Kuch momenti nima

Kuch momenti
Kuch momenti
	M→=[r→×F→]
O‘lchamlik	L2MT−2
O‘lchov birliklari
SI	N·m
SGS	Dina-santimetr
Izoh
	Psevdovektor

Kuch momenti (nuqtaga nisbatan kuch momenti) — vektor fizik kattalik, kuchning mexanik obyektga ta’sirini tavsiflaydi va bu ta’sir aylanma harakatga sabab bo‘lishi mumkin. Moment quyidagi vektor ko‘paytmasi bilan aniqlanadi: radius-vektor (kuch qo‘yilgan nuqtaniki) $\vec{r}$ va kuch vektori $\vec{F}$ . Kuchlar momentlari turli sharoitlarda hosil bo‘lib, texnikada quyidagicha atalishi mumkin: burovchi moment, aylantiruvchi moment, burish momenti, aylanish momenti, buralish momenti.

Kuch momenti $\vec{M}$ yoki kamroq hollarda $\vec{τ}$ (tau) belgisi bilan ifodalanadi.

O‘lchov birligi SI: N⋅m. Kuch momentining kattaligi radius-vektorlar uchun O sanoq boshining tanlanishiga bog‘liq.

Kuch momenti tushunchasi, asosan, statika masalalarida hamda aylanishi bilan bog‘liq detallar (richaglar va boshqalar) haqidagi texnik mexanika masalalarida qo‘llanadi. Qattiq jismning qo‘zg‘almas o‘q atrofida aylanishi ayniqsa muhimdir — bunda O nuqta shu o‘qda tanlanadi, momentning o‘zi o‘rniga esa uning o‘qqa proyeksiyasi $M_{∥}$ ; bunday proyeksiya quyidagicha ataladi: o‘qqa nisbatan kuch momenti.

Kuch momenti mavjud bo‘lganda, jismning impuls momenti $\vec{L}$ ning ayni O sanoq boshiga nisbatan vaqt $t$ davomida o‘zgarishi quyidagi munosabat bilan ifodalanadi: $\frac{d \vec{L}}{d t} = \vec{M}$ . Statikada jismga ta’sir etuvchi barcha kuchlar momentlarining yig‘indisi nolga teng bo‘lishi (kuchlar yig‘indisining nolga tengligi bilan birga) jismning tinch holatda turish shartlaridan biridir.

Ta’rif va umumiy ma’lumotlar

fizikada kuch momenti jismga aylantiruvchi ta’sir ko‘rsatadi.

Videodars: aylantiruvchi moment

Eng oddiy holatda, agar kuch $\vec{F}$ richagga va aylanish o‘qiga perpendikulyar yo‘nalishda qo‘yilsa, kuch momenti kuchning $F$ kattaligini $x$ kuch qo‘yilgan nuqtadan richagning aylanish o‘qigacha bo‘lgan «kuch yelkasi» deb ataluvchi masofaga ko‘paytirish orqali topiladi:

M = F x

.

Masalan, aylanish o‘qidan 2 m masofada qo‘yilgan 3 nyuton kuch yelkasi 6 m bo‘lgan 1 nyuton kuch bilan bir xil momentni hosil qiladi.

Ikkita kuch ta’sir etganda kuchlar juftining momenti haqida gapiriladi (bu ifoda Arximed asarlariga borib taqaladi). Bunda muvozanat $F_{1} x_{1} = F_{2} x_{2}$ .

Murakkabroq harakatlar va jismlar uchun momentni $F x$ ko‘paytma sifatida aniqlashni umumlashtirish talab etiladi.

Kuch momentini ba’zan aylantiruvchi yoki burovchi moment deb ham atashadi. Texnikada «aylantiruvchi» moment jismga tashqaridan qo‘yiladigan ta’sir kuchini, «burovchi» moment esa qo‘yilgan yuklamalar ta’sirida jismning o‘zida paydo bo‘ladigan ichki momentni anglatadi (bu tushuncha quyidagi sohada qo‘llanadi: materiallar qarshiligi).

Nuqtaga nisbatan kuch momenti

Umumiy holda jismga ta’sir etayotgan $\vec{F}$ kuchning momenti vektor ko‘paytmasi

\vec{M} = [\vec{r} \times \vec{F}]

,

bu yerda $\vec{r}$ — radius-vektor — kuch qo‘yilgan nuqtaning radius-vektori. $\vec{M}$ shu ikki vektorga perpendikulyar: $\vec{r}$ va $\vec{F}$ .

Radius-vektorlarning O sanoq boshi istalgan nuqta bo‘lishi mumkin. O odatda alohida ahamiyatga ega nuqtada: osma mahkamlangan joyda, massa markazida, aylanish o‘qida va hokazolarda tanlanadi. Agar ayni vaqtda jismning impuls momenti ham ko‘rib chiqilayotgan bo‘lsa ( $\vec{L}$ , O sanoq boshi quyidagi ikkala kattalik uchun bir xil tanlanadi: $\vec{L}$ va $\vec{M}$ .

Agar boshqacha ko‘rsatilmagan bo‘lsa, «kuch momenti» deganda qandaydir o‘qqa emas, balki nuqtaga (O) nisbatan kuch momenti tushuniladi.

Bir nechta jamlangan kuch ta’sir etsa, ularning momentlari vektorlar sifatida qo‘shiladi:

\vec{M} = \sum_{i} [{\vec{r}}_{i} \times {\vec{F}}_{i}]

,

bu yerda ${\vec{r}}_{i}$ — kuch qo‘yilgan nuqtaning radius-vektori; bu yerda $i$ -kuch ${\vec{F}}_{i}$ . Kuch quyidagi zichlik bilan taqsimlangan holatda: $d \vec{F} / d V$ ,

\vec{M} = \int_{V} [\vec{r} \times \frac{d \vec{F}}{d V}] d V

.

Agar $d \vec{F} / d V$ (N/m³) — tarkibida delta shaklidagi hadlar ham bo‘lishi mumkin bo‘lgan umumlashgan funksiya bo‘lsa, oxirgi formula oldingi ikkala formulani ham qamrab oladi.

O‘qqa nisbatan kuch momenti

O‘qqa nisbatan kuch momenti deb momentning $\vec{M}$ o‘qdagi proyeksiyasining algebraik qiymatiga aytiladi, ya’ni

M_{∥} = \vec{M} \cdot {\vec{e}}_{o}

,

bu yerda ${\vec{e}}_{o}$ — o‘q bo‘ylab yo‘nalgan birlik vektor, O sanoq boshi esa shu o‘qda tanlangan. O‘qqa nisbatan kuch momentini quyidagicha hisoblash mumkin:

M_{∥} = \pm | {\vec{r}}_{⊥} \times {\vec{F}}_{⊥} |

,

bu yerda ${\vec{r}}_{⊥}$ va ${\vec{F}}_{⊥}$ orqali radius-vektor va kuchning o‘qqa perpendikulyar tekislikdagi tashkil etuvchilari belgilangan.

Nuqtaga nisbatan kuch momenti $\vec{M}$ dan farqli ravishda, o‘qqa nisbatan kuch momenti $M_{∥}$ O nuqta o‘q bo‘ylab siljitilganda o‘zgarmaydi.

Qisqalik uchun parallellik belgisi hamda ishora tushirib qoldirilishi, $M_{∥}$ (shuningdek, $\vec{M}$ ) esa «kuch momenti» deb atalishi mumkin.

O‘lchov birliklari

Kuch momentining o‘lchamligi «kuch × masofa» bo‘lib, nyuton-metr birlik bilan ifodalanadi. Bu birlik SI tizimiga kiradi. 1 N·m — uzunligi 1 m bo‘lgan richagning uchiga perpendikulyar yo‘nalishda qo‘yilgan 1 N kuch hosil qiladigan momentdir.

Formal jihatdan, $\vec{M}$ (N·m) o‘lchamligi quyidagi kattaliklarning o‘lchamliklari bilan bir xil: energiya va mexanik ish.

Ayrim misollar

Richag momenti formulasi

Richagga ta’sir etuvchi kuch momenti

\vec{M} = r F \sin α \cdot {\vec{e}}_{o}

ga teng yoki momentni o‘qqa nisbatan yozsak,

M_{∥} = r F \sin α

,

bu yerda $α$ — kuch yo‘nalishi bilan richag orasidagi burchak. Kuch yelkasi $r \sin α$ ga teng. Momentning eng katta qiymatiga kuch va richag o‘zaro perpendikulyar bo‘lganda, ya’ni $α = π / 2$ holatida erishiladi. $\vec{F}$ bilan richag bir yo‘nalishda bo‘lsa, moment nolga teng bo‘ladi.

Statik muvozanat

Tinch turgan jismga kuchlar qo‘yilgandan so‘ng ham uning mexanik muvozanati saqlanishi uchun bu kuchlar yig‘indisi nolga teng bo‘lishi bilan birga, ularning momentlari yig‘indisi ham nol bo‘lishi kerak (momentlar qoidasi):

\sum_{i} {\vec{M}}_{i} = \sum_{i} [{\vec{r}}_{i} \times {\vec{F}}_{i}] = 0

,

bu yerda ${\vec{r}}_{i}$ — ${\vec{F}}_{i}$ kuch qo‘yilgan nuqtaning radius-vektori. Agar $\sum {\vec{F}}_{i} = 0$ bo‘lsa, ${\vec{r}}_{i}$ sanoq boshini tanlash muhim emas.

Ikki o‘lchamli holatda, jism yassi bo‘lib, kuchlar uning tekisligida ta’sir etsa (masalan, $x y$ ), momentlar qoidasi uchinchi o‘lchamdagi moment tashkil etuvchisiga qo‘yiladigan shartga aylanadi: $\sum M_{i z} = 0$ .

Mahkamlangan o‘qqa «o‘rnatilgan» jism uchun qoidaning boshqa shakli: shu o‘qqa nisbatan momentlar $M_{∥ i}$ yig‘indisi nol bo‘lsa, aylanish yuz bermaydi:

\sum_{i} M_{∥ i} = | \sum_{i} [{\vec{r}}_{i ⊥} \times {\vec{F}}_{i ⊥}] | = 0

,

ya’ni jismni soat mili yo‘nalishida va unga teskari yo‘nalishda aylantirishga intiluvchi kuch momentlarining yig‘indilari teng bo‘lsa.

Qattiq jismning harakati

Qattiq jism harakatini muayyan nuqtaning harakati va shu nuqta atrofidagi aylanish sifatida tasvirlash mumkin.

Qattiq jismning O nuqtaga nisbatan impuls momentini massa markaziga nisbatan inersiya momenti va burchak tezligining ko‘paytmasi hamda massa markazining ilgarilanma harakati orqali ifodalash mumkin.

{\vec{L}}_{o} = I_{c} \vec{ω} + [M ({\vec{r}}_{o} - {\vec{r}}_{c}), {\vec{v}}_{c}]

.

Aylanma harakatlarni Kyonig koordinatalari tizimida ko‘rib chiqamiz, chunki qattiq jismning harakatini global koordinatalar tizimida tavsiflash ancha murakkab.

Bu ifodani vaqt bo‘yicha differensiallaymiz. Agar $I$ vaqt davomida o‘zgarmas kattalik bo‘lsa, unda

\vec{M} = I \frac{d \vec{ω}}{d t} = I \vec{α},

bu yerda $\vec{α}$ — burchak tezlanishi, uning o‘lchov birligi — radian/sekund har sekundga (rad/s²). Masalan, bir jinsli diskning aylanishi.

Agar inersiya tenzori vaqt o‘tishi bilan o‘zgarsa, massa markaziga nisbatan harakat Eylerning dinamik tenglamasi yordamida tavsiflanadi:

\vec{M_{c}} = I_{c} \frac{d \vec{ω}}{d t} + [\vec{w}, I_{c} \vec{w}] .

Boshqa kattaliklar bilan bog‘liqligi

Impuls momenti bilan

Quyidagilar orasidagi bog‘lanishlar: kuch F, kuch momenti τ (M), impuls p va impuls momenti L, harakat faqat bir tekislik bilan cheklangan tizimda ( og‘irlik kuchi va ishqalanish sababli yuzaga keladigan kuchlar va momentlar hisobga olinmagan).

Kuch momenti vaqt bo‘yicha hosila sifatida impuls momentining $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ O nuqtaga nisbatan o‘zgarish tezligini ifodalaydi:

\vec{M} = \frac{d \vec{L}}{d t}

,

O‘qqa nisbatan momentlar uchun ham shunga o‘xshash formulani yozish mumkin:

M_{∥} = \frac{d L_{∥}}{d t}

.

Agar kuch momenti $\vec{M}$ yoki $M_{∥}$ nolga teng bo‘lsa, tegishli nuqta yoki o‘qqa nisbatan impuls momenti saqlanadi.

Quvvat bilan

Agar kuch biror masofa bo‘ylab ta’sir etsa, u mexanik ish bajaradi va quvvat $\vec{F} \cdot \vec{v}$ hosil qiladi (bu yerda $\vec{v}$ — moddiy nuqtaning tezligi). Kuch momenti uchun ham xuddi shunday: u «burchak masofasi» bo‘ylab ta’sir etganda quvvat hosil bo‘ladi:

P = \vec{M} \cdot \vec{ω}

.

SI tizimida quvvat $P$ vattda, burchak tezligi $\vec{ω}$ esa radian/sekundda o‘lchanadi.

Mexanik ish bilan

Agar kuch momenti $\vec{M}$ ta’sirida jism $d φ$ burchakka burilsa, mexanik ish bajariladi:

d A = | \vec{M} | d φ

.

Masalan, richag qo‘zg‘almas o‘q atrofida $φ_{2} - φ_{1}$ burchakka burilganda quyidagini olamiz:

A = \int_{φ_{1}}^{φ_{2}} | \vec{M} | d φ = | \vec{M} | (φ_{2} - φ_{1}) = | \vec{M} | \int_{t_{1}}^{t_{2}} ω (t) d t

.

SI tizimida ish $A$ ning o‘lchov birligi — joul, burchakniki esa — radian.

Ishning (va energiyaning) o‘lchamligi kuch momentining o‘lchamligiga teng («nyuton-metr» va joul — bir xil o‘lchov birliklaridir). 1 N·m kuch momenti richag yoki valni 1 radianga burganda 1 J ish bajaradi, bir marta to‘liq aylantirganda esa $2 π$ joulga teng mexanik ish bajarib, shuncha energiya beradi.

Kuch momentini o‘lchash

Kuch momenti maxsus asboblar — torziometrlar yordamida o‘lchanadi. Ularning ishlash tamoyili, odatda, burovchi momentni uzatuvchi elastik valning buralish burchagini yoki qandaydir elastik richagning deformatsiyasini o‘lchashga asoslanadi. Deformatsiya va buralish burchagi turli deformatsiya datchiklari — tenzometrik, magnitoelastik datchiklar, shuningdek, kichik siljishlarni o‘lchaydigan optik, sig‘imli, induktiv, ultratovushli va mexanik o‘lchagichlar yordamida aniqlanadi.

Maxsus dinamometrik kalitlar mavjud bo‘lib, ular rezbali birikmalarni mahkamlashdagi burovchi momentni o‘lchash uchun ishlatiladi. Shuningdek, «tirqiragich» deb ataluvchi sozlanadigan va sozlanmaydigan burovchi moment cheklagichlari gayka kalitlarida, shurup buragichlarda, vintli mikrometrlarda va boshqa asboblarda qo‘llanadi.

Tushuncha tarixi

Kuch momenti tushunchasi qanday paydo bo‘lganini va unga qanday kelib chiqilganini bilish uchun qo‘zg‘almas o‘q atrofida aylanadigan richagga kuch ta’sirini ko‘rib chiqish kerak. Aytaylik, $\vec{F}$ kuch $\vec{r}$ richagga ta’sir etmoqda. Richag qo‘zg‘almas o‘q atrofida aylanganda bajariladigan ishni quyidagi mulohazalar asosida hisoblash mumkin.

Faraz qilaylik, kuch ta’sirida richagning uchi cheksiz kichik $d l$ kesmaga siljiydi, unga cheksiz kichik $d φ$ burchak mos keladi. $d \vec{l}$ deb, shu cheksiz kichik $d l$ kesma bo‘ylab yo‘nalgan va moduli uning uzunligiga teng bo‘lgan vektorni belgilaymiz. $\vec{F}$ va $d \vec{l}$ vektorlar orasidagi burchak $β$ ga, $\vec{r}$ va $\vec{F}$ vektorlar orasidagi burchak quyidagicha belgilanadi: $α$ .

Demak, cheksiz kichik ish $d A$ — $\vec{F}$ kuch ta’sirida cheksiz kichik $d l$ kesmada bajarilgan ish bo‘lib, $d \vec{l}$ vektor va kuch vektorining skalyar ko‘paytmasiga teng, ya’ni $d A = \vec{F} \cdot d \vec{l}$ .

Endi $d \vec{l}$ vektorning modulini $\vec{r}$ radius-vektor orqali, kuch $\vec{F}$ vektorining $d \vec{l}$ vektorga proyeksiyasini esa quyidagi burchak orqali ifodalaymiz: $α$ .

Richagning cheksiz kichik $d l$ siljishida uning harakat trayektoriyasini $\vec{r}$ richagga perpendikulyar deb hisoblash mumkin. To‘g‘ri burchakli uchburchak munosabatlari yordamida quyidagi tenglikni yozamiz: $d l = r t g d φ$ , bunda kichik burchak uchun $t g d φ = d φ$ o‘rinli va shuning uchun $| d \vec{l} | = | \vec{r} | d φ$ .

Kuchning $\vec{F}$ vektorini $d \vec{l}$ vektorga proyeksiyalashda burchak $β = \frac{π}{2} - α$ ekanligi ko‘rinadi. $\cos (\frac{π}{2} - α) = \sin α$ bo‘lgani sababli quyidagiga ega bo‘lamiz: $| \vec{F} | \cos β = | \vec{F} | \sin α$ .

Endi cheksiz kichik ishni yangi tengliklar orqali yozamiz: $d A = | \vec{r} | d φ | \vec{F} | \sin α$ yoki $d A = | \vec{r} | | \vec{F} | \sin α d φ$ .

Ko‘rinib turibdiki, $| \vec{r} | | \vec{F} | \sin α$ ko‘paytma $\vec{r}$ va $\vec{F}$ vektorlarning vektor ko‘paytmasi moduliga aynan teng, ya’ni $| \vec{r} \times \vec{F} |$ va aynan shu kattalik kuch momenti sifatida belgilanadi: $M$ yoki kuch momenti vektorining moduli orqali: $| \vec{M} |$ .

Endi to‘liq ish sodda ko‘rinishda yoziladi: $A = \int_{0}^{φ} | \vec{r} \times \vec{F} | d φ$ yoki $A = \int_{0}^{φ} | \vec{M} | d φ$ .