqt egri emas, ya’ni yassi; umumiy nisbiylik nazariyasida esa har qanday jism fazo-vaqtni egrilantiradi va aynan shu egrilik jismlarning gravitatsion tortishishiga sabab bo‘ladi.

UNNdagi fazo-vaqtning MNNdagi fazo-vaqtdan asosiy farqi uning egriligidir. Bu egrilik tenzor kattalik — egrilik tenzori bilan ifodalanadi. MNN fazo-vaqtida mazkur tenzor aynan nolga teng bo‘ladi va fazo-vaqt yassi hisoblanadi.

Shu sababli «umumiy nisbiylik nazariyasi» nomi to‘liq aniq emas. Bu nazariya hozir fiziklar o‘rganayotgan gravitatsiya nazariyalaridan bittasidir. Maxsus nisbiylik nazariyasi (aniqrog‘i, undagi fazo-vaqtning metrik xususiyatlari tamoyili) esa ilmiy hamjamiyat tomonidan umumiy qabul qilingan va zamonaviy fizikaning poydevorini tashkil etadi. UNNdan boshqa rivojlantirilgan gravitatsiya nazariyalarining hech biri vaqt va tajriba sinovidan o‘tmagan, ya’ni ularning barchasi UNNdan tashqari faqat gipoteza bo‘lib qolgan.

Tabiat qonunlarini tavsiflovchi matematik tenglamalar istalgan koordinatalar sistemasiga o‘tilganda o‘z shaklini o‘zgartirmasligi va to‘g‘ri bo‘lib qolishi, ya’ni har qanday koordinata almashtirishlariga nisbatan kovariant bo‘lishi kerak.

Eynshteyn UNNni keltirib chiqarishda bu tamoyildan foydalangan bo‘lsa-da, uning ahamiyati faqat evristikdir: istalgan fizik nazariyani xohlagan taqdirda umumiy kovariant shaklda yozish mumkin. Buni Krechman hali 1917-yilda ko‘rsatgan. Eynshteynning fazo-vaqt geometriyasida dinamik bo‘lmagan qismlar mavjud emasligi haqidagi farazi muhimroq hisoblanadi.

Nisbiylik nazariyasidagi sababiyat tamoyiliga ko‘ra, har qanday hodisa faqat o‘zidan keyin sodir bo‘ladigan hodisalarga sababiy ta’sir ko‘rsatishi mumkin, avval sodir bo‘lgan hodisalarga esa ta’sir qila olmaydi. Nisbiylik nazariyasida sabab-oqibat bog‘lanishining invariantligi yaqindan ta’sir etish tamoyili bilan bog‘liq. Uzoqdan ta’sir etish tamoyiliga asoslangan Nyuton fizikasidan farqli ravishda, nisbiylik nazariyasi yaqindan ta’sir etish tamoyiliga asoslanadi. Unga ko‘ra, sababiy ta’sirning uzatilish tezligi cheklangan va vakuumdagi yorug‘lik tezligidan oshmaydi. Bu hodisalarning vaqt bo‘yicha ketma-ketligi uchun sababiyat postulati hamda yorug‘lik tezligining sanoq sistemasini tanlashga bog‘liq emasligidan kelib chiqadi. Demak, faqat vaqtga o‘xshash interval bilan ajralgan, ularning orasidagi masofaning kvadrati ${\displaystyle d{l}^2}$ kattalikdan oshmaydigan ${\displaystyle c^{2}d{t}^2}$ hodisalar o‘zaro sababiy bog‘liq bo‘lishi mumkin. Bu yerda ${\displaystyle c}$ — yorug‘lik tezligi, ${\displaystyle dt}$ — hodisalar orasidagi vaqt oralig‘i. Maxsus nisbiylik nazariyasida sababiy bog‘langan hodisalar faqat Minkovskiy fazosining vaqtga o‘xshash chiziqlarida joylashishi mumkin. Umumiy nisbiylik nazariyasida esa ular noyevklid fazodagi vaqtga o‘xshash chiziqlardir.

Eng kichik ta’sir tamoyili umumiy nisbiylik nazariyasida muhim rol o‘ynaydi.

Energiyaning saqlanish tamoyili nisbiylik nazariyasida muhim evristik rol o‘ynaydi. Maxsus nisbiylik nazariyasida energiya va impulsning saqlanish qonunlari Lorens almashtirishlariga nisbatan invariant bo‘lishi talabi ularning tezlikka bog‘liqlik shaklini bir qiymatli belgilaydi. Umumiy nisbiylik nazariyasida energiya-impulsning saqlanish qonunidan gravitatsion maydon tenglamalarini keltirib chiqarishda evristik tamoyil sifatida foydalaniladi. Ushbu tenglamalarni keltirib chiqarishda energiya-impulsning saqlanish qonuni gravitatsion maydon tenglamalarining natijasi sifatida aynan bajarilishi kerak, deb faraz qilish mumkin.

Eynshteyn tenglamalari egri fazo-vaqtda mavjud materiyaning xususiyatlarini shu fazo-vaqtning egriligi bilan bog‘laydi. Bunday turdagi barcha mumkin bo‘lgan tenglamalar ichida ular eng sodda (eng chiziqli) hisoblanadi. Ular quyidagicha yoziladi:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-\frac{R}{2}{g}_{\mu \nu }+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=G_{\mu \nu }+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu },}$

bu yerda ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ — Richchi tenzori, u fazo-vaqtning egrilik tenzoridan ${\displaystyle R_{\rho \mu \sigma \nu }}$ orqali kontraksiya qilish yo‘li bilan bir juft indeks

${\displaystyle R_{\mu \nu }=g^{\rho \sigma }{R}_{\rho \mu \sigma \nu },}$

${\displaystyle R}$ — skalyar egrilik esa ikki marta kontravariant metrik tenzor bilan kontraksiyalangan ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$Richchi tenzori;

${\displaystyle R=g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu },}$

${\displaystyle \mathrm{\Lambda }}$ — kosmologik doimiy, ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$; energiya-impuls tenzori materiyaning xossalarini ifodalaydi; ${\displaystyle \pi }$ — pi, ${\displaystyle c}$ — yorug‘lik tezligi vakuumda, ${\displaystyle G}$ — gravitatsion doimiy Nyutonniki. Tenzor ${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{R}{2}{g}_{\mu \nu }}$ Eynshteyn tenzori deb ataladi, kattalik ${\displaystyle \varkappa =\frac{8\pi G}{c^4}}$ esa Eynshteyn gravitatsion doimiysi deyiladi.

Bu yerda yunoncha indekslar 0 dan 3 gacha qiymatlarni oladi. Ikki marta kontravariant metrik tenzor quyidagi munosabat bilan beriladi:

${\displaystyle g^{\mu \nu }{g}_{\nu \rho }={\delta }^{\mu }{}_{\rho }.}$

Fazo-vaqt egriligi tenzori quyidagiga teng:

${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }=\frac{1}{2}({\partial }_{\nu \rho }^2{g}_{\mu \sigma }+{\partial }_{\mu \sigma }^2{g}_{\nu \rho }-{\partial }_{\nu \sigma }^2{g}_{\mu \rho }-{\partial }_{\mu \rho }^2{g}_{\nu \sigma })+}$

${\displaystyle +g_{\lambda \tau }({\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\nu \rho }{\mathrm{\Gamma }}^{\tau }{}_{\mu \sigma }-{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\nu \sigma }{\mathrm{\Gamma }}^{\tau }{}_{\mu \rho }),}$

bu yerda Kristoffel belgilaridan foydalaniladi; ular ikki marta kovariant metrik tenzor komponentlarining hosilalari orqali aniqlanadi:${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{\nu \rho \sigma }=\frac{1}{2}({\partial }_{\sigma }{g}_{\nu \rho }+{\partial }_{\rho }{g}_{\nu \sigma }-{\partial }_{\nu }{g}_{\rho \sigma }).}$

Ta’rifga ko‘ra, bitta yuqori indeksli Kristoffel belgisi quyidagiga teng:

${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{\rho \sigma }^{\lambda }=g^{\lambda \nu }{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \rho \sigma }.}$

Eynshteyn tenglamalari fazo-vaqtni tavsiflashda ishlatiladigan koordinatalarga hech qanday cheklov qo‘ymaydi, ya’ni umumiy kovariantlikka ega. Shu bois ular simmetrik metrik tenzorning atigi 6 ta komponentini tanlashni cheklaydi; aslida esa uning mustaqil komponentlari 10 ta. Faqat Eynshteyn tenglamalaridan iborat tizim to‘liq aniqlanmagan (matematik jihatdan bu har qanday Richchi tenzori to‘rtta Byanki ayniyatlarini avtomatik qanoatlantirishida namoyon bo‘ladi). Shu sababli fazo-vaqtning qaralayotgan sohasida koordinatalarni bir qiymatli belgilashga mos metrika komponentlariga ayrim cheklovlar kiritilmasa, yechim bir qiymatli bo‘lmaydi. Bu cheklovlar odatda koordinata shartlari.

deyiladi. Eynshteyn tenglamalarini to‘g‘ri tanlangan koordinata shartlari bilan birga yechib, simmetrik metrik tenzorning barcha 10 ta mustaqil komponentini aniqlash mumkin. Mazkur metrik tenzor (metrika) berilgan nuqtada fazo-vaqt xossalarini tavsiflaydi va fizik tajribalar natijalarini ifodalash uchun ishlatiladi. U egri fazodagi interval kvadratini belgilash imkonini beradi:

${\displaystyle d{s}^2=g_{\mu \nu }(x)d{x}^{\mu }d{x}^{\nu },}$

bu fizik (metrik) fazodagi «masofa»ni aniqlaydi. Kristoffel belgilari metrik tenzor asosida geodezik chiziqlarni belgilaydi; ular bo‘ylab obyektlar (sinov jismlari) inersiya bilan harakatlanadi. Lambda-had bo‘lmagan bo‘sh fazoning (energiya-impuls tenzori nolga teng) eng sodda holatida Eynshteyn tenglamalarining yechimlaridan biri maxsus nisbiylik nazariyasining Minkovskiy metrikasi bilan tavsiflanadi.

${\displaystyle d{x}^0=cdt,d{x}^1=dx,d{x}^2=dy,d{x}^3=dz,}$

${\displaystyle d{s}^2=g_{\mu \nu }(x)d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }=c^{2}d{t}^2-d{x}^2-d{y}^2-d{z}^2.}$

Uzoq vaqt Eynshteyn tenglamalarining chap tomonida uchinchi had bo‘lishi kerakmi, degan masala muhokama qilindi. Kosmologik doimiy Λ Eynshteyn tomonidan 1917-yilda «Kosmologiya masalalari va umumiy nisbiylik nazariyasi» ishida UNN asosida statik Koinotni tavsiflash uchun kiritilgan. Biroq keyinchalik Koinotning kengayishi kashf etilgach, gravitatsiya nazariyasida lambda-hadni saqlab qolishning falsafiy va tajribaviy asoslari yo‘qoldi (qarang: Kosmologik doimiyning tarixi). Shunga qaramay, zamonaviy miqdoriy kosmologiya ma’lumotlari tezlanish bilan kengayayotgan Koinot modelini, ya’ni musbat kosmologik doimiyni qo‘llab-quvvatlaydi (qarang: ΛCDM modeli). Boshqa tomondan, bu doimiyning qiymati shu qadar kichikki, uni astrofizika va kosmologiyada galaktikalar to‘dalari va undan katta miqyosdagi hisob-kitoblardan boshqa barcha fizik hisoblarda e’tiborga olmaslik mumkin.

Eynshteyn tenglamalari eng sodda deyilishining sababi shuki, ularda egrilik va energiya-impuls faqat chiziqli ko‘rinishda qatnashadi, chap tomonda esa fazo-vaqtni tavsiflay oladigan valentligi 2 bo‘lgan barcha tenzor kattaliklar turadi. Ularni eng kichik ta’sir tamoyilidan uchun Eynshteyn–Gilbert ta’siri:

${\displaystyle S=\int [\frac{c^4}{16\pi G}(R-2\mathrm{\Lambda })+{ℒ}_{\mathrm{M}}]\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{4}x,}$

bu yerda belgilar yuqorida izohlangan, ${\displaystyle {ℒ}_{\mathrm{M}}}$ materiya maydonlarining Lagranj zichligini ifodalaydi, ${\displaystyle \sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{4}x}$ fazo-vaqtning invariant 4-hajm elementini beradi. Bu yerda ${\displaystyle g=det||g_{\mu \nu }||}$ — ikki marta kovariant metrik tenzor matritsasi elementlaridan tuzilgan determinant. Minus belgisi determinant doimo manfiy ekanini ko‘rsatadi (Minkovskiy metrikasi uchun u −1 ga teng).

Matematik nuqtayi nazardan Eynshteyn tenglamalari nochiziqli differensial tenglamalar tizimidan iborat bo‘lib, ular xususiy hosilalar yordamida fazo-vaqtning metrik tenzoriga nisbatan ifodalanadi. Shu bois ularning yechimlarini qo‘shish yangi yechim bermaydi. Chiziqlilikni taxminan faqat berilgan fazo-vaqtning kichik buzilishlarini, masalan, kuchsiz gravitatsion maydonlarni o‘rganishda tiklash mumkin. Bunda metrik koeffitsiyentlarning yassi fazo-vaqt qiymatlaridan og‘ishi hamda ular hosil qiladigan egrilik juda kichik bo‘ladi.

Ushbu tenglamalarni yechishni murakkablashtiradigan yana bir holat shuki, manba (energiya-impuls tenzori) o‘z tenglamalar tizimiga — qaralayotgan sohani to‘ldiradigan muhitning harakat tenglamalariga ham bo‘ysunadi. Qiziq tomoni, agar harakat tenglamalari to‘rttadan kam bo‘lsa, ular energiya-impulsning mahalliy saqlanish qonuni tufayli Eynshteyn tenglamalaridan kelib chiqadi (qarang: quyida). Bu xususiyat Eynshteyn tenglamalarining o‘zaro muvofiqligi deb ataladi va uni birinchi marta D. Gilbert o‘zining mashhur «Fizika asoslari» asarida ko‘rsatgan. Agar harakat tenglamalari to‘rttadan ko‘p bo‘lsa, koordinata shartlari, Eynshteyn tenglamalari va muhit tenglamalaridan iborat tizimni yechishga to‘g‘ri keladi; bu yanada murakkab. Shu sababli ushbu tenglamalarning ma’lum aniq yechimlariga katta ahamiyat beriladi.

Eynshteyn tenglamalarining eng muhim aniq yechimlari quyidagilardan iborat: Shvartsshild yechimi (sferik simmetriyali, zaryadsiz va aylanmaydigan katta massali obyekt atrofidagi fazo-vaqt uchun), Reyssner–Nordstryom yechimi (zaryadlangan sferik simmetriyali katta massali obyekt uchun), Kerr yechimi (aylanayotgan katta massali obyekt uchun), Kerr–Nyuman yechimi (zaryadlangan va aylanayotgan katta massali obyekt uchun), shuningdek, Fridmanning kosmologik yechimi (butun Koinot uchun) hamda gravitatsion to‘lqinlarning aniq yechimlari. Taqribiy yechimlar orasida gravitatsion to‘lqinlarning taqribiy yechimlari, zamonaviy kosmologiyaning asosini tashkil etuvchi Fridmanning kosmologik yechimi fonidagi gravitatsion buzilishlar yechimlari va postnyuton yoyilmasi usullari bilan olinadigan yechimlar alohida ahamiyatga ega. Eynshteyn tenglamalarini sonli yechish ham murakkab bo‘lib, bu qiyinchiliklar faqat 2000-yillarda hal qilindi va natijada jadal rivojlanayotgan sonli nisbiylik nazariyasi.

Kosmologik doimiysiz Eynshteyn tenglamalari deyarli bir vaqtda, noyabr oyida 1915-yilda David Gilbert (20-noyabrda, eng kichik ta’sir tamoyilidan) va Albert Eynshteyn (25-noyabrda, gravitatsion maydon tenglamalarining umumiy kovariantlik tamoyili va energiya-impulsning mahalliy saqlanishiga asoslanib) keltirib chiqargan. Gilbertning ishi Eynshteyn ishidan keyin nashr etilgan (1916). Ustuvorlik masalasida turli qarashlar mavjud. Ular Eynshteyn haqidagi maqolada va batafsilroq «Nisbiylik nazariyasida ustuvorlik masalalari^[ingl.]» maqolasida yoritilgan. Biroq Gilbertning o‘zi hech qachon ustuvorlikni da’vo qilmagan va UNNni Eynshteyn yaratgan deb hisoblagan.

Sanoq Sanoq sistemasi muammosi UNNda yuzaga keladi, chunki fizikaning boshqa sohalari uchun odatiy bo‘lgan inersial sanoq sistemalari egri fazo-vaqtda mavjud bo‘la olmaydi. Bu muammo sanoq sistemasini nazariy jihatdan belgilashni (masalan, mahalliy inersial koordinatalar sistemasi, normal koordinatalar, garmonik koordinatalar) va uni o‘lchov asboblari yordamida amalda tashkil etishni qamrab oladi. Asboblar orqali o‘lchash muammosi shundaki, o‘lchanayotgan kattaliklarning faqat vaqtga o‘xshash yo‘nalishdagi proyeksiyalarini bevosita o‘lchash mumkin. Fazoviy proyeksiyalarni to‘g‘ridan-to‘g‘ri o‘lchash esa faqat fazoviy koordinatalar sistemasi kiritilgandan keyin, masalan, kuzatuvchining metrikasini, bog‘lanishini va egriligini uning dunyo chizig‘i yaqinida aks etgan yorug‘lik signallarini yuborib va qabul qilib o‘lchash yoki fazo-vaqtning geometrik xossalarini belgilash orqali amalga oshiriladi (yorug‘lik nurlarining geometriya bilan belgilangan yo‘nalishi asosida yorug‘lik manbasining o‘rni aniqlanadi).

Sanoq sistemalari muammosi UNNda gravitatsion to‘lqinlarning mavjudligi haqidagi munozaraning mohiyatini tashkil etgan; bu masala faqat 1970-yillarga kelib uzil-kesil hal bo‘lgan (qarang: ^5.2-bo‘lim). Umuman, UNNda o‘lchash muammosi hal qilingan deb hisoblanishi mumkin. Biroq haqiqiy fizik hodisalarni koordinata ta’sirlaridan ajratishga doir ayrim kelishmovchiliklar, masalan, postnyuton taqribiy hisoblarida nazariyaning matematik apparati nihoyatda murakkabligi sababli, adabiyotlarda hali ham uchraydi.^5.2-bo‘lim.

atrofidagi harakati. Muvofiqlik tamoyiliga ko‘ra, kuchsiz gravitatsion maydonlarda UNN bashoratlari Nyutonning butun olam tortishish qonuni natijalariga mos keladi; maydon kuchayishi bilan ortib boradigan kichik tuzatishlar bundan mustasno.

Umumiy nisbiylik nazariyasining dastlab bashorat qilingan va tajribada tekshirilgan natijalari quyidagi uchta klassik hodisadir. Ular birinchi tekshirilgan vaqtiga ko‘ra xronologik tartibda keltirilgan:

1. Qo‘shimcha Merkuriy orbitasi perigeliysining siljishi (Nyuton mexanikasi bashoratlariga nisbatan).
2. Quyoshning gravitatsion maydonida yorug‘lik nurining og‘ishi.
3. Gravitatsion qizil siljish yoki gravitatsion maydonda vaqtning sekinlashishi.

Umumiy nisbiylik nazariyasining yana bir muhim natijasi gravitatsion o‘zaro ta’sirlarning C-simmetriyaga, P-simmetriyaga va T-simmetriyaga

nisbatan invariantligidir. Boshqa ko‘plab hodisalar ham mavjud bo‘lib, ular e’tiborsiz qoldirish mumkin bo‘lgan juda kichik tuzatishlardan tortib amaliyotda muntazam qo‘llanadigan sun’iy yo‘ldosh navigatsiya tizimlarigacha boradi. Tajribada tekshirish mumkin bo‘lgan hodisalar qatorida Quyosh va Yupiterning gravitatsion maydonlarida elektromagnit to‘lqinlarning og‘ishi hamda kechikishi (Shapiro effekti), Lense–Tirring effekti (pretsessiya giroskopning aylanayotgan jism yaqinida), shuningdek, astrofizik kuzatuvlarda qora tuynuklar mavjudligi va gravitatsion to‘lqinlar nurlanishi yaqin qo‘shaloq yulduzlar hamda Koinotning kengayishi.

Hozirga qadar UNNni inkor etuvchi ishonchli tajriba dalillari aniqlanmagan. O‘lchangan hodisa qiymatlarining UNN bashoratlaridan og‘ishi 0,01 % dan oshmaydi (yuqoridagi uchta klassik hodisa uchun). Shunga qaramay, turli sabablarga ko‘ra, nazariyotchilar kamida 30 ta muqobil gravitatsiya nazariyasini yaratgan. Ularning ba’zilari parametrlar mos tanlanganda UNNga istalgancha yaqin natijalarni beradi.

Birinchi hodisa — vaqtning gravitatsion sekinlashuvi. Bunga ko‘ra, har qanday soat gravitatsion chuqur ichida qanchalik chuqurroq (gravitatsiya hosil qilayotgan jismga qanchalik yaqin) bo‘lsa, shunchalik sekin yuradi. Bu hodisa bevosita Xafele–Kiting tajribasida, shuningdek, Gravity Probe A tajribasida tasdiqlangan va GPS.

Bu bilan bevosita bog‘liq hodisa — gravitatsion qizil siljish (yorug‘likda). Bu hodisa yorug‘lik gravitatsion chuqurdan tashqariga (pastroq gravitatsion potensialli hududdan yuqoriroq potensialli hududga) tarqalganda mahalliy soatlarga nisbatan uning chastotasi kamayishini (shunga mos ravishda spektr chiziqlarining mahalliy shkala bo‘yicha qizil tomonga siljishini) bildiradi. Gravitatsion qizil siljish yulduzlar va Quyosh spektrlarida aniqlangan va Yerda nazorat qilinadigan sharoitda ham Paund–Rebka tajribasida ishonchli tasdiqlangan..

Vaqtning gravitatsion sekinlashuvi va fazoning egrilanishi yana bir hodisani yuzaga keltiradi. U Shapiro effekti (gravitatsion signal kechikishi deb ham ataladi). Bu hodisa tufayli gravitatsion maydonda elektromagnit signallar shu maydon bo‘lmagan holatga qaraganda uzoqroq vaqt davomida tarqaladi. Hodisa Quyosh ortidan o‘tuvchi sayyoralar va kosmik kemalarni radiolokatsiya qilishda, shuningdek, qo‘shaloq pulsarlar.

2011-yil holatiga ko‘ra, bu turdagi hodisalar eng yuqori (taxminan 7⋅10⁻⁹) aniqlik bilan Xolger Myuller boshchiligidagi Kaliforniya universiteti guruhi tajribasida o‘lchangan. Tajribada seziy atomlari tezligi Yer sirtiga nisbatan yuqoriga yo‘naltirilgan holda ikkita lazer nuri ta’sirida holatlar superpozitsiyasiga o‘tkazilgan; bu holatlar impulslari bilan farqlangan. Gravitatsion ta’sir kuchi Yer sirtidan balandlikka bog‘liq bo‘lgani uchun ushbu holatlarning to‘lqin funksiyasi fazalarining boshlang‘ich nuqtaga qaytgandagi ortishi turlicha bo‘lgan. Ularning farqi atomlar bulutida interferensiyani yuzaga keltirgan. Natijada balandlik bo‘yicha bir tekis taqsimot o‘rniga atomlarning zichlashgan va siyraklashgan qatlamlari almashinib turgan. Buni atomlar bulutiga lazer nurlarini yo‘naltirish va fazoning tanlangan nuqtasida atomni aniqlash ehtimolini o‘lchash orqali kuzatishgan.

Yorug‘lik yo‘lining egrilanishi har qanday tezlanayotgan sanoq sistemasida yuz beradi. Biroq kuzatiladigan trayektoriyaning batafsil shakli va gravitatsion linzalanish hodisalari fazo-vaqt egriligiga bog‘liq. Eynshteyn bu hodisa haqida 1911-yilda bilgan va trayektoriya egriligini evristik usulda hisoblaganida natija yorug‘lik tezligida harakatlanayotgan zarrachalar uchun klassik mexanika bashoratiga teng chiqqan. 1916-yilda Eynshteyn UNNda yorug‘lik tarqalish yo‘nalishining burchak siljishi Nyuton nazariyasidagidan ikki baravar katta ekanini aniqladi. Shunday qilib, bu bashorat UNNni tekshirishning yana bir usuliga aylandi.

esa Eynshteyn avvalgi qarashdan farqli ravishda, UNNda yorug‘lik tarqalish yo‘nalishining burchak siljishi Nyuton nazariyasidagidan ikki baravar kattaligini aniqlagan. Shu tariqa ushbu bashorat UNNni tekshirishning yana bir usuliga aylangan.1919-yildan boshlab bu hodisa quyosh tutilishlari paytida yulduzlarni astronomik kuzatishlar (dastlab 29-may 1919-yilda bo‘lgan tutilish) orqali tasdiqlangan. Shuningdek, Quyosh yaqinidan o‘tuvchi kvazarlarni uning ekliptika bo‘ylab harakati davomida radiointerferometriya usulida kuzatib, yuqori aniqlikda tekshirilgan. Yupiter gravitatsion maydonining yorug‘likni og‘dirishi ham kuzatilgan. Quyosh va sayyoralar ta’sirida yorug‘lik og‘ishi uchun tuzatishlar aniq astrometriyada hisobga olinishi kerak. Masalan, Hipparcos va Gaia kosmik teleskoplarida yulduzlar o‘rnini o‘lchash aniqligi mos ravishda 1 burchak millisekundi va 0,007 burchak millisekundiga (loyihadagi qiymat, yorqin yulduzlar uchun) teng. Bu faqat Quyosh chekkasiga yaqin yulduz yorug‘ligining og‘ishidan (1,7 burchak sekundi) emas, balki Quyoshdan 90° burchak masofadagi yulduz yorug‘ligi og‘ishidan ham (4,07 burchak millisekundi) ancha kichik. Shu bois zamonaviy qurilmalarning sezgirligi Quyoshning gravitatsion og‘dirish ta’sirini faqat uning yonida emas, balki deyarli butun osmon sferasida kuzatishga imkon beradi.

Gravitatsion linzalanish kuzatuvchi bilan undan ancha uzoqdagi boshqa obyektni tutashtiruvchi chiziqqa yaqin yoki shu chiziq ustida katta massali uzoq obyekt joylashganida yuz beradi. Bunda yaqinroq massaning yorug‘lik yo‘lini egrilantirishi olis obyekt tasvirini buzadi. Kuzatuvning ajratish qobiliyati past bo‘lsa, bu asosan olis obyektning umumiy yorqinligi ortishiga olib keladi. Shu sababli hodisa linzalanish deb atalgan. Gravitatsion linzalanishning birinchi namunasi 1979-yilda bitta kvazarning bir-biriga yaqin ikkita tasviri — QSO 0957+16 A va B (z = 1,4) — ingliz astronomlari D. Uolsh va boshqalar tomonidan olingan. «Ikkala kvazarning yorqinligi bir vaqtda o‘zgarayotgani aniqlangach, astronomlar ular aslida gravitatsion linza ta’sirida paydo bo‘lgan bitta kvazarning ikki tasviri ekanini tushunishdi. Ko‘p o‘tmay linzaning o‘zi ham — Yer va kvazar orasidagi olis galaktika (z = 0,36) topildi». O‘shandan beri gravitatsion linzalanishga uchragan uzoq galaktikalar va kvazarlarning ko‘plab boshqa misollari aniqlangan. Masalan, Eynshteyn xochi deb ataladigan hodisada galaktika uzoq kvazar tasvirini xoch shaklida to‘rtga ko‘paytiradi.

Gravitatsion linzalanishning alohida turi Eynshteyn halqasi yoki yoyi deb ataladi. Eynshteyn halqasi kuzatilayotgan obyekt sferik simmetriyali gravitatsion maydonga ega boshqa obyektning aynan orqasida joylashganda yuz beradi. Bu holda olis obyekt yorug‘ligi yaqinroq obyekt atrofida halqa ko‘rinishida kuzatiladi. Agar olis obyekt biroz yon tomonga siljigan bo‘lsa yoki gravitatsion maydon sferik simmetriyali bo‘lmasa, halqa o‘rnida yoylar deb ataluvchi qisman halqalar paydo bo‘ladi.

Nihoyat, har qanday yulduz oldidan katta massali ixcham obyekt o‘tganda yulduzning yorqinligi ortishi mumkin. Bunda uzoq yulduzning yorug‘lik gravitatsion og‘ishi oqibatida kattalashgan va buzilgan tasvirlarini alohida ajratib bo‘lmaydi (ular bir-biriga juda yaqin). Shunchaki yulduz yorqinligining ortishi qayd etiladi. Ushbu hodisa mikrolinzalanish deb ataladi. Hozirda Galaktikamizdagi ko‘rinmas jismlarni yulduzlar yorug‘ligining gravitatsion mikrolinzalanishi orqali o‘rganuvchi loyihalarda muntazam kuzatilmoqda. Jumladan, MACHO, EROS^[ingl.] va boshqalar.

Qora tuynuk — hodisalar gorizonti deb ataladigan chegara bilan o‘ralgan hudud bo‘lib, undan na materiya, na axborot. Bunday hududlar, xususan, kollaps katta massali yulduzlar natijasida hosil bo‘lishi mumkin. Modda qora tuynukka (masalan, yulduzlararo muhitdan) tushishi, ammo undan chiqolmasligi sababli uning massasi vaqt o‘tishi bilan faqat ortishi mumkin.

Stiven Xoking esa qora tuynuklar Xoking nurlanishi hisobiga massasini yo‘qotishi mumkinligini ko‘rsatgan. Xoking nurlanishi klassik UNNga zid bo‘lmagan kvant hodisasidir.

Qora tuynuk bo‘lishi mumkin bo‘lgan ko‘plab obyektlar ma’lum. Xususan, Galaktikamiz markazidagi O‘qotar A* radio manbai bilan bog‘liq o‘ta katta massali obyekt shular jumlasidandir. Olimlarning aksariyati ushbu va shunga o‘xshash obyektlar bilan bog‘liq kuzatilgan astronomik hodisalar qora tuynuklarning mavjudligini ishonchli tasdiqlaydi, deb hisoblaydi. Biroq boshqa izohlar ham mavjud: masalan, qora tuynuk o‘rniga fermion sharlari, bozon yulduzlar va boshqa g‘ayrioddiy obyektlar taklif qilinadi.

UNN gravitatsion bog‘langan tizimlarning dinamikasiga oid Nyutonning osmon mexanikasi nazariyasi bashoratlariga tuzatishlar kiritadi: Quyosh tizimi, qo‘shaloq yulduzlar va boshqalar.

UNNning birinchi hodisasi barcha sayyora perigeliylarining barcha sayyora orbitalariningda pretsessiya qilishi bilan bog‘liq edi. Chunki Nyutonning gravitatsion potensiali kichik relyativistik qo‘shimchaga ega bo‘lib, u yopiq bo‘lmagan orbitalarning shakllanishiga olib keladi. Bu bashorat UNNning ilk tasdig‘i bo‘lgan, chunki Eynshteyn 1916-yilda hisoblab chiqqan pretsessiya miqdori perigeliyning anomal pretsessiyasiga Merkuriy to‘liq mos kelgan. Shu tariqa o‘sha paytda osmon mexanikasida mashhur bo‘lgan muammo hal etilgan.

Keyinchalik perigeliyning relyativistik pretsessiyasi Venera, Yer va Ikar va kuchliroq hodisa sifatida — qo‘shaloq tizimlardagi pulsarlarda kuzatilgan. Birinchi qo‘shaloq pulsar — PSR B1913+16ni 1974-yilda kashf etgani va o‘rgangani uchun R. Xals va D. Teylor Nobel mukofotini 1993-yilda olgan. UNN bashorat qilgan pretsessiya Galaktikamiz markazidagi o‘ttiz yillik kuzatuvlar davomida S2 yulduzining qora tuynuk Sagittarius A* atrofidagi orbitasida ham aniqlangan.

Yana bir hodisa — jismlarning qo‘shaloq va ko‘p tarkibli tizimlarida gravitatsion nurlanish bilan bog‘liq orbitaning o‘zgarishi. Bu hodisa bir-biriga yaqin yulduzlar tizimida kuzatiladi va aylanish davrining qisqarishidan iborat. U yaqin qo‘shaloq va ko‘p tarkibli yulduzlar evolyutsiyasida muhim rol o‘ynaydi. Hodisa dastlab yuqorida tilga olingan PSR B1913+16 tizimida kuzatilgan va UNN bashoratlariga 0,2 % aniqlik bilan mos kelgan.

2020-yilda ixcham radio manba atrofidagi yulduz harakatida relyativistik periastr siljishini 30 yildan ortiq o‘lchash ishlari yakunlangan. Bu radio manba — O‘qotar A* (taxminan qora tuynuk) — bizning Galaktikamiz markazida joylashgan. O‘lchashlarni Germaniyadagi Maks Plank nomidagi Yerdan tashqari fizika instituti amalga oshirgan. Natijalar UNN bashoratlariga to‘liq mos kelgan.

Yana bir hodisa — geodezik pretsessiya. U aylanayotgan obyekt qutblarining egri fazo-vaqtdagi parallel ko‘chirish natijasidagi pretsessiyasidir. Bu hodisa Nyutonning gravitatsiya nazariyasida umuman mavjud emas. Geodezik pretsessiya bashorati NASAning zondi NASA «Gravity Probe B» (Gravity Probe B) yordamida tekshirilgan. Zond ma’lumotlarini o‘rganish rahbari Frensis Everitt Amerika fizika jamiyatining yalpi majlisida 14-aprel 2007-yilda giroskoplar ma’lumotlari tahlili Eynshteyn bashorat qilgan geodezik pretsessiyani 1 % dan yuqori aniqlikda tasdiqlaganini ma’lum qilgan. 2011-yil mayida yakuniy natijalar e’lon qilingan: geodezik pretsessiya yiliga −6601,8±18,3 burchak millisekundi (mas) bo‘lgan; bu tajriba xatoligi doirasida UNN bashorati — yiliga −6606,1 mas ga mos keladi. Ilgari bu hodisa geodezik sun’iy yo‘ldoshlar orbitalarining siljishini kuzatish orqali ham tekshirilgan: LAGEOS; tajriba xatolari doirasida UNNning nazariy bashoratlaridan og‘ish aniqlanmagan.

Aylanayotgan jism tomonidan inersial sanoq sistemalarining ergashtirilishiAylanayotgan jism tomonidan inersial sanoq sistemalarining ergashtirilishi shundan iboratki, aylanayotgan katta massali obyekt fazo-vaqtni o‘z aylanish yo‘nalishida «tortib ketadi». Jismning massa markaziga nisbatan tinch turgan uzoqdagi kuzatuvchi obyektga ma’lum masofadagi eng tez yuradigan soatlarni (ya’ni mahalliy inersial sanoq sistemasiga nisbatan tinch turgan soatlarni) obyekt aylanishi yo‘nalishida uning atrofida harakat komponentiga ega soatlar deb aniqlaydi. Aylanmaydigan katta massali jism holatidan farqli ravishda, ular kuzatuvchiga nisbatan tinch soatlar bo‘lmaydi. Xuddi shuningdek, uzoqdagi kuzatuvchi yorug‘lik jismning aylanishiga qarshi yo‘nalishdagidan ko‘ra uning aylanish yo‘nalishida tezroq harakatlanishini aniqlaydi. Inersial sanoq sistemalarining ergashtirilishi giroskop yo‘nalishini vaqt davomida ham o‘zgartiradi. Kosmik kema qutbiy orbitada bo‘lsa, bu hodisaning yo‘nalishi yuqorida aytilgan geodezik pretsessiyaga, perpendikulyar bo‘ladi..

Inersial sanoq sistemalarining ergashtirilish hodisasi geodezik pretsessiyadan 170 baravar kuchsiz bo‘lgani uchun Stenford olimlari 5 yil davomida bu hodisani o‘lchash maqsadida maxsus uchirilgan «Gravity Probe B» (Gravity Probe B) sun’iy yo‘ldoshidan olingan ma’lumotlardan uning «izlari»ni ajratib olishgan. 2011-yil mayida missiyaning yakuniy natijalari e’lon qilingan: o‘lchangan ergashtirilish yiliga −37,2±7,2 burchak millisekundini (mas) tashkil etgan, bu aniqlik doirasida UNNning yiliga −39,2 mas bashoratiga mos keladi.

• Inert va gravitatsion massalarning ekvivalentligi: erkin tushish inersiya bo‘yicha harakat ekanining natijasidir.
  • Ekvivalentlik tamoyili: hatto o‘z gravitatsiyasiga ega obyekt ham tashqi gravitatsion maydonga sinov zarrasi kabi javob qaytaradi.
• Gravitatsion nurlanish: gravitatsion bog‘langan har qanday tizimlarning orbital harakati, jumladan, ixcham yulduzlarning yaqin juftlari — oq mittilar, neytron yulduzlar, qora tuynuklar), shuningdek, neytron yulduzlar va/yoki qora tuynuklarning qo‘shilishi gravitatsion to‘lqinlar nurlanishi bilan kechishi kutiladi.
  • Ixcham yulduzlarning yaqin juftlarida orbital aylanish chastotasi o‘sishini o‘lchash gravitatsion nurlanish mavjudligining bilvosita dalillaridir. Bu hodisa birinchi marta yuqorida tilga olingan qo‘shaloq pulsar PSR B1913+16 tizimida kuzatilgan va UNN bashoratiga 0,2 % aniqlikda mos kelgan.
  • Qo‘shaloq pulsarlar va ixcham yulduzlarning boshqa juftlari qo‘shilganda Yerda kuzatish uchun yetarli darajada kuchli gravitatsion to‘lqinlar paydo bo‘lishi mumkin. 2011-yilda bunday to‘lqinlarni kuzatish uchun bir necha gravitatsion teleskoplar mavjud edi (yoki yaqin orada qurilishi rejalashtirilgan edi). 2015-yil kuzida LIGO observatoriyasi detektorlari gravitatsion to‘lqinlarni aniqladi; bu haqda 2016-yil fevralida rasman xabar berildi.
  • Gravitonlar. kvant mexanikasiga, gravitatsion nurlanish graviton deb ataluvchi kvantlardan iborat bo‘lishi kerak. UNN ularni spini 2 ga teng, massasi yo‘q zarrachalar deb bashorat qiladi. Alohida gravitonlarni tajribada aniqlash katta qiyinchiliklar bilan bog‘liq, shu bois gravitatsion maydon kvantlarining mavjudligi hanuz (2020-yil) namoyish etilmagan.
• Qora tuynuklarning hodisalar gorizonti uchun yuzalar qonuni 2021-yildagi kuzatuv ma’lumotlari asosida tasdiqlangan.

Matematik fizika nuqtayi nazaridan energiya vaqtning bir jinsliligi tufayli saqlanadigan kattalikdir. Umumiy nisbiylik nazariyasida, maxsus nisbiylik nazariyasidan farqli ravishda, vaqt bir jinsli emas. Shu sababli energiyaning saqlanish qonuni UNNda faqat mahalliy tarzda ifodalanishi mumkin. Ya’ni UNNda MNN energiyasiga ekvivalent shunday kattalik yo‘qki, uni fazo bo‘yicha integrallash natijasi vaqt davomida o‘zgarmasdan qolsin. Biroq UNNda energiya-impulsning mahalliy saqlanish qonuni mavjud va u Eynshteyn tenglamalaridan kelib chiqadi. Bu materiyaning energiya-impuls tenzori kovariant divergensiyasining nolga tengligidir:

${\displaystyle T_{\nu ;\mu }^{\mu }=0,}$

bu yerda nuqtali vergul kovariant hosila olinishini anglatadi. Bundan global qonunga o‘tish mumkin emas: Riman fazosida skalyarlardan boshqa tenzor maydonlarini tenzor (invariant) natija beradigan tarzda integrallash matematik jihatdan imkonsiz. Darhaqiqat, yuqoridagi tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin:

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x^{\mu }}\left(\sqrt{-g}{T}_{\nu }^{\mu }\right)-\frac{1}{2}\sqrt{-g}\frac{\partial g_{\mu \sigma }}{\partial x^{\nu }}{T}_{\sigma }^{\mu }=0.}$

Ikkinchi hadi nolga teng bo‘lmagan egri fazo-vaqtda bu tenglama hech qanday saqlanish qonunini.

ifodalamaydi. Ko‘plab fiziklar buni UNNning jiddiy kamchiligi deb hisoblaydi. Boshqa tomondan, izchil yondashilsa, umumiy energiyaga materiya energiyasidan tashqari gravitatsion maydonning o‘z energiyasini ham kiritish zarurligi ravshan. Mos saqlanish qonuni quyidagi ko‘rinishda yozilishi kerak:

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x^{\mu }}\sqrt{-g}(T_{\nu }^{\mu }+t_{\nu }^{\mu })=0,}$

bu yerda ${\displaystyle t_{\nu }^{\mu }}$ kattalik gravitatsion maydonning energiya-impulsini ifodalaydi. UNNda ${\displaystyle t_{\nu }^{\mu }}$ kattalik tenzor bo‘la olmaydi, u psevdotenzor — faqat koordinatalarning chiziqli almashtirishlarida tenzor kabi o‘zgaradigan kattalikdir. Bu UNNda gravitatsion maydon energiyasini prinsipial ravishda muayyan joyga bog‘lash mumkin emasligini anglatadi (bu kuchsiz ekvivalentlik tamoyilidan kelib chiqadi). Turli mualliflar o‘zlarining gravitatsion maydon energiya-impuls psevdotenzorlarini kiritgan. Ularning ayrim «to‘g‘ri» xossalari bo‘lsa-da, xilma-xilligining o‘zi muammoning qoniqarli yechimi yo‘qligini ko‘rsatadi. Shunga qaramay, UNNda energiya doimo shunday ma’noda saqlanadiki, UNN doirasida abadiy dvigatel yaratib bo‘lmaydi.

UNNda saqlanadigan impulsni (fazoning bir jinsliligi bilan bog‘liq) va impuls momentini (fazoning izotropligi bilan bog‘liq) belgilashga urinishlar ham shunga o‘xshash muammolarni keltirib chiqaradi. Umumiy ko‘rinishdagi fazo-vaqtda tegishli saqlanish qonunlari uchun zarur Killing maydonlari mavjud emas.

Umuman, energiya va impuls muammosini faqat kosmologik doimiysiz UNNdagi alohida tizimlar uchun hal qilingan deb hisoblash mumkin. Bular massa taqsimoti fazoda cheklangan va fazoviy cheksizlikda fazo-vaqti Minkovskiy fazosiga o‘tadigan tizimlardir. Bunda fazo-vaqtning asimptotik simmetriya guruhini (Bondi–Saks guruhi) ajratib, tizimning cheksizlikdagi Lorens almashtirishlariga nisbatan to‘g‘ri o‘zgaradigan 4-vektorli energiya-impuls kattaligini aniqlash mumkin.

Keng qabul qilinmagan, Lorens va Levi-Chivitaga borib taqaluvchi qarash ham mavjud. U gravitatsion maydonning energiya-impuls tenzorini doimiy ko‘paytuvchi aniqligida Eynshteyn tenzori deb belgilaydi. Bunda Eynshteyn tenglamalariga ko‘ra, istalgan hajmdagi gravitatsion maydon energiya-impulsi o‘sha hajmdagi materiya energiya-impulsini aniq muvozanatlaydi, natijada ularning umumiy yig‘indisi aynan nolga teng bo‘ladi.

Zamonaviy nuqtayi nazardan UNNning asosiy muammosi — uning kanonik usulda kvant maydon modelini yaratishning imkonsizligidir.

Kanonik kvantlash har qanday fizik model uchun quyidagilardan iborat: kvant bo‘lmagan modelda Eyler–Lagranj tenglamalari tuziladi va tizimning Lagranjiani aniqlanadi; undan Gamiltonian H ajratib olinadi. So‘ng Gamiltonian tizimning dinamik o‘zgaruvchilari odatiy funksiyasidan shu o‘zgaruvchilarga mos operatorlarning operator funksiyasiga o‘tkaziladi, ya’ni kvantlanadi. Gamilton operatorining fizik ma’nosi shundaki, uning xos qiymatlari tizimning energiya sathlarini ifodalaydi. Bu jarayonning asosiy xususiyati vaqt parametrini ajratib olishni talab qilishidir; keyinchalik aynan shu vaqt bo‘yicha Shryodinger

${\displaystyle \hat{H}|\mathrm{\Phi }⟩=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\mathrm{\Phi }⟩,}$

bu yerda ${\displaystyle \hat{H}}$ — allaqachon kvant Gamiltoniani, ushbu tenglama to‘lqin funksiyasini topish uchun yechiladi: ${\displaystyle |\mathrm{\Phi }⟩}$.

UNN uchun bu usulni amalga oshirishdagi qiyinchiliklar quyidagilardir. Birinchidan, klassik Gamiltoniandan kvant Gamiltonianiga o‘tish bir qiymatli emas, chunki dinamik o‘zgaruvchilar operatorlari o‘zaro kommutativ emas. Ikkinchidan, gravitatsion maydon bog‘lanishlarga ega maydonlar turiga kiradi; ularda klassik faza fazosining tuzilishi ham murakkab bo‘lib, bevosita kvantlash mumkin emas. Uchinchidan, UNNda aniq ajratilgan vaqt yo‘nalishi yo‘q; bu esa uni zarur ravishda ajratib ko‘rsatishni qiyinlashtiradi va olingan yechimni talqin qilish muammosini tug‘diradi.

Shunga qaramay, gravitatsion maydonni kvantlash dasturi 1950-yillarga kelib M. P. Bronshteyn, P. A. M. Dirak, Brays Devitt va boshqa fiziklar sa’y-harakatlari bilan muvaffaqiyatli hal etilgan. Ma’lum bo‘lishicha, hech bo‘lmaganda kuchsiz gravitatsion maydonni massasi yo‘q, kvantlangan maydon sifatida ko‘rib chiqish mumkin. Uning spini 2.

Keyingi qiyinchiliklar ikkilamchi kvantlashni gravitatsion maydon tizimiga qo‘llashga urinishlarda yuzaga kelgan. Buni R. Feynman, Brays Devitt va boshqa fiziklar 1960-yillarda kvant elektrodinamikasi. Ma’lum bo‘lishicha, uch o‘lchamli fazoda bunday yuqori spinli maydon an’anaviy (hatto noan’anaviy) usullar bilan ham renormallashtirib bo‘lmasligi aniqlangan. Bundan tashqari, uning energiyasini shunday aniqlashning oqilona usuli yo‘qki, energiya saqlanish qonuni bajarilsin, energiya mahalliylashtirilsin va har bir nuqtada manfiy bo‘lmasin (yuqoridagi «Energiya muammosi»).

» bo‘limiga qarang). O‘sha paytda olingan natija hozirgacha (2012-yil) o‘zgarmay kelmoqda. Yuqori energiyalardagi divergentsiyalar kvant gravitatsiyasida har bir yangi sirtmoqlar sonining tartibida yuzaga keladi va ularni Gamiltonianga qayta normallashtirish uchun hech qanday chekli sondagi kontrhadlar qo‘shish bilan bartaraf etib bo‘lmaydi. Renormallashtirishni chekli sonli doimiylarga keltirish ham mumkin emas (kvant elektrodinamikasida elementar elektr zaryadi va zaryadlangan zarracha massasi uchun bunday natijaga erishilgan).

Hozirgi paytda UNNga muqobil ko‘plab nazariyalar yaratilgan (torlar nazariyasi, u rivojlantirilib M-nazariyasiga, halqali kvant gravitatsiyasi va boshqalar); ularning barchasida gravitatsiyani kvantlash mumkin. Biroq ular yoki yakunlanmagan, yoki hal etilmagan paradokslarga ega. Bundan tashqari, aksariyatining katta kamchiligi shuki, ularni «fizik nazariya» deb atash qiyin: ular falsifikatsiya qilinmaydi, ya’ni tajribada tekshirib bo‘lmaydi.

Yana bir muammo shundaki, umumiy nisbiylik nazariyasining fazo va vaqt haqidagi tasavvurlari mohiyatan makroskopikdir va ularni kvant mexanikasi nuqtayi nazaridan tasvirlab bo‘lmaydi.

Ayrim Eynshteyn tenglamalarining yechimlari yopiq vaqtga o‘xshash chiziqlarning mavjud bo‘lishiga yo‘l qo‘yadi. Bir tomondan, bunday yopiq chiziq harakat boshlangan nuqtaga qaytsa, kuzatuvchining o‘z vaqti nolga teng bo‘lmasa ham, allaqachon «bo‘lib o‘tgan» ayni «vaqt»ga qaytish tasvirlanadi. Shunday qilib, mazkur chiziq bo‘ylab yopiq sabab va oqibatlar — vaqt bo‘ylab sayohatni yuzaga keltiradi. Shunga o‘xshash muammolar o‘tish mumkin bo‘lgan qurt tuynuklari.

yechimlarini ko‘rib chiqishda ham uchraydi. Ehtimol, bunday yechimlar umumiy nisbiylik nazariyasi doirasida «vaqt mashinalari» va «yorug‘likdan tez sayohatlar»ni yaratishning ehtimoliy imkoniyatlarini ko‘rsatar. Bunday yechimlarning «fizik realligi» hozir faol bahs etilayotgan masalalardan biridir.

A. Eynshteyn yopiq vaqtga o‘xshash chiziqlar haqida ilk bor K. Gyodel tomonidan 1949-yilda olingan natijani yuksak baholagan..

Menimcha, Kurt Gyodelning maqolasi umumiy nisbiylik nazariyasiga, ayniqsa, vaqt tushunchasini tahlil qilishga muhim hissa qo‘shadi.

Shu bilan birga, u yopiq vaqtga o‘xshash chiziqlarni haqiqiy fizik mazmunga ega bo‘lmagan qiziqarli nazariy konstruksiyalar deb hisoblagan.

Bunday yechimlarni fizik mulohazalar asosida ko‘rib chiqishdan chiqarib tashlash kerak emasmi, shuni aniqlash qiziq bo‘lardi.

Eynshteyn tenglamalarining ko‘plab yechimlarida singulyarliklar mavjud. Ta’riflardan biriga ko‘ra, ular davom ettirib bo‘lmaydigan to‘liq bo‘lmagan geodezik egri chiziqlardir. Singulyarlik mavjudligining bir qancha mezonlari va gravitatsion singulyarliklarni aniqlash mezonlari bilan bog‘liq muammolar bor. Singulyarlikning eng sodda misoli Minkovskiy fazosidan bir nuqtaning chiqarib tashlanishidir: shu nuqtaga kiruvchi geodezik chiziqni davom ettirib bo‘lmaydi. Biroq fazo-vaqt qismlarini kesib tashlash yo‘li bilan hosil qilingan bunday singulyarliklar juda sun’iydir. Eynshteyn tenglamalarining maksimal darajada davom ettirilgan yechimlarida (yuqoridagi kesib tashlash singulyarliklarini yo‘qotuvchi holatda) singulyarliklar vujudga kelishi ko‘plab fizik vaziyatlar, masalan, singulyarliklar haqidagi teoremalar doirasida qora tuynuklar va ilk Koinot uchun isbotlanadi. Nazariya nuqtayi nazaridan asosiy qiyinchilik singulyarlik ta’siridagi hududda UNNning bashorat qilish imkoniyatini yo‘qotishidir. Biroq fizik jihatdan muhim holatlarda singulyarliklar faqat hodisalar gorizontlari — kosmik senzura tamoyili); shunday bo‘lsa, tashqi Koinotda umumiy nisbiylik nazariyasi bashorat qilish imkoniyatini saqlaydi.

• bilan bog‘liq paradokslari. Kelib chiqish paradoksi
• O‘ldirilgan bobo paradoksi: kishi o‘tmishga qaytib, bobosi buvisi bilan tanishishidan oldin uni o‘ldiradi. Natijada bu kishi dunyoga kelolmaydi va, demak, bobosini o‘ldira olmaydi.
• Oldindan belgilanish paradoksi: kishi o‘tmishga borib, katta buvisi bilan jinsiy aloqaga kirishadi va bobosining tug‘ilishiga sabab bo‘ladi. Natijada uning ota-onasini va o‘zini ham qamrab oladigan avlodlar zanjiri hosil bo‘ladi. Demak, u o‘tmishga sayohat qilmaganida, umuman dunyoga kelmagan bo‘lardi.
• Cheklangan o‘tmish va cheksiz kelajak paradoksi^[ingl.]: o‘tmishga sayohat bilan bog‘liq paradoks. Cheklangan o‘tmish vaqt oralig‘iga cheksiz sondagi sayohatchilar keladi. Agar o‘tmishga o‘tish mumkin bo‘lgan mashina yaratilsa, cheksiz kelajakdan keladigan sayohatchilar soni o‘tmishning chekli oralig‘ida ham cheksiz bo‘ladi.

Novikovning o‘zaro muvofiqlik tamoyili — paradokslarni, xususan, vaqt bo‘ylab sayohatlar, ularga ayrim Eynshteyn tenglamalari yechimlari nazariy jihatdan imkon berib, yopiq vaqtga o‘xshash chiziqlarning mavjudligiga yo‘l qo‘yadi. Soddalashtirilgan ifodada o‘zaro muvofiqlik tamoyiliga ko‘ra, o‘tmishga o‘tilganda sayohatchi bilan allaqachon sodir bo‘lgan voqeani o‘zgartiradigan harakat ehtimoli nolga intiladi. Tamoyil 1980-yillarning o‘rtalarida astrofizik va kosmolog I. D. Novikov tomonidan ifodalangan..