Maxsus nisbiylik nazariyasi haqida

Maxsus nisbiylik nazariyasi (MNN; shuningdek, xususiy nisbiylik nazariyasi) — quyidagilarni tavsiflovchi nazariya: harakat, mexanika qonunlari va fazo-vaqtga oid munosabatlar, tezliklar yorug‘likning vakuumdagi tezligidan kichik bo‘lgan, jumladan, yorug‘lik tezligiga yaqin har qanday harakatda (maxsus nisbiylik nazariyasi doirasida klassik mexanika Nyuton tomonidan ishlab chiqilgan va kichik tezliklarda qo‘llanadigan yaqinlashuv hisoblanadi). Aslida MNN to‘rt o‘lchamli fazo-vaqt geometriyasini tavsiflaydi va tekis (ya’ni egrilanmagan) Minkovskiy fazosiga) asoslanadi. MNNning kuchli gravitatsion maydonlarga tatbiq etilgan umumlashmasi umumiy nisbiylik nazariyasi.

MNNning klassik mexanikadan asosiy farqi shundaki, kuzatiladigan fazoviy va vaqtga oid xususiyatlar tezlikka bog‘liq. Maxsus nisbiylik nazariyasi tavsiflaydigan fizik jarayonlarning klassik mexanika bashoratlaridan og‘ishlari relyativistik effektlar, bunday effektlar sezilarli bo‘ladigan tezliklar esa relyativistik tezliklar.

Maxsus nisbiylik nazariyasida markaziy o‘rinni Lorens almashtirishlari egallaydi. Ular bir inersial sanoq sistemasidan boshqasiga o‘tilganda, sistemalar bir-biriga nisbatan muayyan tezlikda harakatlansa, hodisalarning fazo-vaqt koordinatalarini almashtirish imkonini beradi.

Maxsus nisbiylik nazariyasi Albert Eynshteyn tomonidan 1905-yilgi «Harakatlanuvchi jismlar elektrodinamikasi haqida» nomli ishida yaratilgan. Turli sanoq sistemalari orasida koordinatalar va vaqtni almashtirishning matematik apparati ( elektromagnit maydon tenglamalarini saqlab qolish maqsadida) undan avvalroq fransuz matematigi A. Puankare tomonidan ifodalangan (ularni «Lorens almashtirishlari» deb atashni ham aynan u taklif qilgan: Lorensning o‘zi bungacha faqat taqribiy formulalarni keltirib chiqargan). A. Puankare bu almashtirishlarni geometrik jihatdan to‘rt o‘lchamli fazo-vaqtdagi burilishlar sifatida ifodalash mumkinligini ham birinchi bo‘lib ko‘rsatgan (bu borada G. Minkovskiydan oldinroq ish olib borgan), shuningdek, Lorens almashtirishlari guruh hosil qilishini isbotlagan (qarang: Puankarening nisbiylik nazariyasi yaratilishidagi o‘rni haqida batafsil).

«Nisbiylik nazariyasi» atamasini bevosita M. Plank taklif qilgan. Keyinchalik A. Eynshteyn gravitatsiya nazariyasini — umumiy nisbiylik nazariyasini — ishlab chiqqach, dastlabki nazariya «maxsus» yoki «xususiy» nisbiylik nazariyasi deb atala boshlandi ( nemischa Spezielle Relativitätstheorie).

MNNning yaratilishi

Nisbiylik nazariyasining yaratilishiga XIX asrda elektrodinamikaning rivojlanishi zamin yaratdi. Elektr va magnetizm sohalaridagi tajriba natijalari hamda qonuniyatlarni umumlashtirish va nazariy jihatdan tushuntirish natijasida elektr va magnetizm bo‘yicha Maksvell tenglamalari hosil bo‘ldi. Ular elektromagnit maydonning xossalari va uning zaryadlar hamda toklar bilan o‘zaro ta’sirini tavsiflaydi. Maksvell elektrodinamikasiga va undan ancha oldingi astronomik kuzatuvlarga ko‘ra, elektromagnit to‘lqinlarning vakuumda qabul qilgichga nisbatan tarqalish tezligi to‘lqinlar manbaining harakat tezligiga bog‘liq emas va yorug‘lik tezligiga teng. To‘lqin tezligining manbaga nisbatan manba tezligidan mustaqilligi esa faqat taxmin qilingan, ya’ni faraz darajasida bo‘lgan. Biroq ikkala shart «yorug‘lik tezligi postulatlari» sifatida qabul qilinganda, Maksvell tenglamalari Galiley almashtirishlariga nisbatan invariant emasligi ma’lum bo‘ldi va bu klassik mexanikaga zid edi.

Maxsus nisbiylik nazariyasi XX asr boshida G. A. Lorens, A. Puankare, A. Eynshteyn va boshqa olimlarning sa’y-harakatlari bilan ishlab chiqilgan (qarang: Nisbiylik nazariyasi tarixi). MNN yaratilishining tajribaviy asosi Maykelson tajribasi bo‘lib, u yorug‘lik tezligi haqidagi birinchi postulatni tasdiqladi. Natijalar o‘sha davr klassik fizikasi uchun kutilmagan edi: yorug‘lik tezligi yo‘nalishga ( izotroplik) va Yerning Quyosh atrofidagi orbital harakatiga bog‘liq emasligi aniqlandi. Olingan ma’lumotlarni izohlashga urinish klassik tasavvurlarni qayta ko‘rib chiqishga va maxsus nisbiylik nazariyasining yaratilishiga olib keldi.

Yorug‘lik tezligiga tobora yaqinlashuvchi tezliklarda harakatlanganda klassik dinamika qonunlaridan og‘ishlar kuchayib boradi. Nyutonning ikkinchi qonuni, kuch bilan tezlanishni bog‘lovchi qonun, MNN tamoyillariga mos ravishda o‘zgartirilishi kerak. Shuningdek, jismning impulsi va kinetik energiyasi tezlikka norelyativistik holatdagidan murakkabroq tarzda bog‘liq bo‘ladi.

Maxsus nisbiylik nazariyasi ko‘plab tajribalar bilan tasdiqlangan bo‘lib, o‘zining qo‘llanish sohasida to‘g‘ri nazariya hisoblanadi (qarang: MNNning tajribaviy asoslari). L. Peyjning o‘rinli ta’biri bilan aytganda, «bizning elektr asrimizda har bir generator va elektr dvigatelning aylanayotgan yakori nisbiylik nazariyasining to‘g‘riligini tinimsiz e’lon qilib turadi — buning uchun faqat tinglay bilish kerak».

MNNning asosiy tushunchalari va postulatlari

Maxsus nisbiylik nazariyasi, boshqa har qanday fizik nazariya singari, asosiy tushunchalar, postulatlar (aksiomalar) hamda ularni fizik obyektlar bilan muvofiqlashtirish qoidalari asosida ifodalanishi mumkin.

Asosiy tushunchalar

Sanoq sistemasi — bu sistemaning boshlang‘ich nuqtasi sifatida tanlangan muayyan moddiy jism, obyektlarning shu boshlang‘ich nuqtaga nisbatan holatini aniqlash usuli va vaqtni o‘lchash usulidan iborat. Odatda sanoq sistemalari bilan koordinatalar sistemalari farqlanadi. Koordinatalar sistemasiga vaqtni o‘lchash tartibining qo‘shilishi uni sanoq sistemasiga «aylantiradi».

Inersial sanoq sistemasi (ISS) — tashqi ta’sirga uchramaydigan obyekt unga nisbatan tekis va to‘g‘ri chiziqli harakat qiladigan sistemadir. ISSlar mavjudligi postulat sifatida qabul qilinadi. Muayyan inersial sistemaga nisbatan tekis va to‘g‘ri chiziqli harakat qiladigan har qanday sanoq sistemasi ham ISS hisoblanadi.

Hodisa deb fazoda aniq joylashuvga ega bo‘lgan va juda qisqa vaqt davom etadigan har qanday fizik jarayonga aytiladi. Boshqacha qilib aytganda, hodisa koordinatalar (x, y, z) va vaqtning t oniy qiymati bilan to‘liq tavsiflanadi. Hodisalarga yorug‘lik chaqnashi yoki moddiy nuqtaning muayyan vaqtdagi holati va shu kabilar misol bo‘ladi.

Odatda ikkita inersial sistema — S va S' ko‘rib chiqiladi. S sistemasida o‘lchangan hodisaning vaqti va koordinatalari (t, x, y, z), ayni hodisaning S' sistemasida o‘lchangan koordinatalari va vaqti esa (t', x', y', z') bilan belgilanadi. Sistemalarning koordinata o‘qlari o‘zaro parallel, S' sistema esa S sistemasining x o‘qi bo‘ylab v tezlikda harakatlanadi deb olish qulay. MNNning vazifalaridan biri (t', x', y', z') va (t, x, y, z) ni bog‘lovchi munosabatlarni topishdir. Bu munosabatlar Lorens almashtirishlari.

Vaqtni sinxronlash

MNNda muayyan inersial sanoq sistemasi doirasida ixtiyoriy nuqtalarda joylashgan ikkita soatni sinxronlash orqali yagona vaqtni aniqlash mumkinligi postulat sifatida qabul qilinadi.

Birinchi soatdan vaqtning $t_{1}$ paytida ikkinchi soatga doimiy signal (yorug‘lik signali bo‘lishi shart emas) tezlikda $u$ yuborilsin. Signal ikkinchi soatga yetishi bilan darhol aynan shu doimiy tezlikda $u$ ortga uzatiladi va birinchi soatga $t_{2}$ paytida yetib keladi. Agar $T = (t_{1} + t_{2}) / 2$ tenglik bajarilsa, soatlar sinxronlangan hisoblanadi. Bu yerda $T$ — signal birinchi soatdan ikkinchi soatga yetib kelgan paytdagi ikkinchi soat ko‘rsatkichidir.

Mazkur inersial sanoq sistemasidagi istalgan ikkita soatga shu tartibni qo‘llash mumkin deb faraz qilinadi. Bunda tranzitivlik xossasi o‘rinli: agar A soat B soat bilan, B soat esa C soat bilan sinxronlangan bo‘lsa, A va C soatlar ham o‘zaro sinxronlangan bo‘ladi.

Ayni paytda, Klassik mexanikadan farqli ravishda, yagona vaqtni faqat muayyan sanoq sistemasida joriy etish mumkin. MNN turli sistemalar uchun vaqt umumiy deb hisoblamaydi. Bu MNN aksiomatikasining barcha sanoq sistemalari uchun yagona (mutlaq) vaqt mavjudligini faraz qiladigan klassik mexanikadan asosiy farqidir.

O‘lchov birliklarini muvofiqlashtirish

Turli o‘lchashlar natijalarini har xil ISSlar orasida taqqoslash uchun o‘lchov birliklarini muvofiqlashtirish zarur. Masalan, uzunlik birliklarini inersial sanoq sistemalarining o‘zaro harakatiga perpendikulyar yo‘nalishda etalonlarni taqqoslash orqali muvofiqlashtirish mumkin. Bunga x va x' o‘qlariga parallel harakatlanadigan, (y, z) va (y',z') koordinatalari turlicha, lekin o‘zgarmas bo‘lgan ikkita zarraning eng qisqa masofasi bilan trayektoriyalari orasidagi masofani aniqlash misol bo‘ladi. Vaqt birliklarini muvofiqlashtirish uchun tuzilishi bir xil bo‘lgan soatlardan, masalan, atom soatlaridan.

MNN postulatlari

Avvalo, MNNda ham klassik mexanikadagi singari fazo va vaqt bir jinsli, fazo esa izotrop deb olinadi. Aniqroq aytganda (zamonaviy yondashuvga ko‘ra), fazo bir jinsli va izotrop, vaqt esa bir jinsli bo‘lgan sanoq sistemalari inersial sanoq sistemalari deb ta’riflanadi. Mohiyatan, bunday sistemalarning mavjudligi postulat sifatida qabul qilinadi.

1-postulat (Eynshteynning nisbiylik prinsipi). Bir-biriga nisbatan tekis va to‘g‘ri chiziqli harakatlanadigan barcha koordinatalar sistemalarida tabiat qonunlari bir xildir. Demak, fizik qonunlarning fazo-vaqt koordinatalariga bog‘liqligini ifodalovchi shakl barcha ISSlarda bir xil bo‘lishi, ya’ni qonunlar bir ISSdan boshqasiga o‘tilganda invariant qolishi kerak. Nisbiylik prinsipi barcha ISSlarning teng huquqliligini belgilaydi.

Agar Nyutonning ikkinchi qonuni (yoki Eyler–Lagranj tenglamalari va Lagranj mexanikasi) hisobga olinsa, biror jismning muayyan ISSdagi tezligi o‘zgarmas (tezlanishi nol) bo‘lsa, boshqa barcha ISSlarda ham u o‘zgarmas bo‘lishi kerak. Ba’zan inersial sanoq sistemalariga aynan shu xossa orqali ta’rif beriladi.

Rasmiy jihatdan Eynshteynning nisbiylik prinsipi Galileyning klassik nisbiylik prinsipini mexanik hodisalardan barcha fizik hodisalarga kengaytiradi. Lekin Galiley davrida fizika asosan mexanikadan iborat bo‘lganini inobatga olsak, klassik prinsip ham barcha fizik hodisalarga tatbiq etiladi deb hisoblash mumkin edi. Jumladan, u tajribada aniqlangan qonuniyatlardan keltirib chiqarilgan Maksvell tenglamalari tavsiflaydigan elektromagnit hodisalarga ham tegishli bo‘lishi kerak. Biroq bu tenglamalarga ko‘ra, yorug‘likning tarqalish tezligi manba tezligiga bog‘liq bo‘lmagan aniq bir kattalikdir (hech bo‘lmaganda bitta sanoq sistemasida). Nisbiylik prinsipidan esa barcha ISSlar teng huquqli bo‘lgani uchun yorug‘lik tezligi ularning birortasida ham manba tezligiga bog‘liq bo‘lmasligi kelib chiqadi. Demak, barcha ISSlarda u o‘zgarmas bo‘lishi kerak. Ikkinchi postulatning mohiyati shundan iborat:

2-postulat (yorug‘lik tezligining doimiyligi prinsipi). Vakuumdagi yorug‘lik tezligi bir-biriga nisbatan tekis va to‘g‘ri chiziqli harakatlanuvchi barcha koordinatalar sistemalarida bir xildir.

Yorug‘lik tezligining doimiyligi prinsipi klassik mexanikaga, xususan, tezliklarni qo‘shish qonuniga zid keladi. Bu qonunni chiqarishda faqat Galileyning nisbiylik prinsipi va barcha ISSlarda vaqt bir xil degan yashirin taxmin qo‘llanadi. Shunday qilib, ikkinchi postulat to‘g‘ri bo‘lsa, vaqt nisbiy — turli ISSlarda bir xil bo‘lmasligi kerak. Bundan «masofalar» ham nisbiy bo‘lishi zarurligi kelib chiqadi. Darhaqiqat, yorug‘lik biror ikki nuqta orasidagi masofani bir sistemada muayyan vaqtda, boshqa sistemada esa boshqa vaqtda bosib o‘tsa va ikkala holda ham tezligi bir xil bo‘lsa, ikkinchi sistemadagi masofa ham boshqacha bo‘lishi kerak.

MNNni asoslash uchun yorug‘lik signallari shart emas. Maksvell tenglamalarining Galiley almashtirishlariga nisbatan invariant emasligi MNN yaratilishiga turtki bergan bo‘lsa-da, nazariya ancha umumiy xususiyatga ega va barcha turdagi o‘zaro ta’sirlar hamda fizik jarayonlarga tatbiq etiladi. Fundamental konstanta $c$ aynan Lorens almashtirishlarida uchraydi va moddiy jismlar harakatining chegaraviy tezligi ma’nosini anglatadi. Uning son qiymati yorug‘lik tezligiga teng. Biroq zamonaviy kvant maydon nazariyasiga ko‘ra (uning tenglamalari avvaldan relyativistik invariant tarzda tuziladi), bu elektromagnit maydon (foton) massasizligi bilan bog‘liq. Shu bilan birga, Lorens almashtirishlari mavjud bo‘lishidan ilgari turadi: fotonlar va ularning massasizligi haqidagi faktdan ham ustun. Shuning uchun fundamental konstanta — $c$ tezlik bilan yorug‘likning $c_{e m}$ tezligini farqlash maqsadga muvofiq. Birinchi konstanta fazo va vaqtning umumiy xossalarini, ikkinchisi esa muayyan o‘zaro ta’sir.

xususiyatlarini aks ettiradi. Shuningdek, sababiyat postulati qo‘llanadi: har qanday hodisa faqat o‘zidan keyin sodir bo‘ladigan hodisalarga ta’sir qilishi mumkin, oldin sodir bo‘lgan hodisalarga esa ta’sir qila olmaydi. Sababiyat postulati va yorug‘lik tezligining sanoq sistemasi tanloviga bog‘liq emasligidan har qanday signal tezligi yorug‘lik tezligidan oshmasligi kelib chiqadi.

Muqobil aksiomatikalar

Eynshteyn MNNni yuqoridagi postulatlar asosida yaratgach, ko‘plab tadqiqotchilar ikkinchi postulatdan butunlay voz kechishga urindi. Mashhur maqoladan 5 yil o‘tgach, Eynshteynning 1905-yilgi ishdan so‘ng, Ignatovskiy, F. Frank va G. Rotening ishlari tufayli (qarang: tarixiy sharh) ikkinchi postulatdan foydalanmasdan, Lorens almashtirishlarining umumiy ko‘rinishini (aniqlanmagan konstanta aniqligigacha) olish usuli ma’lum bo‘ldi. Noma’lum parametrning «to‘g‘ri» ishorasida bu almashtirishlar Lorens almashtirishlariga mos keladi. Bundan barcha ISSlarda bir xil bo‘lgan maksimal tezlik mavjudligi kelib chiqadi. Biroq taklif etilgan aksiomalardan konstantaning ishorasini aniqlab bo‘lmaydi. Parametr qiymatini tajriba orqali baholash taklif etiladi. Ushbu parametrni va demak, fundamental $c$ tezlikni o‘lchash uchun elektrodinamik tajribalar o‘tkazish shart emas. Masalan, ayni bir obyektning turli ISSlardagi tezligini o‘lchash va aniqlanmagan parametr qatnashgan tezliklarni qo‘shish qonunidan foydalanish mumkin. Noma’lum konstantaning ishorasini tajriba orqali «hisoblab topish» aslida maksimal tezlik mavjudligini taxmin qilishga, ya’ni mohiyatan ikkinchi postulatni qabul qilishga tengdir.

Shunga qaramay, keyinchalik boshqa tadqiqotchilar ham, shu jumladan ikkinchi postulatsiz, aksiomatik tizimlarni ishlab chiqishga urindilar. Nisbiylik prinsipidan foydalanmay, faqat yorug‘lik tezligining doimiyligi prinsipiga tayanuvchi aksiomatikalar ham mavjud. Ular haqida A. K. Gutsning maqolasidan batafsil bilish mumkin.

Lorens almashtirishlari

Ikkita inersial sanoq sistemasining koordinata o‘qlari $S$ va $S^{'}$ bir-biriga parallel bo‘lsin, $(t, x, y, z)$ — muayyan hodisaning vaqti va koordinatalari; hodisa muayyan sanoq sistemasida kuzatilgan $S$ , $(t^{'}, x^{'}, y^{'}, z^{'})$ esa uning vaqti va koordinatalari o‘sha hodisaning boshqa sistemadagi ko‘rsatkichlaridir. $S^{'}$ .

Sanoq sistemalari tezligi ixtiyoriy yo‘nalishga ega bo‘lganida Lorens almashtirishlarining vektor ko‘rinishidagi umumiy ifodasi:

t^{'} = γ \cdot (t - \frac{𝐫 𝐯}{c^{2}}), 𝐫^{'} = 𝐫 - γ 𝐯 t + (γ - 1) \frac{(𝐫 𝐯) 𝐯}{v^{2}} .

bu yerda $γ = 1 / \sqrt{1 - 𝐯^{2} / c^{2}}$ — Lorens omili, $𝐫$ va $𝐫^{'}$ — hodisaning $S$ hamda $S^{'}$ .

sistemalaridagi radius-vektorlaridir. Agar koordinata o‘qlari inersial sistemalarning nisbiy harakati yo‘nalishi bo‘ylab joylashtirilsa (ya’ni umumiy formulalarga $𝐫 𝐯 = | | 𝐫 | | | | 𝐯 | | = r v$ qo‘yilsa) va bu yo‘nalish $x$ o‘qi deb tanlansa (ya’ni $S^{'}$ sistema doimiy $v$ tezlik bilan $S$ ga nisbatan $x$ o‘qi bo‘ylab tekis va to‘g‘ri chiziqli harakat qilsa), Lorens almashtirishlari quyidagi ko‘rinishga keladi:

t^{'} = \frac{t - \frac{v}{c^{2}} x}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}, x^{'} = \frac{x - v t}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}, y^{'} = y, z^{'} = z,

bu yerda $c$ — yorug‘lik tezligi. Yorug‘lik tezligidan ancha kichik tezliklarda ( $v ≪ c$ ) Lorens almashtirishlari Galiley almashtirishlariga:

t^{'} = t, x^{'} = x - v t, y^{'} = y, z^{'} = z .

o‘tadi. Bunday chegaraviy o‘tish moslik prinsipining ifodasidir: unga ko‘ra, umumiyroq nazariya (MNN) chegaraviy holatda kamroq umumiy nazariyaga (bu yerda — klassik mexanikaga).

Lorens almashtirishlarini keltirib chiqarish

Lorens almashtirishlarini keltirib chiqarishning ko‘plab usullari bor. Ulardan birini ko‘rib chiqamiz.

Faraz qilaylik, $S^{'}$ sistemaning koordinatalar boshi (fazoning bir jinsliligi tufayli bu sistemada tinch turgan istalgan nuqta bo‘lishi mumkin) $S$ sistemaga nisbatan $v$ tezlik bilan harakat qilsin. Shunga muvofiq, $S$ sistemaning koordinatalar boshi (tinch turgan nuqtasi) $S^{'}$ sistemasida $- v$ tezlik bilan harakat qiladi. Bayonni soddalashtirish uchun ikki ISSning boshlang‘ich nuqtalari ustma-ust tushadi ( $x^{'} = x = 0$ bo‘lganda $t^{'} = t = 0$ ) va koordinata o‘qlarining yo‘nalishlari bir xil deb faraz qilamiz. $S^{'}$ ( $S$ sistemaning tezligi $x$ o‘qi bo‘ylab ( $x^{'}$ ).

o‘qiga qarama-qarshi) yo‘nalgan bo‘lsin. Sistemalar x o‘qi bo‘ylab nisbiy harakat qilganda $y^{'} = y, z^{'} = z$ deb olish mumkin. Bir o‘lchamli fazo uchun almashtirishlarni o‘rganamiz va ikki o‘lchamli fazo-vaqt vektorlarini $z = (x, t)$ .

Almashtirishlarning chiziqliligi

Fazo va vaqtning bir jinsliligi, fazoning izotropligi hamda nisbiylik prinsipiga ko‘ra, bir ISSdan boshqasiga o‘tish almashtirishlari chiziqli bo‘lishi kerak. Almashtirishlarning chiziqliligini yana quyidagicha faraz qilib ham chiqarish mumkin: agar ikkita obyekt bir ISSga nisbatan bir xil tezlikda harakat qilsa, boshqa har qanday ISSda ham ularning tezliklari teng bo‘ladi (bunda almashtirish funksiyalarining differensiallanuvchanligi va o‘zaro bir qiymatliligi haqidagi kuchsiz farazlardan ham foydalanish zarur). Agar faqat ISSning quyidagi «ta’rifi»dan foydalanilsa: ISS:: inersial sanoq sistemasiga nisbatan biror jismning tezligi o‘zgarmas bo‘lsa, boshqa har qanday ISSga nisbatan ham o‘zgarmas bo‘ladi, unda ikkita ISS orasidagi almashtirishlar koordinatalar va vaqtning bir xil maxrajli kasr-chiziqli funksiyalari bo‘lishi kerakligini ko‘rsatish mumkin.

Shunday qilib, agar $𝐱^{'}$ — sanoq sistemasidagi fazo-vaqt vektori, $S^{'}$ u holda quyidagicha faraz qilamiz: $𝐱 = A 𝐱^{'}$ deb faraz qilamiz, bu yerda $A$ — izlanayotgan chiziqli almashtirish matritsasi; u faqat ko‘rilayotgan ISSlarning nisbiy tezligiga bog‘liq, ya’ni $A = A (v)$ . U holda chiziqli almashtirish va tezliklarni qo‘shish qonuni quyidagi umumiy ko‘rinishga (tuzilishga) ega:

A (v) = γ (v) (\begin{matrix} 1 & v \\ β (v) & 1 \end{matrix}),

u^{'} + v = u (u^{'} β (v) + 1) .

Isbot

Nuqtaning $S^{'}$ sistemasidagi koordinatalar boshidan $u^{'}$ o‘zgarmas tezlik bilan harakatini ko‘rib chiqamiz. U holda $𝐱 = (u t, t)^{T}, 𝐱^{'} = (u^{'} t^{'}, t^{'})^{T}$ ustunlari komponentlari va $A (v) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix})$ chiziqli almashtirish matritsasi uchun quyidagi tengliklar bajariladi:

(a_{11} u^{'} + a_{12}) t^{'} = u t, (a_{21} u^{'} + a_{22}) t^{'} = t .

Ikkinchi tenglikdagi $t$ ni birinchi tenglikka qo‘yib, tezliklarni qo‘shish qonunini quyidagi ko‘rinishda olamiz:

a_{11} u^{'} + a_{12} = u (u^{'} a_{21} + a_{22}) .

Ta’rifga ko‘ra, $S^{'}$ sanoq sistemasining koordinatalar boshi $S$ sistemasiga nisbatan $v$ tezlikda harakatlanadi. Demak, $S$ sanoq sistemasining koordinatalar boshi $S^{'}$ ga nisbatan $- v$ tezlikda harakatlanadi; agar $u^{'} = 0$ bo‘lsa, $u = v$ , agar $u = 0$ bo‘lsa, $u^{'} = - v$ . Bularni hisobga olsak, quyidagini olamiz:

a_{12} = v a_{22}, a_{12} = v a_{11}

.

Agar $γ = a_{11} = a_{22}$ deb belgilab, quyidagini olamiz:

a_{12} = v γ

.

Shuningdek, $β = a_{21} / γ$ belgilashini kiritamiz. Bundan almashtirish ko‘rinishi kelib chiqadi:

A (v) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) = (\begin{matrix} γ & v γ \\ γ β & γ \end{matrix}) = γ (v) (\begin{matrix} 1 & v \\ β (v) & 1 \end{matrix})

,

и закона сложения скоростей

a_{11} u^{'} + a_{12} = u (u^{'} a_{21} + a_{22}),

γ u^{'} + v γ = u (u^{'} β γ + γ),

u^{'} + v = u (u^{'} β + 1) .

Agar qo‘shimcha ravishda $t = t^{'}$ deb faraz qilinsa, tezliklarni qo‘shishning klassik qonuni va Galiley almashtirishlarini darhol olish mumkin. Biroq bunday faraz ikkinchi postulatga zid.

Shu bosqichdayoq $β (v)$ funksiyaning yakuniy ko‘rinishini ikkinchi postulat yordamida aniqlash mumkin.

Boshqa usul nisbiylik prinsipi va fazoning izotropligidan kelib chiqadigan almashtirish matritsasi xossalarini o‘rganishdir. Bu xossalar $γ (v)$ va $β (v)$ funksiyalarining yakuniy ko‘rinishini aniqlashga imkon beradi. Quyida shu usul keltiriladi.

Almashtirish matritsasining xossalari

Ravshanki, agar $𝐱 = A 𝐱^{'}$ bo‘lsa, $𝐱^{'} = A^{- 1} 𝐱$ . Almashtirishlar barcha ISSlar uchun bir xil bo‘lishi kerakligi (nisbiylik prinsipi) sababli $A^{- 1} (v) = A (- v)$ , chunki $S^{'}$ sistema $S$ sistemaga nisbatan $v$ tezlik bilan harakat qilsa, demak, $S$ sistema $S^{'}$ sistemaga nisbatan $- v$ tezlikda harakat qiladi. Shunday qilib,

A (v) A (- v) = I .

Bu munosabatga izlanayotgan $A$ matritsaning umumiy ko‘rinishini qo‘yib, quyidagini olamiz:

γ (v) γ (- v) = \frac{1}{1 - v β (v)},

bu yerda $β (v)$ — toq funksiya.

Isbot

Haqiqatan ham:

A (v) A (- v) = γ (v) γ (- v) (\begin{matrix} 1 & v \\ β (v) & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & - v \\ β (- v) & 1 \end{matrix}) = γ (v) γ (- v) (\begin{matrix} 1 + v β (- v) & - v + v \\ β (v) + β (- v) & 1 - v β (v) \end{matrix}) .

Chap tomon birlik matritsa bo‘lgani uchun bundan $β (- v) = - β (v)$ (toqlik) va $γ (v) γ (- v) (1 - v β (v)) = 1$ kelib chiqadi. Demak,

γ (v) γ (- v) = \frac{1}{1 - v β (v)} .

Fazo izotrop bo‘lgani sababli koordinata o‘qlarini qarama-qarshi tomonga yo‘naltirish turli sistemalardagi koordinatalar o‘rtasidagi bog‘lanish shakliga ta’sir qilmasligi kerak.

Ixtiyoriy $(x^{'}, 0)$ vektorni tanlasak, boshqa sanoq sistemasida $x = γ (v) x^{'}$ ni olamiz. Ikkala sistemada ham $x$ koordinata o‘qining yo‘nalishini teskarisiga almashtirsak, $- x = γ (- v) (- x^{'})$ ni olamiz. Fazo izotropligi tufayli yo‘nalishning o‘zgarishi koordinatalar orasidagi bog‘lanishni o‘zgartirmaydi. Shuning uchun $γ (v) = γ (- v)$ — juft funksiya. Demak, $γ^{2} (v) = 1 / (1 - v β (v))$ . $v = 0$ almashtirish $x = γ (v) x^{'}$ ayniy bo‘lishi kerak $(x^{'} = I x)$ ligi sababli $γ (0) = 1$ . Juftlik xossasiga ko‘ra, haqiqiy qiymatli $γ (v)$ funksiya $v = 0$ nuqta atrofida manfiy emas (atrof chegaralari $(1 - v β (v)) = 0$ tenglikdan aniqlanadi). Demak, kvadrat ildiz chiqarishda faqat musbat ishorani olish kerak: $γ (v) = 1 / \sqrt{1 - v β (v)}$ .

Shunday qilib, faqat $β (v)$ funksiyasini aniqlashtirish qoladi. Buni ikkinchi postulatdan foydalanib darhol bajarish mumkin. Biroq nisbiylik prinsipidan ushbu funksiya $β (v) = α v$ ko‘rinishda bo‘lishi kerakligi kelib chiqadi, bu yerda $α$ — tezlikka bog‘liq bo‘lmagan parametr, $v$ .

ekanini qayd etamiz.

Haqiqatan ham, nisbiylik prinsipiga ko‘ra, koordinatalarni $S_{1}$ sistemadan $S_{2}$ sistemaga, keyin $S_{3}$ sistemaga almashtirish $S_{1}$ dan bevosita $S_{3}$ ga almashtirishga teng. Almashtirish qonunlari bir xil bo‘lib, faqat ushbu sistemalarning nisbiy tezliklariga bog‘liq. Ya’ni,

A (v_{3}) = A (v_{1}) A (v_{2}) .

Bu ifodaga A matritsasining olingan ko‘rinishini qo‘yamiz:

A (v_{3}) = γ (v_{3}) (\begin{matrix} 1 & v_{3} \\ β (v_{3}) & 1 \end{matrix}) = γ (v_{1}) γ (v_{2}) (\begin{matrix} 1 & v_{1} \\ β (v_{1}) & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & v_{2} \\ β (v_{2}) & 1 \end{matrix}) = γ (v_{1}) γ (v_{2}) (\begin{matrix} 1 + v_{1} β (v_{2}) & v_{1} + v_{2} \\ β (v_{1}) + β (v_{2}) & 1 + v_{2} β (v_{1}) \end{matrix}) .

Birinchi matritsaning diagonal elementlari tengligini hisobga olsak, oxirgi matritsaning ham diagonal elementlari teng bo‘lishi kerak. Bundan $1 + v_{1} β (v_{2}) = 1 + v_{2} β (v_{1})$ kelib chiqadi. Demak,

β (v_{1}) / v_{1} = β (v_{2}) / v_{2}

ixtiyoriy tezliklar uchun $v_{1}$ va $v_{2}$ . Bu esa $β (v) / v = α = c o n s t$ — tezlikka bog‘liq bo‘lmagan doimiy kattalik ekanini bildiradi $v$ .

Demak, almashtirish matritsasi va tezliklarni qo‘shish qonuni quyidagi ko‘rinishga ega (aniqlanmagan $α$ ):

A (v) = γ (v) (\begin{matrix} 1 & v \\ α v & 1 \end{matrix}),

γ (v) = \frac{1}{\sqrt{1 - α v^{2}}}

parametrgacha aniqlikda); tezliklarni qo‘shish qonuni esa

u = \frac{u^{'} + v}{1 + α u^{'} v} .

Parametrning son qiymatini $α$ va uning ishorasini yuqoridagi farazlardan chiqarib bo‘lmaydi. Buning uchun qo‘shimcha faraz (undan $α$ ishorasi kelib chiqishi kerak) yoki tajribaga murojaat qilish zarur (muayyan $α$ qiymatni belgilash uchun baribir tajriba kerak). Agar $α = 0$ bo‘lsa, klassik Galiley almashtirishlari, agar $α > 0$ bo‘lsa, izlangan Lorens almashtirishlari olinadi ( $α = 1 / c^{2}$ belgilashini kiritib). Quyida bu holda $c$ konstanta maksimal tezlik, ya’ni har qanday obyekt harakatining eng yuqori tezligi ma’nosiga ega bo‘lishi ayon bo‘ladi.

Ikkinchi postulatdan foydalanish

Ikkinchi postulat va tezliklarni qo‘shish qonuniga ko‘ra, $α = 1 / c^{2}$ ; agar $u^{'} = c$ bo‘lsa, $u = c$ .

Isbot

Ikkinchi postulatga ko‘ra, agar $u^{'} = \pm c$ bo‘lsa, $u = c$ . Shuning uchun tezliklarni qo‘shish qonunidan $c = \frac{c + v}{1 + α c v}$ kelib chiqadi. Demak:

c + α c^{2} v = c + v

Bundan $α = 1 / c^{2}$ .

Qiymatlarni qo‘yib, $u^{'} = c, u = - c$ qiymatlarini qo‘ysak, quyidagini olamiz:

α = \frac{v - 2 c}{c^{2} v}

,

ya’ni $α$ tezlikka bog‘liq bo‘lib qoladi $v$ tezlikka bog‘liq bo‘lib qoladi. Bu esa oldingi bandda isbotlangan parametrning tezlikdan mustaqilligiga zid.

Demak, agar yorug‘lik $x^{'}$ o‘qi yo‘nalishida $K^{'}$ sanoq sistemasiga nisbatan tarqalsa va bu sistema $K$ sistemaga nisbatan $x$ o‘qi bo‘ylab harakatlanayotgan bo‘lsa, yorug‘lik $K$ sanoq sistemasiga nisbatan ham $x$ o‘qi bo‘ylab ayni yo‘nalishda tarqaladi.

Shunday qilib, fazo-vaqt koordinatalari vektorining almashtirish matritsasini $(x^{'}, t^{'})^{T}$ va tezlikni almashtirish formulasini $u^{'}$ tezlikni almashtirish formulasini (tezliklarni qo‘shish qonunini), $S^{'}$ sanoq sistemasidan $S$ :

A (v) = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} (\begin{matrix} 1 & v \\ v / c^{2} & 1 \end{matrix})

,

u = \frac{u^{'} + v}{1 + u^{'} v / c^{2}} .

sistemasiga o‘tishda, yakuniy ko‘rinishda olamiz. $S$ ga $S^{'}$ teskari o‘tishda tezlik o‘rniga $v$ ga teskari almashtirishlarni olish uchun $- v$ tezlik o‘rniga $u^{'}$ ni qo‘yish va ular o‘rnini almashtirish kifoya. $u$ .

Interval

Interval deb ixtiyoriy ikki hodisa orasida quyidagi kattalikning kvadrat ildiziga aytiladi:

Δ s^{2} = c^{2} Δ t_{}^{2} - Δ x^{2} - Δ y^{2} - Δ z^{2},

bu yerda $Δ t = t_{2} - t_{1}, Δ x = x_{2} - x_{1}, Δ y = y_{2} - y_{1}, Δ z = z_{2} - z_{1}$ — ikki hodisaning vaqtlari va koordinatalari ayirmalaridir. Lorens almashtirishlarini bevosita qo‘yib, interval barcha ISSlarda bir xil chiqishiga ishonch hosil qilish mumkin. Intervalning invariantligi uning istalgan inersial sanoq sistemasida bir xil qiymatga egaligini anglatadi: $Δ s^{2} = Δ s'^{2} .$

Agar $Δ s^{2} > 0,$ bo‘lsa, hodisalar vaqtsimon interval bilan ajralgan deyiladi; agar $Δ s^{2} < 0$ bo‘lsa, fazoviy-simon interval bilan ajralgan deyiladi. Nihoyat, agar $Δ s^{2} = 0,$ bo‘lsa, bunday intervallar yorug‘liksimon.

deb ataladi. O‘zaro intervali vaqtsimon yoki yorug‘liksimon bo‘lgan hodisalar uchun ulardan biri boshqasidan oldin sodir bo‘lganini har doim aytish mumkin (ya’ni hodisalarni vaqt bo‘yicha tartiblash mumkin va bu tartib istalgan ISSda bir xil bo‘ladi). Bunday hodisalar sabab-oqibat bog‘lanishiga ega bo‘lishi mumkin.

Oralaridagi interval fazoviy-simon bo‘lgan hodisalarning qat’iy vaqt tartibi yo‘q: agar bitta sanoq sistemasida ikki hodisa $t_{1} < t_{2},$ paytlarda yuz bersa, birinchi sistemaga nisbatan muayyan $v$ tezlikda harakatlanadigan, hodisalar ${t_{1}}^{'} > {t_{2}}^{'} .$ paytlarda teskari ketma-ketlikda sodir bo‘ladigan boshqa inersial sistemani topish mumkin. Bunday hodisalar sabab-oqibat bog‘lanishiga ega bo‘la olmaydi.

Yorug‘liksimon interval yorug‘lik tezligida tarqaluvchi signal bilan o‘zaro bog‘lanishi mumkin bo‘lgan hodisalarga mos keladi. $Δ s^{2} = 0,$ yorug‘liksimon interval tenglamasi $Δ s^{2} = c^{2} Δ t_{}^{2} - Δ x^{2} - Δ y^{2} - Δ z^{2},$ ko‘rinishida yozilsa, hodisaning yorug‘lik konusi deb ataladigan konusni ifodalaydi. Mazkur hodisa bilan yorug‘lik signali orqali bog‘lanishi mumkin bo‘lgan o‘tmish va kelajakdagi barcha nuqtalar shu konusda yotadi.

Sanab o‘tilgan xossalarni Lorens almashtirishlarini quyidagi ko‘rinishda yozib keltirib chiqarish mumkin:

({t_{2}}^{'} - t'_{1}) = \frac{(t_{2} - t_{1}) - \frac{v}{c^{2}} (x_{2} - x_{1})}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

Interval ishorasini, umuman olganda, ixtiyoriy tanlash mumkin. Dastlabki ko‘rinishda interval teskari ishora bilan (ya’ni fazoviy koordinatalar «+», vaqt koordinatasi «−» ishora bilan) yozilgan. Zamonaviy adabiyotlarda ko‘proq yuqoridagi formuladan foydalaniladi.

Lorens almashtirishlarining o‘zini ham ularning chiziqliligi va interval invariantligi talabidan keltirib chiqarish mumkin.

Isbot

Soddalik uchun bir o‘lchamli fazo holatini ko‘rib chiqamiz. Intervalning invariantligi $x^{2} - (c t)^{2} = x'^{2} - (c t^{'})^{2} .$ ekanini bildiradi. Bu ifodaga chiziqli almashtirishlarni qo‘yamiz:

x = a_{11} x^{'} + a_{12} c t^{'},

c t = a_{21} x^{'} + a_{22} c t^{'} .

Quyidagini olamiz:

x^{2} - (c t)^{2} = (a_{11} x^{'} + a_{12} c t^{'})^{2} - (a_{21} x^{'} + a_{22} c t^{'})^{2} = (a_{11}^{2} - a_{21}^{2}) x'^{2} - (a_{22}^{2} - a_{12}^{2}) (c t^{'})^{2} + 2 (a_{11} a_{12} - a_{21} a_{22}) x^{'} c t^{'} = x'^{2} - (c t^{'})^{2} .

Bu yerda $x^{'}$ va $c t^{'}$ ixtiyoriy bo‘lgani uchun chap va o‘ng tomonlardagi koeffitsiyentlar aynan teng bo‘lishi kerak. Demak,

a_{11}^{2} - a_{21}^{2} = 1, a_{22}^{2} - a_{12}^{2} = 1, a_{11} a_{12} - a_{21} a_{22} = 0.

Oxirgi tenglikdan $a_{22} / a_{11} = a_{12} / a_{21} .$ kelib chiqadi. Ko‘rsatilgan nisbatni $α .$ deb belgilaymiz. Bundan tashqari, $a_{11} = γ, a_{21} = b .$ deb belgilaymiz. U holda $a_{22} = α γ, a_{12} = α b,$ va dastlabki ikkita munosabatni quyidagicha yozish mumkin:

γ^{2} - b^{2} = 1, α^{2} γ^{2} - α^{2} b^{2} = 1.

Bundan, birinchidan, $α^{2} = 1,$ , ikkinchidan, $γ^{2} - b^{2} = 1,$ kelib chiqadi va shundan $γ^{2} = 1 / (1 - b^{2} / γ^{2}) .$ deb yozish mumkin. Nihoyat, qulaylik uchun $β = b / γ,$ belgilashini kiritsak, quyidagini olamiz:

A = (\begin{matrix} γ & \pm γ β \\ γ β & \pm γ \end{matrix}) = γ (\begin{matrix} 1 & \pm β \\ β & \pm 1 \end{matrix}), γ = \pm \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}},

bunda matritsadagi ishoralar bir vaqtning o‘zida yo musbat, yo manfiy bo‘ladi. $γ$ formulasidagi ishora musbat tanlanishi kerak, chunki sistemalarning nisbiy tezligi nol bo‘lganda A matritsa birlik matritsa bo‘lishi kerak (bu holda sistemalar bir xil va almashtirishlar ayniy bo‘ladi). Agar γ dagi koeffitsiyent manfiy bo‘lsa, bu imkonsiz bo‘lardi (yuqori diagonal element −1 ga teng bo‘lib qolardi, aslida +1 bo‘lishi kerak). Shuning uchun $γ$ — musbat son, deb aniq aytish mumkin.

Matritsa ichidagi ishoralar va $β,$ ning qiymatiga kelsak, ularni $S^{'}$ sistema koordinatalar boshini — $(0, c t^{'})$ vektorni — olib, uni $S$ sistemasiga almashtirish va harakat tezligi uchun qabul qilingan $v$ :

(\begin{matrix} v t \\ c t \end{matrix}) = γ (\begin{matrix} 1 & \pm β \\ β & \pm 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ c t^{'} \end{matrix}) = \pm γ (\begin{matrix} β c t^{'} \\ c t^{'} \end{matrix}) .

kelishuvdan foydalanish orqali aniqlash mumkin. Ushbu sistema birinchi tenglamasini ikkinchisiga bo‘lib, $β = v / c .$ ni olamiz. Ishoraga kelsak, vaqtning musbatligi tufayli ikkinchi tenglamadan ishora musbat bo‘lishi kerakligi kelib chiqadi. Shunday qilib, yakuniy ifoda:

A = γ (\begin{matrix} 1 & v / c \\ v / c & 1 \end{matrix}), γ = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} .

Geometrik yondashuv

To‘rt o‘lchamli fazo-vaqt

Interval o‘z shakliga ko‘ra (ayniqsa dastlabki yozilishida) Yevklid fazosidagi masofaga o‘xshaydi. Biroq hodisaning fazoviy va vaqtga oid tarkibiy qismlari ishoralari turlicha. Minkovskiy va Puankarening undan oldingi ishiga tayanib, yagona metrik to‘rt o‘lchamli fazo-vaqt mavjudligi, uning 4-koordinatalari $(c t, x, y, z)$ ekanini postulat sifatida qabul qilish mumkin. Tekis fazoning eng sodda holatida metrika, ya’ni cheksiz yaqin ikki nuqta orasidagi masofani aniqlaydigan kattalik Yevklidcha yoki psevdo-Yevklidcha bo‘lishi mumkin. Ikkinchi holat maxsus nisbiylik nazariyasiga mos keladi. Interval psevdo-Yevklid to‘rt o‘lchamli fazo-vaqtidagi masofani belgilaydi, deyiladi. Bu fazo-vaqt Minkovskiy fazo-vaqti.

deb ham ataladi. Bunday yondashuvda Lorens almashtirishlarini tushunish va keltirib chiqarishning eng «sodda» yo‘li intervalni (teskari ishora bilan) vaqtning «mavhum» koordinatasi $i c t$ :

Δ s^{2} = Δ x^{2} + Δ y^{2} + Δ z^{2} - c^{2} Δ t^{2} = Δ x^{2} + Δ y^{2} + Δ z^{2} + Δ (i c t)^{2},

orqali yozishdir. Shunda interval to‘rt o‘lchamli fazodagi nuqtalar orasidagi oddiy Yevklid masofasiga o‘xshaydi. Yuqorida ko‘rsatilganidek, bir ISSdan boshqasiga o‘tganda interval saqlanishi kerak. Demak, bunday almashtirishlar faqat parallel ko‘chirish va inversiyalar (bu qiziq emas) yoki shu fazodagi burilishlar bo‘lishi mumkin. Lorens almashtirishlari bunday fazoda burilish vazifasini bajaradi. To‘rt o‘lchamli fazo-vaqtda vaqt va fazoviy koordinatalarni aralashtiradigan bazisning burilishlari 4-vektorlar uchun harakatlanuvchi sanoq sistemasiga o‘tishdek ko‘rinadi va odatiy uch o‘lchamli fazodagi burilishlarga o‘xshaydi. Bunda muayyan hodisalar orasidagi to‘rt o‘lchamli intervallarning sanoq sistemasidagi vaqt va fazo o‘qlariga proyeksiyalari o‘zgaradi. Vaqt va fazoviy intervallarning relyativistik o‘zgarish effektlari aynan shundan yuzaga keladi. MNN postulatlari belgilaydigan bu fazoning invariant tuzilishi bir inersial sanoq sistemasidan boshqasiga o‘tilganda o‘zgarmaydi. To‘rt o‘lchamli fazoni faqat ikkita fazoviy koordinatadan (x, y) foydalanib (t, x, y) koordinatalarda tasvirlash mumkin. Koordinatalar boshlanishidagi (t=0, x=y=0) hodisa bilan yorug‘lik signali (yorug‘liksimon interval) orqali bog‘langan hodisalar yorug‘lik konusida yotadi (o‘ngdagi rasmga qarang).

Minkovskiyning dastlabki talqinida (mavhum vaqt bilan) Lorens almashtirishlari formulalari ancha oson keltirib chiqariladi — ular Yevklid fazosidagi burilishlarning ma’lum formulalaridan kelib chiqadi.

Keltirib chiqarish

Buning uchun koordinatalar boshidan chiquvchi (tekis va to‘g‘ri chiziqli harakatni ifodalovchi) nur bilan $i c t$ o‘qi orasidagi burchak tangensi quyidagiga tengligini tushunish kifoya:

𝐭 𝐠 ϕ = v / i c = - i v / c .

Shundan burchaklar yig‘indisi tangensi formulasidan foydalanib, tezliklarni qo‘shish qonunini chiqarish mumkin (muayyan sistemada ma’lum tezliklarda harakatni ifodalovchi ikkita nur orasidagi burchak tangensi ularning nisbiy harakat tezligini bildiradi). Agar sistemalar orasidagi burchak $ψ$ , harakatlanuvchi jism nuri bilan $S^{'}$ sistema nuri orasidagi burchak esa $ϕ^{'}$ bo‘lsa, jismning S sistemaga nisbatan u tezligi uchun quyidagini olamiz:

u / i c = 𝐭 𝐠 ϕ = 𝐭 𝐠 (ϕ^{'} + ψ) = \frac{𝐭 𝐠 ϕ^{'} + 𝐭 𝐠 ψ}{1 - 𝐭 𝐠 ϕ^{'} 𝐭 𝐠 ψ} = \frac{u^{'} / i c + v / i c}{1 + u^{'} v / c^{2}} .

Agar $i c$ ni qisqartirsak, tezliklarni qo‘shish qonunini olamiz (e’tibor bering: i bo‘lmaganda maxrajda «−» paydo bo‘lardi).

Shuningdek, burchakning kosinus va sinusini ifodalash ham qiyin emas:

\cos ϕ = 1 / \sqrt{1 + t g^{2} ϕ} = 1 / \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}} = γ (v),

\sin ϕ = t g ϕ \cos ϕ = - i v / c γ .

Yevklid fazosida $(x, i c t)$ tekislikdagi burilishlarning umumiy formulasidan foydalanib, quyidagini olamiz:

x = x^{'} \cos ϕ + i c t^{'} \sin ϕ = γ (x^{'} + v t^{'}),

i c t = i c t^{'} \cos ϕ - x^{'} \sin ϕ = γ (i c t^{'} + i v x^{'} / c) .

Oxirgi ifodani $i c$ ga bo‘lib, quyidagini olamiz:

t = γ (t^{'} + v x^{'} / c^{2}) .

Biroq zamonaviy yondashuv haqiqiy vaqt o‘qiga $c t$ ega bo‘lgan to‘rt o‘lchamli fazo-vaqtni psevdometrika bilan kiritishga asoslanadi. Bunday fazoda burilish formulalari o‘xshash ko‘rinishga ega, biroq trigonometrik funksiyalar o‘rniga giperbolik funksiyalarni.

Keltirib chiqarish

Bunday fazoda $t h ϕ = v / c$ . Tezliklarni qo‘shish qonuni:

u / c = t h ϕ = t h (ϕ^{'} + ψ) = \frac{t h ϕ^{'} + t h ψ}{1 + t h ϕ^{'} t h ψ} = \frac{u^{'} / c + v / c}{1 + v u^{'} / c^{2}} .

Yorug‘lik tezligini qisqartirib, izlangan tezliklarni qo‘shish qonunini olamiz.

Bu fazoning $(x, c t)$ tekisligidagi burilishlari quyidagicha tavsiflanadi:

x = x^{'} c h ϕ + c t^{'} s h ϕ,

c t = c t^{'} c h ϕ + x^{'} s h ϕ .

Agar $c h ϕ = \frac{1}{\sqrt{1 - t h^{2} ϕ}} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} = γ (v)$ va $s h ϕ = t h ϕ c h ϕ = γ (v) v / c$ ni hisobga olsak, izlangan Lorens almashtirishlarini olamiz.

Minkovskiy va Puankarening geometrik yondashuvini 1914-yilda A. Robb rivojlantirdi. U MNNning aksiomatik tuzilishiga hodisalarning ketma-ket kelishi hodisalarini izohlash uchun ishlatiladi. Keyinchalik bu yondashuvni A. D. Aleksandrov 50–70-yillardagi ishlarida rivojlantirdi. Asosiy aksiomatikaga ko‘ra, fazo-vaqt, birinchidan, to‘rt o‘lchamli, bog‘langan bir bog‘lamli lokal kompakt Hausdorf topologik fazo bo‘lib, unda parallel ko‘chirishlar guruhi (rasmiy jihatdan — tranzitiv kommutativ guruh gomeomorfizmlar, ya’ni fazoning o‘ziga o‘tkazuvchi uzluksiz o‘zaro bir qiymatli akslantirishlar guruhi) aniqlangan. Bu fazo ushbu ko‘chirishlar guruhi bilan affin fazo ekanini anglatadi. Ikkinchidan — va bu eng muhim jihat — fazo-vaqtning har bir nuqtasiga shu nuqtaning o‘zini va boshqa nuqtalarni ham o‘z ichiga oluvchi «ta’sir sohalari» (yoki keyingi hodisalar, ketma-ket kelish sohalari) deb ataladigan qism to‘plamlar mos qo‘yiladi. Bunda ta’sir sohasidagi istalgan boshqa nuqtaning ta’sir sohasi dastlabki nuqtaning ta’sir sohasiga kiradi. Bu faraz fazo-vaqtda qisman tartib munosabatini — ketma-ket kelish yoki sababiyat munosabatini kiritadi. Mazkur munosabat chegaralangan to‘plam tushunchasini (shu tartib munosabati ma’nosida) kiritishga imkon beradi. MNNning ikkinchi postulatiga (ta’sir uzatilish tezligining chegaralanganligiga) bu holda berilgan nuqtaning «keyingi» to‘plami bilan uning «keyingi» nuqtalaridan istalgan birining «oldingi» to‘plami kesishmasi chegaralangan bo‘lishi haqidagi faraz matematik jihatdan mos keladi. Bular asosiy farazlardir. Lekin ular Lorens almashtirishlarini keltirib chiqarish uchun yetarli emas. «Ta’sir sohalari»ga nisbatan muayyan xossalarga ega bo‘lgan o‘zaro bir qiymatli akslantirishlar guruhi mavjudligi haqida qo‘shimcha farazlar kiritish zarur. Shu qo‘shimcha aksiomalar bilan birga ko‘rsatilgan akslantirishlar guruhi aslida Lorens guruhi bo‘ladi; shu tariqa Dekart koordinatalarini, psevdometrikani va Lorens almashtirishlarining aniq ko‘rinishini kiritish mumkin.

Fazo-vaqtning geometrik talqini MNNni tenzor tahlili asosida kovariant ko‘rinishda (quyiga qarang) ifodalashga imkon beradi. Aynan geometrik talqin nisbiylik nazariyasini umumlashtirishning ( umumiy nisbiylik nazariyasining).

Tezliklar fazosi

Tezliklar fazosining geometrik tuzilishi postulat sifatida qabul qilinadigan yana bir yondashuv mavjud. Bunday fazoning har bir nuqtasi muayyan inersial sanoq sistemasiga mos keladi, ikki nuqta orasidagi masofa esa ISSlar orasidagi nisbiy tezlik moduliga teng. Nisbiylik prinsipiga ko‘ra, bunday fazoning barcha nuqtalari teng huquqli bo‘lishi kerak. Demak, tezliklar fazosi bir jinsli va izotrop bo‘ladi. Agar uning xossalari Riman geometriyasi bilan tavsiflansa, faqat uchta imkoniyat mavjud: tekis fazo, doimiy musbat egrilikka ega fazo va doimiy manfiy egrilikka ega fazo. Birinchi holat tezliklarni qo‘shishning klassik qoidasiga mos keladi. Doimiy manfiy egrilikli fazo ( Lobachevskiy fazosi) tezliklarni relyativistik qo‘shish qoidasiga va maxsus nisbiylik nazariyasiga mos keladi.

Guruhiy yondashuv

Bir sanoq sistemasidan boshqasiga o‘tish almashtirishlarini fazo-vaqt tuzilishini aniqlashtirmasdan ham aksiomatik asosda qurish mumkin. Buning uchun «hodisalar»ning $M$ to‘plami tushunchasi kiritiladi. Inersial sanoq sistemalari «hodisalar»ni $S$ o‘zaro bir qiymatli tarzda $R^{4}$ ga, ya’ni to‘rt o‘lchamli arifmetik fazoga akslantirishlardan iborat. Dastlabki uch son fazoviy komponentlar, oxirgisi vaqtni bildiradi. $M$ to‘plamning qism to‘plamlari orasidan inersial harakatlar $I$ ajratiladi. Ular $S$ akslantirishda vektorlarga o‘tadigan qism to‘plamlardir. Vektorlarning fazoviy komponentlari vaqt komponentiga $x_{i} = a_{i} + v_{i} t$ shaklida bog‘langan bo‘lib, koeffitsiyentlar o‘zgarmasdir. Xususan, agar barcha $v_{i} = 0$ bo‘lsa, tinch turgan «inersial harakat» (tinch jism) hosil bo‘ladi. $S^{'}$ sistemadan $S$ sistemaga almashtirishlar aslida $P = S S'^{- 1}$ .

kompozitsiyasidir. Keyin bir ISSning boshqasiga nisbatan harakatini matematik tarzda ifodalash kerak. $S^{'}$ sistema S ga nisbatan tinch turadi deyiladi, agar $S^{'}$ dagi «tinch jism» $S$ da ham tinch tursa. Aks holda $S^{'}$ sistemaga nisbatan harakat qiladi $S$ ga nisbatan harakat qiladi deyiladi. Avvalo, bir-biriga nisbatan harakatlanuvchi ISSlar mavjudligi faraz qilinadi (1-aksioma).

Keyin chiziqli almashtirishni aniqlaymiz: $ϕ$ ning $R^{4}$ , uning matritsasining fazoviy qismi ortogonal almashtirishdan iborat, vaqtga oid qismida esa (to‘rtinchi satr va to‘rtinchi ustun) diagonal element 1 ga, qolganlari nolga teng. U «fazoviy burilish» deb ataladi. Har bir sistema uchun bunday fazoviy burilishga mos boshqa sistema mavjudligi faraz qilinadi (2a-aksioma). $S^{'}$ sistema uchun $S$ sistema mavjud bo‘lib, unga o‘tish $P$ almashtirishi muayyan $ϕ$ , xususan (2b-aksioma), agar $S^{'}$ sistema biror $S$ sistemaga nisbatan tinch bo‘lsa, mos $P$ almashtirish muayyan fazoviy burilish bo‘ladi. Bundan tashqari (3-aksioma), har bir $I$ inersial harakat uchun boshqa $I^{'}$ inersial harakat mavjud bo‘lib, u berilgan $S$ sanoq sistemasida muayyan fazoviy burilishgacha bir xil akslanadi, deb faraz qilinadi.

Nihoyat, yana bir faraz (4-aksioma) shuki, istalgan $P$ almashtirish, muayyan inersial sistemalar orasida, va ixtiyoriy $S$ sistema uchun shunday $S^{'}$ sanoq sistemasi topiladiki, $S^{'}$ dan $S$ ga o‘tish almashtirishi $P$ .

almashtirishiga aynan teng bo‘ladi. Ma’lum bo‘lishicha, bunday aksiomalar sistemasi $G$ almashtirishlar $P$ guruhining yo Galiley guruhidan iborat, yo haqiqiy $c > 0$ parametrga ega bo‘lishiga olib keladi; bu bir jinsli bo‘lmagan Lorens guruhiga mos keladi.

Lorens almashtirishlarining natijalari

Tezliklarni qo‘shish

Lorens almashtirishlaridan bevosita tezliklarni relyativistik qo‘shish qoidasi kelib chiqadi. Agar biror obyekt tezligining $(u_{x}, u_{y}, u_{z})$ sistemaga nisbatan komponentlari $S$ va $(u'_{x}, u'_{y}, u'_{z})$ sistemasiga nisbatan komponentlari $S^{'}$ bo‘lsa, ular quyidagi tengliklar bilan bog‘langan:

u'_{x} = \frac{u_{x} - v}{1 - u_{x} v / c^{2}}, u'_{y} = \frac{u_{y} \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}}{1 - u_{x} v / c^{2}}, u'_{z} = \frac{u_{z} \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}}{1 - u_{x} v / c^{2}} .

Keltirib chiqarish

Haqiqiy ct vaqt o‘qiga ega fazo-vaqtning $(x, c t)$ tekisligidagi burilishlari quyidagicha tavsiflanadi:

x = x^{'} c h ϕ + c t^{'} s h ϕ,

c t = c t^{'} c h ϕ + x^{'} s h ϕ .

Bunda $t h ϕ = v / c$ va $c h ϕ = \frac{1}{\sqrt{1 - t h^{2} ϕ}} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} = γ (v)$ hamda $s h ϕ = t h ϕ c h ϕ = γ (v) v / c$

получим
 $u / c = t h ϕ = t h (ϕ^{'} + ψ) = \frac{t h ϕ^{'} + t h ψ}{1 + t h ϕ^{'} t h ψ} = \frac{u^{'} / c + v / c}{1 + v u^{'} / c^{2}}$

ni hisobga olib, yorug‘lik tezligiga ko‘paytirsak, tezliklarni qo‘shish qonunini olamiz.

Bu munosabatlarda $v$ sanoq sistemasining nisbiy harakat tezligi $S^{'}$ o‘qi bo‘ylab yo‘nalgan. $x$ .

Agar obyekt $u_{x} = c$ sistemasiga nisbatan x o‘qi bo‘ylab $S$ yorug‘lik tezligida harakat qilsa, $S^{'}$ : $u'_{x} = c$ sistemaga nisbatan ham shu tezlikda harakat qiladi. Demak, $c$ tezlik barcha ISSlarda invariant (bir xil) bo‘ladi.

Tezliklarni relyativistik qo‘shish ham, Lorens almashtirishlari ham kichik tezliklarda ( $v ≪ c$ ) tezliklarni qo‘shishning klassik qonuniga o‘tadi.

Vaqtning sekinlashishi

Agar soat $S^{'}$ sistemasida tinch tursa, $S^{'}$ sistemasining bir nuqtasida qayd qilinadigan ketma-ket ikki hodisa uchun $Δ x^{'} = 0$ tenglik bajariladi. Lorens almashtirishidagi $x^{'} = \frac{x - v t}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ dan ma’lumki, bunday soat $S$ sistemasiga nisbatan $Δ x = v Δ t$ qonun bo‘yicha harakat qiladi. Shuning uchun $t^{'} = \frac{t - \frac{v}{c^{2}} x}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ almashtirishdan $S^{'}$ va $S$ sistemalaridagi kuzatuvchilar o‘lchaydigan vaqt oraliqlari uchun quyidagi munosabat kelib chiqadi:

Δ t^{'} = Δ t \cdot \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} .

Bu formulada $Δ t^{'}$ vaqt oralig‘i (xususiy vaqt oralig‘i) $S^{'}$ sistemasida tinch turgan soat bilan o‘lchanadi; mazkur sistema $S$ sistemasiga nisbatan harakat qiladi. U $Δ t$ bir nechta turli, o‘zaro sinxron yuradigan, $S$ sistemasida joylashgan soatlarning vaqt oralig‘i bilan taqqoslanadi. $Δ t > Δ t^{'}$ bo‘lgani sababli $v \neq 0$ , demak, $S$ sistemaga nisbatan harakatlanayotgan $S^{'}$ sanoq sistemasidagi soatlar $- v$ tezlikda harakatlanganda $S^{'}$ sistemasidagi soatlarga qaraganda sekinroq yuradi. Bu effekt bilan egizaklar paradoksi.

deb ataladigan hodisa bog‘liq. Agar soat $𝐮 (t)$ inersial sanoq sistemasiga nisbatan o‘zgaruvchan tezlik bilan harakat qilsa, uning o‘zi tinch turgan yo‘ldosh sanoq sistemasida o‘lchagan vaqtini ( xususiy vaqt) quyidagi formula bilan hisoblash mumkin:

t^{'} = \int_{0}^{t} \sqrt{1 - 𝐮^{2} (t) / c^{2}} \cdot d t,

bu yerda lokal inersial sanoq sistemalaridagi vaqt oraliqlari yig‘iladi.

Bir vaqtdalikning nisbiyligi

Agar fazoda bir-biridan ajralgan ikkita hodisa (masalan, yorug‘lik chaqnashlari) $v > 0$ tezlik bilan harakatlanayotgan $S^{'}$ sanoq sistemasida bir vaqtda sodir bo‘lsa, «tinch» $S$ sistemasiga nisbatan ular bir vaqtda yuz bermaydi. $Δ t^{'} = 0$ bo‘lganda Lorens almashtirishlaridan quyidagisi kelib chiqadi:

Δ t = \frac{v}{c^{2}} Δ x .

Agar $Δ x = x_{2} - x_{1} > 0$ bo‘lsa, $Δ t = t_{2} - t_{1} > 0$ ham shunday bo‘ladi. Demak, $S$ sistemasidagi tinch kuzatuvchining nuqtayi nazaridan $x_{1}$ nuqtadagi chapdagi hodisa $x_{2}$ $(t_{1} < t_{2})$ nuqtadagi o‘ngdagi hodisadan oldin sodir bo‘ladi. Bir vaqtdalikning nisbiyligi turli inersial sanoq sistemalaridagi soatlarni butun fazo bo‘ylab sinxronlashning imkonsizligiga olib keladi.

Har bir $S$ va $S^{'}$ sanoq sistemasida $x$ hamda $x^{'}$ o‘qlari bo‘ylab o‘zaro sinxronlangan soatlar joylashtirilgan bo‘lsin. «Markaziy» soatlar bir-birining qarshisiga kelgan paytda $x = x^{'} = 0$ koordinatalarga ega bo‘lib, bir xil $t = t^{'} = 0$ vaqtni ko‘rsatsin (chap va o‘ng rasmlar). Shu paytda $S$ sistemasidagi kuzatuvchi uchun (chap rasm) harakatlanuvchi $S^{'}$ sanoq sistemasidagi soatlar sinxronlanmagan: ular turli vaqtni ko‘rsatadi. $S^{'}$ sistemasidagi, «markaziy» soatlardan $S^{'}$ ( $x^{'} > 0$ sistemaning harakat yo‘nalishida joylashgan soatlar ulardan orqada qoladi ( $t^{'} = - v x^{'} / c^{2}$ ), harakatga qarama-qarshi yo‘nalishda joylashgan soatlar esa ( $x^{'} < 0$ ) «markaziy» soatlardan ilgarilab ketadi. $S^{'}$ sistemasidagi soat «markaziy» soatdan harakat yo‘nalishida qanchalik uzoq bo‘lsa, shunchalik ko‘p ortda qoladi (harakatga qarshi yo‘nalishda bo‘lsa, shunchalik oldinga o‘tadi).

Xuddi shunday holat kuzatuvchilar uchun $S^{'}$ sistemasida ham mavjud (o‘ng rasm).

Uzunlik o‘lchamlarining qisqarishi

Agar $S^{'}$ sistema bilan birga harakatlanuvchi obyektning o‘lchamlari tinch $S$ sanoq sistemasida uning chegaralari koordinatalarini bir vaqtda qayd qilish orqali aniqlansa, $x^{'} = \frac{x - v t}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ Lorens almashtirishidan ma’lum bo‘ladiki, $l = Δ x$ sistemasida o‘lchangan jismning $S$ uzunligi harakat yo‘nalishida $l_{0} = Δ x^{'}$ jism bilan bog‘langan $S^{'}$ sanoq sistemasidagi xuddi shu yo‘nalishda o‘lchangan xususiy uzunligiga nisbatan qisqaradi:

l = l_{0} \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} .

Tinch $S$ sanoq sistemasida $S^{'}$ bilan birga harakatlanayotgan jismlarning harakat yo‘nalishidagi barcha o‘lchamlari — jismlarning o‘zi ham, ular orasidagi bo‘shliq ham — qisqaradi. Ko‘ndalang o‘lchamlar o‘zgarmaydi.

Uzunlikning bo‘ylama qisqarishi Lorens qisqarishi deb ataladi. Bunga yorqin misol — xoda va ombor paradoksi bo‘lib, unda uchib ketayotgan uzun xoda uzunligi qisqargani sababli undan qisqaroq omborga sig‘adi.

Harakatlanuvchi jismlarni ko‘z bilan kuzatganda Lorens qisqarishidan tashqari, yorug‘lik signalining jism sirtidan tarqalish vaqtini ham hisobga olish kerak. Natijada tez harakatlanuvchi jism harakat yo‘nalishida siqilgan emas, balki qiyshaygandek ko‘rinadi.

Doppler effekti

Faraz qilaylik, manba $v$ tezlik bilan harakatlanuvchi manba elektromagnit signal tarqatsin. Uning $ν_{0}$ chastotasi manba bilan bog‘langan $S^{'}$ sanoq sistemasidagi kuzatuvchi tomonidan o‘lchangan (xususiy chastota) bo‘lsin. Agar xuddi shu signalni «tinch» $S$ sistemasidagi kuzatuvchi qayd etsa, uning $ν$ chastotasi xususiy chastotadan farq qiladi:

ν = ν_{0} \cdot \frac{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1 + \frac{v}{c} \cdot \cos θ},

bu yerda $θ$ — manbaga yo‘nalish bilan uning tezligi orasidagi burchak.

Doppler effektining bo‘ylama va ko‘ndalang ko‘rinishlari farqlanadi. Birinchi holatda $θ = 0$ , ya’ni manba va qabul qilgich bir to‘g‘ri chiziqda joylashadi. Agar manba qabul qilgichdan uzoqlashsa, uning chastotasi kamayadi $ν < ν_{0}$ (qizilga siljish); yaqinlashsa esa chastotasi ortadi $ν > ν_{0}$ (ko‘kka siljish):

Ko‘ndalang effekt $θ = π / 2$ bo‘lganda, ya’ni qabul qilgich manba tezligiga perpendikulyar yo‘nalishda joylashganda (masalan, manba qabul qilgich ustidan «uchib o‘tganda») yuzaga keladi. Bu holatda $Δ t^{'} = Δ t \cdot \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$ , bunda $Δ t^{'} = T_{0} = \frac{1}{ν_{0}}$ va $Δ t = T = \frac{1}{ν}$ oraliqlar $S^{'}$ xususiy sanoq sistemasidagi va unga nisbatan harakatlanuvchi $S$ sanoq sistemasidagi tebranishlar davriga teng. Soat yurishining sekinlashishi $ν$ sistemasida chastotaning $S$ xususiy chastotaga nisbatan kamayishida namoyon bo‘ladi. $ν_{0}$ :

ν = ν_{0} \cdot \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} .

Klassik fizikada ko‘ndalang effektning o‘xshashi yo‘q, bu sof relyativistik effektdir. Bo‘ylama Doppler effekti esa vaqtning relyativistik sekinlashishi hamda klassik omil hisobiga vujudga keladi.

Aberratsiya

Yorug‘lik aberratsiyasi — kuzatuvchi va obyektning o‘zaro harakati tufayli obyektning ko‘rinma siljishidir. $S^{'}$ sanoq sistemasida yorug‘lik manbai tinch va $θ^{'}$ o‘qiga nisbatan $x^{'}$ burchak ostida joylashgan bo‘lsin. U holda $S$ sistemasiga nisbatan $S^{'}$ sistema $x$ o‘qi bo‘ylab $v$ tezlikda harakatlansa, yorug‘lik manbai yo‘nalishi $θ$ burchak hosil qiladi. Tezliklarni relyativistik qo‘shish qoidasiga ko‘ra, bu ikki burchak quyidagicha bog‘liq:

\cos θ = \frac{\cos θ^{'} - β}{1 - β \cos θ^{'}}, \sin θ = \frac{\sqrt{1 - β^{2}} \cdot \sin θ^{'}}{1 - β \cos θ^{'}},

bu yerda $β = v / c$ .

Relyativistik dinamika

Relyativistik Lagranj funksiyasi

Klassik mexanikada harakat qonunlarini mexanik sistemaning Lagranj funksiyasi ko‘rinishidan eng kichik ta’sir prinsipi asosida keltirib chiqarish mumkin. Ta’sir ISSlar orasidagi almashtirishlarda invariant bo‘lishi kerak. Interval shunday xossaga ega. Demak, relyativistik mexanikada ta’sirning umumiy ko‘rinishi:

S = - α \int d s = - α c \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{1 - u^{2} / c^{2}} d t .

Shunga muvofiq, Lagranj funksiyasi quyidagiga teng bo‘lishi kerak:

L = - α c \sqrt{1 - u^{2} / c^{2}} .

Parametrni $α$ parametrni kichik tezliklarda klassik mexanikadagi erkin zarra Lagranj funksiyasi (u shunchaki kinetik energiyaga teng) bilan, o‘zgarmas qo‘shiluvchi aniqligida, mos kelish talabidan aniqlash zarur. Shundan erkin relyativistik zarra Lagranj funksiyasining ko‘rinishini aniqlash mumkin:

L = - m c^{2} \sqrt{1 - 𝐮^{2} / c^{2}} .

Ushbu Lagranj funksiyasidan relyativistik zarra dinamikasini tushunchalarning Lagranj funksiyasi orqali klassik ta’riflari va Eyler–Lagranj tenglamalari asosida keltirib chiqarish mumkin.

Energiya va impuls

Agar tinchlik massasi $m$ bo‘lgan zarra $𝐮$ tezlikda harakat qilsa, uning energiyasi va impulsi tezlikka quyidagicha bog‘liq:

E = 𝐩 𝐮 - L = \frac{m c^{2}}{\sqrt{1 - \frac{𝐮^{2}}{c^{2}}}}, 𝐩 = \frac{\partial L}{\partial 𝐮} = \frac{m 𝐮}{\sqrt{1 - \frac{𝐮^{2}}{c^{2}}}} .

Bu munosabatlar energiya va impulsning klassik ifodalarini umumlashtiradi. Klassik ifodalar bo‘yicha qatorga yoyish orqali olinadi. $𝐮^{2} / c^{2}$ :

$E \approx m c^{2} + \frac{m 𝐮^{2}}{2} + ..., 𝐩 \approx m 𝐮 + ...$

Zarraning tezligi nol bo‘lgandagi energiyasi tinchlik energiyasi deyiladi: $E_{0} = m c^{2}$ .

Zamonaviy fizika adabiyotlarida m — zarraning massasi tezlikka bog‘liq bo‘lmagan, Lorens almashtirishlariga nisbatan invariant va noadditiv kattalik deb qabul qilingan (ya’ni bir nechta qismdan tuzilgan jism massasi klassik mexanikadagidan farqli ravishda qismlar massalari yig‘indisiga teng emas). Tezlikka bog‘liq «relyativistik massa» $m (𝐮)$ tushunchasi nisbiylik nazariyasining dastlabki ishlarida uchrasa-da, hozir qo‘llanilmaydi. Bu tushunchaning tarixiy kiritilish sababi relyativistik impuls uchun klassik shaklni saqlab qolishga urinish bilan bog‘liq: $𝐩 = m (𝐮) 𝐮$ .

Jism tezligi yorug‘lik tezligiga yaqinlashganda uning energiyasi va impulsi cheksizlikka intiladi. Bu «odatiy» obyektlarning yorug‘lik tezligidan tez harakat qila olmasligi sabablaridan biridir. Massasi noldan farqli zarra uchun hatto yorug‘lik tezligiga yetish ham cheksiz energiya talab qiladi. Energiyaning va impulsning klassik ifodalardan sezilarli og‘ishi yorug‘lik tezligiga yaqin tezliklarda yuz beradi. Tezliklar nisbatan kichik bo‘lsa, klassik dinamikadan og‘ishlar ham arzimas bo‘ladi. Masalan, $u = c / 4$ tezlikda relyativistik va klassik impulslarning nisbiy farqi atigi 3 % ni tashkil qiladi.

Relyativistik energiya va impuls orasida quyidagi bog‘lanishlar mavjud:

E^{2} - 𝐩^{2} c^{2} = m^{2} c^{4}, 𝐩 = \frac{E}{c^{2}} 𝐮 .

Bu formulalar yorug‘lik tezligida harakatlanuvchi obyektlar uchun ham o‘rinli. Bu holda ularning tinchlik massasi nolga teng bo‘lishi kerak $m = 0$ .

Energiya va impuls almashtirishlari

Vaqt va koordinatalar uchun Lorens almashtirishlariga o‘xshab, turli inersial sanoq sistemalariga nisbatan o‘lchangan relyativistik energiya va impuls o‘xshash munosabatlar bilan bog‘langan:

E^{'} = \frac{E - v p_{x}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}}, p'_{x} = \frac{p_{x} - v E / c^{2}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}}, p'_{y} = p_{y}, p'_{z} = p_{z},

bu yerda impuls vektorining $𝐩$ komponentlari $(p_{x}, p_{y}, p_{z})$ ga teng. S va S' inersial sanoq sistemalarining nisbiy tezligi va yo‘nalishi Lorens almashtirishlaridagidek aniqlanadi.

Harakat tenglamalari

Jismga ta’sir etuvchi kuch $𝐅$ uning impulsini o‘zgartiradi. Shuning uchun Nyutonning ikkinchi qonuni quyidagi shaklda

\frac{d 𝐩}{d t} = 𝐅

nisbiylik nazariyasida ham qo‘llash mumkin. Lekin vaqt bo‘yicha hosila klassik impulsdan emas, relyativistik impulsdan olinadi. Shuning uchun kuch bilan tezlanish bog‘liqlik klassik holatdan sezilarli darajada farq qiladi:

𝐅 = \frac{m 𝐚}{\sqrt{1 - 𝐮^{2} / c^{2}}} + \frac{m 𝐮 \cdot (𝐮 𝐚) / c^{2}}{(1 - 𝐮^{2} / c^{2})^{3 / 2}} .

Birinchi had kuch tezlikka perpendikulyar ta’sir qilganida kuchning tezlanishga nisbatiga teng bo‘lgan «relyativistik massa»ni o‘z ichiga oladi. Nisbiylik nazariyasining dastlabki ishlarida u «ko‘ndalang massa» deb atalgan. Elektronlarning magnit maydonida og‘ishiga oid tajribalarda aynan uning «ortishi» kuzatiladi. Ikkinchi hadda kuch tezlikka parallel ta’sir qilganida kuchning tezlanishga nisbatiga teng «bo‘ylama massa» qatnashadi:

m_{| |} = \frac{m}{(1 - 𝐮^{2} / c^{2})^{3 / 2}} .

Yuqorida ta’kidlanganidek, bu tushunchalar eskirgan bo‘lib, Nyutonning klassik harakat tenglamasini saqlab qolish urinishlari bilan bog‘liq $𝐅 = m 𝐚$ .

Energiya o‘zgarish tezligi kuch bilan jism tezligining skalyar ko‘paytmasiga teng:

\frac{d E}{d t} = 𝐮 𝐅 .

Bundan klassik mexanikadagidek, zarra tezligiga perpendikulyar kuch komponenti uning energiyasini o‘zgartirmasligi kelib chiqadi (masalan, magnit komponenti Lorens kuchida).

Kovariant ifodalash

Metrik tenzor

Cheksiz yaqin ikki hodisa orasidagi masofani metrik tenzor $g_{α β}$ yordamida tenzor shaklida yozish mumkin:

d s^{2} = g_{α β} d x^{α} d x^{β},

bu yerda $(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) = (c t, x, y, z)$ , takrorlanuvchi indekslar bo‘yicha 0 dan 3 gacha yig‘indi olinishi nazarda tutiladi. Dekart koordinatali inersial sanoq sistemalarida metrik tenzor quyidagi ko‘rinishga ega:

g_{α β} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) .

Bu diagonal matritsa qisqacha quyidagicha belgilanadi: $g_{α β} = d i a g {1, - 1, - 1, - 1}$ .

Dekart bo‘lmagan koordinatalar sistemasini tanlash (masalan, sferik koordinatalarga o‘tish) yoki noinersial sanoq sistemalarini ko‘rib chiqish metrik tenzor komponentlari qiymatlarini o‘zgartiradi, biroq uning signaturasi $(1, - 1, - 1, - 1)$ o‘zgarmaydi. Maxsus nisbiylik nazariyasida metrik tenzorni $g_{α β} = d i a g {1, - 1, - 1, - 1}$ komponentlarga ega diagonal ko‘rinishga keltiruvchi global koordinata va vaqt almashtirishi har doim mavjud. Bu fizik jihatdan Dekart koordinatali inersial sanoq sistemasiga o‘tishga mos keladi. Boshqacha aytganda, MNNning to‘rt o‘lchamli fazo-vaqti tekis (psevdo-Yevklid) fazodir. Bundan farqli ravishda, umumiy nisbiylik nazariyasi (UNN) egrilangan fazolarni o‘rganadi. Bunday fazolarda metrik tenzorni hech qanday koordinata almashtirish bilan butun fazo bo‘ylab psevdo-Yevklid ko‘rinishiga keltirib bo‘lmaydi, biroq tenzor signaturasi o‘zgarmaydi.

4-vektor

MNN munosabatlarini to‘rtta komponentga ega $A^{α} = (A^{0}, A^{1}, A^{2}, A^{3})$ (komponent ustidagi raqam yoki indeks uning tartib raqamini, darajasini emas, bildiradi!) va ular bir inersial sistemadan boshqasiga o‘tganda Lorens almashtirishlariga muvofiq o‘zgaradi. 4-vektorning nolinchi komponenti vaqt, 1,2,3 indeksli komponentlari fazoviy komponentlar deyiladi. Ular oddiy uch o‘lchamli vektor komponentlariga mos keladi. Shuning uchun 4-vektor quyidagicha ham belgilanadi: $A^{α} = (A^{0}, 𝐀)$ .

Bir-biriga nisbatan harakatlanuvchi ikkita inersial sanoq sistemasida o‘lchangan 4-vektor komponentlari, ulardan biri $v$ yo‘nalishda $x^{1}$ ikkinchisiga nisbatan harakatlanganda, quyidagicha bog‘lanadi:

A'^{0} = \frac{A^{0} - \frac{v}{c} A^{1}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}, A'^{1} = \frac{A^{1} - \frac{v}{c} A^{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}, A'^{2} = A^{2}, A'^{3} = A^{3} .

4-vektorlarga misollar:

4-koordinatalar — nuqta ning psevdo-Yevklid fazo-vaqtidagi koordinatalari: $x^{α} = (x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) = (c t, x, y, z) = (c t, 𝐫),$

4-tezlik: $u^{α} = \frac{d x^{α}}{d τ} = γ (u) (c, u_{x}, u_{y}, u_{z}) = γ (u) (c, 𝐮) .$

4-impuls (energiya-impuls): $p^{α} = m u^{α} = (E / c, p_{x}, p_{y}, p_{z}) = (E / c, 𝐩),$

Xuddi shu tarzda 4-tezlanish: $w^{α} = \frac{d u^{α}}{d τ}$ va 4-kuch: $F^{α} = \frac{d p^{α}}{d τ}$ .

tushunchalarini ham aniqlash mumkin. Metrik tenzor yordamida kovektorlar deb ataladigan kattaliklarni kiritish mumkin. Ular xuddi shu harf bilan, lekin quyi indeksda belgilanadi:

A_{α} = g_{α β} A^{β} = g_{α 0} A^{0} + g_{α 1} A^{1} + g_{α 2} A^{2} + g_{α 3} A^{3} .

Signaturasi $g_{α β} = d i a g (1, - 1, - 1, - 1)$ signaturali diagonal metrik tenzor uchun kovektor 4-vektordan fazoviy komponentlar oldidagi ishorasi bilan farq qiladi. Masalan, agar $A^{α} = (A^{0}, 𝐀)$ bo‘lsa, $A_{α} = (A^{0}, - 𝐀)$ .

bo‘ladi. Vektor va kovektorning yig‘ma ko‘paytmasi invariantdir — u barcha inersial sanoq sistemalarida bir xil qiymatga ega:

g_{α β} A^{α} A^{β} = A_{α} A^{α} = (A^{0})^{2} - 𝐀^{2} = i n v .

4-koordinatalar uchun invariant interval, 4-tezlik uchun yorug‘lik tezligining kvadrati, 4-impuls (energiya-impuls) uchun esa tinchlik massasi kvadratiga mutanosib kattalikdir:

p^{2} = p_{α} p^{α} = \frac{E^{2}}{c^{2}} - 𝐩^{2} = m^{2} c^{2} .

Shuningdek, 4-vektorli differensial operatorlar, masalan, 4-gradient $\partial^{α} = \nabla^{α} = (\frac{\partial}{c \partial t}, \vec{\nabla}) = (\frac{\partial}{c \partial t}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) .$

MNNning tajribaviy asoslari

Maxsus nisbiylik nazariyasi mantiqan ziddiyatsiz nazariyadir. Ya’ni uning dastlabki qoidalaridan biror mulohazani ham, uning inkorini ham bir vaqtning o‘zida mantiqan chiqarib bo‘lmaydi. Shu sababli egizaklar paradoksi kabi ko‘plab «paradokslar» faqat zohiriydir. Ular MNNning mantiqiy ziddiyatidan emas, nazariyaning muayyan masalalarga noto‘g‘ri qo‘llanishidan kelib chiqadi.

Boshqa fizik nazariyalar singari, nisbiylik nazariyasining to‘g‘riligi ham oxir-oqibat tajriba asosida tekshiriladi. MNNning ikkita postulati bilan bitta sanoq sistemasidagi fizik qonunlarning Lorens invariantligi talabi mantiqan ekvivalent ekani nazariyani tajribada tekshirishni ancha osonlashtiradi.

Maxsus nisbiylik nazariyasi butun zamonaviy fizikaning asosidir. Shu sababli MNNni alohida o‘zi «isbotlovchi» yagona tajriba yo‘q. yuqori energiyalar fizikasi, yadro fizikasi, spektroskopiya, astrofizika, elektrodinamika va boshqa fizika sohalarida to‘plangan barcha tajriba natijalari tajriba aniqligi doirasida nisbiylik nazariyasiga mos keladi. Masalan, kvant elektrodinamikasida (MNN, kvant nazariyasi va Maksvell tenglamalarining birlashuvida) anomal magnit momenti elektronning nazariy bashoratga nisbiy 10 aniqlik bilan mos keladi.⁻⁹.

Aslida MNN muhandislikda ham qo‘llanadigan fandir. Uning formulalaridan elementar zarrachalar tezlatkichlarini hisoblashda foydalaniladi. Elektromagnit maydonlarda relyativistik tezlikda harakatlanuvchi zarrachalarning to‘qnashuvlariga oid ulkan ma’lumotlar to‘plamini qayta ishlash relyativistik dinamika qonunlariga tayanadi va ulardan og‘ish aniqlanmagan. MNN va UNNdan kelib chiqadigan tuzatishlar sun’iy yo‘ldosh navigatsiyasi tizimlarida ( GPS, GLONASS) qo‘llanadi. MNN yadro energetikasi va boshqa ko‘plab sohalarning asosidir.

Bularning barchasi MNNning qo‘llanish chegaralari yo‘q degani emas. Aksincha, boshqa har qanday nazariya kabi uning ham chegaralari bor va ularni aniqlash tajribaviy fizikaning muhim vazifasidir. Masalan, Eynshteynning gravitatsiya nazariyasida (UNN) MNNning psevdo-Yevklid fazosi egrilikka ega fazo-vaqt holatiga umumlashtiriladi. Bu astrofizik va kosmologik kuzatuvlarning ko‘p qismini tushuntirishga imkon beradi. MNN munosabatlarini o‘zgartirishi mumkin bo‘lgan fazo anizotropligi va boshqa effektlarni aniqlashga urinishlar mavjud. Biroq bunday effektlar topilsa, ular MNN chegaraviy holat bo‘lib qoladigan yanada umumiy nazariyalarga olib kelishini tushunish muhim. Xuddi shunday, kichik tezliklarda nisbiylik nazariyasining xususiy holati bo‘lgan klassik mexanika ham to‘g‘ri bo‘lib qoladi. Umuman olganda, moslik prinsipiga ko‘ra, ko‘plab tajribalar bilan tasdiqlangan nazariya butunlay noto‘g‘ri bo‘lib qolmaydi, faqat uning qo‘llanish sohasi cheklangan bo‘lishi mumkin.

Quyida MNN va uning ayrim qoidalari to‘g‘riligini ko‘rsatuvchi ba’zi tajribalar keltiriladi.

Vaqtning relyativistik sekinlashishi

Harakatlanuvchi obyektlar uchun vaqt sekinroq o‘tishi yuqori energiyalar fizikasi bo‘yicha o‘tkaziladigan tajribalarda muntazam tasdiqlanadi. Masalan, umr davomiyligi myuonlarning CERNdagi halqasimon tezlatkichda CERN nisbiy 2·10⁻³ aniqlik bilan relyativistik formulaga muvofiq uzayadi. Ushbu tajribada myuonlar tezligi yorug‘lik tezligining 0,9994 qismiga teng edi, yorug‘lik tezligi, natijada ularning umr davomiyligi 29 baravar oshdi. Bu tajriba muhim, chunki halqa radiusi 7 metr bo‘lganida tezlanish muonlarda nihoyatda katta qiymatga — $1 0^{18}$ ga nisbatan erkin tushish tezlanishi — yetgan. Bu esa vaqtning sekinlashishi faqat obyekt tezligiga bog‘liq bo‘lib, tezlanishga bog‘liq emasligini ko‘rsatadi. Hozirgi vaqtda (2017-yil) relyativistik vaqt sekinlashishi formulasi bir necha milliarddan bir ulushgacha.

aniqlikda tekshirilgan. Sekinlashish miqdori makroskopik obyektlarda ham o‘lchangan. Masalan, Hafele–Kiting tajribasida tinch turgan atom soatlari bilan samolyotda uchgan atom soatlarining ko‘rsatkichlari taqqoslangan. Vaqtning relyativistik sekinlashishi effekti sun’iy yo‘ldosh navigatsiya tizimlarining bort soatlarida (GPS-Navstar, «GLONASS», «Beydou», «Galileo» va boshqalar) hisobga olinadi. Shu sababli bunday tizimlarning to‘g‘ri ishlashi uning tajribaviy tasdig‘idir.

Yorug‘lik tezligining manba harakatidan mustaqilligi

Nisbiylik nazariyasi paydo bo‘lgan dastlabki yillarda Valter Ritsning ning salbiy natijasini izohlash mumkinligi haqidagi g‘oyalar ilgari surilgan: Maykelson tajribasining salbiy natijasini ballistik nazariya yordamida tushuntirish mumkinligi haqidagi g‘oyalari ma’lum darajada ommalashgan. Bu nazariyada yorug‘lik manbaga nisbatan $c$ tezlikda chiqariladi hamda yorug‘lik tezligi bilan manba tezligi tezliklarni qo‘shishningTabiiyki, ushbu nazariya MNNga zid keladi.

Astrofizik kuzatuvlar bunday g‘oyani ishonchli tarzda rad etadi. Masalan, qo‘shaloq yulduzlarni kuzatganda, ular umumiy massa markazi atrofida aylanayotgani sababli, Rits nazariyasiga ko‘ra, aslida kuzatilmaydigan effektlar yuzaga kelishi kerak edi ( de Sitter dalili). Darhaqiqat, Yerga yaqinlashayotgan yulduzdan kelayotgan yorug‘likning («tasvirning») tezligi aylanish vaqtida uzoqlashayotgan yulduzdan kelayotgan yorug‘liknikidan kattaroq bo‘lardi. Qo‘shaloq sistemagacha masofa katta bo‘lsa, tezroq «tasvir» sekinroq tasvirdan ancha ilgarilab ketardi. Natijada qo‘shaloq yulduzlarning ko‘rinma harakati g‘alati tus olishi kerak edi, biroq bunday hol kuzatilmaydi.

Ba’zan Rits farazi «aslida» to‘g‘ri, lekin yorug‘lik yulduzlararo fazoda harakatlanayotganda Yerga nisbatan o‘rtacha tezligi nolga teng bo‘lgan vodorod atomlari tomonidan qayta nurlantirilishi, ularning Yerga nisbatan o‘rtacha tezligi nolga tengligi va yorug‘likning yetarlicha tez orada $c$ .

tezlikka ega bo‘lishi haqidagi e’tiroz uchraydi. Biroq bunday bo‘lganida qo‘shaloq yulduzlar tasvirlari turli spektr diapazonlarda sezilarli farq qilgan bo‘lardi, chunki yorug‘likning muhit tomonidan «ergashtirilishi» uning chastotasiga.

Tomashek (1923-yil) tajribalarida interferometr yordamida Yerdagi va Yerdan tashqaridagi manbalar ( Quyosh, Oy, Yupiter, Sirius va Arktur yulduzlari) interferensiya tasvirlari solishtirilgan. Bu obyektlarning barchasi Yerga nisbatan har xil tezlikda harakatlangan, ammo Rits modelida kutilgan interferensiya chiziqlarining siljishi kuzatilmagan. Keyinchalik bu tajribalar ko‘p marta takrorlangan. Masalan, A. M. Bonch-Bruyevich va V. A. Molchanov (1956-yil) tajribasida aylanayotgan Quyoshning turli chetlaridan keladigan yorug‘lik tezligi o‘lchangan. Bu tajribalar natijalari ham Rits faraziga zid. Yorug‘lik tezligining manba tezligidan mustaqilligi Yer sharoitidagi tajribalarda ham qayd etilgan. Masalan,

annigilyatsiya jarayonida hosil bo‘lgan ikkita foton tezligi o‘lchangan. Bunda elektron va pozitronning massa markazi yorug‘lik tezligining yarmiga teng tezlikda harakatlangan. 10 % tajriba aniqligi doirasida yorug‘lik tezligi bilan manba tezligining qo‘shilishi aniqlanmagan.

Tarixiy sharh

Boshqa nazariyalar bilan aloqasi

Gravitatsiya

Butun olam tortishish qonuni Nyutonga tegishli va klassik mexanika bilan mos keladi, ammo maxsus nisbiylik nazariyasiga mos kelmaydi. Shu singari, Kulon qonuni (Nyutonning tortishish qonuniga o‘xshash) MNNga mos kelmaydi, lekin Maksvellning elektromagnetizm tenglamalari mos keladi. Shu sababli gravitatsion maydon uchun elektromagnetizmga o‘xshash tenglamalarni ( gravitomagnetizm) izlash g‘oyasi tug‘ildi. Ular faqat ishora va doimiy ko‘paytuvchilar bilan farqlanishi kerak edi.

Gravitatsiya bilan Maksvell tenglamalari orasidagi o‘xshashlik g‘oyasini birinchilardan bo‘lib, ehtimol, Oliver Hevisayd 1893-yilda ilgari surgan.

O‘sha davrda nisbiylik prinsipiga asoslanib, , Anri Puankare (1905, 1906), Rixard Gans(1905), German Minkovskiy (1908), Arnold Zommerfeld (1910) va Hendrik Lorens (1910) MNNga mos keladigan Nyuton gravitatsiya nazariyasining bir necha o‘zgartirilgan variantini e’lon qilgan. Lorens almashtirishlariga nisbatan invariantlikni saqlash uchun gravitatsiyaning tarqalish tezligi yorug‘lik tezligiga teng deb olingan. Biroq bu nazariyalarning barchasi muvaffaqiyatsiz bo‘lgan: xususan, gravitatsion maydon tenglamasi mavjud emas edi va Merkuriy perigeliyining siljishini yetarli darajada (kuzatilganidan taxminan 6 baravar kam) bashorat qila olmagan.

1922-yilda Feliks Kottler vektor va tenzor algebrasi yordamida Lorens-invariant gravitatsiya nazariyasi uchun bir qator munosabatlarni keltirib chiqardi hamda gravitatsion kuch va gravitatsion 4-potensialning to‘liq ifodasini oldi.

Matematik jihatdan Maksvell elektromagnetizm nazariyasini takrorlovchi gravitatsiya nazariyasi MNNga mos keladigan yagona nazariya emas; boshqa Lorens-invariant nazariyalar ham bor. Xususan, ularga Nordstryomning ikki nazariyasi kiradi. Ular 1912 va 1913-yillarda yaratilgan, biroq Merkuriy perigeliyining anomal siljishini nafaqat noto‘g‘ri miqdorda, balki noto‘g‘ri yo‘nalishda ham bashorat qilgan.

Gravitatsiyani tavsiflash uchun Eynshteyn MNNning kengaytmasini — umumiy nisbiylik nazariyasini ishlab chiqdi. Unda gravitatsiya manbai fazo-vaqtning egriligi hisoblanadi. Shunga qaramay, agar gravitatsion maydon potensiali juda kichik bo‘lsa, MNN doirasidagi dinamika ham gravitatsion o‘zaro ta’sirni o‘z ichiga olishi mumkin. $c^{2}$ .

Maxsus nisbiylik nazariyasi butun Koinot miqyosida amal qilmaydi va uni UNN.

Klassik mexanika

Nisbiylik nazariyasi klassik mexanikaning ayrim jihatlariga jiddiy zid keladi. Masalan, Erenfest paradoksi MNNning mutlaq qattiq jism tushunchasi bilan mos kelmasligini ko‘rsatadi. Klassik fizikada ham qattiq jismga mexanik ta’sir tovush tezligida tarqalishi, mutlaq qattiq deb faraz qilingan muhitdagidek cheksiz tezlikda tarqalmasligi qabul qilinadi.

Kvant mexanikasi

Maxsus nisbiylik nazariyasi (umumiy nisbiylik nazariyasidan farqli ravishda) kvant mexanikasi bilan to‘liq mos keladi. Ularning birlashmasi — relyativistik kvant maydon nazariyasi. Biroq ikki nazariya bir-biridan butunlay mustaqildir. Norelyativistik Galileyning nisbiylik prinsipi asosidagi kvant mexanikasini (qarang: Shryodinger tenglamasi) ham, kvant effektlarini butunlay e’tibordan chetda qoldiradigan MNNga asoslangan nazariyalarni ham qurish mumkin. Masalan, kvant maydon nazariyasi norelyativistik nazariya tarzida ham ifodalanishi mumkin. Shu bilan birga, spin, kabi kvant mexanik hodisasini nisbiylik nazariyasini qo‘llamasdan izchil tavsiflab bo‘lmaydi (qarang: Dirak tenglamasi).

Hozir kvant nazariyasining rivojlanishi hanuz davom etmoqda. Ko‘plab fiziklar kelajakdagi hamma narsaning nazariyasi fizik ma’noga ega barcha savollarga javob beradi va MNN bilan kvant maydon nazariyasi birlashmasi hamda UNN chegaralarida to‘g‘ri natijalar beradi, deb hisoblaydi. Ehtimol, MNNni ham Nyuton mexanikasi kabi taqdir kutmoqda — uning qo‘llanish chegaralari aniq belgilab beriladi. Biroq bunday eng umumiy nazariya hozircha uzoq istiqboldagi maqsaddir.

Maxsus nisbiylik nazariyasi paradokslari

Bell paradoksi: relyativistik obyektlarni bog‘lab turgan ip uziladimi?
GZK paradoksi: kuzatilayotgan yuqori energiyali kosmik nurlar MNNdan kelib chiqadigan Greyzen–Zatsepin–Kuzmin chegarasini buzayotgandek tuyuladi.
Narvon paradoksi (yoki xoda va ombor paradoksi): narvon relyativistik uzunlik qisqarishi tufayli o‘zidan kichikroq garajga sig‘ishi mumkinmi?
Egizaklar paradoksi: sayohatchi egizak Yerda qolgan birodariga qaraganda yoshroqmi yoki kattaroq bo‘lib qaytadi?
Suvosti kemasi paradoksi: Arximed kuchi relyativistik obyektga (masalan, o‘qqa) ta’sir etganda, o‘q tinch turadigan sanoq sistemasidan suyuqlik tinch turadigan sistemaga o‘tishda o‘zgaradi.
Erenfest paradoksi — mutlaq qattiq aylanuvchi disk kinematikasi haqida.

Adabiyotlar

Общее

Визгин В. П. Релятивистская теория тяготения. Истоки и формирование. 1900—1915. — М. : Наука, 1981. — 352 с.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
Паули В. Теория относительности. Изд. 2-е, испр. и доп. Перев. с нем. — М.: Наука, 1983. — 336 с.
Спасский Б. И.. История физики. Том 2, часть 2-я. М.: Высшая школа, 1977.
Уиттекер Э. История теории эфира и электричества. Современные теории 1900—1926. Пер с англ. Москва, Ижевск: ИКИ, 2004. 464с. ISBN 5-93972-304-7 (Глава 2)

Работы основоположников

Принцип относительности. Сб. работ по специальной теории относительности. М.: Атомиздат, 1973.
Г. А. Лоренц. Интерференционный опыт Майкельсона. Из книги "Versucheiner Theoriederelektrischenundoptischen Erscheinungeninbewegten Korpern. Leiden, 1895, параграфы 89…92.
Г. А. Лоренц.Электромагнитные явления в системе, движущейся с любой скоростью, меньшей скорости света. Proc Acad., Amsterdam, 1904, v 6, p. 809.
А. Пуанкаре. Измерение времени. «Revuede Metaphysiqueetde Morale», 1898, t. 6, p. 1…13.
А. Пуанкаре. Оптические явления в движущихся телах. ElectriciteetOptique, G. CarreetC. Naud, Paris, 1901, p. 535…536.
А. Пуанкаре. О принципе относительности пространства и движения. Главы 5…7 из книги «Наука и гипотеза»(H. Poinrare. Scienceand Hypothesis. Paris, 1902.)
А. Пуанкаре. Настоящее и будущее математической физики. Доклад, напечатанный в журнале «Bulletindes Sciences Mathematiques», 1904, v. 28, ser. 2, p. 302.
А. Пуанкаре. О динамике электрона. Rendicontidel Circolo Matematicodi Palermo, 1906.
А. Эйнштейн. К электродинамике движущихся тел. Ann. d. Phys.,1905 (рукопись поступила 30 июня 1905 г.), b. 17, s. 89.
Эйнштейн А. Собрание научных трудов в четырёх томах. Том 1. Работы по теории относительности 1905—1920. М.: Наука, 1965.
Эйнштейн А. Сущность теории относительности. — М.: Изд. ин. лит., 1955. — 157 с.
А. Эйнштейн, Л. Инфельд. Эволюция физики. — М.: ОГИЗ, 1948. — 267 с.

Дополнительная литература

Угаров В. А. Специальная теория относительности. 2-е изд. М.: Наука, 1977.
Тоннела М. А. Основы электромагнетизма и теории относительности. М.: ИЛ, 1962.
Толмен Р. Относительность, термодинамика и космология. М.: Наука, 1974.
Физическая энциклопедия, т.2 — М.: Большая Российская Энциклопедия. Физическая энциклопедия.
Медведев Б. В. Начала теоретической физики. — М.: Физматлит, 2007. — 600 с.
Неванлинна Р. Пространство, время и относительность. — М.: Мир, 1966. — 229 с.

Havolalar

Relyativistik olam — nisbiylik nazariyasi, gravitatsiya va kosmologiya bo‘yicha ma’ruzalar
«Matematik tenglamalar olami» EqWorld saytida umumiy va maxsus nisbiylik nazariyasi
MNN tuzilishi va unda soatlarni sinxronlashning nisbiyligini tavsiflovchi ishlar: arxiv: gr-qc/0510024; arxiv: gr-qc/0510017; arxiv: gr-qc/0205039
A. Puankarening MNNni yaratishga qo‘shgan hissasi haqidagi maqola: T. Damur: Puankare, nisbiylik, bilyard va simmetriya