Matematika (qad. yunoncha μᾰθημᾰτικά < μάθημα — “o‘rganish; ilm”) — aniq, formal fan bo‘lib, dastlab miqdoriy munosabatlar (sonlar) va fazoviy shakllarni (geometrik figuralar) o‘rgangan. Zamonaviy talqinda esa matematika — bu ma’lum qoidalarga (aksiomalarga) asoslanib, narsa va hodisalar orasidagi munosabatlarni o‘rganuvchi fan.
Bu narsa sonlar bo‘lishi shart emas — bu to‘plamlar, funksiyalar, grafiklar yoki hatto abstrakt tushunchalar ham bo‘lishi mumkin.

Matematika tarixan sanash, o‘lchash va buyum shaklini tasvirlash amaliyotlari negizida shakllangan. Matematik obyektlar real yoki boshqa matematik obyektlarning xususiyatlarini ideallashtirish va bu xususiyatlarni formal til (formal language)da yozish yo‘li bilan yaratiladi.

Matematika tabiiy fanlarga kirmaydi, biroq ularda mazmunni aniq ifodalash hamda yangi natijalar olish uchun keng qo‘llanadi. U boshqa fanlarga umumiy til vositalarini beruvchi fundamental fan sifatida ularning strukturaviy o‘zaro bog‘liqligini ochib beradi va tabiatning eng umumiy qonunlarini topishga ko‘maklashadi.

Etimologiya

“Matematika” so‘zi qad. yunoncha μάθημα (“o‘rganish, bilim, ilm”) hamda qad. yunoncha μαθηματικός (dastlab “qabul qiluvchan, o‘qishda iqtidorli”, keyin “o‘rganishga oid”, so‘ng “matematikaga oid”)dan kelib chiqqan. Μαθηματικὴ τέχνη (lotincha ars mathematica) — “matematika san’ati” degani. Qad. yunoncha μᾰθημᾰτικά so‘zi hozirgi “matematika” ma’nosida Aristotel (Aristotel) asarlarida (mil. avv. IV asr) uchraydi. Tilshunos Maks Fasmer fikricha, rus tiliga bu so‘z polyakcha matematyka yoki lotincha mathematica orqali kirgan.

Rus matnlarida “математика” (yoki “маѳематика”) so‘zi kamida XVII asrdan uchraydi, masalan, Nikolay Spafariyning “To‘qqiz musa va yetti erkin san’at haqida qisqacha tanlangan kitob” (1672) asarida.

Evklid . Rafaelning " Afina maktabi " dan batafsil ma'lumot.

Ta’riflar

Aristotel matematika­ni “miqdor haqidagi ilm” deb ta’riflagan; bu ta’rif XVIII asrgacha hukmron bo‘lgan.

Rene Dekart (René Descartes) matematikaning predmetini dastlab quyidagicha belgilaydi:

“Matematika doirasiga faqat tartib (ordo) yoki o‘lchov (mensura) qaraladigan fanlar kiradi; bunda bu o‘lchov sonlarda bo‘ladimi, figuralarda, yulduzlarda, tovushlarda yoki boshqa nimadadir bo‘ladimi — unchalik farq qilmaydi. Demak, hech bir alohida predmetga bog‘lanmagan holda tartib va o‘lchovga oid barcha narsani tushuntirib beradigan umumiy bir fan bo‘lishi kerak; bu fanga esa yangi so‘z bilan emas, balki allaqachon muomalada bo‘lgan nom — Umumiy matematika deyilishi kerak.”

Keyinchalik boshqa mashhur ta’riflar ham shakllangan. Masalan, A.N. Kolmogorov (Andrey Nikolaevich Kolmogorov) tomonidan BSE (Katta Sovet Entsiklopediyasi)da keltirilgan ta’rifda matematika “haqiqiy olamning miqdoriy munosabatlari va fazoviy shakllari” ilmi sifatida beriladi (bu yerda terminlar iloji boricha keng va mavhum ma’noda tushuniladi). Nikola Burbaki (Nicolas Bourbaki) an’anasi esa “matematikaning mohiyati — aksiomalar sifatida qabul qilingan ayrim xossalardan boshqa hech narsa ma’lum bo‘lmagan obyektlar o‘rtasidagi munosabatlar haqidagi ta’limot; matematika — abstrakt formalarning (matematik strukturalarning) majmui” ekanini ta’kidlaydi. Germann Veyl (Hermann Weyl) esa matematikaning yagona, hamma tan oladigan ta’rifini berish qiyinligini qayd etadi.

Matematikani an’anaviy ajratish

An’anaga ko‘ra matematika:

• Nazariy matematika — ichki matematik strukturalarni chuqur tahlil qiladi;
• Amaliy matematika — o‘z modellari bilan boshqa fanlar va muhandislik yo‘nalishlariga xizmat qiladi; ayrim yo‘nalishlar matematika bilan chegaradosh (masalan, formal mantiq (formal logic) — falsafa ham, matematika ham; mexanika — fizika ham, matematika ham; informatika, kompyuter texnologiyalari va algoritmika — muhandislik hamda matematik fanlarga taalluqli).

Matematik belgilar va yozuv (notatsiya) haqida qisqa izoh

Zamonaviy formulalar yozuvi yevropa algebra an’anasi, shuningdek, keyinroq vujudga kelgan bo‘limlar — matematik analiz, matematik mantiq, ko‘pliklar nazariyasi ehtiyojlari asosida shakllangan. Geometriyada qadimdan ko‘rgazmali (geometrik) tasvir qo‘llanadi; hozirgi matematika esa kommutativ diagrammalar kabi murakkab grafik yozuv tizimlaridan ham foydalanadi; ba’zan graf (graph)larga asoslangan belgilar ishlatiladi.

Matematik bo‘limlar (ta’lim tarkibi va ixtisos yo‘nalishlari)

1) O‘quv fanlari tarkibi (Oliy ta’limdagi “Matematika” yo‘nalishi uchun namunaviy kurslar):

• Matematik analiz
• Algebra
• Analitik geometriya
• Chiziqli algebra va geometriya
• Diskret matematika
• Matematik mantiq
• Differensial tenglamalar
• Differensial geometriya
• Topologiya
• Funktsional analiz va integral tenglamalar
• Murakkab o‘zgaruvchining funksiya nazariyasi
• Xususiy hosilali tenglamalar (fiziklar uchun — matematik fizika metodlari)
• Ehtimollar nazariyasi
• Matematik statistika
• Tasodifiy jarayonlar nazariyasi
• Variatsion hisoblashing va optimizatsiya metodlari
• Hisoblash usullari (raqamli metodlar)
• Sonlar nazariyasi.

2) Ilmiy ixtisoslar (RF Ta’lim va Fan vazirligi tasnifi bo‘yicha):

• Haqiqiy, kompleks va funktsional analiz
• Differensial tenglamalar, dinamik tizimlar va optimal boshqaruv
• Matematik fizika
• Geometriya va topologiya
• Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika
• Matematik mantiq, algebra va sonlar nazariyasi
• Hisoblash matematikasi
• Diskret matematika va matematik kibernetika.

3) Ilmiy ishlarni tasniflash

Ilmiy ishlarni tizimlashtirishda Universal O‘nli Klassifikatsiya (UOK/UDK)ning “Matematika” bo‘limi qo‘llanadi.

4) Xalqaro mavzular klassifikatsiyasi

Amerika Matematik Jamiyati (AMS) Mathematics Subject Classification (MSC) standartini yaratgan; u vaqti-vaqti bilan yangilanadi (joriy versiya — MSC 2020, avvalgi — MSC 2010). (Havolalar: AMS bosh sahifa, MSC 2010, MSC 2020).

Qisqacha tarix

Akademik A. N. Kolmogorov matematika tarixini quyidagicha to‘rt davrga ajratadi:

1. Matematikaning shakllanish davri — katta faktik material to‘plangan bosqich;
2. Elementar matematika davri (mil. avv. VI–V asrlardan XVI asr oxirigacha). Bu davrda shakllangan tushunchalar bugun ham maktabda o‘qitiladigan “elementar matematika”ning yadrosini tashkil etadi;
3. O‘zgaruvchi kattaliklar matematikasi davri (XVII–XVIII asrlar), shartli ravishda “oliy matematika” davri deb ham ataladi;
4. Zamonaviy matematika davri (XIX–XX asrlar): tadqiqot mavzulari kengayishi ongli ravishda qabul qilinib, mumkin bo‘lgan miqdoriy munosabatlar va fazoviy shakllarning umumiy turlari tizimli o‘rganila boshladi.

Matematika inson nisbatan yuqori darajadagi abstraksiyalardan foydalana boshlashi bilan rivojlandi. Eng oddiy abstraksiya — son: masalan, “ikki olma” va “ikki apelsin” turlicha bo‘lsa-da, ikkalasi ham “ikki”ni bildiradi. Qadimgi odamlar nafaqat buyumlarni sanashni, balki vaqt (kun, fasl, yil) kabi mavhum miqdorlarni ham hisoblashni o‘rgandilar. Elementar sanashdan arifmetika — qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, bo‘lish — tabiiy ravishda rivojlandi.

Mayya raqamlari

Matematikaning taraqqiyoti yozuv va raqamlarni ifodalash malakalariga tayanadi. Dastlab sonlar yerga chiziqchalar chizish yoki yog‘ochga tirnash bilan ifodalangan bo‘lishi mumkin. Inklar yozuv tizimiga ega bo‘lmagan holda, murakkab kipu (tugunli arqonlar) orqali sonli ma’lumotlarni ifodalagan va saqlagan. Eng qadimgi raqam yozuvlari Ahmes papirusida (Qadimgi Misr, O‘rta podshohlik) topilgan.

Ind sivilizatsiyasi zamonaviy o‘nlik sanoq tizimini, jumladan nol tushunchasini ishlab chiqqan.

Asosiy matematik yo‘nalishlar tarixan savdo hisob-kitoblari, yer o‘lchash, astronomik hodisalarni oldindan aytish, keyinroq esa yangi fizik masalalarni yechish ehtiyojidan vujudga kelgan. Bu ehtiyojlar tuzilmalar, fazolar va o‘zgarishlarni o‘rganishga olib kelgan keng ko‘lamli rivojlanishni yuzaga keltirdi.

Matematikaning falsafasi

Burbaki an’anasida matematikaning “mohiyati… hech narsa ma’lum bo‘lmagan, faqat ba’zi xossalari (aksiomalar sifatida) berilgan obyektlar o‘rtasidagi munosabatlar haqidagi ta’limot” sifatida talqin qilinadi; matematika — abstrakt strukturalar majmuidir.

G. Veylga ko‘ra, “matematikaning asoslari va uning asl mohiyati haqidagi savol ochiq qolmoqda; unga barcha matematiklar tan oladigan ‘yakuniy’ javob berish mumkinligi ham noaniq”.

Maqsad va metodlar

Matematika ideal (tasavvuriy) obyektlar va ular orasidagi munosabatlarni formal til yordamida o‘rganadi. Mavhum tushunchalar ko‘pincha bevosita fizik dunyodagi obyektlarga “to‘g‘ri kelishi” shart emas. Amaliy matematikaning bosh vazifasi — real obyektga yetarlicha mos matematik model yaratish; nazariy matematikning vazifasi — bunday modellash uchun qulay vositalarni yaratishdir.

Matematika mazmunini “modellar va ularni qurish usullari tizimi” sifatida ham ko‘rish mumkin. Modellar faqat tadqiqot uchun zarur bo‘lgan (idealizatsiyalangan) belgilarni saqlab qoladi: masalan, apelsinning fizik xususiyatlarini o‘rganishda uni taxminan shar deb olish, ikki va uchtani qo‘shishda esa faqat miqdorni ajratib ko‘rsatish kifoya. Abstraksiya va obyektlar o‘rtasidagi eng umumiy bog‘lanishlarni o‘rnatish — matematik ijodiyotning bosh yo‘nalishlaridan biridir. Yana bir yo‘nalish — umumlashtirish: masalan, “fazoni” n–o‘lchovli fazogacha kengaytirish (bu “matematik ixtiro”, ammo murakkab hodisalarni tahlil qilishda nihoyatda foydali).

Asoslar

Ko‘pliklar nazariyasi yondashuvi

Bu yondashuv matematikani [to‘plamlar nazariyasi aksiomatikasi] yoki [turlar nazariyasi] orqali qurishga tayanuvchi yo‘nalishlar majmuasini anglatadi. (qarang: [Klassik mantiq]).

Formalizm

“Formalizm” — klassik mantiq asosida formal tizimlarni o‘rganishga suyanadigan yondashuv.

Intuitsionizm

Intuitsionizm poydevorga intuitsionistik mantiqni (intuitionistic logic) qo‘yadi; unda isbotlash vositalari cheklanganroq (biroq ishonchliroq, deb hisoblanadi). Qarama-qarshilikdan isbot (proof by contradiction) qabul qilinmaydi; ko‘plab nekonstruktiv isbotlar imkonsiz bo‘ladi va to‘plamlar nazariyasidagi ayrim muammolar ma’nosiz (noto‘liq formalizatsiyalanadigan), deb qaraladi.

Konstruktiv matematika

Intuitsionizmga yaqin yo‘nalish; konstruktiv qurilishlarni o‘rganadi. Konstruktivlik mezoni: “mavjud — demak, qurilgan”. Bu mezon oddiy mujtami’lik (nizosizlik) (consistency) mezonidan kuchliroq talablardir.

Asosiy mavzular

Son (miqdor)

Miqdor abstraksiyasini o‘rganadigan bosh bo‘lim — algebra. “Son” tushunchasi dastlab natural sonlarga taalluqli bo‘lgan, keyin u butun, ratsional, haqiqiy, kompleks va boshqa turlarga kengaytirildi.

Sonlar oilasi va bog‘liq tushunchalar:
Natural sonlar — Butun sonlar — Ratsional sonlar — Irratsional sonlar — Algebraik sonlar — Transsendent sonlar — Haqiqiy sonlar — Kompleks sonlar — Giperkompleks sonlar — Kvaternionlar — Oktonionlar — Sedenionlar — Giperreal sonlar — Syurreal sonlar — p-adik sonlar — Matematik doimiylar — Sonlar nomlari — Cheksizlik — Asoslar (sanoq asoslari).

O‘zgarishlar (transformatsiyalar)

O‘zgarishlar va o‘zgarish hodisalarini eng umumiy ko‘rinishda tahlil (analysis) o‘rganadi.

Bog‘liq yo‘nalishlar: Arifmetika — Vektor tahlili (vector analysis) — Analiz — O‘lchov nazariyasi (measure theory) — Differensial tenglamalar — Dinamik tizimlar — Xaos nazariyasi.

Tuzilmalar (strukturаlar)

Matematik tuzilmalarni o‘rganishga daxldor yo‘nalishlar: To‘plamlar nazariyasi — Chiziqli algebra — Umumiy algebra (jumladan gruppalar nazariyasi, universal algebra, kategoriyalar nazariyasi) — Algebraik geometriya — Sonlar nazariyasi — Topologiya.

Fazoviy munosabatlar

Fazoviy munosabatlarning asoslarini geometriya o‘rganadi. Trigonometriya trigonometrik funksiyalar xossalarini ko‘radi. Differensial geometriya — geometrik obyektlarni matematik analiz usullari bilan o‘rganish. Topologiya — uzluksiz deformatsiyalarda o‘zgarmaydigan xossalar hamda uzluksizlik hodisasini tadqiq qiladi.

Diskret matematika

Diskret matematika — qiymatlari faqat alohida (diskret) bo‘lishi mumkin bo‘lgan obyektlarni (ya’ni silliq uzluksiz o‘zgarishga qodir bo‘lmagan obyektlar) o‘rganish vositalarini o‘z ichiga oladi.

Mukofotlar

Matematikadagi eng nufuzli mukofot — ko‘pincha “matematiklar uchun Nobel mukofoti” deb ataladigan Fields medali (1924 yilda ta’sis etilgan, har to‘rt yilda beriladi; 15 000 Kanada dollari miqdorida pul mukofoti bilan). Xalqaro matematiklar kongressi ochilish marosimida quyidagi to‘rtta mukofot egalari e’lon qilinadi: Fields mukofoti, Nevanlinna mukofoti (1982 yildan), Gauss mukofoti (2006 yildan), Chern mukofoti (2010 yildan). Yopilish marosimida matematika ommalashtirish uchun Leelavati mukofoti (2010 yildan) topshiriladi. Kleyn Matematika instituti 2000 yilda ettita Ming yillik masalani e’lon qildi (har bir yechim uchun 1 mln AQSh dollari mukofot).

Bilimlarni tasniflash kodlari

UDK: 51; GRNTI: 27; BBK: V1 yoki 22.1. Shuningdek, Amerika Matematik Jamiyati (AMS) matematika bo‘limlari uchun Mathematics Subject Classification (MSC) standartini ishlab chiqqan; u davriy ravishda yangilanadi (joriy versiya: MSC 2020).

Dasturiy ta’minot

Matematik dasturiy ta’minot yo‘nalishlari:
— Matematik matnlarni terish va sahifalash paketlari (TeX);
— Masalalarni yechish, sonli modellashtirish, grafik chizish uchun paketlar (GNU Octave, Maple, Mathcad, MATLAB, Scilab);
— Elektron jadvallar;
— Matematik usullardan faol foydalanuvchi dasturlar: kalkulyatorlar, arxivatorlar, shifrlash/decoding protokollari, namuna tanish (pattern recognition), audio va video kodlash tizimlari.