Quyidagi formula energetik ravshanlikning spektral zichligini ifodalaydi:

${\displaystyle B_{\nu }(\nu ,T)=\frac{2h{\nu }^3}{c^2}\frac{1}{e^{\frac{h\nu }{kT}}-1},}$

bu yerda ${\displaystyle \nu }$ — nurlanish chastotasi, ${\displaystyle T}$ — mutlaq qora jismning harorati, ${\displaystyle h}$ — Plank doimiysi, ${\displaystyle c}$ — yorug‘lik tezligi, ${\displaystyle k}$ — Boltsman doimiysi. Xalqaro birliklar SI tizimida ${\displaystyle B_{\nu }}$ kattalikning ushbu formuladagi o‘lchov birligi Vt·m⁻²·Hz⁻¹·sr⁻¹. Uning fizik ma’nosi — kichik chastotalar oralig‘idagi energetik ravshanlikni, masalan, ${\displaystyle (\nu ;\nu +d\nu )}$ oralig‘ida, ${\displaystyle d\nu }$ ga bo‘lish natijasidir. Energetik ravshanlik chastotaga emas, to‘lqin uzunligiga ${\displaystyle \lambda }$ bog‘liq funksiya sifatida ham ifodalanishi mumkin:

${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)=\frac{2h{c}^2}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}}$.

Bu holda ${\displaystyle B_{\lambda }}$ ning o‘lchov birligi Vt·m⁻³·sr⁻¹ bo‘lib, u kichik to‘lqin uzunliklari oralig‘idagi energetik ravshanlikka, masalan, ${\displaystyle (\lambda ;\lambda +d\lambda )}$ oralig‘ida mos keladi. Oraliq kengligi ${\displaystyle d\lambda }$.

Spektral zichlik energetik nurlanuvchanlikning (spektral nurlanish qobiliyatining) ${\displaystyle \nu }$ chastotada yoki to‘lqin uzunligi ${\displaystyle \lambda }$ da birlik yuzadan tarqaladigan nurlanish quvvatini chastotalarning ${\displaystyle (\nu ;\nu +d\nu )}$ oralig‘ida yoki to‘lqin uzunliklarining ${\displaystyle (\lambda ;\lambda +d\lambda )}$ oralig‘ida ifodalaydi; uni mos ravishda ${\displaystyle d\nu }$ yoki ${\displaystyle d\lambda }$ ga bo‘lish kerak. Uning fizik ma’nosi — kichik chastotalar oralig‘idagi energetik nurlanuvchanlik, masalan, ${\displaystyle (\nu ;\nu +d\nu )}$ oralig‘ida, yoki to‘lqin uzunliklarining ${\displaystyle (\lambda ;\lambda +d\lambda )}$ oralig‘ida, mos ravishda ${\displaystyle d\nu }$ yoki ${\displaystyle d\lambda }$ ga bo‘lingan qiymatidir. U quyidagi formulalar bilan ifodalanadi:

${\displaystyle {\epsilon }_{\nu }(\nu ,T)=\frac{2\pi h{\nu }^3}{c^2}\frac{1}{e^{\frac{h\nu }{kT}}-1}}$,

${\displaystyle {\epsilon }_{\lambda }(\lambda ,T)=\frac{2\pi h{c}^2}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}}$.

Shunday qilib, izotrop nurlanish mutlaq qora jism tomonidan hosil qilinganda, jismning energetik nurlanuvchanligi (nurlanish qobiliyati) son jihatdan energetik ravshanlikdan ${\displaystyle \pi }$ marta katta bo‘ladi, agar undagi fazoviy burchak steradianlarda o‘lchansa. ${\displaystyle {\epsilon }_{\nu }}$ va ${\displaystyle {\epsilon }_{\lambda }}$ kattaliklarning o‘lchov birliklari mos ravishda Vt·m⁻²·Hz⁻¹ va Vt·m⁻³.

Formulaning yana bir yozilish shakli mutlaq qora jism nurlanishining spektral hajmiy energiya zichligini tavsiflaydi. Oldingi formulalarga o‘xshash ravishda, u kichik chastotalar yoki to‘lqin uzunliklari oralig‘idagi energiya zichligining shu oraliq kengligiga bo‘lingan qiymatiga teng:

${\displaystyle u_{\nu }(\nu ,T)=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{\frac{h\nu }{kT}}-1}}$,

${\displaystyle u_{\lambda }(\lambda ,T)=\frac{8\pi hc}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}}$.

SI tizimida ${\displaystyle u_{\nu }}$ va ${\displaystyle u_{\lambda }}$ kattaliklarning o‘lchov birliklari mos ravishda J·m⁻³·Hz⁻¹ va J·m⁻⁴ ga teng. Bundan tashqari, spektral energiya zichligi spektral nurlanish qobiliyati bilan quyidagi munosabat orqali bog‘langan: $\epsilon =\frac{c}{4}u$, energetik ravshanlikning spektral zichligi bilan esa quyidagi munosabat orqali bog‘langan: $B=\frac{c}{4\pi }u$.

Plank formulasi ma’lum haroratda modda bilan issiqlik muvozanatida bo‘lgan nurlanishga tatbiq etiladi. U shakli, tarkibi va tuzilishidan qat’i nazar, mutlaq qora jismlarga tatbiq etiladi, bunda nurlanuvchi jism va uning sirtidagi detallarning o‘lchamlari jism asosan nurlanadigan to‘lqin uzunliklaridan ancha katta bo‘lishi kerak.

Agar jism mutlaq qora bo‘lmasa, uning muvozanatdagi spektri, ya’ni issiqlik nurlanishi spektri Plank qonuni bilan tavsiflanmaydi, ammo u bilan Kirxgofning nurlanish qonuni orqali bog‘liq. Ushbu qonunga ko‘ra, jismning nurlanish va yutish qobiliyatlari nisbati barcha to‘lqin uzunliklari uchun bir xil bo‘lib, faqat haroratga bog‘liq. Masalan, bir xil haroratda mutlaq kulrang jismning spektridagi energiya taqsimoti mutlaq qora jism spektridagidek bo‘ladi, biroq nurlanishning umumiy energetik ravshanligi kichikroq bo‘ladi.

Plank formulasi nurlanish spektri Plank spektridan farq qiladigan haqiqiy jismlarni tavsiflash uchun ham qo‘llanadi. Buning uchun jismning effektiv harorati tushunchasi kiritiladi: bu — mutlaq qora jism birlik yuzadan mazkur jism bilan bir xil miqdorda energiya nurlantiradigan harorat. Xuddi shu tarzda ravshanlik harorati aniqlanadi: u muayyan to‘lqin uzunligida birlik yuzadan shuncha energiya nurlantiradigan mutlaq qora jism haroratiga teng. Shuningdek, rang harorati — spektrning ma’lum qismida energiya taqsimoti bir xil bo‘lgan mutlaq qora jism harorati. Masalan, Quyoshning effektiv harorati taxminan 5780 K, ravshanlik harorati esa to‘lqin uzunligiga qarab turlicha: 1500 Å to‘lqin uzunligida uning eng kichik qiymati 4200 K, ko‘rinadigan diapazonda esa 5500 Å to‘lqin uzunligida qiymati taxminan 6400 K mutlaq qora jism uchun esa ushbu usullar bilan aniqlangan haroratlar bir-biriga mos keladi.

Quyidagi issiqlik nurlanishi qonunini aniqlash 1859-yildan boshlab qiziqish uyg‘otgan. O‘sha yili Gustav Kirxgof Kirxgofning nurlanish qonunini kashf etdi. Unga ko‘ra, nurlanish va yutish qobiliyatlari nisbati barcha jismlar uchun universal hisoblanadi. Demak, mutlaq qora jismning nurlanish funksiyasi — uning barcha to‘lqin uzunliklarida yutish qobiliyati birga teng — shu nisbatni ifodalovchi funksiya bilan mos kelishi kerak.

XIX asr oxiriga kelib, mutlaq qora jismning nurlanish spektri tajribalar orqali ma’lum edi. 1896-yilda Vilgelm Vin uni empirik ravishda Vinning nurlanish qonuni bilan tavsifladi, ammo o‘sha paytda fiziklar uning nazariy asosini ham, qandaydir nazariy xulosasini ham keltira olmagan edilar. Vin o‘z ishida qonunni asoslashga uringan bo‘lsa-da, bu asos muammo hal qilingan deb hisoblash uchun yetarlicha qat’iy emas edi.

Maks Plank Vinning nurlanish qonunini nazariy jihatdan asoslashga uringan olimlardan biri edi. U nurlatuvchilar chiziqli garmonik ossillyatorlar bo‘lib, ularda nurlanish chiqarish va yutish o‘rtasida muvozanat o‘rnatilgan deb hisoblagan. Ossillyatorlarning entropiyasi va energiyasi orasidagi bog‘lanishni aniqlab, u Vinning nurlanish qonunini tasdiqlashga muvaffaq bo‘ldi.

Biroq keyingi tajribalar Vinning nurlanish qonuni issiqlik nurlanishi spektrining uzun to‘lqinli qismida aniq natija bermasligini ko‘rsatdi. 1900-yil oktabrida Plank faqat doimiy koeffitsiyentlar bilan farq qiladigan, hozirgi Plank qonuniga mos formulani taqdim etdi. O‘sha kunning o‘zidayoq uning tajriba ma’lumotlarini yaxshi tavsiflashi, biroq nazariy asosi yo‘qligi aniqlandi. Plank formula qisqa to‘lqinlar uchun chegaraviy holatda Vin qonuniga aylanishi, uzun to‘lqinlarda esa undan farqli ravishda tajriba ma’lumotlariga mos kelishi kerakligidan kelib chiqib, uni keltirib chiqargan edi.

Formula topilgani haqida xabar berilganidan ikki oy ham o‘tmay, Plank Germaniya fizika jamiyati yig‘ilishida uning nazariy keltirib chiqarilishini taqdim etdi. Unda Lyudvig Boltsman kiritgan entropiya munosabatidan foydalanildi; bu munosabatda tizimning mumkin bo‘lgan mikroskopik holatlari soni qaraladi. Plank kombinatorika usullaridan foydalanib entropiyani baholash uchun umumiy energiya chekli ulushlarning butun sonli yig‘indisidan — kvantlardan iborat deb faraz qildi.

Garchi ushbu keltirib chiqarishda kvantlar paydo bo‘lib, Plank doimiysi kiritilib, ilk marta qo‘llangan bo‘lsa-da, Plankning o‘zi ham, hamkasblari ham kashfiyotning naqadar chuqur ahamiyatga egaligini tushunmagan. Masalan, Plank energiyaning diskretligi hech qanday fizik ma’noga ega emas, shunchaki matematik usul, deb hisoblagan. Boshqa fiziklar ham bunga ahamiyat bermay, ushbu faraz klassik fizikaga zid emas deb o‘ylaganlar. Faqat Hendrik Lorensning 1908-yildagi maqolasidan keyin ilmiy jamoatchilik kvantlarning haqiqatan ham fizik ma’noga egaligiga ishondi. Keyinchalik Plank kvantlarni kiritishni «umidsizlikdan qilingan harakat» deb atadi: unga ko‘ra, «nazariy izoh, qanday katta narx evaziga bo‘lmasin, topilishi kerak edi». Shunga qaramay, Plank formulasi asoslangan kun — 14-dekabr 1900-yil — kvant fizikasining tug‘ilgan kuni hisoblanadi.

Quyidagi klassik fizika mulohazalariga tayangan holda 1900-yilda lord Reyli, 1905-yilda esa Jeyms Jins Reyli — Jins qonunini keltirib chiqardilar. Ulardan mustaqil ravishda Plankning o‘zi ham o‘z ishlarida shu natijaga kelgan. Bu qonunni keltirib chiqarish Plank qonunini keltirib chiqarishdan uncha farq qilmagan (quyiga qarang), faqat nurlanishning o‘rtacha energiyasi ${\displaystyle ⟨\epsilon ⟩}$ uchun ${\displaystyle kT}$ qiymati energiyaning erkinlik darajalari bo‘yicha teng taqsimlanishi haqidagi teorema asosida qabul qilingan. Klassik fizika nuqtayi nazaridan keltirib chiqarish shubha tug‘dirmagan. Biroq Reyli — Jins qonuni uzun to‘lqinli sohadangina tashqari barcha joyda tajriba ma’lumotlaridan keskin farq qilgan va qisqa to‘lqinlarda nurlanish quvvati cheksiz katta bo‘lishini bashorat qilgan. Ushbu paradoks klassik fizikada fundamental ziddiyatlar mavjudligini ko‘rsatib, kvant farazi foydasiga qo‘shimcha dalil bo‘ldi. Paul Erenfest 1911-yilda uni ilk bor ultrabinafsha halokat.

deb atadi. 1918-yilda Maks Plank fizika bo‘yicha Nobel mukofotiga sazovor bo‘ldi. Rasmiy ravishda u kvantlarni kashf etgani uchun taqdirlangan bo‘lsa-da, bu kashfiyot Plank qonunini keltirib chiqarish bilan chambarchas bog‘liq edi.

Plank formulasi quyidagicha keltirib chiqariladi.

Keltirib chiqarishda kichik o‘lchamli mutlaq qora jism qaraladi. Uning harorati ${\displaystyle T}$, u joylashgan kubning qirrasi uzunligi esa ${\displaystyle l}$. Kubning ichki devorlari nurlanishni ideal tarzda qaytaradi. Natijada yorug‘lik chiqarilishi va yutilishi o‘zaro muvozanatlashadi, nurlanish esa kubning butun ichki fazosida bir tekis taqsimlanadi. Kub ichida muayyan energiya zichligi ${\displaystyle u(T)}$ saqlanib turadi. Spektral energiya zichligi deb ${\displaystyle u_{\omega }(\omega ,T)}$ kattalikka aytiladi. U burchak chastotalarining bir birlik oralig‘iga to‘g‘ri keladigan energiya zichligiga teng bo‘lib, u quyidagi chastota atrofida aniqlanadi: ${\displaystyle \omega }$.

Mutlaq qora jism sirtida kichik ${\displaystyle \mathrm{\Delta }S}$ yuzani tanlab, unga tushadigan energiyani hisoblash mumkin. Nurlanish ${\displaystyle \theta }$ burchak ostida tushadi; bu burchak normalga nisbatan o‘lchanadi. ${\displaystyle d\mathrm{\Omega }}$ fazoviy burchakdan tushadigan nurlanishning energiya zichligi $d\tilde{u}=u(T)\frac{d\mathrm{\Omega }}{4\pi }$ ga teng, chunki nurlanish barcha yo‘nalishlarda ${\displaystyle 4\pi }$ steradian fazoviy burchak bo‘ylab bir tekis taqsimlangan. Yorug‘lik ${\displaystyle c}$ tezlikda harakat qilgani uchun ${\displaystyle \mathrm{\Delta }t}$ vaqt ichida sirtga tushadigan energiya ${\displaystyle dw}$:

${\displaystyle dw=cd\tilde{u}\mathrm{\Delta }t\mathrm{\Delta }S\cos \theta =\frac{c}{4\pi }u(T)\cos \theta \sin \theta d\theta d\phi \mathrm{\Delta }S\mathrm{\Delta }t}$.

Barcha yo‘nalishlardan keladigan energiyalar yig‘indisi quyidagi oqimni beradi — ${\displaystyle \mathrm{\Phi }}$:

${\displaystyle \mathrm{\Phi }=\frac{c}{4\pi }u(T){\int }_0^{2\pi }d\phi {\int }_0^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta d\theta =\frac{c}{4}u(T)}$.

Mutlaq qora jismning xuddi shu birlik yuzasi shuncha energiya nurlantiradi. Demak, butun oqim uchun ham, chastota yoki to‘lqin uzunliklarining istalgan oralig‘i uchun ham quyidagi munosabat o‘rinli: $\epsilon =\frac{c}{4}u$.

Kub ichida bir vaqtda chiqarilgan hamda qaytgan to‘lqinlar mavjud bo‘lgani uchun issiqlik nurlanishi maydoni ularning superpozitsiyasidan, ya’ni turg‘un elektromagnit to‘lqinlardan iborat bo‘lishi kerak. Ularning parametrlarini aniqlash uchun kub qirralari bo‘ylab dekart koordinatalar tizimi hamda tegishli birlik vektorlar ${\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_y,{\overrightarrow{e}}_z$ kiritiladi. Faqat ${\displaystyle x}$ o‘qi bo‘ylab tarqaladigan to‘lqin uchun $l=n_x\frac{\lambda }{2}$ shart bajarilishi kerak, bu yerda ${\displaystyle n_x}$ — natural son: ya’ni yarim to‘lqin uzunliklarining butun sonli yig‘indisi kub qirrasining uzunligi — $l$. To‘lqin vektori esa $\overrightarrow{k}=k_x{\overrightarrow{e}}_x$, bu yerda $k_x=\frac{2\pi }{\lambda }$ — to‘lqin soni, unga qo‘yilgan cheklov esa quyidagi ko‘rinishga ega: $k_x=n_x\frac{\pi }{l}$.

Xuddi shunday, ${\displaystyle y}$ va ${\displaystyle z}$ o‘qlari bo‘ylab tarqaladigan to‘lqinlar uchun ham mulohaza o‘xshash; boshqa har qanday yo‘nalishda tarqaladigan to‘lqinni o‘qlar bo‘ylab tarqaladigan to‘lqinlarning superpozitsiyasi sifatida ifodalash mumkin: ${\displaystyle \overrightarrow{k}=k_x{\overrightarrow{e}}_x+k_y{\overrightarrow{e}}_y+k_z{\overrightarrow{e}}_z}$. Shunday qilib, $k_x=n_x\frac{\pi }{l},k_y=n_y\frac{\pi }{l},k_z=n_z\frac{\pi }{l}$, bu yerda ${\displaystyle n_x,n_y,n_z}$ — bir-biridan mustaqil natural sonlar yoki nollar. U holda har qanday to‘lqinning to‘lqin soni $k=\sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2}=\frac{\pi }{l}\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}$, uning chastotasi esa $\omega =\frac{\pi c}{l}\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}$ ga teng bo‘ladi. Ushbu parametrlarning har bir uchtaligiga bitta turg‘un to‘lqin mos keladi.

Quyidagi o‘lchamsiz $R=\frac{\omega l}{\pi c}$ kattalik yordamida chastotasi ${\displaystyle \omega }$ dan oshmaydigan turg‘un to‘lqinlar sonini aniqlash mumkin. Bu son ${\displaystyle \tilde{N}}$ ${\displaystyle n_x,n_y,n_z}$ kombinatsiyalarining ${\displaystyle R^2\ge n_x^2+n_y^2+n_z^2}$ shartni qanoatlantiradiganlari soniga teng. Shunday qilib, ${\displaystyle \tilde{N}}$ sonini shar hajmining sakkizdan bir qismiga asoslanib hisoblash mumkin. Bu sharning radiusi $R$:

${\displaystyle \tilde{N}=\frac{1}{8}\cdot \frac{4}{3}\pi R^3=\frac{1}{6}\cdot \frac{{\omega }^3{l}^3}{{\pi }^2{c}^3}=\frac{1}{6}\cdot \frac{{\omega }^3}{{\pi }^2{c}^3}V,}$

bo‘lgan shar hajmining sakkizdan bir qismi sifatida baholash mumkin; bu yerda ${\displaystyle V}$ — nurlanish joylashgan fazo. Elektromagnit to‘lqinlar ko‘ndalang bo‘lgani sababli, har bir yo‘nalishda o‘zaro perpendikulyar qutblangan ikkita to‘lqin tarqalishi mumkin. Shu bois to‘lqinlarning haqiqiy soni ${\displaystyle N}$ yana ikki baravar oshadi:

${\displaystyle N=2\tilde{N}=\frac{1}{3}\cdot \frac{{\omega }^3}{{\pi }^2{c}^3}V}$.

Ushbu ifodani chastota bo‘yicha differensiallasak, to‘lqin uzunliklari ${\displaystyle (\omega ;\omega +d\omega )}$:

${\displaystyle dN=\frac{{\omega }^{2}d\omega }{{\pi }^2{c}^3}V}$.

oralig‘ida bo‘lgan turg‘un to‘lqinlar soni hosil bo‘ladi. ${\displaystyle ⟨\epsilon ⟩}$ sifatida chastotasi ${\displaystyle \omega }$ bo‘lgan turg‘un elektromagnit to‘lqinning o‘rtacha energiyasini olish mumkin. Turg‘un to‘lqinlar soni ${\displaystyle dN}$ ni ${\displaystyle ⟨\epsilon ⟩}$ ga ko‘paytirib, natijani ${\displaystyle V}$ ga va ${\displaystyle d\omega }$ ga bo‘lsak, nurlanish energiyasining spektral zichligi hosil bo‘ladi:

${\displaystyle u_{\omega }=\frac{{\omega }^2}{{\pi }^2{c}^3}⟨\epsilon ⟩}$.

Plank qonunini keyingi bosqichda keltirib chiqarish uchun kvant fizikasi hodisalarini hisobga olish zarur. Xususan, energiya quyidagi kattalikka teng bo‘lgan chekli kvantlar shaklida nurlanadi: ${\displaystyle E=\hslash \omega }$ ($\hslash =\frac{h}{2\pi }$ — Dirak doimiysi). Shunga ko‘ra, nurlanish energiyasining mumkin bo‘lgan qiymatlari ${\displaystyle {\epsilon }_n=n\hslash \omega }$ ga teng, bu yerda ${\displaystyle n}$ — istalgan natural son. Shunday qilib, nurlanishning o‘rtacha energiyasi ${\displaystyle ⟨\epsilon ⟩}$ quyidagiga teng:

${\displaystyle ⟨\epsilon ⟩=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_n{\epsilon }_n,}$

bu yerda ${\displaystyle P_n}$ — nurlanish energiyasining ${\displaystyle {\epsilon }_n}$ ga teng bo‘lish ehtimoli. Ehtimol energiya bo‘yicha Boltsman taqsimoti bilan tavsiflanadi; bunda normalash koeffitsiyenti ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle P_n=A{e}^{-\frac{{\epsilon }_n}{kT}}}$.

Quyidagi shartni hisobga olsak, ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_n=1$, ${\displaystyle A}$ uchun quyidagisi o‘rinli:

${\displaystyle A={\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{{\epsilon }_n}{kT}}\right)}^{-1}}$.

Shunday qilib, ${\displaystyle ⟨\epsilon ⟩}$ quyidagicha ifodalanadi:

${\displaystyle ⟨\epsilon ⟩=\frac{{\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}n\hslash \omega e^{-\frac{n\hslash \omega }{kT}}}{{\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{n\hslash \omega }{kT}}}=\hslash \omega \frac{{\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}n{e}^{-n\xi }}{{\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-n\xi }}}$.

Bu yerda $\xi =\frac{\hslash \omega }{kT}$. Maxraj geometrik progressiya yig‘indisi formulasi bo‘yicha yoyiladi, surat esa maxrajning quyidagi kattalik bo‘yicha hosilasidir — $\xi$:

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-n\xi }=\frac{1}{1-e^{-\xi }}}$,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n{e}^{-n\xi }=-\frac{dS}{d\xi }=\frac{e^{-\xi }}{(1-e^{-\xi }{)}^2}}$.

bo‘yicha hosilasi sifatida ifodalanadi. O‘rtacha energiya uchun quyidagi ifoda olinadi:

${\displaystyle ⟨\epsilon ⟩=\frac{\hslash \omega }{e^{\frac{\hslash \omega }{kT}}-1}}$.

Agar ${\displaystyle ⟨\epsilon ⟩}$ ni nurlanish energiyasining spektral zichligi formulasiga qo‘ysak, Plank formulasining yakuniy ko‘rinishlaridan biri hosil bo‘ladi:

${\displaystyle u_{\omega }=\frac{\hslash {\omega }^3}{{\pi }^2{c}^3}\frac{1}{e^{\frac{\hslash \omega }{kT}}-1}}$.

Quyidagi $\epsilon =\frac{c}{4}u$ munosabat nurlanish qobiliyati formulasini olish imkonini beradi:

${\displaystyle {\epsilon }_{\omega }=\frac{\hslash {\omega }^3}{4{\pi }^2{c}^2}\frac{1}{e^{\frac{\hslash \omega }{kT}}-1}}$.

Agar ${\displaystyle \pi }$ ga bo‘linsa, ravshanlikning spektral zichligi ifodasi olinadi:

${\displaystyle B_{\omega }=\frac{\hslash {\omega }^3}{4{\pi }^3{c}^2}\frac{1}{e^{\frac{\hslash \omega }{kT}}-1}}$.

Bu kattaliklarni boshqa parametrlar, masalan, burchak chastotasi ${\displaystyle \nu }$ yoki to‘lqin uzunligi ${\displaystyle \lambda }$ orqali ifodalash mumkin. Buning uchun ta’rifga ko‘ra ${\displaystyle B_{\omega }d\omega =B_{\nu }d\nu }$, ${\displaystyle B_{\nu }d\nu =-B_{\lambda }d\lambda }$ munosabatlari bajarilishini hisobga olish kerak (manfiy ishora to‘lqin uzunligi ortganda chastota kamayishi sababli paydo bo‘ladi); nurlanish qobiliyati va energiya zichligi uchun ham shunday formulalar o‘rinli. Burchak chastotalariga o‘tish uchun ${\displaystyle \omega =2\pi \nu }$ bilan almashtirish kerak (bunda $\hslash =\frac{h}{2\pi }$, demak, ${\displaystyle h\nu =\hslash \omega }$) va $\frac{d\omega }{d\nu }=2\pi$ ga ko‘paytirish lozim. Shunda formulalar quyidagi ko‘rinishni oladi:

${\displaystyle u_{\nu }=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{\frac{h\nu }{kT}}-1}}$,

${\displaystyle {\epsilon }_{\nu }=\frac{2\pi h{\nu }^3}{c^2}\frac{1}{e^{\frac{h\nu }{kT}}-1}}$,

${\displaystyle B_{\nu }=\frac{2h{\nu }^3}{c^2}\frac{1}{e^{\frac{h\nu }{kT}}-1}}$.

Xuddi shu tarzda to‘lqin uzunliklari uchun formulalar olinadi. Avval quyidagi almashtirishni bajaramiz: $\nu =\frac{c}{\lambda }$ so‘ng hosilani hisoblash uchun quyidagi koeffitsiyentdan foydalanamiz — $\frac{d\nu }{d\lambda }=-\frac{c}{{\lambda }^2}$:

${\displaystyle u_{\lambda }=\frac{8\pi hc}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}}$,

${\displaystyle {\epsilon }_{\lambda }=\frac{2\pi h{c}^2}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}}$,

${\displaystyle B_{\lambda }=\frac{2h{c}^2}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}}$.

Agar muvozanatdagi nurlanish foton gaz sifatida qaralsa, unga Boze — Eynshteyn statistikasini qo‘llash mumkin. Bu statistika zarrachalarning o‘rtacha sonini ${\displaystyle ⟨n_i⟩}$ aniqlaydi. Bunda ${\displaystyle i}$-kvant holatining energiyasi ${\displaystyle E_i}$:

${\displaystyle ⟨n_i⟩=\frac{1}{e^{\frac{E_i-\mu }{kT}}-1}}$.

Ushbu formulada ${\displaystyle \mu }$ — kimyoviy potensial. Bu gazning kimyoviy potensialidir. Foton gaz uchun u nolga teng, shu sababli formula quyidagicha yoziladi:

${\displaystyle ⟨n⟩=\frac{1}{e^{\frac{\hslash \omega }{kT}}-1}}$.

Fotonlarning o‘rtacha soni ${\displaystyle ⟨n⟩}$ ularning energiyasi ${\displaystyle \hslash \omega }$ ga ko‘paytirilsa, Boltsman taqsimotidan olingan ${\displaystyle ⟨\epsilon ⟩}$ o‘rtacha energiya bilan bir xil natija hosil bo‘ladi. Uni energiyaning spektral zichligi $u_{\omega }=\frac{{\omega }^2}{{\pi }^2{c}^3}⟨\epsilon ⟩$ formulasiga qo‘ysak, Plank qonuni kelib chiqadi.

Plank formulasini atomlarning spontan va majburiy nurlanish mexanizmlarini ko‘rib chiqish orqali ham keltirib chiqarish mumkin.

Ushbu keltirib chiqarish usulini Eynshteyn 1916-yilda taklif qilgan. Unda atomlar soni ${\displaystyle N_m}$ va ${\displaystyle N_n}$ bo‘lib, ular mos ravishda energiyalari ${\displaystyle E_m}$ va ${\displaystyle E_n}$ bo‘lgan sathlarda joylashgan. Yuqori ${\displaystyle E_n}$ sathdan quyi ${\displaystyle E_m}$ sathga birlik vaqtdagi o‘tishlar soni ${\displaystyle N_n}$ ga proporsional bo‘lib, uni ${\displaystyle A_n^m{N}_n}$ ko‘rinishida yozish mumkin. Majburiy nurlanishda birlik vaqtdagi o‘tishlar soni ${\displaystyle N_n}$ ga hamda o‘tish chastotasidagi nurlanishning spektral zichligi ${\displaystyle u({\omega }_{mn})}$ ga proporsional; ya’ni u ${\displaystyle B_n^m{N}_{n}u({\omega }_{mn})}$ ko‘rinishda yoziladi. Yutilish tufayli birlik vaqtdagi o‘tishlar soni esa ${\displaystyle N_m}$ va ${\displaystyle u({\omega }_{mn})}$ quyidagicha yoziladi: ${\displaystyle B_m^n{N}_{m}u({\omega }_{mn})}$.

ko‘rinishida yoziladi. ${\displaystyle A_n^m,B_n^m,B_m^n}$ kattaliklar faqat atomning o‘zi va tanlangan energiya sathlariga xos bo‘lib, Eynshteyn koeffitsiyentlari deb ataladi. Agar nurlanish maydoni muvozanatda va uning harorati ${\displaystyle T}$ bo‘lsa, batafsil muvozanat sharti quyidagicha yoziladi:

${\displaystyle A_n^m{N}_n+B_n^m{N}_{n}u({\omega }_{mn})=B_m^n{N}_{m}u({\omega }_{mn})}$.

Quyidagi chegaraviy holatda ${\displaystyle T\to \mathrm{\infty }}$ spontan nurlanishni majburiy nurlanishga nisbatan hisobga olmaslik mumkin. Shunda muvozanat sharti ${\displaystyle B_n^m{N}_n=B_m^n{N}_m}$ ko‘rinishga keladi. ${\displaystyle T\to \mathrm{\infty }}$ bo‘lganda ${\displaystyle N_n=N_m}$ munosabat bajarilishi va Eynshteyn koeffitsiyentlari haroratga bog‘liq emasligi sababli ${\displaystyle B_n^m=B_m^n}$ tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu oddiy sathlar uchun to‘g‘ri; karrali sathlar uchun esa qo‘shimcha ravishda karralik koeffitsiyentlarini hisobga olish lozim. Keyingi mulohazalarda faqat oddiy sathlarni ko‘rib chiqish mumkin, chunki nurlanish energiyasi zichligi modda tuzilishining tafsilotlariga bog‘liq emas.

Boltsman taqsimotidan foydalanish mumkin:

${\displaystyle \frac{N_n}{N_m}=e^{\left(\frac{E_n-E_m}{kT}\right)}}$.

Uni muvozanat shartiga qo‘llasak, quyidagini olamiz:

${\displaystyle u({\omega }_{mn})=\frac{\alpha ({\omega }_{mn})}{e^{\left(\frac{\hslash {\omega }_{mn}}{kT}\right)}-1},}$

bu yerda $\alpha ({\omega }_{mn})=\frac{A_n^m}{B_n^m}$. Ushbu kattalik haroratga bog‘liq emas va uni yuqori haroratlarda Reyli — Jins formulasi:

${\displaystyle u({\omega }_{mn})=\frac{\alpha ({\omega }_{mn})kT}{\hslash {\omega }_{mn}}}$,

${\displaystyle \alpha ({\omega }_{mn})=\frac{\hslash {\omega }_{mn}^3}{{\pi }^2{c}^3}}$.

o‘rinli bo‘lishi shartidan topish mumkin. Energiya sathlarini ixtiyoriy tanlash mumkin, shu sababli ${\displaystyle m}$ va ${\displaystyle n}$ indekslarni olib tashlab, formulani istalgan chastota uchun ishlatish mumkin. ${\displaystyle \alpha (\omega )}$ ni dastlabki ${\displaystyle u(\omega )}$ formulasiga qo‘ysak, Plank formulasi hosil bo‘ladi. Demak, Plank formulasining to‘g‘riligi muhim natijaga — majburiy o‘tishlar mavjudligiga olib keladi. Ular lazer nurlanishini hosil qilish uchun zarurdir.

Reyli — Jins qonuni — Plank qonunining ${\displaystyle hc\ll \lambda kT}$ shartida (ya’ni katta to‘lqin uzunliklari va kichik chastotalar sohasida) yaxshi ishlaydi, ammo ${\displaystyle hc}$ qiymati ${\displaystyle \lambda kT}$ bilan taqqoslanadigan yoki undan katta bo‘lganda Plank qonunidan keskin farq qiladi. Reyli — Jins qonuni quyidagi yaqinlashuvga asoslanadi: $e^{\frac{hc}{\lambda kT}}\approx 1+\frac{hc}{\lambda kT}$. Bu yaqinlashuv $\frac{hc}{\lambda kT}$ kichik bo‘lganda o‘rinli. Natijada formula quyidagi ko‘rinishni oladi:

${\displaystyle B_{\lambda }=\frac{2h{c}^2}{{\lambda }^5}\frac{\lambda kT}{hc}=\frac{2ckT}{{\lambda }^4}}$.

klassik fizika doirasida nurlanish qonuni keltirib chiqarilganda aynan Reyli — Jins qonuni olinadi. Biroq kichik to‘lqin uzunliklarida bu qonun nafaqat tajribadan chetga chiqadi, balki to‘lqin uzunligi nolga yaqinlashganda nurlanish quvvati cheksiz ortishini bashorat qiladi. Ushbu paradoks ultrabinafsha halokat deb nomlangan (yuqoriga qarang).

Vinning nurlanish qonuni — Plank qonunining ${\displaystyle hc\gg \lambda kT}$ shartida, ya’ni kichik to‘lqin uzunliklari va katta chastotalar sohasida yaxshi ishlaydigan yaqinlashuvidir. Vin qonuniga ko‘ra, ${\displaystyle hc\gg \lambda kT}$ bo‘lganda Plank formulasi maxrajidagi birlikni e’tiborga olmasdan, $e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1\approx e^{\frac{hc}{\lambda kT}}$ deb hisoblash mumkin. Shunda formula quyidagicha bo‘ladi:

${\displaystyle B_{\lambda }=\frac{2h{c}^2}{{\lambda }^5}{e}^{-\frac{hc}{\lambda kT}}}$.

Stefan — Boltsman qonuni — mutlaq qora jismning butun elektromagnit diapazondagi nurlanishini tavsiflovchi ifodadir. U Plank qonunidan chastota yoki formulaning yozilishiga qarab to‘lqin uzunligi bo‘yicha integrallash orqali keltirib chiqariladi:

${\displaystyle B(T)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{B}_{\nu }d\nu ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{B}_{\lambda }d\lambda }$,

${\displaystyle B(T)=\frac{2h}{c^2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\nu }^{3}d\nu }{e^{\frac{h\nu }{kT}}-1}}$.

Quyidagi almashtirishni bajaramiz: $x=\frac{h\nu }{kT}$, u holda $d\nu =\frac{kT}{h}dx$:

${\displaystyle B(T)=\frac{2h}{c^2}\frac{k^4}{h^4}{T}^4{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{3}dx}{e^x-1}}$.

Ushbu aniq integral $\frac{{\pi }^4}{15}$ ga teng. ${\displaystyle B(T)=A{T}^4}$ ko‘rinishida yozish mumkin, bu yerda ${\displaystyle A}$ — doimiy:

${\displaystyle A=\frac{2k^4}{c^2{h}^3}\frac{{\pi }^4}{15}}$.

Energiya oqimining zichligi bunda ${\displaystyle \pi }$ marta energetik ravshanlikdan katta bo‘ladi. Shuning uchun birinchi kattalikni hisoblashda ${\displaystyle \sigma =\pi A}$ koeffitsiyentdan foydalaniladi; u Stefan — Boltsman doimiysi deb ataladi va 5,67⋅10⁻⁸ Vt·m⁻²·K⁻⁴ ga teng. Birlik yuzadan nurlanish quvvati ${\displaystyle F}$ uchun quyidagi ifodani olish mumkin: ${\displaystyle F=\sigma T^4}$. Ushbu ifoda Stefan — Boltsman qonuni deb ataladi.

Vinning siljish qonuni mutlaq qora jismning nurlanish qobiliyati eng katta bo‘ladigan to‘lqin uzunligini uning harorati bilan bog‘laydi. U Plank qonunini formulaning shakliga qarab chastota yoki to‘lqin uzunligi bo‘yicha differensiallab, hosilani funksiya maksimumida nolga tenglashtirish orqali keltirib chiqariladi. Natijada ${\displaystyle {\lambda }_{max}T=b}$ munosabat olinadi, bu yerda ${\displaystyle b}$ — 0,0029 m·K ga teng doimiy. Shunday qilib, harorat oshganda maksimumga mos to‘lqin uzunligi qisqaradi.

Chastotalar uchun ham xuddi shu usulni qo‘llash mumkin, ammo spektral zichlik maksimumining chastotasini ${\nu }_{max}=\frac{c}{{\lambda }_{max}}$ formula bo‘yicha hisoblab bo‘lmaydi, chunki chastota bilan to‘lqin uzunligi orasidagi bog‘lanish chiziqli emas va nurlanish qobiliyati chastota yoki to‘lqin uzunligining birlik oralig‘idagi nurlanish asosida hisoblanadi.