• «Tabiiy falsafaning matematik asoslari» » asarida Isaak Nyuton o‘z qonunini quyidagicha ifodalaydi:

  Harakat miqdorining o‘zgarishi qo‘yilgan harakatlantiruvchi kuchga proporsional bo‘lib, shu kuch ta’sir etadigan to‘g‘ri chiziq yo‘nalishida sodir bo‘ladi.

• Zamonaviy ifodasi:

  Inersial sanoq sistemalarida moddiy nuqta oladigan tezlanish uni yuzaga keltiruvchi kuchga to‘g‘ri proporsional bo‘ladi, yo‘nalishi shu kuch yo‘nalishi bilan bir xil va moddiy nuqta massasiga teskari proporsional bo‘ladi.

Odatda bu qonun quyidagi formula orqali ifodalanadi:

Yoki boshqa shaklda:

Nyutonning ikkinchi qonuni impuls tushunchasi orqali quyidagicha ifodalanadi:

Inersial sanoq sistemalarida moddiy nuqta impulsining vaqt bo‘yicha hosilasi unga ta’sir etayotgan kuchga teng:

${\displaystyle \frac{d\overrightarrow{p}}{dt}=\overrightarrow{F},}$ bu yerda ${\displaystyle \overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}}$ — impuls (harakat miqdori) — nuqtaning impulsi, ${\displaystyle \overrightarrow{v}}$ — uning tezligi, va ${\displaystyle t}$ — vaqt.

Klassik mexanikada Nyutonning ikkinchi qonuni moddiy nuqta harakati uchun ifodalangan. Bunda moddiy nuqta massasi vaqt o‘tishi bilan o‘zgarmaydi deb faraz qilinadi. Ushbu qonunga mos tenglamalar moddiy nuqtaning harakat tenglamalari deb yoki moddiy nuqta dinamikasining asosiy tenglamalari deb ataladi.

Ba’zan klassik mexanika doirasida ${\displaystyle d\overrightarrow{p}/dt=\overrightarrow{F}}$ tenglamaning qo‘llanish doirasini massasi o‘zgaruvchan jismlarga ham kengaytirishga urinishlar bo‘lgan. Biroq tenglamani bunday keng talqin qilish ilgari qabul qilingan ta’riflarni jiddiy o‘zgartirishni, shuningdek, quyidagi asosiy tushunchalarning ma’nosini qayta ko‘rib chiqishni talab qilgan: moddiy nuqta, impuls va kuch.

Moddiy nuqtaga bir nechta kuch ta’sir qilsa, har biri boshqa kuchlar mavjud bo‘lmagandek, nuqtaga Nyutonning ikkinchi qonuniga muvofiq tezlanish beradi (kuchlar superpozitsiyasi prinsipi). Shu sababli moddiy nuqtaning natijaviy tezlanishini Nyutonning ikkinchi qonuniga teng ta’sir etuvchi kuchni qo‘yib hisoblash mumkin.

Nyutonning ikkinchi qonuni tenglamasi ${\displaystyle \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}}$ massalarning skalyar additivligini nazarda tutadi.

Moddiy nuqtadan tashqari, Nyutonning ikkinchi qonuni tenglamasi mexanik sistemaning massa markazi harakatini tavsiflash uchun ham qo‘llanadi. Massa markazi butun sistemaning massasiga teng massali, sistemaning nuqtalariga qo‘yilgan barcha tashqi kuchlar ta’siridagi moddiy nuqta kabi harakatlanadi (sistema massa markazi harakati haqidagi teorema).

Nyutonning ikkinchi qonuni tenglamasini ${\displaystyle dm\cdot d\overrightarrow{v}/dt=d\overrightarrow{F}}$ shaklida ham yozish mumkin; bu taqsimlangan kuch uchun qo‘llanadi, bu yerda ${\displaystyle dm=\rho dV}$ — massa elementi (${\displaystyle \rho }$ — moddaning zichligi , ${\displaystyle dV}$ — elementar hajm), ${\displaystyle d\overrightarrow{F}}$ — unga ta’sir qiluvchi cheksiz kichik kuch (${\displaystyle \overrightarrow{f}=d\overrightarrow{F}/dV}$ — kuch zichligi). Shu yozuvdan kelib chiqib, uzluksiz muhitlar impulsi muvozanatini ifodalovchi tenglama — uzluksiz muhitning harakat tenglamasi olinadi (xususan, gidrodinamikada ideal (ya’ni qovushoq bo‘lmagan) suyuqlik uchun — Eyler tenglamasi, chiziqli qovushoq suyuqlik gidrodinamikasida esa — Navye–Stoks tenglamasi).

Nyutonning ikkinchi qonuni faqat inersial sanoq sistemalarida bajariladi. Shunga qaramay, boshqa jismlar tomonidan ta’sir qiluvchi kuchlarga inersiya kuchlarini qo‘shish orqali noinersial sanoq sistemalaridagi harakatni ham Nyutonning ikkinchi qonuni tenglamasi bilan tavsiflash mumkin. Bunday holatda noinersial sanoq sistemasi uchun harakat tenglamasi inersial sistema uchun bo‘lgan shaklda yoziladi: jism massasi bilan uning noinersial sanoq sistemasiga nisbatan tezlanishining ko‘paytmasi jismga ta’sir etayotgan barcha kuchlar, jumladan, inersiya kuchlarining teng ta’sir etuvchisiga miqdor va yo‘nalish jihatidan teng bo‘ladi.

Nyuton talqinidagi klassik mexanikada Nyuton qonunlari boshqa qoidalardan «keltirib chiqarilmaydi»; ular aksiomalar maqomiga ega va tajribaviy dalillar majmuasiga asoslanadi. Matematika aksiomalari singari, Nyuton dinamikasi aksiomalarini ham biroz boshqacha shakllarda ifodalash mumkin.

Yondashuvlardan birida Nyutonning ikkinchi qonuni tezlanishning uni keltirib chiqaruvchi kuchga proporsionalligi haqidagi tajribada tekshiriladigan qoida va ayni paytda jismning inert massasi jismning kuch va tezlanish miqdorlari nisbati orqali ta’riflanishi sifatida qaraladi. Bunda ikkinchi qonunning asosiy g‘oyasi «kuch–tezlanish» munosabatining chiziqli ekanini, ya’ni aynan shu kattaliklar (masalan, kuch va tezlik emas) aynan shunday (kvadratik emas va hokazo) bog‘langanini ta’kidlashdan iborat.

Boshqa yondashuvda inert massani Nyutonning ikkinchi qonunidan mustaqil ravishda, etalon sifatida qabul qilingan muayyan jism massasi orqali kiritish mumkin. Bu holda ikkinchi qonun tajribada bir-biridan mustaqil tekshiriladigan ikkita fikrni o‘z ichiga oladi: tezlanish kuchga to‘g‘ri, massaga esa teskari proporsional.

Ko‘plab amaliy va o‘quv masalalarida Nyutonning ikkinchi qonuni kuchni hisoblash imkonini beradi. Ammo bu qonun kuchning ta’rifi emas («ta’rifga ko‘ra, kuch — massa bilan tezlanishning ko‘paytmasi» deyish noo‘rin), aks holda u tavtologiyaga aylanib qolardi.

Agar jismga boshqa jismlar ta’sir qilmasa (${\displaystyle \overrightarrow{F}=0}$), Nyutonning ikkinchi qonuniga ko‘ra, jismning tezlanishi nolga teng bo‘ladi. Shundan Nyutonning birinchi qonuni ikkinchi qonunning xususiy holatidek tuyulishi mumkin. Biroq bunday emas, chunki aynan birinchi qonun orqali postulat sifatida inersial sanoq sistemalarining mavjudligi tasdiqlanadi. Bu mustaqil mazmunga ega fikrdir. Shu bois Nyutonning birinchi qonuni ikkinchisidan mustaqil ifodalanadi.

Nyutonning ikkinchi qonuni dinamik va kinematik kattaliklar o‘rtasidagi bog‘lanishni belgilaydi. Bundan tashqari, ushbu qonun tenglamasi ${\displaystyle \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}}$ kuch birliklarini belgilashda fizik kattaliklarni bog‘lovchi tenglama sifatida ham qaralishi mumkin. Bu, jumladan, SI, SGS va boshqa birliklar sistemalariga taalluqli. Kuch birligi deb asosiy birlik sifatida qabul qilingan massa birligiga teng massali moddiy nuqtaga oldindan hosilaviy birlik sifatida belgilangan tezlanish birligiga teng tezlanish beradigan kuch qabul qilinadi. (Agar massa, kuch va tezlanish birliklari bir-biridan mustaqil tanlansa, ikkinchi qonun ifodasi ${\displaystyle m\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{F}}$shaklida yozilishi kerak, bu yerda ${\displaystyle k}$ — o‘lchov birliklarini tanlashga bog‘liq proporsionallik koeffitsiyenti; xususan, o‘lchamli koeffitsiyent bilan yozilgan ushbu shakl Amerika texnik adabiyotida Britaniya birliklar sistemasidan foydalanilganda qo‘llanadi.)

Kuch ${\displaystyle \overrightarrow{F}}$ Nyutonning ikkinchi qonunida faqat moddiy nuqtaning koordinatalari ${\displaystyle \overrightarrow{r}}$ va tezligi ${\displaystyle \overrightarrow{v}}$ ga bog‘liq: ${\displaystyle \dot{\overrightarrow{p}}=\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r},\overrightarrow{v})}$. Fizik mexanikaning asosiy vazifasi shu funksiyani topishdan iborat: ${\displaystyle \overrightarrow{F}(\overrightarrow{r},\overrightarrow{v})}$.

Nyutonning ikkinchi qonuni formulasi ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\overrightarrow{F}/m}$ klassik mexanikadagi sababiyat prinsipini ifodalaydi. Moddiy nuqtaning ${\displaystyle t+\mathrm{\Delta }t}$ vaqt momentidagi koordinatalari va tezliklari (bu yerda ${\displaystyle \mathrm{\Delta }t\to 0}$) ularning ${\displaystyle t}$ vaqt momentidagi qiymatlari hamda berilgan kuch ${\displaystyle \overrightarrow{F}}$orqali uzluksiz va bir qiymatli aniqlanadi. Moddiy nuqtaga ta’sir etuvchi ushbu kuchni hisobga olib, Teylor qatoriga yoyish va ${\displaystyle t}$bo‘yicha birinchi tartibli kichik hadlar bilan cheklanish natijasida quyidagini olamiz: ${\displaystyle \overrightarrow{r}(t+\mathrm{\Delta }t)=\overrightarrow{r}(t)+\overrightarrow{v}\mathrm{\Delta }t}$, ${\displaystyle \overrightarrow{v}(t+\mathrm{\Delta }t)=\overrightarrow{v}(t)+\overrightarrow{a}\mathrm{\Delta }t}$. Mexanikada sababiyatning namoyon bo‘lish shakli mexanistik yoki Laplascha determinizm deb ataladi.

Nyutonning ikkinchi qonuni tenglamasi ${\displaystyle \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}}$ quyidagi almashtirishlarga nisbatan invariantdir — Galiley almashtirishlari. Bu xususiyat Galileyning nisbiylik prinsipi deb ataladi.

Klassik mexanikada energiyaning saqlanish qonuni, impulsning saqlanish qonuni va impuls momentining saqlanish qonuni Nyutonning ikkinchi qonuni, vaqtning bir jinsliligi, fazoning bir jinsliligi va izotropligi, shuningdek, ta’sir etuvchi kuchlarning xususiyatiga oid ayrim farazlardan kelib chiqadi.

Agar kuch ${\displaystyle \overrightarrow{F}}$ o‘zgarmas bo‘lsa, Nyutonning ikkinchi qonuni tenglamasini ${\displaystyle d\overrightarrow{v}/dt=\overrightarrow{F}/m}$ integrallash quyidagi tenglikni beradi: ${\displaystyle {\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1=\overrightarrow{F}/m\cdot (t_2-t_1)}$. Bu munosabat berilgan kuch ${\displaystyle \overrightarrow{F}}$ ta’sirida tezlikning muayyan o‘zgarishi ${\displaystyle \mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1}$ massasi kattaroq jismda uzoqroq vaqt oralig‘ida sodir bo‘lishini ko‘rsatadi. Shu sababli barcha jismlar inersiyaga ega deyiladi, massa esa ${\displaystyle m}$ jism inersiyasining o‘lchovi deb ataladi.

Nyutonning ikkinchi qonunining vektor ko‘rinishidagi ifodasi ${\displaystyle m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F}}$ qonunda qatnashuvchi kattaliklar (kuch, massa, tezlanish) aniqlangan har qanday inersial koordinatalar sistemasida to‘g‘ri. Biroq uni tarkibiy qismlarga (proyeksiyalarga) ajratish Dekart, silindrik va sferik sistemalarda turlicha bo‘ladi. Normal va tangensial tarkibiy qismlarga ajratish ham muhim ahamiyatga ega.

Dekart to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi

${\displaystyle m\ddot{x}=F_x}$, ${\displaystyle m\ddot{y}=F_y}$, ${\displaystyle m\ddot{z}=F_z}$, bu yerda ${\displaystyle \overrightarrow{F}=F_x\overrightarrow{i}+F_y\overrightarrow{j}+F_z\overrightarrow{k}}$, va birlik vektorlar Dekart sistemasining ${\displaystyle \overrightarrow{i}}$, ${\displaystyle \overrightarrow{j}}$, ${\displaystyle \overrightarrow{k}}$ koordinata o‘qlari bo‘ylab (tegishli koordinata o‘sadigan yo‘nalishda) yo‘nalgan,

Silindrik koordinatalar sistemasi

${\displaystyle m(\ddot{\rho }-\rho {\dot{\phi }}^2)=F_{\rho }}$, ${\displaystyle m(\rho \ddot{\phi }+2\dot{\rho }\dot{\phi })=F_{\phi }}$, ${\displaystyle m\ddot{z}=F_z}$, bu yerda ${\displaystyle \overrightarrow{F}=F_{\rho }{\overrightarrow{e}}_{\rho }+F_{\phi }{\overrightarrow{e}}_{\phi }+F_z{\overrightarrow{e}}_z}$, birlik vektorlar esa ${\displaystyle {\overrightarrow{e}}_{\rho }}$, ${\displaystyle {\overrightarrow{e}}_{\phi }}$, ${\displaystyle {\overrightarrow{e}}_z}$ silindrik sistemada kuch qo‘yilgan nuqtadan olinadi va mos ravishda ${\displaystyle z}$ o‘qidan 90⁰ burchak ostida, ${\displaystyle xy}$ tekisligida markazi o‘qda bo‘lgan aylana bo‘ylab va ${\displaystyle z}$ o‘qi bo‘ylab (tegishli koordinata o‘sadigan yo‘nalishda) yo‘naladi,

Sferik koordinatalar sistemasi

${\displaystyle m(\ddot{r}-r{\dot{\phi }}^2{\sin }^2\theta -r{\dot{\theta }}^2)=F_r}$,
${\displaystyle m([r\ddot{\phi }+2\dot{r}\dot{\phi }]\sin \theta +2r\dot{\phi }\dot{\theta }\cos \theta )=F_{\phi }}$,
${\displaystyle m(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta }-r{\dot{\phi }}^2\sin \theta \cos \theta )=F_{\theta }}$, bu yerda ${\displaystyle \overrightarrow{F}=F_r{\overrightarrow{e}}_r+F_{\phi }{\overrightarrow{e}}_{\phi }+F_{\theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta }}$, birlik vektorlar esa ${\displaystyle {\overrightarrow{e}}_r}$, ${\displaystyle {\overrightarrow{e}}_{\phi }}$, ${\displaystyle {\overrightarrow{e}}_{\theta }}$ sferik sistemada kuch qo‘yilgan nuqtadan olinadi va mos ravishda markazdan ${\displaystyle O}$ tashqariga, «parallellar» va «meridianlar» bo‘ylab (tegishli koordinata ortadigan yo‘nalishda) yo‘naladi.

Tarkibiy qismlarga ajratish — oskulatsion tekislikda

Quyidagi oskulatsion tekislikda moddiy nuqtaning tezlanishini ${\displaystyle \overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}_n+{\overrightarrow{a}}_{\tau }}$ (nuqta massasi ${\displaystyle m}$ ) va unga ta’sir qiluvchi kuchni ${\displaystyle \overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_n+{\overrightarrow{F}}_{\tau }}$ normal (oskulatsion tekislikda trayektoriya urinmasiga perpendikulyar) ${\displaystyle {\overrightarrow{F}}_n=m{\overrightarrow{a}}_n}$ va tangensial (shu tekislikda trayektoriya urinmasiga parallel) ${\displaystyle {\overrightarrow{F}}_{\tau }=m{\overrightarrow{a}}_{\tau }}$ tarkibiy qismlarga ajratish mumkin.

Normal kuchning mutlaq qiymati ${\displaystyle F_n=m{a}_n=m{v}^2/R}$ ga teng, bu yerda ${\displaystyle R}$ — moddiy nuqta trayektoriyasining egrilik radiusi, ${\displaystyle v}$ — uning tezligi moduli. Normal kuch moddiy nuqta trayektoriyasining egrilik markaziga yo‘nalgan. Radiusi ${\displaystyle R}$ bo‘lgan aylana trayektoriyada normal kuchning mutlaq qiymati ${\displaystyle F_n=m{\omega }^{2}R}$ ga teng, bu yerda ${\displaystyle \omega }$ — nuqtaning aylanish burchak tezligi. Normal kuch yana markazga intilma kuch deb ataladi.

deb ham ataladi. Kuchning tangensial tarkibiy qismi ${\displaystyle F_{\tau }=m{a}_{\tau }=m\frac{d^{2}s}{d{t}^2}}$ga teng, bu yerda ${\displaystyle s=s(t)}$ — nuqta trayektoriyasi bo‘ylab yoy koordinatasi. Agar ${\displaystyle \frac{d^{2}s}{d{t}^2}>0}$ bo‘lsa, kuch ${\displaystyle {\overrightarrow{F}}_{\tau }}$ tezlik vektori bilan bir xil yo‘nalishda bo‘ladi ${\displaystyle \overrightarrow{v}}$ va u harakatlantiruvchi kuchdeb ataladi. Agar ${\displaystyle \frac{d^{2}s}{d{t}^2}<0}$bo‘lsa, kuch ${\displaystyle {\overrightarrow{F}}_{\tau }}$ tezlik vektoriga qarama-qarshi yo‘naladi ${\displaystyle \overrightarrow{v}}$ va u tormozlovchi kuch deb ataladi.

Nyutonning ikkinchi qonuni ${\displaystyle m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F}}$ taxminan faqat tezliklar yorug‘lik tezligidan ancha kichik bo‘lgan holatlarda va inersial sanoq sistemalarida o‘rinli.

Quyidagi shaklda ${\displaystyle \frac{d\overrightarrow{p}}{dt}=\overrightarrow{F}}$ Nyutonning ikkinchi qonuni maxsus nisbiylik nazariyasining inersial sanoq sistemalarida va umumiy nisbiylik nazariyasining lokal inersial sanoq sistemalarida aniq bajariladi. Biroq bunda impuls uchun avvalgi ifoda o‘rniga quyidagi tenglik qo‘llanadi: ${\displaystyle \overrightarrow{p}=\frac{m\overrightarrow{v}}{\sqrt{1-\frac{{\displaystyle v^2}}{{\displaystyle c^2}}}}}$, bu yerda ${\displaystyle c}$ — yorug‘lik tezligi.

Nyutonning ikkinchi qonunining to‘rt o‘lchamli relyativistik umumlashmasi ham mavjud. To‘rt impulsning ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P}}}$ moddiy nuqtaning xususiy vaqti ${\displaystyle \tau }$ bo‘yicha hosilasi to‘rt kuchga teng ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{\Phi }}}$:

Relyativistik dinamikada uch o‘lchamli tezlanish vektori ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ uch o‘lchamli kuch vektori bilan bir yo‘nalishda bo‘lishi shart emas — ${\displaystyle \overrightarrow{F}}$.

Nyuton dinamikasi qonunlari, jumladan, Nyutonning ikkinchi qonuni, qaralayotgan obyektning de Broyl to‘lqin uzunligi uning harakati o‘rganilayotgan sohaning xarakterli o‘lchamlari bilan taqqoslanadigan bo‘lsa, qo‘llanmaydi. Bu holatda kvant-mexanik qonunlardan foydalanish kerak.

Shunga qaramay, muayyan sharoitlarda Nyutonning ikkinchi qonuni kvant mexanikasidagi to‘lqin paketining harakatiga ham tatbiq etilishi mumkin. Agar to‘lqin paketining potensial energiyasi paket joylashgan sohada juda oz o‘zgarsa, paket impulsi o‘rtacha qiymatining vaqt bo‘yicha hosilasi teskari ishora bilan olingan potensial energiya gradienti orqali ifodalanadigan kuchga teng bo‘ladi (Erenfest teoremasi).

Kvant mexanikasida zarrachaning potensial maydondagi harakatini tavsiflash uchun Nyutonning ikkinchi qonuni tenglamasiga shaklan mos keladigan operator tenglama o‘rinli: ${\displaystyle m\frac{d\hat{v}}{dt}=-\mathrm{\nabla }\hat{U}}$. Bu yerda: ${\displaystyle m}$ — zarracha massasi, ${\displaystyle \hat{v}=\frac{\hat{p}}{m}}$ — tezlik operatori, ${\displaystyle \hat{p}}$ — impuls operatori, ${\displaystyle \hat{U}=U(x,y,z)}$ — potensial energiya operatori, ${\displaystyle \mathrm{\nabla }}$ belgisi gradient olishni anglatadi.

Nyutonning o‘zgartirilgan ikkinchi qonunidan elektronlarning kristall panjaradagi harakatini kvant-mexanik tavsiflashda ham foydalaniladi. Bunda elektronning panjaraning davriy elektromagnit maydoni bilan o‘zaro ta’siri effektiv massa tushunchasini kiritish orqali hisobga olinadi.