Stefan–Bolsman qonuni

Stefan — Boltsman qonuni (Stefan qonuni, Stefan — Boltsmanning nurlanish qonuni) — nurlanishning integral qonuni bo‘lib, mutlaq qora jismning nurlanishini tavsiflaydi. U mutlaq qora jismning nurlanish quvvati zichligi uning haroratiga qanday bog‘liqligini belgilaydi. Qonunni so‘z bilan quyidagicha ifodalash mumkin:

Muvozanatli nurlanishning to‘liq hajmiy energiya zichligi va mutlaq qora jismning to‘liq nurlantirish qobiliyati uning haroratining to‘rtinchi darajasiga mutanosibdir.

To‘liq nurlantirish qobiliyati (energetik nurlanuvchanlik) $j^{⋆}$ uchun qonun quyidagi ko‘rinishga ega:

Stefan — Boltsman qonuni

$j^{⋆} = σ T^{4},$

bu yerda $T$ — mutlaq qora jismning harorati, $σ$ — Stefan — Boltsman doimiysi bo‘lib, u fundamental doimiylar orqali barcha chastotalar bo‘yicha Plank formulasini integrallash orqali ifodalanishi mumkin:

Stefan — Boltsman doimiysi

$σ = \frac{π^{2} k^{4}}{60 c^{2} ℏ^{3}} = \frac{2 π^{5} k^{4}}{15 c^{2} h^{3}},$

bu yerda $h$ — Plank doimiysi, $k$ — Boltsman doimiysi, $c$ — yorug‘lik tezligi. Stefan — Boltsman doimiysining son qiymati quyidagiga teng:

σ = 5,670 367 (13) \cdot 1 0^{- 8}

Vt / (m² · K⁴).

Qonun tajriba asosida Yozef Stefan tomonidan 1879-yilda kashf etilgan, besh yil o‘tib esa Lyudvig Boltsman uni termodinamika doirasida nazariy jihatdan keltirib chiqargan. Boltsman gazlarning kinetik nazariyasi va ideal qaytar issiqlik mashinasi sikliga asoslanib, unda ishchi jism sifatida gaz o‘rniga nurlanishdan foydalangan. U nurlanish idish devorlariga bosim ko‘rsatadi, deb faraz qilgan. Bu sloveniyalik fizik nomi bilan atalgan yagona muhim fizik qonundir.

Qonun faqat nurlanayotgan umumiy energiyani ifodalaydi. Energiyaning nurlanish spektri bo‘ylab taqsimlanishi Plank formulasi. Bu formulaga ko‘ra spektrda faqat bitta maksimum mavjud; uning o‘rnini belgilovchi qonun — Vin qonuni. Zamonaviy talqinda bu natijani Plank qonunidan keltirib chiqarish mumkin:

j^{⋆} = \int_{0}^{\infty} (\frac{d j^{⋆}}{d λ}) d λ = π \int_{0}^{\infty} B_{λ} d λ .

Bu qonunni Yer sirtining samarali haroratini hisoblashga qo‘llash 249 K yoki −24 °C degan taxminiy qiymatni beradi.

Umumiy ko‘rinishi

Agar yopiq tizimdagi qizigan nurlanuvchi jismlar ideal qaytaruvchi devorlarga ega bo‘shliqqa joylashtirilsa, vaqt o‘tishi bilan nurlanish va barcha jismlar o‘rtasida termodinamik muvozanat yuzaga keladi. Barcha jismlarning harorati bir xil bo‘lib qoladi. Muvozanat nafaqat jismlar yuzasida, balki ularning ichida ham o‘rnatiladi. Qo‘zg‘algan atomlar nurlanish chiqaradi; bu nurlanish muhitdagi boshqa atomlar tomonidan yutilib, ularni qo‘zg‘atadi. Natijada energiya vaqt o‘tishi bilan jism yuzasiga yetib boradi va u yerdan atrofdagi fazoga nurlanadi. Issiqlik nurlanishi — bir jinsli, izotrop, qutblanmagan va uzluksiz spektrga ega bo‘lgan muvozanatli nurlanish turidir. r energiyaning birlik chastota oralig‘iga to‘g‘ri keladigan qismini spektral nurlantirish qobiliyati yoki jismning energetik nurlanuvchanligining spektral zichligi deb atashadi. U chastota va haroratga bog‘liq. Bu kattalik butun spektr bo‘yicha integrallanganda, sirtning birlik yuzasidan chiqadigan nurlanish energiyasining umumiy oqimi hosil bo‘ladi. U integral nurlantirish qobiliyati yoki energetik nurlanuvchanlik:

j^{⋆} = \int_{0}^{\infty} r (ω, T) d ω .

Bu kattalikning o‘lchov birligi [Vt/m²] bo‘lib, u SI tizimida ifodalanadi. Oddiy jismlar o‘zlariga tushayotgan yorug‘likning bir qismini yutadi. Spektral yutish qobiliyati jismning tor chastota oralig‘idagi tushayotgan nurlanishdan yutilgan oqimi dΦ’_ω ning tushuvchi oqimga (dΦ_ω):

a_{ω, T} = \frac{d Φ_{ω}^{'}}{d Φ_{ω}} .

Bu o‘lchamsiz kattalik ta’rifiga ko‘ra birdan katta bo‘la olmaydi. Agar yutilish barcha chastotalarda bir xil bo‘lsa, bunday jism kulrang deb ataladi. Haqiqiy jismlar uchun yutilish chastotaga bog‘liq. Butun spektr bo‘ylab tushayotgan nurlanish to‘liq yutiladigan alohida holatda mutlaq qora jism deyiladi. Uning nurlanishi universal xususiyatga ega va energetik nurlanuvchanligi haroratning to‘rtinchi darajasiga mutanosib:

j^{⋆} = ε σ T^{4},

bu yerda ε — jismning integral yutish qobiliyati. Mutlaq qora jism uchun ε = 1 bo‘lsa, bu ifoda Stefan — Boltsman qonuni deb ataladi. Ko‘p haroratlarda metallar uchun ε = 0,1…0,4, metall oksidlari uchun esa ε = 0,5…0,9.

Kulrang jismlar uchun qonunni quyidagicha yozish mumkin:

j_{s}^{⋆} = (1 - a) σ T^{4} = (1 - a) j_{0}^{⋆} .

Biroq qaytarish koeffitsiyenti to‘lqin uzunligiga bog‘liq bo‘lsa, $a (λ)$ unda Kirxgofning nurlanish qonuni:

\frac{d j^{⋆}}{d λ} = [1 - a (λ)] {(\frac{d j^{⋆}}{d λ})}_{0},

yoki

j_{s}^{⋆} = ε (T) σ T^{4} .

Texnik adabiyotlarda umumiy Stefan — Boltsman qonuni odatda quyidagicha yoziladi:

j^{⋆} = ε_{n} C_{c} {(\frac{T}{100})}^{4},

asosan uning qayerda joylashganini hisoblash oson bo‘lishi uchun $ε_{n}$ sirtga perpendikulyar yo‘nalishdagi nurlanish. Silliq metall, boshqa silliq va g‘adir-budur jismlar uchun yarim fazodagi nurlanish quyidagicha bo‘ladi:

ε \approx 1, 20 ε_{n},

ε \approx 0, 95 ε_{n},

ε \approx 0, 98 ε_{n} .

Rang sirtning yorqinligiga ta’sir qilmaydi. Oq sirtlar kuchli nurlanadi. alyuminiy va bronza kabi silliq materiallarning nurlanuvchanligi past. Shisha qisqa to‘lqinli yorug‘likni o‘tkazadi, ammo uzun to‘lqinli issiqlik nurlanishini o‘tkazmaydi.

Sirti orqali nurlanadigan va yutadigan qattiq jismlardan farqli ravishda, gazlarning yutish darajasi gaz qatlami qalinligiga bog‘liq va butun hajm bo‘ylab sodir bo‘ladi (yutilish qonuni):

ε = 1 - \frac{1}{e^{- μ x}},

bu yerda $x$ — nurlanishning gaz orqali o‘tish yo‘li uzunligi, $μ$ — yutilish koeffitsiyenti. Bir atomli va ko‘pchilik ikki atomli gazlarni texnik hisob-kitoblarda diatermik moddalar, ya’ni issiqlik nurlanishini yaxshi o‘tkazuvchi moddalar deb qarash mumkin. Texnik jihatdan karbonat angidrid va suv bug‘ini alohida ajratish muhim, chunki ular spektrning kengroq oraliqlarida nurlanadi va yutadi. 600 °C dan yuqori haroratda bu gazlarning issiqlik o‘tkazuvchanligi yuqori bo‘lishi, bundan ham yuqoriroq haroratlarda esa u konvektiv issiqlik uzatishdan ham ortib ketishi mumkin.

Kashf etilishi

20-mart kuni Stefan «Issiqlik nurlanishi va harorat o‘rtasidagi bog‘liqlik haqida» (nemischa Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur) nomli maqolasida qonunni «Vena Fanlar akademiyasi majlislari hisobotlari»da e’lon qildi. Maqolada uning qonunni kashf etish yo‘li ko‘rsatilgan. Qo‘lyozma xulosasi A4 formatida to‘rt sahifani, to‘liq maqola 61 sahifani, bosma nashr esa 38 sahifani tashkil qilgan.

Nyuton issiq jismdan chiqadigan nurlanish oqimi intensivligi jism bilan atrof-muhit haroratlari farqiga mutanosib ekanini aniqlagan. Pyer Dyulong va Aleksi Peti haroratga bog‘liqlik chiziqli emasligini, yuqoriroq darajalar ham muhim ekanini ko‘rsatgan. Ular xona haroratidagi sharsimon idish devorlari va uning ichidagi qizigan sharsimon kolba o‘rtasida issiqlik almashinuvini o‘rganganlar. Ularning fikricha, turli bosimdagi har xil gazlar bilan to‘ldirilgan bunday qurilma nurlanish orqali issiqlik uzatilishini tadqiq etish uchun yaxshi model bo‘la olardi. Ular nurlanish quvvati uchun quyidagi formulani olgan:

E (T) = a μ^{T},

bu yerda μ — jism o‘lchami va materialiga bog‘liq doimiy, a = 1,0077 — materialga bog‘liq bo‘lmagan doimiy, T — harorat. Stefan tizimdagi issiqlik uzatilishini e’tiborsiz qoldirib bo‘lmasligini tushundi va ularning ma’lumotlaridan quyidagi ko‘rinishdagi yangi bog‘lanishni izlashda foydalandi:

E (T) = A T^{4},

bu yerda A — jism sirtining maydoniga bog‘liq doimiy bo‘lib, harorat kelvinlarda ifodalanadi.

1847-yilda Dreper qizigan jism qaysi haroratdan boshlab nurlanish chiqarishini aniqlashga urindi. U buni bevosita kuzata olmadi, biroq chiqarilayotgan energiya oqimining zichligi haroratga to‘g‘ri mutanosib emasligini, balki ancha tez ortishini aniqladi. 1878-yilda Stefan Dreperning nurlanish energiyasi haqidagi ishini o‘qidi. 1848-yilda Kelvin mutlaq harorat shkalasini kiritdi. Stefan ham o‘z tajribasida mutlaq haroratdan foydalandi. Gustav Kirxgof issiqlik nurlanishi qonunini 1859-yilda kiritilgan va 1861-yilda isbotlangan:

\frac{ε (λ)}{a (λ)} = B_{λ} (λ) .

1862-yilda u «qora jism nurlanishi» atamasini kiritdi. U qora jism va boshqa nurlanuvchi jismlarning nurlanishini solishtirdi. Shuningdek, bunday nurlanishni amalga oshirish usulini ham taklif qildi. Qora jism nurlanishi $B_{λ} (λ)$ faqat nurlanish manbasining haroratiga bog‘liq, ammo Kirxgof bu funksional bog‘lanishni aniqlay olmadi.

Jon Tindal «ko‘rinmas» infraqizil nurni 1864-yilda o‘rgandi. Infraqizil to‘lqinlarni Uilyam Gershel 1800-yilda kashf etgan. U prizmadan foydalanib, u orqali Quyosh nurini sindirgan va spektrning qizil qismidan tashqaridagi harorat ko‘tarilishini o‘lchash uchun termometrdan foydalangan. U spektrning bu qismini issiqlik nurlari deb atadi. «Infraqizil nur» atamasi XIX asr oxirida paydo bo‘lgan. Tomas Zeebek termoelektr hodisasini 1821-yilda kashf etgan. Ko‘p o‘tmay, 1835-yilda Machedonio Melloni birinchi termoelektr batareyani yasab, issiqlik nurlanishini kashf etgan. Yangi nurlanish inson ko‘ziga ko‘rinmaydigan yorug‘lik yoki elektromagnit to‘lqinlar bo‘lib, ularning to‘lqin uzunligi ko‘rinadigan qizil yorug‘liknikidan biroz katta ekani aniqlandi.

1840-yilda Jon Gershel birinchi infraqizil tasvirni oldi. Tindal elektr toki yordamida lampochkani qizitdi. Undagi odatiy ko‘mir tolani platina sim bilan almashtirdi. Sim cho‘g‘lanib yorug‘lik chiqardi. Elektr toki ortishi bilan simning harorati ham ko‘tarilib, tobora ko‘proq yorug‘lik chiqarardi. U yorug‘likni linza yordamida to‘plab, toshtuz prizmasi orqali sim chiqargan nurni kamalak spektriga ajratdi. Spektrning qizil qismi o‘rniga ketma-ket ulangan termoparalar batareyasini qo‘ydi. U tok bir metalldan boshqasiga o‘tadigan kontaktlarni o‘lchagichning tashqi tomoniga joylab, qoraytirib qo‘ydi. Tok teskari yo‘nalishda oqadigan tutashuvlarni esa o‘lchagich korpusiga yashirdi. Birinchi tutashuvlar tushuvchi yorug‘likni yutib qizidi, ikkinchilari esa atrof-muhit haroratida qoldi. U tok kuchini sezgir galvanometr bilan o‘lchadi. Tindal faqat taxminiy natija olishni ko‘zlagan va sim haroratini o‘lchamagan. U faqat chiqarilayotgan yorug‘likning rangini ko‘rsatgan. Xira qizil rang uchun galvanometr og‘ishi 10,4°, oq rang uchun esa 60° bo‘lgan. 1864-yilda u «Ko‘rinadigan va ko‘rinmaydigan nurlanish haqida» nomli risolasini e’lon qilib, unda qizil yorug‘lik nurlanishi haroratga qanday bog‘liqligini tushuntirishga uringan. Uning nemischa tarjimasi 1865-yilda nashr etilib, Adolf Vyulner tomonidan o‘qilgan. Vyulner termodinamika darsligining ikkinchi va uchinchi nashrlariga — «Issiqlikning mexanik nazariyasi nuqtayi nazaridan issiqlik haqidagi fan» — Tindal ma’lumotlarini kiritgan. U harorat qiymatlarini tuzatgan. Dreperning o‘lchovlariga tayangan bo‘lsa-da, ba’zi o‘zgartirishlarni o‘zboshimchalik bilan amalga oshirgan. Vyulnerning kitobi Stefanga yetib borgan. Stefan haroratlarni mutlaq shkalaga o‘tkazgan va Tindal oq rang uchun galvanometr og‘ishini ikki baravar — 122° deb olish kerakligini eslatganini hisobga olgan. Shu tariqa simning xira qizil rangi 798 K (525 °C), oq rangi esa 1473 K (1200 °C) haroratga mos kelgan. Stefan nurlanish energiyasi oqimining zichligi galvanometr og‘ishiga mutanosib deb faraz qilgan. U simning mutlaq harorati T bilan chiqarilayotgan energiya oqimi zichligi j orasidagi bog‘lanishni darajali bog‘liqlik shaklida yozishga urindi:

j \propto σ T^{n} .

Ikkala juft ma’lumotdan u energiya oqimlari nisbatini 122/10,4 = 11,731 deb aniqladi. U tegishli mutlaq haroratlar nisbatini 1473/798 = 1,846 to‘rtinchi darajaga ko‘targanda qiymatga juda yaqinlashdi: $1, 84 6^{4} = 11, 613$ , demak, n = 4. U Dyulong va Peti ma’lumotlarini issiqlik o‘tkazuvchanligi hissasini chiqarib tashlash orqali tekshirdi. Yangi qonun eski ma’lumotlarga yaxshi mos keldi. Uning o‘lchovlari asosida olingan σ doimiysini zamonaviy o‘lchov birliklarida ifodalash mumkin:

σ = 5, 056 \cdot 1 0^{- 8} W / (m^{2} K^{4}) .

Uning o‘lchovi anchagina aniq bo‘lib, zamonaviy qiymatdan 10,8 % kam edi. U qonunni de la Provostay va Dezen (1846), Dreper va Eriksson (1872) hamda Depre ma’lumotlari bilan ham tekshirdi.

1876-yilda Adolfo Bartoli^[inglizcha] Maksvelldan mustaqil ravishda nurlanish bosimi tenglamasini elektromagnit to‘lqinlar uchun termodinamik usulda keltirib chiqardi. U harakatlanuvchi ko‘zgu yordamida issiqlik sovuqroq jismdan issiqroq jismga ish bajarish evaziga o‘tishi mumkinligini aniqladi. U cheksiz kichik qaytar Karno siklini tasavvur qildi; unda entropiya o‘zgarmaydi, bajarilgan ishning mutlaq qiymati esa yorug‘likning ko‘zguga bosimi bilan bog‘liq bo‘ladi. Termodinamikaning ikkinchi qonuni amal qilishi uchun yorug‘lik ko‘zguga bosim berishi kerak. Shu sababli nurlanish bosimi «Maksvell — Bartoli bosimi» deb ham ataladi.

1880-yilda Andre Prosper Pol Krova issiqlik nurlanishi intensivligining to‘lqin uzunligi va haroratga bog‘liqligi uch o‘lchamli tasvirlangan diagrammani e’lon qildi.

Bartolining «Issiqlik ta’sirida yuzaga keladigan harakatlar» va «Kruks radiometri» nomli risolalari e’tiborsiz qoldi. Keyinchalik ularga Boltsman e’tibor qaratdi. U Bartolining termodinamikaning ikkinchi qonuni nurlanish bosimi mavjudligini talab qiladi degan fikrini umumlashtirdi va sakkiz yil o‘tib qonunni termodinamik yo‘l bilan keltirib chiqardi. Bartoli Stefan — Boltsman qonuniga yaqin kelgan, ammo qora jism nurlanishi energiya oqimi zichligining haroratga bog‘liqligini hisobga olmagan. U risola xulosasini 1884 va 1885-yillarda nashr etdi. Ehtimol, Stefan Bartolining vakuumdagi radiometr bilan bog‘liq 1876-yildan beri bildirgan fikrlaridan xabardor bo‘lmagan. 1883-yilda Bartoli Sinsinnati universitetining matematika va astronomiya professori Genri Eddining ommaviy qo‘llab-quvvatlashiga erishdi.

Rado fon Kyoveligeti Vena universitetida Stefan bilan birga nazariy fizikani o‘rgangan; 1885-yilda u birinchi dissertatsiyasida spektral tenglamani e’lon qildi: « Spektr nazariyasi» asarida u qora jism nurlanishi energiyasining chegaraviy qiymatini bashorat qildi. Spektral zichlikning to‘lqin uzunligiga bog‘liq egri chizig‘i Plank egri chizig‘iga juda o‘xshash edi:

u (λ, T) = \frac{2 π h c_{0}^{2}}{λ^{5}} \frac{1}{e^{h c_{0} / (λ k_{B} T)} - 1} .

Fon Kyoveligeti spektral tenglamaning funksional shaklini quyidagicha yozgan:

L (λ) = \frac{4}{π} μ Λ \frac{λ^{2}}{{(λ^{2} + μ^{2})}^{2}} .

bu yerda $L (λ)$ to‘lqin uzunligidagi nurlanish intensivligini bildiradi; $λ$ , $Λ$ — barcha to‘lqin uzunliklari oralig‘idagi nurlanish intensivligi. $μ$ doimiy zarrachalar orasidagi o‘rtacha masofa va ularning o‘zaro ta’siri bilan belgilanadi hamda nurlanish intensivligi maksimal bo‘ladigan to‘lqin uzunligini beradi. O‘sha paytda qattiq jismlar nurlanishni Dreper nuqtasida nurlanuvchi moddaning turidan qat’i nazar chiqara boshlashi ma’lum edi. Shunga asoslanib, fon Kyoveligeti $μ$ tenglamadagi kattalik faqat haroratga bog‘liq deb taxmin qildi.

Uning spektral tenglamasi Vin 1893-yilda kashf etgan tenglama bilan bir xil shaklda edi:

u (λ, T) \propto \frac{1}{λ^{5}} f (\frac{c_{0}}{λ T}) .

Fon Kyoveligeti tenglamasi $μ$ doimiyning nurlanish haroratiga bog‘liqligini beradi:

\frac{μ}{μ_{0}} = {(\frac{T_{0}}{T})}^{\frac{n + 1}{2 (n - 1)}},

bu yerda 0 indeksi taqqoslash uchun olingan nurlanish manbasini bildiradi. Eksponentadagi parametrning eng maqbul qiymati $n = 3$ bo‘lib, bundan Vin qonuni kelib chiqadi. Bu qonun 11 yil o‘tib kashf etilgan:

\frac{μ T}{μ_{0} T_{0}} = 1, (λ_{0} T = k_{W, λ}, μ \equiv λ_{0}) .

Keltirib chiqarish

Plank qonunidan keltirib chiqarish

Mutlaq qora jism nurlanishining spektral zichligini to‘lqin uzunligi $λ$ funksiyasi sifatida Plank qonuni beradi:

\frac{d j^{⋆}}{d λ} = π B_{λ} = \frac{2 π h c_{0}^{2}}{λ^{5}} \frac{1}{e^{h c_{0} / (λ k_{B} T)} - 1},

bu yerda $h$ — Plank doimiysi, $c_{0}$ — yorug‘lik tezligi vakuumda $k_{B}$ — Boltsman doimiysi, $T$ — mutlaq harorat.

Yorug‘lik oqimining zichligi barcha to‘lqin uzunliklari bo‘yicha integral bilan aniqlanadi:

j^{⋆} = \int_{0}^{\infty} (\frac{d j^{⋆}}{d λ}) d λ = π \int_{0}^{\infty} B_{λ} d λ = 2 π h c_{0}^{2} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{λ^{5} (e^{h c_{0} / (λ k_{B} T)} - 1)} d λ .

Yangi o‘zgaruvchini kiritib, u :

u = \frac{h c_{0}}{λ k_{B} T},

bu yerda

\frac{d u}{d λ} = - \frac{h c_{0}}{λ^{2} k_{B} T},

quyidagi integralga kelamiz:

j^{⋆} = \frac{2 π k_{B}^{4} T^{4}}{h^{3} c_{0}^{2}} \int_{0}^{\infty} \frac{u^{3}}{e^{u} - 1} d u .

Uni hisoblash natijasida $π^{4} / 15$ .

matematik tafsilotlarga qarang

Avval umumiyroq ko‘rinishdagi integralni hisoblash foydali:

\int_{0}^{\infty} \frac{u^{n}}{e^{u} - 1} d u,

yoki aynan shu ma’noda:

\int_{0}^{\infty} \frac{u^{n} e^{- u}}{1 - e^{- u}} d u .

Maxraj har doim 1 dan kichik bo‘lgani uchun, uni $e^{- u}$ darajalari bo‘yicha yoyib, yaqinlashuvchi qator:

\frac{1}{1 - e^{- u}} = \sum_{k = 0}^{\infty} e^{- k u} .

hosil qilish mumkin. Asosiy tenglama geometrik qator yig‘indisi sifatida olinadi. Chap tomondagi kasr qator ifodasi bo‘lib, u quyidagi yig‘indi bilan belgilanadi:

1 + e^{- u} + e^{- 2 u} + e^{- 3 u} + \dots .

bu odatiy ko‘paytuvchi $e^{- u}$ . So‘ng qator integralga qo‘yiladi:

\int_{0}^{\infty} u^{n} e^{- u} \sum_{k = 0}^{\infty} e^{- k u} d u .

Quyidagiga ko‘paytirish $e^{- u}$ chapdan yig‘indi hadlarini bir o‘rin o‘ngga suradi, natijada:

e^{- u} + e^{- 2 u} + e^{- 3 u} + \dots

quyidagiga aylanadi:

e^{- 2 u} + e^{- 3 u} + e^{- 4 u} + \dots .

Shuning uchun indeks birlikka oshiriladi va $e^{- u}$ :

\int_{0}^{\infty} u^{n} \sum_{k = 1}^{\infty} e^{- k u} d u .

Quyidagi yangi o‘zgaruvchi kiritiladi:

v = k u,

natijada:

u^{n} = \frac{v^{n}}{k^{n}}

quyidagiga:

\frac{d v}{d u} = k,

integral quyidagiga aylanadi:

\int_{0}^{\infty} \frac{v^{n}}{k^{n}} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} e^{- v} d v,

yoki:

\int_{0}^{\infty} v^{n} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{n + 1}} e^{- v} d v .

Yig‘indining har bir hadi yaqinlashuvchi integral bo‘lgani sababli, yig‘indini integraldan chiqarish mumkin:

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{n + 1}} \int_{0}^{\infty} v^{n} e^{- v} d v .

O‘ng tomondagi integral — gamma-funksiya, $Γ (n + 1)$ , chap tomondagi yig‘indi esa Rimanning ζ-funksiyasi, $ζ (n + 1)$ dir. Shunday qilib, yuqoridagi integralning yakuniy qiymati:

\int_{0}^{\infty} \frac{u^{n}}{e^{u} - 1} d u = Γ (n + 1) ζ (n + 1),

yoki unga teng ifoda:

\int_{0}^{\infty} \frac{u^{n - 1}}{e^{u} - 1} d u = Γ (n) ζ (n) .

butun sonlar :

Γ (n) = (n - 1)!,

uchun yoki

Γ (n + 1) = n!

va bundan:

Γ (4) = (3)! = 6 .

juft butun sonlar uchun:

ζ (n) = \frac{2^{n - 1} | B_{n} | π^{n}}{n!},

bu yerda $B_{n}$ — Bernulli soni bo‘lib, quyidagidan foydalaniladi:

B_{4} = - \frac{1}{30},

natijada:

ζ (4) = \frac{2^{3} π^{4}}{30 \cdot 4!} = \frac{π^{4}}{90},

integralning analitik qiymati:

\int_{0}^{\infty} \frac{u^{4 - 1}}{e^{u} - 1} d u = 6 {L i}_{4} (1) = 6 ζ (4) = 6 \cdot \frac{π^{4}}{90} = \frac{π^{4}}{15},

bu yerda ${L i}_{s} (z)$ — polilogarifm.

Nihoyat, yorug‘lik oqimi zichligi:

j^{⋆} = \frac{2 π k_{B}^{4} T^{4}}{h^{3} c_{0}^{2}} \frac{π^{4}}{15}

va Stefan — Boltsman qonuni ( $Γ$ — gamma-funksiya, $ζ$ — Rimanning dzeta-funksiyasi):

j^{⋆} = \frac{2 π^{5} k_{B}^{4}}{15 h^{3} c_{0}^{2}} T^{4} = \frac{a}{b^{4}} Γ (4) ζ (4) T^{4} = \frac{a_{1} a}{a_{0}} T^{4} = σ T^{4},

doimiylar bilan:

a = \frac{2 π h}{c_{0}^{2}} = \frac{a_{0} c_{0}}{4}, b = \frac{h}{k_{B}}, a_{0} = \frac{8 π h}{c_{0}^{3}} = \frac{4 a}{c_{0}}

va nurlanish doimiysi :

a_{1} = \frac{a_{0}}{a} σ = \frac{4 σ}{c_{0}} = \frac{8 π^{5} k_{B}^{4}}{15 h^{3} c_{0}^{3}} .

Termodinamik usulda keltirib chiqarish

Boltsman qora jism nurlanishi bilan to‘lgan quti va uning devorlaridan biridagi radiatsion bosim itaradigan porshenni tasavvur qilgan. Maksvell kuchlanish tenzori haqidagi klassik elektrodinamika natijasidan nurlanish bosimi $p$ ichki energiya zichligi $w$ bilan quyidagi munosabatda ekanligi kelib chiqadi:

p = \frac{1}{3} w .

To‘liq ichki energiya $U$ hajm $V$ dagi elektromagnit nurlanish uchun quyidagicha yozilishi mumkin:

U = 3 p V .

birinchi va termodinamikaning ikkinchi qonunlariga (asosiy termodinamik munosabatga) muvofiq, ichki energiyaning o‘zgarishi quyidagiga teng:

d U = T d S - p d V,

bundan quyidagisi kelib chiqadi:

T {(\frac{\partial S}{\partial V})}_{T} = {(\frac{\partial U}{\partial V})}_{T} + p .

Maksvellning termodinamik munosabatiga:

{(\frac{\partial S}{\partial V})}_{T} = + {(\frac{\partial p}{\partial T})}_{V} = - \frac{\partial^{2} F}{\partial T \partial V}

ko‘ra quyidagini yozish mumkin:

T {(\frac{\partial p}{\partial T})}_{V} = {(\frac{\partial U}{\partial V})}_{T} + p .

Nurlanish bosimi ichki energiya zichligiga mutanosibligi tufayli hajmga emas, faqat haroratga bog‘liq. Quyidagidan foydalaniladi:

\frac{d p}{d T} = \frac{1}{3} \frac{d w}{d T}

quyidagiga:

{(\frac{\partial U}{\partial V})}_{T} = 3 p = w,

natijada:

T \frac{1}{3} \frac{d w}{d T} = w + \frac{1}{3} w = \frac{4}{3} w .

O‘zgaruvchilar ajratilgach:

\frac{d w}{w} = 4 \frac{d T}{T}

va integrallangach:

\ln w = 4 \ln T + c o n s t .

Nihoyat, energiya oqimi zichligi va Stefan — Boltsman qonuni hosil bo‘ladi:

j^{⋆} = w c_{0} = c_{0} e^{k o n s t .} T^{4} = \frac{2 π^{5} k_{B}^{4}}{15 h^{3} c_{0}^{2}} T^{4} = σ T^{4},

bu yerda boshqa asosiy doimiylar orqali ifodalangan Stefan doimiysi oldingi keltirib chiqarishdan olingan, chunki Plank doimiysi h klassik elektrodinamikada noma’lum. Bundan qo‘shiluvchi doimiy:

c o n s t . = \ln \frac{2 π^{5} k_{B}^{4}}{15 h^{3} c_{0}^{3}} = - 36, 204022 \ln [J / (m^{3} K^{4})] .

haqida xulosa kelib chiqadi. Ortga nazar tashlasak, Boltsmanning omadi kelgan yoki, ehtimol, u klassik elektromagnetizm natijalarini nurlanish suyuqlik kabi tutadi degan g‘oya bilan solishtirishdan ilhomlangan. O‘sha paytda, Plankning taxmini va nurlanish maydonining kvantlanishi muntazam o‘rganilgunga qadar, bunday suyuqlik zarrachasi haqidagi savolga hatto evristik tarzda ham javob berish imkoni bo‘lmagan. O‘lchamlar tahlili yordamida Boltsman, agar Stefan doimiysi boshqa asosiy doimiylarga bog‘liq bo‘lsa, ulardan biri klassik fizikada noma’lum bo‘lgan massa o‘lchamiga ega bo‘lishi kerak deb xulosa qilishi mumkin edi. Zamonaviy ma’noda Boltsmanning dalili elektromagnit kuchlanish tenzori izsiz ekanini bildiradi:

w - 3 p = T_{00} - \sum_{j = 1}^{3} T_{j j} = T_{μ}^{μ} = 0

Bu tenglama klassik Maksvell maydoni uchun amal qiladi; Boltsman uni kvantlangan maydon uchun ham qo‘llash mumkinligini bilvosita faraz qilgan. Hozir klassik darajada kuchlanish tenzori izi nol bo‘lib, nazariya to‘g‘ri kvantlanganda esa nol bo‘lmaydigan bir qancha maydon nazariyalari ma’lum. Bunga vakuumning murakkab qutblanish hodisalariga ega (massasiz) zarralar bilan bog‘liq elektrodinamika va noabel o‘zaro ta’sirlar nazariyasi misol bo‘ladi. Darhaqiqat, kvant elektrodinamikasida (KED) Stefan — Boltsman qonuni yuqori haroratlarda amal qilmaydi.

n-o‘lchamli fazo

Bu qonun n-o‘lchamli fazoda ham muhim. n-o‘lchamli fazodagi nurlanish bosimi:

p = \frac{1}{n} w,

shunday qilib:

T d S = (n + 1) p d V + n V d p

Quyidagi bog‘lanishdan:

\frac{1}{p} \frac{d p}{d T} = \frac{(n + 1)}{T}

kelib chiqadi:

p \propto T^{n + 1}

ammo:

w \propto T^{n + 1},

imkon qadar

\frac{d Q}{d t} \propto T^{n + 1} .

Xuddi shu natijaga Plank qonunini n-o‘lchamli fazodagi chastota bo‘yicha integrallash orqali ham erishiladi; bunda har bir o‘lcham uchun Stefan doimiysining qiymati har xil bo‘ladi. Umumiy holda doimiy quyidagicha:

σ_{n} = \frac{π^{\frac{n - 2}{2}} n (n - 1)}{h^{n}} {(\frac{2}{c_{0}})}^{n - 1} k_{B}^{n + 1} Γ (\frac{n}{2}) ζ (n + 1); n > 1 .

Xususan, $n = 1$ :

σ_{1} = \frac{2 k_{B}^{2} ζ (2)}{π h c_{0}},

uchun $n = 2$ :

σ_{2} = \frac{4 π k_{B}^{3} ζ (3)}{h^{2} c_{0}}

va $n = 3$ :

σ_{3} \equiv σ = \frac{12 π k_{B}^{4} ζ (4)}{h^{3} c_{0}^{2}} .

Misollar

Quyosh sirti harorati

Stefan o‘z qonunidan foydalanib, Quyosh sirtining haroratini ham aniqladi. U Jak-Lui Sorening Quyoshdan Yerga kelayotgan energiya oqimi zichligi qizigan metall plastinkanikidan 29 baravar katta ekani haqidagi ma’lumotlariga tayandi. Sore oqim zichligini Monblan tog‘ida o‘lchagan. Stefan dumaloq plastinkani bir metr masofada Quyosh bilan bir xil burchak ostida ko‘rinadigan qilib joylashtirdi. Sore hisobiga ko‘ra, plastinka harorati 1900 °C dan 2000 °C gacha bo‘lishi kerak edi. Stefan Quyosh energiyasi oqimining 1/3 qismi Yer atmosferasida ushlanadi, deb faraz qildi. Shu bois u Quyosh energiyasining to‘g‘ri oqimi sifatida 3/2 baravar katta qiymatni — 29 · 3/2 = 43,5 ni oldi. Atmosfera dagi yutilishning aniq o‘lchovlari faqat 1888 va 1904-yillarda o‘tkazilgan. Harorat uchun Stefan avvalgi ikki qiymatning o‘rtacha qiymatini — 1950 °C ni, mutlaq termodinamik harorat uchun esa 2200 K ni tanladi. 2,57⁴ = 43,5 bo‘lgani uchun, qonundan Quyosh harorati plastinka haroratidan 2,57 baravar yuqori ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib, Stefan 5430 °C yoki 5703 K qiymatini oldi. Bu Quyosh atmosferasi haroratining ilk asosli qiymati edi.

Bundan oldin 1800 °C dan 13 000 000 °C gacha bo‘lgan qiymatlar taklif etilgan. Anjelo Sekki birinchi bo‘lib 18 000 000 °F (10 000 255 K), keyin esa 250 000 °F (139 144 K) qiymatini keltirdi. Jon Uoterston^[inglizcha] 1861-yilda va Franchesko Rossetti^[inglizcha] 1878-yilda haddan tashqari katta qiymatlarni keltirgan. Rossetti nurlanish quvvati qonunini quyidagi shaklda yozgan:

j = ε a T^{2} (T - T_{0}) - b (T - T_{0}), (ε = 1),

bu esa yutilish uchun tuzatish kiritilmaganda 10 238,4 K qiymatni bergan.

Nyuton Quyosh nurlanishi intensivligini Quyosh nuri ostidagi quruq yer haroratining oshishini kuzatib aniqladi. Yoz o‘rtasida ochiq havoda taxminan London geografik kengligida joylashgan yer tush paytida 65,6 °C va 29,4 °C haroratga yetgan, farq esa taxminan 36,2 °C bo‘lgan. Nyuton bu farqni Quyosh nurlanishi kuchining ishonchli ko‘rsatkichi deb bilgan. Shunday qilib, u kometa 1680-yilda suvning qaynash haroratidan 7000 baravar yuqori harorat ta’sirida bo‘lganini ko‘rsatdi. Taqqoslash uchun, qaynash harorati suv (212 · 7000 = 1 484 000 °F (824,663 K)). Kometa kosmosda Quyosh sirtidan 1/3 Quyosh radiusi masofada joylashgan edi. Quyosh atmosferasida nurlarning sochilishi va mos masofani hisobga olgan holda Jon Eriksson Quyosh fotosferasi harorati kamida 2 640 000 °F (1 466 921 K) ekanini ma’lum qildi. Bir yil o‘tib, 1872-yilda Eriksson qiymatni 4 036 000 °F (2.242.477 K) deb qayta hisoblab chiqdi.

Dyulong va Peti 1817-yilda vakuumdagi jismlarning sovish darajasi nisbatidan 1900 °C qiymatni keltirgan. Birinchi 1800 °C qiymat (1461 va 1761 °C orasida) Klod Puye tomonidan 1838-yilda Dyulong — Peti modelidan olinib, Puye Quyosh energiyasi oqimining yarmini qabul qilgan. Ehtimol, bu natija Stefanga Dyulong — Peti modeli yuqori haroratlarda ishlamasligini eslatgan. Quyosh nurini linza yordamida to‘plash jismni 1800 °C dan yuqori haroratgacha qizdirishi mumkin.

Quyoshning o‘z yuzasiga va Yer yuzasiga tushadigan nurlanish bir xil:

L = L_{⊙},

j S_{⊙} = j_{⊙} S,

σ T_{⊙}^{4} 4 π r_{⊙}^{2} = j_{⊙} 4 π a_{0}^{2},

shuning uchun hozirgi hisoblangan qiymat:

T_{⊙} = \sqrt[4]{\frac{j_{⊙} 4 π a_{0}^{2}}{σ 4 π r_{⊙}^{2}}} = \sqrt[4]{\frac{j_{⊙} a_{0}^{2}}{σ r_{⊙}^{2}}} = \sqrt[4]{\frac{1366 \cdot 14959787069 1^{2}}{5,670400 \cdot 1 0^{- 8} \cdot (6,960 \cdot 1 0^{8})^{2}}} = 5775, 9 K,

bu yerda $j_{⊙} = 1366$ Vt/m² — Quyosh doimiysining o‘rtacha qiymati (Yer atmosferasining tashqi chegarasida Quyoshdan keladigan yorug‘lik oqimining zichligi), $a_{0}$ — astronomik birlik, $r_{⊙}$ — Quyosh radiusi va $L_{⊙}$ — Quyosh yorqinligi.

Yulduzlar harorati

Boshqa yulduzlar haroratini ham ularning chiqargan energiyasini mutlaq qora jism nurlanishi deb olib, shu usulda aniqlash mumkin. Yulduz yorqinligi L:

L = j S = 4 π r^{2} σ T_{e}^{4},

r — yulduz radiusi, $T_{e}$ — samarali harorat. Shu tenglamadan bosh ketma-ketlikdagi yulduzning Quyoshga nisbatan taxminiy radiusini hisoblash uchun ham foydalanish mumkin:

\frac{r}{r_{⊙}} \approx {(\frac{T_{⊙}}{T})}^{2} \sqrt{\frac{L}{L_{⊙}}} .

Stefan — Boltsman qonuni yordamida astronomlar yulduz radiusini oson hisoblab chiqishi mumkin.

Xoking nurlanishi

Qonun termodinamika doirasida qora tuynuklarga xos Xoking nurlanishida ham namoyon bo‘ladi. Xoking nurlanishining harorati:

T_{H} = \frac{ℏ c_{0}^{3}}{8 π κ m k_{B}} .

Sfera yuzasi — Shvarsshild sferasining Shvarsshild radiusi $r_{s}$ yordamida quyidagicha ifodalanadi:

S_{s} = 4 π r_{s}^{2} = 4 π {(\frac{2 κ m}{c_{0}^{2}})}^{2} = \frac{16 π κ^{2} m^{2}}{c_{0}^{4}} .

Shunday qilib, qora tuynuk nurlanishi (bunda $ε = 1$ ):

L = ε j S_{s} = ε σ T_{H}^{4} S_{s} = ε (\frac{π^{2} k_{B}^{4}}{60 ℏ^{3} c_{0}^{2}}) {(\frac{ℏ c_{0}^{3}}{8 π κ m k_{B}})}^{4} (\frac{16 π κ^{2} m^{2}}{c_{0}^{4}}) = \frac{ℏ c_{0}^{6}}{15360 π κ^{2} m^{2}} = \frac{1.7 * 1 0^{32}}{m^{2}}

bu yerda $ℏ$ — keltirilgan Plank doimiysi, $c_{0}$ — yorug‘lik tezligi va $κ$ — Nyutonning gravitatsiya doimiysi. Bu tenglamalar hali gravitatsiyaning yarim klassik nazariyasi doirasida keltirib chiqarilmagan.

Yer sirti harorati

Xuddi shunday tarzda, Quyoshdan olinadigan va Yerdan chiqariladigan energiyani aniqlash orqali Yer $T_{Z}$ sirtining samarali haroratini hisoblash mumkin. Bunda ikkala jism ham mutlaq qora deb qaralishi kerak:

T_{Z, 0} = T_{⊙} \sqrt{\frac{r_{⊙}}{2 a_{0}}} = 5776 \cdot \sqrt{\frac{6, 96 \cdot 1 0^{8}}{2 \cdot 149597870691}} \approx 279 K .

Shunday qilib, Yer sirtidagi samarali harorat 6 °C ga teng.

Yuqoridagi hisob juda qo‘pol yaqinlashuvdir, chunki sukut bo‘yicha Yer qora jism sifatida qaralgan. Agar sayyoraning nurlanuvchanligi va yutish qobiliyati barcha to‘lqin uzunliklarida bir xil doimiy nisbatda kamayganida ham muvozanatli sayyoraviy harorat bir xil bo‘lar edi: sababi bitta haroratda kiruvchi va chiquvchi energiya qiymatlari teng qoladi. Ammo bunday harorat endi samarali harorat ta’rifiga to‘g‘ri kelmaydi. Butun Yer kulrang jism sifatida qaralganda ham xuddi shu natija hosil bo‘ladi. :

(1 - a) j_{⊙} π r_{Z}^{2} = 4 π r_{Z}^{2} ε σ T_{Z, 0}^{4},

bunda aks ettirish qobiliyati va yorqinlik bir xil bo‘lib, nisbat:

a + ε = 1

va quyidagiga teng:

T_{Z, 0} = \sqrt[4]{\frac{j_{⊙}}{4 σ}} = T_{⊙} \sqrt{\frac{r_{⊙}}{2 a_{0}}} .

Yer kulrang jism xususiyatlariga ega emas. Albedo shundayki, Yerga tushadigan Quyosh nurlanishining taxminan 30 % qismi koinotga qaytib aks etadi. Shundan 4 % sirt, 20 % bulutlar tomonidan qaytariladi va 6 % havoga sochiladi. Quyosh energiyasining kamaytirilgan miqdorini hisobga olib, xuddi shuncha energiyani kosmosga qayta nurlantiradigan qora jism harorati hisoblab chiqilsa, bunday tasavvurdagi «samarali harorat» taxminan 255 K bo‘ladi.

(1 - a) j_{⊙} π r_{Z}^{2} = 4 π r_{Z}^{2} σ T_{Z, 1}^{4},

bu yerda quyidagidan foydalanilgan:

ε = 1

va quyidagiga teng:

T_{Z, 1} = \sqrt[4]{\frac{(1 - a) j_{⊙}}{4 σ}} = \sqrt[4]{\frac{(1 - 0, 3) \cdot 1366}{4 \cdot 5,670400 \cdot 1 0^{- 8}}} \approx 255 K .

Quyosh energiyasining 30 % qaytarilishiga qiyosan, uzun to‘lqinli nurlanishning ko‘proq qismi Yer sirtidan chiqib, atmosfera tomonidan yutiladi yoki qaytariladi va issiqxona gazlari, xususan suv bug‘i, karbonat angidrid va metan sababli kosmosga chiqmaydi. Yorqinlik (Yer nurlanadigan uzunroq to‘lqinlarda o‘lchanadi) yutish qobiliyatidan (Quyosh nurlanishining qisqaroq to‘lqinlarida o‘lchanadi) ko‘proq kamaygani uchun muvozanat harorati qora jismning oddiy yaqinlashuvi ko‘rsatganidan past emas, yuqoriroq bo‘ladi. Yer sirtining haqiqiy o‘rtacha harorati taxminan 288 K, 279 K emas. Global isish insonning issiqxona gazlariga ta’siri sababli bu muvozanat haroratini oshiradi. 1880-yilda umumiy muvozanat harorati 13,6 °C deb qabul qilingan bo‘lsa, u 0,7 °C ga ortib, 14,3 °C ga yetgan. Global isishning energiya oqimi zichligi esa 0,02 Vt/m².

Yerning radiatsion muvozanat holati sodda nol o‘lchamli model bilan beriladi:

(1 - a) j_{⊙} π r_{Z}^{2} = 4 π r_{Z}^{2} ε σ T_{Z, 2}^{4},

bu yerda a = 0,3 — Yerning o‘rtacha aks ettirish qobiliyati va $ε$ = 0,612 — samarali nurlanuvchanlik koeffitsiyenti (Yer uchun). Chap tomon Quyoshdan kirayotgan, o‘ng tomon esa Stefan — Boltsman qonuniga ko‘ra Yerdan chiqayotgan energiyani bildiradi. Demak:

T_{Z, 2} = \sqrt[4]{\frac{(1 - a) j_{⊙}}{4 ε σ}} = \sqrt[4]{\frac{(1 - 0, 3) \cdot 1366}{4 \cdot 0, 612 \cdot 5,670400 \cdot 1 0^{- 8}}} \approx 288 K .

Xuddi shunday natija Yer atmosferasi kulrang jism deb qaralib, uning nurlanishi hisobga olinganda ham hosil bo‘ladi. $ε_{o}$ :

T_{Z, 2} = T_{Z, 1} \sqrt[4]{\frac{2}{2 - ε_{o}}} = T_{Z, 1} \sqrt[4]{\frac{1}{ε}} = 255 \cdot \sqrt[4]{\frac{2}{2 - 0, 776}} = 255 \cdot \sqrt[4]{\frac{1}{0, 612}} \approx 288 K .

Quyosh nurlanishi turli to‘lqin uzunliklarida turlicha aks etadi. Atmosferaning yuqori chegarasida infraqizil diapazondagi aks ettirish 0,8 ga, yer yuzasidagi ko‘rinadigan diapazonda esa 0,2 ga teng.

Qora jismlar yorug‘lik oqimining zichligi

Jadvalda ba’zi ideallashtirilgan qora jismlar yoki holatlar uchun nurlanayotgan yorug‘lik oqimining zichliklari keltirilgan.

$T$ [ K ]	$ϑ$ [ °C ]	jism/holat	$j^{⋆}$ [Vt/m² ]
118,9 · 10⁻¹⁶		Xoking nurlanishi — qora tuynukning massasi Quyosh massasiga teng bo‘lganda	113,2 · 10⁻⁸³
0,0648	-273,085	hali ham inson ko‘zi ilg‘aydigan yorug‘lik oqimi	10⁻¹²
2,7	-270,45	kosmik mikroto‘lqinli relikt nurlanish	3,013 · 10⁻⁶
14.01	-259,14	erish harorati — vodorod	0,00218
184	-89	Yerdagi eng past o‘lchangan harorat (1983-yil)	65,0
273,15	0	muz erish haroratida	315,0
288	15	Yerdagi o‘rtacha harorat	390,1
298	25	xona harorati	447,2
309,7	36,6	o‘rtacha harorat: inson tanasiniki	521,6
331	58	Yerdagi eng yuqori o‘lchangan harorat (1922-yil)	680,7
394	121	Quyosh nurlanishi atmosferaning tashqi chegarasida	1366
503	230	po‘latni issiq payvandlash	3629,8
773	500	qizigan isitkich	20 245,6
798	525	qora jism Dreper nuqtasida	22 994,4
1273	1000	sariq alanga	148 911,2
1941	1668	eritilgan titan	804 851,7
2041.4	1768,4	eritilgan platina	984 750,3
2773	2500	cho‘g‘lanma lampa	3 352 842,9
5776	5503	Quyosh fotosferasi	63 113 529,9
25000	24727	o‘rtacha harorat: Koinotda 10 000 yil o‘tgach, Katta portlashdan keyin	22 150 001 850
15,7 · 10⁶		Quyosh yadrosi	3.445183366 · 10²¹
10 · 10⁹		o‘ta yangi yulduz portlashi	567.04400475 · 10³⁰
140 · 10³⁰		Plank harorati qora tuynukning Koinot harorati 500 · 10⁻⁴² s Katta portlashdan keyin	217.8341047 · 10¹²³

Vin yaqinlashuvida energiya oqimi zichligi

Vin yaqinlashuvida energiya oqimi zichligi quyidagiga teng:

j_{W}^{⋆} = 2 π h c_{0}^{2} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{λ^{5} e^{h c_{0} / (λ k_{B} T)}} d λ .

Xuddi yuqoridagi kabi u o‘zgaruvchisi bilan integral quyidagiga aylanadi:

j_{W}^{⋆} = \frac{2 π k_{B}^{4} T^{4}}{h^{3} c_{0}^{2}} \int_{0}^{\infty} \frac{u^{3}}{e^{u}} d u .

integral qiymati esa:

\int_{0}^{\infty} \frac{u^{3}}{e^{u}} d u = 6,

demak, energiya oqimi zichligi:

j_{W}^{⋆} = \frac{12 π k_{B}^{4}}{h^{3} c_{0}^{2}} T^{4} = \frac{90}{π^{4}} j^{⋆} = \frac{1}{ζ (4)} σ T^{4} \approx 0, 923938 σ T^{4}

shunga mos ravishda kichikroq.

Reley — Jins yaqinlashuvida energiya oqimi zichligi

Reley — Jins yaqinlashuvida quyidagiga teng:

j_{R}^{⋆} = 2 π c_{0} k_{B} T \int_{0}^{\infty} \frac{1}{λ^{4}} d λ .

Integral uzoqlashadi:

\int_{0}^{\infty} \frac{1}{λ^{4}} d λ = \infty,

shuning uchun energiya oqimi zichligi cheksiz:

j_{R}^{⋆} = \infty .

Bu klassik natija bo‘lib, unga ko‘ra nurlanish energiyasi uzluksiz almashinadi.

Tasdiqlanishi, qabul qilinishi va ahamiyati

Ba’zi fiziklar Stefan qonunni kashf etishda yetarlicha ishonchli yo‘l tutmaganini tanqid qilishadi. Xususan, mutlaq qora jism nurlanishi manbasi sifatida platinadan foydalanish xato bo‘lgan. Ammo u qonunni ko‘r-ko‘rona kashf etgan deyish noto‘g‘ri. Ko‘plab omadli tasodiflar uning qat’iyatiga ta’sir qilgan. Bu muhim kashfiyotlarda tez-tez uchraydi. Issiqlik o‘tkazuvchanligini o‘lchaganidan so‘ng, u Dyulong — Peti modeli ishlamasligiga ishonch hosil qildi, gazlarning kinetik nazariyasi va mutlaq haroratdan foydalandi. Dyulong — Peti modelida ham Selsiy harorati ishlatilgan. Maqola nashr etilgach, boshqa tadqiqotchilar ham Stefan qonunini tekshira boshladilar. Qonun Leo Grets tomonidan 1880-yilda va Kristian Kristiansen tomonidan 1884-yilda tasdiqlangan.

Qonun kashf etilgan vaqtda uning qo‘llanish sohasi hali to‘liq aniqlanmagan edi. Nihoyat, tadqiqotchilar mutlaq qora jismdan foydalanish kerakligini tushunishdi. Qora jism modeli Otto Lyummer va Ernst Pringsxaym tomonidan 1897-yilda va Ferdinand Kurlbaum tomonidan 1898-yilda ishlab chiqilgan. 1896-yilda Vilgelm Vin qora jism nurlanishi spektri maksimumining siljish qonunini kashf etdi. Maks Plank 1894-yilda qora jism nurlanishi ustida ishlay boshladi. U avval elektromagnit to‘lqinlarning kichik elektr dipoliga ta’sirini o‘rgandi. U o‘z qonunini 1900-yilda kashf qildi. Lord Reley va Jeyms Jins 1905-yilda klassik fizika asosida o‘z qonunlarini e’lon qildilar. Bu qonun Plank qonunining yaqinlashuvi bo‘lib chiqdi. Plank qonunini faqat elektromagnit maydon tenglamalaridan keltirib chiqarish mumkin emas, buning uchun kvant fizikasi yondashuvlarini ham hisobga olish zarur. Plank nurlanish qora jism devori bilan energiyani uzluksiz almasha olmaydi degan yangi fikrni qiyinchilik bilan qabul qildi. Dastlab uning formulasiga jiddiy qaralmadi, ammo 1905-yilda Albert Eynshteyn uning g‘oyasini rivojlantirib, fotoelektr hodisasini o‘zining «Yorug‘likning paydo bo‘lishi va o‘zgarishiga oid evristik nuqtayi nazar haqida» maqolasida tushuntirdi. 1920-yilda Satyendranat Boze statistik foton mexanikasi nazariyasini ishlab chiqdi; undan Plank qonunini nazariy keltirib chiqarish mumkin bo‘ldi.

Stefan aniqlagan Quyosh harorati qiymati 1894-yilda mustaqil ravishda Uilyam Uilson va Grey tomonidan geliostat hamda 1889-yilda Charlz Boyz yasagan takomillashtirilgan differensial radiomikrometr yordamida tajribada tasdiqlangan. Asbob bolometr va galvanometr birikmasidan iborat edi. Ular nol usulidan foydalanib, Quyosh nurlanishini elektr toki bilan qizdirilgan platina tasmasi nurlanishi bilan taqqosladilar. Ular samarali haroratni taxminan 7073 K deb o‘lchagan. Yer va Quyosh atmosferalaridagi yutilish uchun bir qancha tuzatishlar kiritilgach, 1901-yilda bu qiymat 6590 °C (6863 K) bo‘lgan.

Manbalar

Balázs, Lajos G.; Vargha, Magda; Zsoldos, Endre (Июль 2008). Rado Köveslighety's spectroscopic work. Journal of Astronomical History and Heritage. 11 (2): 124—133. Bibcode:2008JAHH...11..124B. ISSN 1440-2807.
Bartoli, Adolfo^[англ.]. Лучистое тепло и второй закон термодинамики (итал.) = Il calorico raggiante e il secondo principio di termodynamica // Il Nuovo Cimento : journal. — 1884. — V. 15. — P. 196—202.
Boltzmann, Ludwig Edward (1884). Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie [Вывод закона Стефана о зависимости теплового излучения от температуры из электромагнитной теории света]. Annalen der Physik und Chemie (нем.). 22: 291—294. doi:10.1002/andp.18842580616.
Butler, C. J.; Elliottt, I. Biographical and Historical Notes on the Pioneers of Photometry in Ireland // International Astronomical Union Colloquium, Stellar Photometry – Current Techniques and Future Developments (англ.). — 1993. — P. 3–12. — doi:10.1017/S0252921100007326.
Cardoso, Tatiana R.; de Castro, Antonio S. (2005). The blackbody radiation in a D-dimensional universes (PDF). Revista Brasileira de Ensino de Física. 27 (4): 559—563. doi:10.1590/S1806-11172005000400007.
Карди, Джон Лоуренс^[англ.]. The Ubiquitous ‘c’: from the Stefan-Boltzmann Law to Quantum Information // Boltzmann Medal Lecture : journal. — Cairns, 2010. — arXiv:1008.2331.
Cole, George H. A.; Woolfson, Michael M. Planetary Science: The Science of Planets Around Stars. — CRC Press, 2002. — С. 36–37, 380–382. — ISBN 0-7503-0815-X.
Crepeau, John C. (2007). Josef Stefan: His life and legacy in the thermal sciences. Experimental Thermal and Fluid Science. 31: 795—803. doi:10.1016/j.expthermflusci.2006.08.005.
Crepeau, John C. (2009). A brief history of the T⁴ radiation law (PDF). 2009 ASME Summer Heat Transfer Conference.
Crova, André-Prosper-Paul^[кат.]. Изучение излучения, испускаемого раскаленными телами. Оптическое измерение высоких температур (фр.) = Étude des radiations émises par les corps incandescents. Mesure optique des hautes températures // Annales de chimie et de physique, Série 5 : journal. — 1880. — Vol. 19. — P. 472–550.
Das, P. K. (1996). The Earth's Changing Climate (PDF). Resonance. 1 (3): 54—65.
Dougal, R. C. (1979). The centenary of the fourth-power law. Phys. Educ. 14: 234—238.
Dulong, P. L.; Petit, A. T. (1818). Des Recherches sur la Mesure des Tempe´ratures et sur les Lois de la communication de la chaleur [Исследование по измерению температуры и законам тепловой связи]. Annales de Chimie et de Physique. 7: 225—264.
Ericsson, John (1871). The temperature produced by solar radiation [Температура, создаваемая солнечным излучением]. Nature (англ.). 5: 46—48.
Ericsson, John (1872). The temperature of the surface of the sun [Температура поверхности солнца]. Nature (англ.). 5: 505—507.
Steven B. Giddings^[англ.]. Incoherent radiation in an n‐dimensional space // American Journal of Physics : journal. — 1984. — Т. 52. — С. 1125. — doi:10.1119/1.13741. — Bibcode:1984AmJPh..52.1125G.
Gonzalez-Ayala, Julian; Angulo-Brown, F. (2016). Is the (3 + 1)-d nature of the universe a thermodynamic necessity?. Europhysics Letters. 113 (4). arXiv:1502.01843. doi:10.1209/0295-5075/113/40006.
Južnič, Stanislav^{[словен.]}. Вакуумные исследования в Физическом институте Йозефа Стефана (Вена): (к 125-й годовщине смерти Стефана) = Raziskovanje vakuuma na (dunajskem) fizikalnem inštitutu Jožefa Stefana : (ob stopetindvajsetletnici Stefanovega zakona) // Vakuumist : journal. — 2004. — Т. 2, вып. 4. — С. 24—32.
Kangro, Hans^[нем.]. Early History of Planck's Radiation Law. — Taylor & Francis, 1976. — ISBN 0-85066-063-7.
Kreith, Frank. The CRC Handbook of Thermal Engineering. — CRC Press/Springer, 2000. — ISBN 3540663495.
Leaney, Enda. Wilson, William Edward // Ireland's national biographical dictionary (англ.). — 2009. — doi:10.3318/dib.009082.v1.
Nordell, Bo (2003). Thermal pollution causes global warming (PDF). Global and Planetary Change. 38 (3—4): 305—312. doi:10.1016/S0921-8181(03)00113-9.
Pérez-Madrid, Agustin; Rubí, J. Miguel; Lapas, Luciano C. (10 февраля 2010). Nonequilibrium Stefan-Boltzmann law. Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics. 35 (3). arXiv:1002.0794. doi:10.1515/JNETDY.2010.017.
Petrovay, Kristóf (2020). The Determination of Stellar Temperatures from Baron B. Harkányi to the Gaia Mission. Journal for the History of Astronomy. 51 (2): 152—152. arXiv:2003.08092. doi:10.1177/0021828620918961.
Poynting, John Henry (1904). Radiation in the Solar System. Nature. 70: 512—515.
Rossetti, Francesco^[англ.]. Экспериментальные исследования температуры Солнца (итал.) = Indagini sperimentali sulla temperatura del Sole // Atti della Realle Accademia dei Lincei. Memorie della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali (1877-1878, Serie 3) : journal. — 1878. — V. 275, fasc. 2. — P. 169–201.
Satterly, John (1919). Radiation and the Temperature of the Sun. Journal of the Royal Astronomical Society of Canada. 13 (2): 33—44. Bibcode:1919JRASC..13...33S.
Sandi Sitar^{[словен.]}. Jožef Stefan : pesnik in fizik : ob stoletnici smrti. — Ljubljana: Park, 1993.
Soret, M. J.-L. (1872). Comparaison des intensités calorifiques du rayonnement solaire et du rayonnement d'un corps chauffé à la lampe oxyhydrique [Сравнение теплотворных способностей солнечного излучения и излучения тела, нагретого кислородно-водородной лампой]. Archives des sciences physiques et naturelles, Ser.2. 43—45: 220.
Stefan, Jožef (1879). Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur [О связи между тепловым излучением и температурой] (PDF). SAW (нем.). 79 (II): 391—428.
Strnad, Janez^[англ.]. Fizika, 2. del, Elektrika, Optika (словен.). — Ljubljana: DZS, 1978. — С. 524.
Strnad, Janez (1979). Sto let Stefanovega zakona. Obzornik za matematiko in fiziko. 26 (3): 65—73. (PACS 01.65.+g).
Strnad, Janez. Začetki kvantne fizike: od kvanta do snovnega valovanja. — Presekova knjižnica; 9. — Ljubljana : DMFA, 1982. — P. 1—48.
Strnad, Janez. Jožef Stefan, Ob stopetdesetletnici rojstva. — Presekova knjižnica; 24. — Ljubljana : DMFA, 1985. — P. 1—64.
Strnad, Janez. Zgodbe iz fizike. — Ljubljana : Slovenska matica, 1990.
Strnad, Janez (2001). Sevalni tlak in P. N. Lebedev. Obzornik za matematiko in fiziko. 48 (5): 148—153. (PACS 01.60, 33.80.P).
Strnad, Janez (2006). Planckov začetek kvantne fizike. Obzornik za matematiko in fiziko. 53 (2): 51—63. (PACS 01.65.+g).
Tyndall, John (1865a). Über leuchtende und dunkle Strahlung [О светящемся и тёмном излучении]. Annalen der Physik und Chemie (нем.). 200: 36—53.{{cite journal}}: Википедия:Обслуживание CS1 (числовые имена: authors list) (ссылка)
Tyndall, John (1865b), Heat considered as a Mode of Motion [Теплота как способ движения] (PDF) (англ.), D. Appleton & Company{{citation}}: Википедия:Обслуживание CS1 (числовые имена: authors list) (ссылка)
Vargha, Magda; Balázs, Lajos G. (2008). Kovesligethy's spectroscopic studies (PDF). Communications in Asteroseismology. 149: 136—142.
Wilson, William Edward^[англ.]; Gray, P. E. Экспериментальные исследования эффективной температуры Солнца (англ.) = Experimental Investigations on the Effective Temperature of the Sun // Proceedings of the Royal Society of London Series I : journal. — 1894. — Vol. 55. — P. 250–251.
Wilson, William Edward. Astronomical and physical researches made at Mr. Wilson's Observatory, Daramona, Westmeath (англ.). — Privately printed, 1900. — 119 p. Digitized by the Internet Archive in 2007 with funding from Microsoft Corporation.
Young, Charles Augustus (1880). The Sun's Heat [Солнечное тепло]. Popular Science Monthly (англ.). 18.
Мартинсон, Л. К.; Смирнов, Е. В. Квантовая теория. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. — 496 с. — ISBN 5703824389.

[_9feeb393c0af14bd-4] 1 2 3 Stefan, 1879.

[_a4cf9bb0593cf949-5] 1 2 Boltzmann, 1884.

[_0546546cf8ed5714-16] Dulong, Petit, 1818.

[_ef9523c66fb1f69b-21] Tyndall, 1865b.

[_89f8a176c33807d4-24] Tyndall, 1865a.

[_1bf2f9ef382d2241-25] 1 2 3 Ericsson, 1872.

[_47fbba7e391abd83-26] Crova, 1880.

[_6b76d1fc534b9833-28] Bartoli, 1884.

[_725bb7c75f98b724-39] Soret, 1872, pp. 228, 252—256.

[_41bcc96849a5c71c-40] Young, 1880.

[_cea1ed5d42cf4158-41] Rossetti, 1878.

[_0e23b360a9848d4e-42] Ericsson, 1871.

[_f346214e348ed302-54] Wilson, Gray, 1894.