Ideal gaz

Ideal gaz — nazariy model bo‘lib, u real gazlarning o‘rtacha bosim va harorat sharoitlaridagi xossalari va xatti-harakatini tavsiflashda keng qo‘llanadi. Bu modelda, birinchidan, gazni tashkil etuvchi zarralar o‘zaro ta’sirlashmaydi, ya’ni ularning o‘lchamlari hisobga olmaslik darajasida kichik deb qaraladi. Shu sababli ideal gaz egallagan hajmda zarralar o‘rtasida noelastik to‘qnashuvlar bo‘lmaydi. Ideal gaz zarralari faqat idish devorlari bilan to‘qnashadi. Ikkinchi farazga ko‘ra, gaz zarralari orasida uzoq masofadan ta’sir qiluvchi, masalan, elektrostatik yoki gravitatsion o‘zaro ta’sirlar mavjud emas. Bundan tashqari, molekulalar va idish devorlari o‘rtasidagi to‘qnashuvlar elastik bo‘lishi sharti molekulyar-kinetik nazariya doirasida ideal gaz termodinamikasini keltirib chiqaradi.

Ideal gazning turli kengaytirilgan modellarida zarralar ichki tuzilishga va muayyan o‘lchamlarga ega deb faraz qilinadi. Bunday zarralarni ellipsoidlar yoki elastik bog‘lanishlar bilan tutashgan sharlar (masalan, ikki atomli molekulalar) ko‘rinishida tasavvur qilish mumkin. Gaz zarralarini ko‘p atomli molekulalar sifatida qarash qo‘shimcha erkinlik darajalarini yuzaga keltiradi. Bu esa faqat ilgarilanma harakat energiyasini emas, balki zarralarning aylanma va tebranma harakati energiyasini, shuningdek, faqat markaziy emas, balki markazdan tashqari to‘qnashuvlarini ham hisobga olishni talab etadi.

Bu model gazlar termodinamikasi va aerogazodinamika masalalarini yechishda keng qo‘llanadi. Masalan, havo odatdagi atmosfera bosimi va xona haroratida amaliy hisob-kitoblar uchun yetarli aniqlik bilan ideal gaz modeli orqali tavsiflanadi.

Juda yuqori bosimlarda real gazlar holatining aniqroq tenglamalaridan, masalan, yarim empirik Van-der-Vaals tenglamasidan foydalanish kerak bo‘ladi. Unda molekulalar o‘rtasidagi tortishish hamda ularning chekli o‘lchamlari hisobga olinadi. Juda yuqori haroratlarda real gaz molekulalari o‘z tarkibidagi atomlarga dissotsiyalanishi yoki atomlar elektronlarini yo‘qotib, ionlanishi mumkin. Shu sababli yuqori bosim va/yoki harorat sharoitlarida ideal gaz holat tenglamalarini faqat ayrim farazlar bilan qo‘llash mumkin yoki ular umuman yaroqsiz bo‘ladi.

Quyidagi turlar farqlanadi: klassik ideal gaz (uning xossalari klassik mexanika qonunlaridan kelib chiqadi va Maksvell — Bolsman statistikasiga bo‘ysunadi), kvaziklassik ideal gaz (unda klassik ideal gazdan farqli ravishda, energiyaning erkinlik darajalari bo‘yicha teng taqsimlanish qonuni bajarilmaydi) va kvant ideal gaz (uning xossalari kvant mexanikasi qonunlari bilan belgilanadi va Fermi — Dirak statistikasi yoki Boze — Eynshteyn statistikasi orqali tavsiflanadi).

Ideal gaz modelining termodinamika o‘quv kurslarida keng qo‘llanishi shundaki, Klapeyron tenglamasi yordamida olingan natijalar nisbatan sodda matematik ifodalar bo‘lib, odatda ulardagi kattaliklarning o‘zgarishini oddiy analitik va/yoki grafik usulda tahlil qilish imkonini beradi. Gazlarning molekulyar ma’lumotlari asosida termodinamik funksiyalarini hisoblashda kvaziklassik yaqinlashuvdan foydalaniladi.

Tarixi

Ideal gaz tushunchasining paydo bo‘lish tarixi XVII asrda boshlangan eksperimental fizika yutuqlariga borib taqaladi. 1643-yilda Evangelista Torrichelli ilk bor havoning og‘irligi (massasi) borligini isbotladi va V. Viviani bilan birgalikda atmosfera bosimini simob bilan to‘ldirilgan, bir uchi kavsharlangan shisha naycha yordamida o‘lchash tajribasini o‘tkazdi. Shu tariqa birinchi simobli barometr paydo bo‘ldi. 1650-yilda nemis fizigi Otto fon Gerike havo nasosini ixtiro qildi va 1654-yilda Magdeburg yarimsharlari bilan mashhur tajribasini o‘tkazib, atmosfera bosimi mavjudligini yaqqol tasdiqladi. Ingliz fizigi Robert Boylning simob ustunini siqilgan havo bosimi bilan muvozanatlash bo‘yicha tajribalari 1662-yilda keyinchalik Boyl — Mariott qonuni deb atalgan gaz qonunining kashf etilishiga olib keldi. Bu nom fransuz fizigi Edm Mariott 1679-yilda shunga o‘xshash mustaqil tadqiqot o‘tkazgani bilan bog‘liq.

Xususan, 1802-yilda fransuz fizigi Gey-Lyussak hajmlar qonunini (rus tilidagi adabiyotlarda Gey-Lyussak qonuni deb ataladi) nashr etdi. Ammo Gey-Lyussakning o‘zi bu kashfiyot Jak Sharl tomonidan 1787-yilga oid, nashr etilmagan ishda qilingan deb hisoblagan. Ulardan mustaqil ravishda bu qonun 1801-yilda ingliz fizigi Jon Dalton tomonidan ham kashf etilgan. Bundan tashqari, uni XVII asr oxirlarida fransuz olimi Giyom Amonton sifat jihatidan tavsiflagan^{[manba 421 kundan beri ko‘rsatilmagan]}. Gey-Lyussak, shuningdek, turli gazlar qizdirilganda turlicha kengayadi degan keng tarqalgan fikrga qaramay, barcha gazlarning hajmiy kengayish koeffitsiyenti bir xil ekanini aniqladi.

Gey-Lyussak (1822) va Sadi Karno (1824) Boyl — Mariott va Sharl — Dalton — Gey-Lyussak qonunlarini bitta tenglamada birlashtirgan dastlabki olimlar bo‘lishdi. Biroq Gey-Lyussak o‘zi topgan tenglamadan foydalanmagan, Karnoning natijalari esa bibliografik noyob asarga aylangan «Olovning harakatlantiruvchi kuchi va bu kuchni hosil qila oladigan mashinalar haqida mulohazalar» kitobidan emas, balki Karno g‘oyalari bayon etilgan Benua Klapeyronning «Olovning harakatlantiruvchi kuchi haqida memuar» asaridan ma’lum bo‘lgan. Shu sababli ideal gazning termik holat tenglamasini keltirib chiqarish Klapeyronga nisbat berilib, tenglama Klapeyron tenglamasi deb atala boshlandi. Holbuki, olimning o‘zi bu tenglama muallifligiga hech qachon da’vo qilmagan. Shu bilan birga, gazlarga oid barcha hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtirgan holat tenglamasini qo‘llash samaradorligini birinchi bo‘lib aynan Klapeyron anglagani shubhasiz.

O‘sha yillardagi real gazlarning fizik xossalariga doir eksperimental tadqiqotlar uncha aniq emas edi va odatdagi sharoitlardan katta farq qilmaydigan sharoitlarda (harorat 0 ℃, bosim 760 mm simob ustuni) o‘tkazilgan. Shuningdek, gaz bug‘dan farqli ravishda har qanday fizik sharoitda o‘zgarmaydigan modda deb hisoblangan. Bu tasavvurlarga birinchi zarba xlorning 1823-yilda suyultirilishi bilan berildi. Keyinchalik real gazlar o‘ta qizigan bug‘lar bo‘lib, kondensatsiya va kritik holat sohalaridan yetarlicha uzoqda joylashgani aniqlandi. Har qanday real gazni kondensatsiya yo‘li bilan yoki bir fazali holatni uzluksiz o‘zgartirish orqali suyuqlikka aylantirish mumkin. Shunday qilib, real gazlar tegishli oddiy moddalarning agregat holatlaridan biri ekani, gazning aniq holat tenglamasi esa oddiy moddaning holat tenglamasi bo‘lishi mumkinligi ma’lum bo‘ldi. Shunga qaramay, gaz qonunlari termodinamika va uning texnik qo‘llanmalarida real gazlarning chegaraviy (amalda erishib bo‘lmaydigan) holatlarini ifodalovchi ideal gaz qonunlari sifatida saqlanib qoldi. Klapeyron tenglamasi gazlarning molekulyar-kinetik nazariyasi asosida ayrim farazlar bilan keltirib chiqarildi (Avgust Kryonig tomonidan 1856-yilda va Rudolf Klauzius tomonidan 1857-yilda). «Ideal gaz» tushunchasining o‘zini ham Klauzius fanga kiritgan (XIX asr oxiri — XX asr boshlaridagi mahalliy adabiyotlarda «ideal gaz» o‘rniga «mukammal gaz» atamasi ishlatilgan).

Ideal gazning termik holat tenglamasini shakllantirishdagi keyingi muhim qadam — har bir gaz uchun alohida o‘zgarmasdan universal gaz doimiysiga o‘tish — rus muhandisi Ilya Alimov tomonidan qo‘yildi. Biroq uning fiziklar va kimyogarlar orasida kam tanilgan nashrda chop etilgan ishi e’tibordan chetda qoldi. Xuddi shu natijani Mendeleyev 1874-yilda oldi. Rus olimlarining ishlaridan mustaqil ravishda Gustav Tseyner (1866), Kato Guldberg (1867) va Avgust Gorstman^[nemischa] (1873) Klapeyron tenglamasidagi har bir gazga xos doimiyning molekulyar og‘irlikka ko‘paytmasi barcha gazlar uchun bir xil doimiy kattalik bo‘lishi kerak, degan xulosaga kelishdi.

1912-yilda Nernst doimiysini keltirib chiqarishda fazalar fazosini teng hajmli katakchalarga ajratish tamoyili birinchi marta qo‘llandi. Keyinchalik, 1925-yilda Sh. Boze «Plank qonuni va yorug‘lik kvantlari haqidagi gipoteza» nomli maqolasini e’lon qilib, bu g‘oyani foton gaziga tatbiq etdi. Eynshteyn bu maqola haqida: «Bu yerda qo‘llangan usul ideal gazning kvant nazariyasini olish imkonini beradi», degan. O‘sha yilning dekabr oyida Enriko Fermi yarim butun spinga ega zarralar statistikasini ishlab chiqdi. Bu zarralar Pauli prinsipiga bo‘ysunadi va keyinchalik fermionlar deb ataldi.

1940-yillar oxirigacha nashr etilgan mahalliy adabiyotlarda ideal gazning termik holat tenglamasi Klapeyron tenglamasi yoki 1 mol uchun Klapeyron tenglamasi deb atalardi. Gazlarning turli holat tenglamalariga bag‘ishlangan 1948-yildagi fundamental mahalliy monografiyada Klapeyrondan farqli ravishda Mendeleyev umuman tilga olinmagan. Biz ko‘rib chiqayotgan tenglama nomida Mendeleyev familiyasi «G‘arbga ko‘r-ko‘rona taqlid qilishga qarshi kurash» va «ruslarning birinchiligini izlash» boshlanganidan keyin paydo bo‘ldi. Ana shundan keyin ilmiy va o‘quv adabiyotlarida Mendeleyev tenglamasi, Mendeleyev — Klapeyron tenglamasi va Klapeyron — Mendeleyev tenglamasi kabi nomlar ishlatila boshlandi.

Klassik ideal gaz

Ideal gazning molekulyar-kinetik nazariyasi

Ideal gazning molekulyar-kinetik tasavvurlarga asoslangan xossalari quyidagi farazlarni qabul qiladigan fizik modeldan kelib chiqib aniqlanadi:

Molekulalarning o‘lchamlari ular orasidagi o‘rtacha masofaga nisbatan juda kichik, shuning uchun molekulalar egallaydigan jami hajm idish hajmidan ancha kichik;
impuls faqat to‘qnashuvlarda uzatiladi, ya’ni molekulalar o‘rtasidagi tortishish kuchlari hisobga olinmaydi, itarish kuchlari esa faqat to‘qnashuvda paydo bo‘ladi;
zarralarning o‘zaro va idish devorlari bilan to‘qnashuvlari mutlaqo elastikdir;
gazdagi molekulalar soni juda katta va o‘zgarmas bo‘lib, bu tizim o‘lchamlariga nisbatan kichik hajmda o‘rtacha kattaliklarni hisoblash imkonini beradi;
gaz idish devorlari bilan termodinamik muvozanatda bo‘ladi va bundan tashqari, moddaning makroskopik oqimlari mavjud bo‘lmaydi. Shu o‘rinda termodinamik kattaliklar gradientlari, masalan, tashqi maydon, xususan gravitatsion maydon mavjud bo‘lganda, yuzaga kelishi mumkinligini aniqlashtirish kerak.

Bu holda gaz zarralari bir-biridan mustaqil harakat qiladi. Gazning devorga bosimi vaqt birligi ichida birlik yuzali devor qismiga to‘qnashayotgan zarralar uzatgan jami impulsga teng, gazning ichki energiyasi esa zarralar energiyalarining yig‘indisiga teng.

Unga teng kuchli makroskopik ta’rifga ko‘ra, ideal gaz bir vaqtning o‘zida Boyl — Mariott va Gey-Lyussak qonunlariga bo‘ysunadigan gazdir, ya’ni:

p V = c o n s t \cdot T,

bu yerda $p$ — bosim, $V$ — hajm, $T$ — mutlaq harorat.

Ideal gazning termik holat tenglamasi va termik koeffitsiyentlari

Klassik va kvaziklassik ideal gazlarning termik xossalari Klapeyron tenglamasi bilan tavsiflanadi:

p V = \frac{m}{M} R T,

bu yerda R — universal gaz doimiysi (8,3144598 J⁄(mol∙K)), m — gaz massasi, M — uning molyar massasi yoki

p V = ν R T

,

bu yerda $ν$ — gaz miqdori — mol hisobida.

Statistik fizika formulalarida odatda Bolsman doimiysi k (1,3806·10⁻²³ J⁄K), zarraning massasi $\overset{´}{m}$ va zarralar soni N.

Statistik va termodinamik kattaliklar quyidagi munosabatlar bilan bog‘langan:

m = \overset{´}{m} N, n = \frac{N}{N_{A}}, R = k N_{A}, k N = n R,

bu yerda N_A — Avogadro soni (6,02214·10²³ 1⁄mol).

Statistik fizika belgilashlaridan foydalanganda Klapeyron tenglamasi quyidagi ko‘rinishni oladi:

p V = N k T,

yoki:

p = c k T,

bu yerda c — zarralar konsentratsiyasi.

Ideal gazning termik koeffitsiyentlariga oid ma’lumotlar quyidagi maqolada keltirilgan: Holat tenglamasi.

Ideal gazlar aralashmasi

Ideal gazlar aralashmasi ham ideal gaz hisoblanadi. Gazning har bir tarkibiy qismiga o‘zining parsial bosimi mos keladi va aralashmaning umumiy bosimi uning tarkibiy qismlari parsial bosimlari yig‘indisiga teng $p = p_{1} + p_{2} + p_{3}$ … Shuningdek, gazlar aralashmasidagi mollarning umumiy sonini ularning yig‘indisi sifatida topish mumkin $n = n_{1} + n_{2} + n_{3}$ … Unda ideal gazlar aralashmasining holat tenglamasi

p V = n R T .

Mukammal gaz (gidroaeromexanika)

Termodinamikadan farqli ravishda, gidroaeromexanikada Klapeyron tenglamasiga bo‘ysunuvchi gaz mukammal deb ataladi. Mukammal gazning molyar izoxorik $C_{V}$ va izobarik $C_{P}$ issiqlik sig‘imlari o‘zgarmasdir. Ayni paytda gidroaeromexanikada ideal gaz deb qovushqoqlik va issiqlik o‘tkazuvchanlik mavjud bo‘lmagan gazga aytiladi. Mukammal gaz modeli gaz oqimlarini o‘rganishda keng qo‘llanadi.

Issiqlik sig‘imi

Ideal gazning o‘zgarmas hajmdagi issiqlik sig‘imini quyidagicha aniqlaymiz:

{\hat{c}}_{V} = \frac{1}{n R} T {(\frac{\partial S}{\partial T})}_{V} = \frac{1}{n R} {(\frac{\partial U}{\partial T})}_{V},

bu yerda S — entropiya. Bu o‘lchamsiz issiqlik sig‘imi bo‘lib, o‘zgarmas hajmda, odatda, molekulalararo kuchlar tufayli haroratga bog‘liq bo‘ladi. O‘rtacha haroratlarda u doimiy kattalikdir: bir atomli gaz uchun ĉ_V = 3/2, ikki atomli gaz va chiziqli molekulali ko‘p atomli gazlar uchun ĉ_V = 5/2, chiziqli bo‘lmagan molekulali ko‘p atomli gaz uchun esa ĉ_V = 6/2=3. Ko‘rinib turibdiki, issiqlik sig‘imini makroskopik o‘lchashlar molekulalarning mikroskopik tuzilishi haqida ma’lumot berishi mumkin. O‘lchamsiz issiqlik sig‘imi tushunchasi keng tarqalmagan mahalliy o‘quv adabiyotlarida klassik ideal gazning o‘zgarmas hajmdagi issiqlik sig‘imi C_V haroratga bog‘liq emas deb olinadi va energiyaning teng taqsimlanishi teoremasiga ko‘ra, quyidagiga teng: 3Rν/2 barcha bir atomli gazlar uchun, 5Rν/2 barcha ikki atomli gazlar hamda chiziqli molekulali ko‘p atomli gazlar uchun, 3Rν barcha chiziqli bo‘lmagan molekulali ko‘p atomli gazlar uchun. Kvaziklassik ideal gazning klassik gazdan farqi uning ichki energiyasi haroratga boshqacha bog‘liq bo‘lishidadir. Klassik ideal gazning o‘zgarmas hajmdagi issiqlik sig‘imi C_V haroratga bog‘liq emas (u o‘zgarmas kattalikni tashkil etadi), ya’ni gazning ichki energiyasi har doim uning haroratiga mutanosib. Kvaziklassik ideal gazning issiqlik sig‘imi esa $C_{V}$ gazning kimyoviy tarkibi va haroratiga bog‘liq, ya’ni ichki energiya haroratga nochiziqli bog‘langan.

Ideal gazning 1/R mol miqdori uchun o‘zgarmas bosimdagi issiqlik sig‘imi:

{\hat{c}}_{P} = \frac{1}{n R} T {(\frac{\partial S}{\partial T})}_{P} = \frac{1}{n R} {(\frac{\partial H}{\partial T})}_{P} = {\hat{c}}_{V} + 1,

bu yerda H = U + PV — gaz entalpiyasi .

Ba’zan ĉ_V va ĉ_P haroratga qarab o‘zgarishi mumkin bo‘lgan klassik ideal gaz hamda bunday o‘zgarish kuzatilmaydigan kvaziklassik ideal gaz o‘rtasida farq ko‘rsatiladi.

Har qanday klassik va kvaziklassik ideal gaz uchun Mayer munosabati o‘rinlidir:

C_{P} - C_{V} = R,

bu yerda $C_{P}$ — o‘zgarmas bosimdagi molyar issiqlik sig‘imi hisoblanadi.

O‘zgarmas hajm va o‘zgarmas bosimdagi issiqlik sig‘imlarining nisbati

γ = \frac{c_{P}}{c_{V}}

adiabata ko‘rsatkichi deb ataladi. Gazlar aralashmasidan iborat havo uchun bu nisbat 1,4 ga teng. Adiabata ko‘rsatkichi uchun Resh teoremasi:

\frac{C_{P}}{C_{V}} = \frac{{(\frac{\partial P}{\partial V})}_{S}}{{(\frac{\partial P}{\partial V})}_{T}} .

(Resh teoremasi)

Entropiya va termodinamik potensiallar

Oldingi bo‘limda ko‘rsatilganidek, C_V ni ĉ_V orqali ifodalab, ideal gazning holat tenglamasini differensiallab va integrallab, entropiya ifodasini olish mumkin:

Δ S = {\hat{c}}_{V} N k \ln (\frac{T}{T_{0}}) + N k \ln (\frac{V}{V_{0}}),

Bir qator o‘zgartirishlardan so‘ng bu ifoda ideal gazning termodinamik potensiallarini T, V va N ning funksiyalari sifatida quyidagi ko‘rinishda olish imkonini beradi:

$U$		$= {\hat{c}}_{V} N k T$
$A$	$= U - T S$	$= μ N - N k T$
$H$	$= U + P V$	$= {\hat{c}}_{P} N k T$
$G$	$= U + P V - T S$	$= μ N,$

bu yerda, avvalgidek,

{\hat{c}}_{P} = {\hat{c}}_{V} + 1 .

Ideal gaz nazariyasining qo‘llanishi

Gaz haroratining fizik ma’nosi

Molekulyar-kinetik nazariyaga ko‘ra, gaz molekulalarining idish devoriga bosimi $p = \frac{F}{S}$ devorga molekulalar ta’sir ettiradigan kuch $F$ ning devor yuzasi $S$ ga nisbatiga teng. Kuchni molekulalarning devor bilan to‘qnashuvi natijasida uzatilgan jami impuls $K$ ning vaqt oralig‘i $Δ t$ davomiyligiga nisbati sifatida hisoblash mumkin:

p = \frac{K}{S Δ t} .

Elastik to‘qnashuvda massasi $m$ bo‘lgan molekula devorga quyidagi impulsni uzatadi:

k_{m} = 2 m v \cos ϑ,

bu yerda $ϑ$ — to‘qnashuvdan oldin molekula impulsi bilan devorga o‘tkazilgan normal orasidagi burchak, $v$ — molekula tezligi. Devor bilan to‘qnashuvlar soni $N_{s t} = n v S \cos ϑ Δ t .$ Endi ifodani $K = k_{m} N_{s t}$ barcha mumkin bo‘lgan burchaklar va tezliklar bo‘yicha o‘rtachalashtirsak, quyidagini olamiz:

K = \frac{2}{3} n ε_{k i n} S Δ t,

,

bu yerda $ε_{k i n}$ — gaz molekulalarining ilgarilanma harakatidagi o‘rtacha kinetik energiya. Endi $K$ ifodasini bosim $p$ uchun formulaga qo‘ysak, molekulalarning idish devoriga bosimi quyidagicha aniqlanadi: $p = \frac{2}{3} n ε_{k i n}$ . Endi $p$ ni quyidagi ko‘rinishdagi Klapeyron tenglamasiga $p = n k T$ qo‘ysak, $ε_{k i n} = \frac{3}{2} k T$ ifoda hosil bo‘ladi. Bundan gaz harorati molekulalarning ilgarilanma harakatidagi o‘rtacha energiyaga to‘g‘ri mutanosib ekani kelib chiqadi.

Bolsman taqsimoti

Klassik ideal gaz zarralarining holatlar bo‘yicha muvozanat taqsimotini quyidagicha topish mumkin. Gazning gravitatsion maydondagi potensial energiyasi ifodasi va Klapeyron tenglamasidan foydalanib, barometrik formulani keltirib chiqaradilar va shu formula yordamida gaz molekulalarining gravitatsion maydondagi energiyalar bo‘yicha taqsimotini aniqlaydilar. Bolsman bunday taqsimot faqat Yerning tortishish kuchlari potensial maydonida emas, balki tasodifiy issiqlik harakatidagi har qanday bir xil zarralar to‘plami uchun istalgan potensial kuch maydonida ham o‘rinli ekanini ko‘rsatdi. Bu taqsimot Bolsman taqsimoti deb ataladi:

{\bar{n}}_{j} = a e^{- \frac{ε_{j}}{k T}},

bu yerda ${\bar{n}}_{j}$ — $j$ -holatdagi, energiyasi $ε_{j}$ bo‘lgan zarralarning o‘rtacha soni, o‘zgarmas $a$ esa normallash shartidan aniqlanadi:

\sum n_{j} = N,

bu yerda $N$ — zarralarning umumiy soni.

Bolsman taqsimoti yuqori haroratlarda Fermi — Dirak va Boze — Eynshteyn taqsimotlarining chegaraviy holati hisoblanadi. Shunga mos ravishda klassik ideal gaz Fermi-gaz va Boze-gazning chegaraviy holatidir. Bunday chegaraviy holat energetik sathlarning bandligi past bo‘lib, kvant ta’sirlarini hisobga olmaslik mumkin bo‘lgan vaziyatga to‘g‘ri keladi.

Adiabatik jarayon

Ideal gaz modeli yordamida adiabatik jarayonda gaz holati parametrlarining o‘zgarishini oldindan hisoblash mumkin. Klapeyron tenglamasini quyidagi ko‘rinishda yozamiz:

p V = ν R T .

Tenglamaning har ikki tomonini differensiallasak, quyidagini olamiz:

p d V + V d p = ν R d T

.

Tajriba yo‘li bilan aniqlangan Joul qonuniga (Gey-Lyussak — Joul qonuniga) ko‘ra, ideal gazning ichki energiyasi gaz bosimi yoki hajmiga bog‘liq emas. O‘zgarmas hajmdagi molyar issiqlik sig‘imi ta’rifiga ko‘ra, ${(\frac{\partial U}{\partial T})}_{V} = C_{V}$ . Demak, quyidagini olamiz:

d U = ν C_{V} d T,

bu yerda $ν$ — ideal gazning mollari soni.

Atrof-muhit bilan issiqlik almashinuvi bo‘lmasligini hisobga olsak, quyidagiga ega bo‘lamiz:

d U = - p d V .

Buni hisobga olganda, Klapeyron tenglamasi quyidagi ko‘rinishni oladi:

p d V + V d p = - p d V \cdot \frac{R}{C_{V}},

So‘ng $γ = 1 + R / C_{V}$ koeffitsiyentini kiritib, yakunda Puasson tenglamasiga ega bo‘lamiz:

p \cdot V^{γ} = c o n s t .

Norelyativistik, aynimagan bir atomli ideal gaz uchun $γ = 5 / 3$ , ikki atomli gaz uchun $γ = 7 / 5$ .

Tovush tezligi

Ideal gazdagi tovush tezligi quyidagicha aniqlanadi:

c_{s} = \sqrt{{(\frac{\partial P}{\partial ρ})}_{s}} = \sqrt{\frac{γ P}{ρ}} = \sqrt{\frac{γ R T}{M}},

bu yerda γ — adiabata ko‘rsatkichi (ĉ_P/ĉ_V), s — gazning bitta zarrasiga to‘g‘ri keladigan entropiya, ρ — gaz zichligi, P — gaz bosimi, R — universal gaz doimiysi, T — harorat, M — gazning molyar massasi. Zichlik tebranishlari tez sodir bo‘lgani uchun jarayon umuman olganda issiqlik almashinuvisiz kechadi. Tovush tezligi ifodasida adiabata ko‘rsatkichi paydo bo‘lishi shu bilan izohlanadi. Havo uchun γ = 1,4, M =28,8, T = 273 K deb olsak, u holda c_s=330 m/s.

Kvaziklassik ideal gaz

Termodinamik nuqtayi nazardan klassik va kvaziklassik ideal gazlarning farqi quyidagicha. Issiqlik sig‘imi klassik ideal gazda haroratga bog‘liq emas va molekula geometriyasi bilan qat’iy belgilanadi; molekula geometriyasi esa gazning kalorik holat tenglamasi ko‘rinishini aniqlaydi. Molekulalari bir xil geometriyaga ega klassik ideal gazlar bir xil kalorik holat tenglamasiga bo‘ysunadi. Kvaziklassik ideal gazning issiqlik sig‘imi haroratga bog‘liq bo‘lib, bu bog‘liqlik har bir gaz uchun o‘ziga xosdir. Shunga ko‘ra, har bir kvaziklassik ideal gaz o‘z kalorik holat tenglamasi bilan tavsiflanadi. Ko‘p hollarda, shu jumladan ushbu maqolada ham, klassik va kvaziklassik yaqinlashuvlar o‘rtasidagi farqlar muhim bo‘lmasa, «klassik ideal gaz» atamasi «kvant bo‘lmagan ideal gaz» iborasining sinonimi sifatida qaraladi. Makroskopik yondashuvda klassik va kvaziklassik ideal gazlar termik holat tenglamasi Klapeyron (Klapeyron — Mendeleyev) tenglamasiga bo‘ysunuvchi faraziy (amalda mavjud bo‘lmagan) gazlar deb ataladi. Ba’zan klassik ideal gaz uchun Joul qonuni ham o‘rinli ekani qo‘shimcha qayd etiladi. Termodinamikaga ko‘ra, Joul qonuni holat tenglamasi $\frac{p}{T} = f (V)$ yoki $p V = f (T)$ ko‘rinishida bo‘lgan har qanday modda uchun bajariladi. Bu yerda $p$ — bosim, $T$ — mutlaq harorat va $V$ — hajm (qarang: ). Shuning uchun klassik ideal gazga ta’rif berishda Joul qonunini alohida tilga olish shart emas. Boshqa tomondan, agar bu qonun eksperimental ma’lumotlarning umumlashtirilishi sifatida qaralsa, klassik ideal gazning makroskopik nazariyasini bayon qilish uchun termodinamikadan eng oddiy ma’lumotlarning o‘zi kifoya qiladi.

Kvant ideal gaz

Haroratning pasayishi va gaz zichligining ortishi zarralar orasidagi o‘rtacha masofa shu zarralarning de Broyl to‘lqin uzunligi bilan taqqoslanadigan darajaga yetishiga olib kelishi mumkin. Bu klassik ideal gazdan kvant ideal gazga o‘tishga sabab bo‘ladi. Bunday holatda gazning xatti-harakati zarralar spiniga bog‘liq: yarim butun spinli zarralar (fermionlar) uchun Fermi — Dirak statistikasi (Fermi-gaz), butun spinli zarralar (bozonlar) — Boze — Eynshteyn statistikasi (Boze-gaz).

Fermi-gaz

Bunday holda fermionlar uchun Pauli prinsipi amal qiladi. U ikkita aynan bir xil fermionning bir kvant holatida bo‘lishini taqiqlaydi. Shu sababli mutlaq nol haroratda zarralarning impulslari hamda Fermi-gazning bosimi va energiya zichligi noldan farq qiladi va birlik hajmdagi zarralar soniga mutanosib bo‘ladi. Mutlaq nolda Fermi-gaz zarralari ega bo‘lishi mumkin bo‘lgan energiyaning yuqori chegarasi mavjud (Fermi energiyasi $E_{F}$ ). Agar Fermi-gaz zarralarining issiqlik harakati energiyasi Fermi energiyasidan ancha kichik bo‘lsa, bunday holat aynigan gaz deb ataladi.

Fermi-gazlarga quyidagilar misol bo‘ladi: elektron gazi — metallarda, kuchli legirlangan va aynigan yarimo‘tkazgichlarda, aynigan gaz holatidagi elektronlar — oq mitti yulduzlarda.

Boze-gaz

Chunki bozonlar bir-biriga mutlaqo aynan o‘xshash bo‘lishi mumkin va shu sababli Pauli prinsipi ularga tatbiq etilmaydi. Boze-gazning harorati muayyan $T_{0}$ haroratdan pastga tushganda bozonlar nol impulsli eng past energetik sathga o‘tishi, ya’ni Boze — Eynshteyn kondensati hosil bo‘lishi mumkin. Gaz bosimi vaqt birligida devorga uzatilgan zarralar impulslari yig‘indisiga teng bo‘lgani sababli, $T < T_{0}$ Boze-gazning bosimi faqat haroratga bog‘liq. Bu hodisa 1995-yilda tajribada kuzatildi, tajriba mualliflari esa 2001-yilda ushbu tajriba uchun Nobel mukofoti bilan taqdirlandi.

Boze-gazlarga misol sifatida kvazizarralar (kuchsiz qo‘zg‘alishlar) gazlarini, xususan, qattiq jismlar va suyuqliklarda uchraydiganlarini, geliy II ning o‘ta oquvchan tarkibiy qismini, shuningdek, Boze — Eynshteyn kondensati ko‘rinishidagi Kuper elektron juftlarini (o‘ta o‘tkazuvchanlik sharoitida) keltirish mumkin. Ultrarelyativistik boze-gazga foton gazi (issiqlik nurlanishi) misol bo‘ladi. Kvazizarralardan tashkil topgan boze-gazga esa fonon gazi misol bo‘ladi.

Gravitatsion maydondagi ideal gaz

Umumiy nisbiylik nazariyasiga asoslangan relyativistik termodinamikada issiqlik muvozanatida bo‘lgan gaz (suyuqlik) sferasining mahalliy kuzatuvchi o‘lchaydigan xususiy harorati sfera markazidan sirtiga tomon radius bo‘ylab siljiganda pasayadi. Bu relyativistik ta’sir juda kichik (o‘ta kuchli gravitatsion maydonlar bundan mustasno) va Yer sirtida e’tiborga olinmaydi.

Gaz (suyuqlik)ga gravitatsion maydonning haqiqiy ta’siri, avvalo, gidrostatik bosimning gaz (suyuqlik) ustuni balandligiga bog‘liqligida namoyon bo‘ladi. Tortishish maydonining tizimning termodinamik xossalariga ko‘rsatadigan ta’sirini bosimning balandlik bo‘yicha o‘zgarishi uning mutlaq qiymatidan ancha kichik bo‘lganda hisobga olmaslik mumkin. Termodinamika doirasidan chiqmagan holda, J. Maksvell «...o‘z holiga qo‘yilgan vertikal gaz ustuni issiqlik o‘tkazuvchanlik orqali issiqlik muvozanatiga kelgach, uning barcha nuqtalarida harorat bir xil bo‘ladi; boshqacha aytganda, og‘irlik kuchi ustundagi harorat taqsimotiga hech qanday ta’sir qilmaydi», degan xulosaga keldi va bu xulosa barcha gazlar (suyuqliklar) uchun ham o‘rinli ekanini ko‘rsatdi. Demak, butun tizim hajmida haroratning bir xil bo‘lishi gravitatsion maydondagi muvozanatning zarur shartidir. Molekulyar-kinetik nazariya usullari bilan gazlar uchun xuddi shu natijaga L. Bolsman ham erishgan.

Bosimning balandlikka bog‘liqligini izotermik ideal gaz ustunida barometrik formula ifodalaydi. Kuzatiladigan Yer atmosferasining izotermik emasligini tushuntiruvchi eng sodda termodinamik modelda ideal gaz ustunining muvozanatli emas, balki statsionar holati ko‘rib chiqiladi. Bu holat havo aylanishining muvozanatli adiabatik jarayoni orqali yuzaga keladi. Bunda harorat kamayadigan yo‘nalishdagi (yuqoriga) issiqlik uzatilishi havo molekulalarining potensial energiyasini qarama-qarshi yo‘nalishda ko‘chirish bilan muvozanatlashadi.

Ideal gaz nazariyasining qo‘llanish chegaralari

Gaz zichligi ortganda molekulalarning to‘qnashuvlari tobora muhim ahamiyat kasb etadi va ularning o‘lchamlari hamda o‘zaro ta’sirini e’tiborsiz qoldirib bo‘lmaydi. Bunday gazning xatti-harakati ideal gaz modeli bilan yomon tavsiflanadi, shuning uchun u real gaz deb ataladi. Xuddi shunday, plazmani tavsiflashda ham ideal gaz modelidan foydalanib bo‘lmaydi, chunki unda alohida zarralar o‘rtasida sezilarli o‘zaro ta’sir mavjud. Real gazlarni tavsiflash uchun holat tenglamalarining turli o‘zgartirilgan shakllari, masalan, virial yoyilma qo‘llanadi.

Molekulaning cheksiz kichik emasligi va uning diametri $d$ aniq qiymatga ega ekanini hisobga olsak, bir mol gaz uchun Klapeyron tenglamasi quyidagi ko‘rinishni oladi:

p (V - b) = R T,

bu yerda $b$ kattalik quyidagiga teng:

b = \frac{2 π}{3} N d^{3},

bu yerda $N$ — gazdagi molekulalar soni. Molekulalararo tortishish kuchlari (Van-der-Vaals kuchlari) ham hisobga olinsa, natijada Van-der-Vaals tenglamasi olinadi:

(p + \frac{a ν^{2}}{V^{2}}) (V - b ν) = ν R T .

Yana bir qator empirik holat tenglamalari, masalan, Bertlo va Klauzius tenglamalari ham mavjud bo‘lib, ular muayyan sharoitlarda real gazning xatti-harakatini yanada yaxshiroq tavsiflaydi.

Adabiyotlar

A Commentary on the Scientific Writings of J. Willard Gibbs. Vol. I. Thermodynamics / Edited by Donnan F.G., Haas Arthur. — New Haven — London — Oxford: Yale University Press; Humphrey Milford; Oxford University Press, 1936. — xxiii +742 p.
Gay-Lussac. Extrait d'un Mémoire sur le Froid produit par l'évaporation des liquides (фр.) // Annales de chimie et de physique. — 1822. — Vol. 21. — P. 82—92.
Krane Kenneth S. Introductory Nuclear Physics. — Wiley, 1987. — ISBN 978-0-471-80553-3.
Maxwell J. C. On the Dynamical Theory of Gases. — The Scientific Papers of James Clerk Maxwell. Vol. 2. — New York: Dover Publications, Inc., 2003. — xxxi + 607 p. — (Dover Phoenix Editions). — ISBN 978-0486-49560-6.
Maxwell J. C. Theory of Heat. — London: Longmans, Green, and Co., 1871. — xii + 312 p.
Maslov V. P. Mathematical conception of the gas theory.
Partington J. R. A Text-book of Thermodynamics (with Special Reference to Chemistry). — London: Constable & Company LTD, 1913. — x + 544 p.
Partington J. R. An Advanced Treatise on Physical Chemistry. Vol. 1. Fundamental Principles. The Properties of Gases. — London — New York — Toronto: Longmans, Green and Co, 1949. — xlii + 943 p.
Reif F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. — McGraw–Hill, 1965. — ISBN 978-0-07-051800-1.
Zeuner G. Grundzüge der mechanischen Wärmetheorie. — 2. vollständig umgearbeitete Auflage. — Leipzig: Verlag von Arthur Felix, 1866. — xvi + 568 + xxv p.
Алмалиев А. Н., Копытин И. В., Корнев А. С., Чуракова Т. А. Термодинамика и статистическая физика: Статистика идеального газа. — Воронеж: Ворон. гос. ун-т, 2004. — 79 с.
Алымов И. Научные выводы относительно водяного пара (рус.) // Морской сборник. — 1865. — Т. 77, № 3. — С. 87—113.
Аршава Н. В. Функции состояния термодинамических систем и функции термодинамических процессов. — 2-е изд., испр. и доп. — Ухта: УГТУ, 2006. — 79 с. — ISBN 5-88179-298-X.
Базаров И. П. Термодинамика. — 5-е изд. — СПб.—М.— Краснодар: Лань, 2010. — 384 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — ISBN 978-5-8114-1003-3.
Барилович B. A., Смирнов Ю. А. Основы технической термодинамики и теории тепло- и массообмена. — М.: ИНФРА-М, 2014. — 432 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — ISBN 978-5-16-005771-2.
Белоконь Н. И. Термодинамика. — М.: Госэнергоиздат, 1954. — 416 с.
Белоконь Н. И. Основные принципы термодинамики. — М.: Недра, 1968. — 110 с.
Большая российская энциклопедия / Гл. ред. Ю. С. Осипов. — М.: Большая Российская энциклопедия, 2009. — Т. 14: Киреев — Конго. — 751 с. — ISBN 5-85270-345-3.
Большая Советская Энциклопедия / Гл. ред. О. Ю. Шмидт. — М.: Советская Энциклопедия, 1936. — Т. 32: Каучук — Классон. — 432 с.
Большая Советская Энциклопедия / Гл. ред. Б. А. Введенский. — 2-е изд. — М.: Большая Советская Энциклопедия, 1953. — Т. 21: Кинестезия — Коллизия. — 628 с.
Борщевский А. Я. Физическая химия. Том 1 online. Общая и химическая термодинамика. — М.: Инфра-М, 2017. — 868 с. — ISBN 978-5-16-104227-4.
Бурдаков В. П., Дзюбенко Б. В., Меснянкин С. Ю., Михайлова Т. В. Термодинамика. Часть 1. Основной курс. — М.: Дрофа, 2009. — 480 с. — (Высшее образование. Современный учебник). — ISBN 978-5-358-06031-9.
Василевский А. С. Термодинамика и статистическая физика. — 2-е изд., перераб.. — М.: Дрофа, 2006. — 240 с. — ISBN 5-7107-9408-2.
Второе начало термодинамики: Сади Карно — В. Томсон-Кельвин — Р. Клаузиус — Л. Больцман — М. Смолуховский / Под. ред. и с пред. А. К. Тимирязева. — М.—Л.: Гостехтеориздат, 1934. — 311 с.
Вукалович М. П., Новиков И. И. Уравнение состояния реальных газов. — М.—Л.: Госэнергоиздат, 1948. — 340 с.
Гельфер Я. М. История и методология термодинамики и статистической физики. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высшая школа, 1981. — 536 с.
Герасимов Я. И., Древинг В. П., Ерёмин Е. Н. и др. Курс физической химии / Под общ. ред. Я. И. Герасимова. — 2-е изд. — М.: Химия, 1970. — Т. I. — 592 с.
Гиббс Дж. В. Термодинамика. Статистическая механика / Отв. ред. Д. Н. Зубарев. — М.: Наука, 1982. — 584 с. — (Классики науки).
Годнев И. Н. Вычисление термодинамических функций по молекулярным данным. — М.: Гостехиздат, 1956. — 420 с.
Голоушкин В. Н. Уравнение состояния идеального газа Д.И. Менделеева (рус.) // Успехи физических наук. — Российская академия наук, 1951. — Т. 45, № 4. — С. 616—621. — doi:10.3367/UFNr.0045.195112c.0616.
Горшков В. И., Кузнецов И. А. Основы физической химии. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Изд-во МГУ, 1993. — 336 с. — ISBN 5-211-02493-1.
Гухман А. А. Об основаниях термодинамики. — Алма-Ата: Изд-во АН КазССР, 1947. — 106 с.
Джалмухамбетов А. У., Фисенко М. А. Задачи-оценки и модели физических систем. — М.—Астрахань: Кнорус; Астраханский университет, 2016. — 110 с. — ISBN ISBN 978-5-4365-0326-4.
Каблуков И. А., Гапон Е. Н., Гриндель М. А. Физическая и коллоидная химия. — М.: Сельхозгиз, 1949. — 464 с.
Карапетьянц М. Х. Химическая термодинамика. — М.—Л.: Госхимиздат, 1949. — 546 с.
Кипнис А. Я. К истории установления уравнения состояния идеального газа (рус.) // Вопросы истории естествознания и техники. Выпуск 13_1962.pdf. — Изд-во АН СССР, 1962. — № 13. — С. 91—94.
Кириллин В. А., Сычёв В. В., Шейндлин А. Е. Техническая термодинамика. — 5-е изд., перераб. и доп. — М.: Изд. дом МЭИ, 2008. — 496 с. — ISBN 978-5-383-00263-6.
Кубо Р. Термодинамика. — М.: Мир, 1970. — 304 с.
Кудрявцев П. С. История физики. — М.: Гос. учебно-педагог. изд-во, 1956. — Т. 1. От античной физики до Менделеева. — 564 с. — 25 000 экз.
Кудрявцев П. С. История физики. — М.: «Просвещение», 1971. — Т. 3. От открытия квант до создания квантовой механики. — 424 с. — 23 000 экз.
Кузнецова Е. М., Агеев Е. П. Термодинамика в вопросах и ответах. Первый закон и его следствия. — 2-е изд., испр. доп. — М.: Московский государственный университет, 2003. — 120 с.
Ландау Л. Д., Ахиезер А. И., Лифшиц Е. М. Курс общей физики: Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1965.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. — М.—Л.: Гостехтеориздат, 1938. — 228 с.
Литвин А. М. Техническая термодинамика. — 2-е изд., перераб и доп.. — М.—Л.: Госэнергоиздат, 1947. — 388 с.
Левич В. Г. Введение в статистическую физику. — 2-е изд., перераб. — М.: Гостехиздат, 1954. — 528 с.
Левич В. Г. Курс теоретической физики. Том I. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1969. — 912 с.
Максуэлл Клерк. Теория теплоты в элементарной обработке / Перевод с 7-го английского издания А. Л. Королькова. — Киев: Типография И. Н. Кушнерева и К°, 1888. — vi + 292 с.
Мюнстер А. Химическая термодинамика / Пер. с нем. под. ред. чл.-корр. АН СССР Я. И. Герасимова. — М.: Мир, 1971. — 296 с.
Путилов К. А. Термодинамика / Отв. ред. М. Х. Карапетьянц. — М.: Наука, 1971. — 376 с.
Рубинштейн Д. Л. Физическая химия. — М.—Л.: Изд-во АН СССР, 1940. — 440 с.
Савельев И. В. Курс общей физики:Молекулярная физика и термодинамика. — М.: Астрель, 2001. — Т. 3. — 208 с. — 7000 экз. — ISBN 5-17-004585-9.
Савельев И. В. Курс общей физики:Квантовая оптика.Атомная физика. Физика твёрдого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц.. — М.: Астрель, 2001. — Т. 5. — 368 с. — 7000 экз. — ISBN 5-17-004587-5.
Семенченко В. К. Избранные главы теоретической физики. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Просвещение, 1966. — 396 с.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1975. — Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — 519 с.
Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — 5-е изд., испр. — М.: Физматлит, 2005. — 544 с. — ISBN 5-9221-0601-5.
Смирнова Н. А. Методы статистической термодинамики в физической химии. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высшая школа, 1982. — 456 с.
Сычёв В. В. Сложные термодинамические системы. — 5-е изд., перераб. и доп. — М.: Издательский дом МЭИ, 2009. — 296 с. — ISBN 978-5-383-00418-0.
Толмен Р. Относительность, термодинамика и космология / Пер. с англ. под ред. Я. А. Смородинского. — М.: Наука, 1974. — 520 с.
Толпыго К. Б. Термодинамика и статистическая физика. — Киев: Изд-во Киевского ун-та, 1966. — 364 с.
Эренфест П. Об одном старом заблуждении относительно теплового равновесия газа в поле тяготения. — П. Эренфест. Относительность. Кванты. Статистика. — М.: Наука, 1972. — 360 с.
Яковлев В. Ф. Курс физики. Теплота и молекулярная физика. — М.: Просвещение, 1976. — 320 с.
Ястржембский А. С. Техническая термодинамика. — 3-е, испр. — М.—Л.: Энергоиздат, 1933. — 328 с.
Ястржембский А. С. Техническая термодинамика. — 8-е изд., перераб. и доп. — М.: Госэнергоиздат, 1960. — 496 с.
Ястржембский А. С. Термодинамика и история её развития. — М.—Л.: Энергия, 1966. — 669 с.