Inersiya momenti nima

Inersiya momenti
Inersiya momenti
	J=∫(m)r2dm
O‘lchamlik	L2M
O‘lchov birliklari
SI	kg·m2
SGS	g·sm2

Inersiya momenti — tenzor xususiyatli fizik kattalik, jismning aylanma harakatdagi o‘q atrofidagi inertlik o‘lchovi bo‘lib, jism massasi uning ilgarilanma harakatdagi inertligini ifodalaganidek ahamiyatga ega. U jismda massaning qanday taqsimlanganiga bog‘liq. Inersiya momenti elementar massalar bilan ularning tayanch geometrik obyektgacha bo‘lgan masofalari kvadratlari ko‘paytmalari yig‘indisiga teng. Bunday obyekt faqat aylanish o‘qi (yaʼni to‘g‘ri chiziq) emas, balki nuqta yoki tekislik ham bo‘lishi mumkin. So‘nggi ikki holatda nuqtaga yoki tekislikka nisbatan inersiya momenti haqida so‘z yuritiladi. Bunday kattaliklar, masalan, inersiya tenzorini hisoblashda ham uchraydi.

O‘lchov birligi Xalqaro birliklar tizimida (SI): kg·m².

Belgilanishi: I yoki J.

Elementar massalargacha bo‘lgan masofa qaysi turdagi tayanch geometrik obyektga nisbatan o‘lchanishiga qarab inersiya momentining bir necha turi farqlanadi.

O‘qqa nisbatan inersiya momenti

Inersiya momenti deb mexanik sistemaning qo‘zg‘almas o‘qqa nisbatan («o‘qqa nisbatan inersiya momenti») quyidagi kattaligi J_aataladi. U sistemadagi barcha n moddiy nuqtalar massalarining ularning o‘qqacha bo‘lgan masofalari kvadratlariga ko‘paytmalari yig‘indisiga teng:

J_{a} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} r_{i}^{2},

bu yerda:

m_i — i-nuqtaning massasi,
r_i — i-nuqtadan o‘qqacha bo‘lgan masofa.

Jismning o‘qqa nisbatan inersiya momenti J_a jismning aylanma harakatdagi o‘q atrofidagi inertlik o‘lchovi bo‘lib, jismning massasi uning ilgarilanma harakatdagi inertligini ifodalaganidek ahamiyatga ega.

J_{a} = \int_{(m)} r^{2} d m = \int_{(V)} ρ r^{2} d V,

bu yerda:

dm = ρ dV — jismning kichik hajm elementi massasi, uning hajmi dV,

ρ — zichlik,

r — dV elementidan aylanish o‘qigacha bo‘lgan masofa, o‘qning belgisi a.

Agar jism bir jinsli bo‘lsa, yaʼni uning zichligi hamma joyida bir xil bo‘lsa, u holda

J_{a} = ρ \int_{(V)} r^{2} d V .

Gyuygens — Shteyner teoremasi

Qattiq jismning biror o‘qqa nisbatan inersiya momenti jismning massasiga, shakli va o‘lchamlariga, shuningdek, jismning shu o‘qqa nisbatan joylashuviga bog‘liq. Gyuygens — Shteyner teoremasiga ko‘ra, jismning J deb belgilangan ixtiyoriy o‘qqa nisbatan inersiya momenti uning J_c deb belgilangan, massa markazidan o‘tuvchi parallel o‘qqa nisbatan inersiya momenti bilan jism massasi ( m )ning o‘qlar orasidagi d masofa kvadratiga ko‘paytmasi yig‘indisiga teng:

J = J_{c} + m d^{2},

bu yerda m — jismning umumiy massasi.

Masalan, sterjenning uchidan o‘tuvchi o‘qqa nisbatan inersiya momenti quyidagiga teng:

J = J_{c} + m d^{2} = \frac{1}{12} m l^{2} + m {(\frac{l}{2})}^{2} = \frac{1}{3} m l^{2} .

Ayrim jismlarning o‘qqa nisbatan inersiya momentlari

*Inersiya momentlari* — oddiy shakldagi bir jinsli jismlarning ayrim aylanish o‘qlariga nisbatan
Tavsif	O‘qning joylashuvi a	Inersiya momenti J_a
Moddiy nuqta, massasi m	Nuqtadan r masofada joylashgan, qo‘zg‘almas	$m r^{2}$
Ichi bo‘sh yupqa devorli silindr yoki halqa, radiusi r va massasi m	Silindr o‘qi	$m r^{2}$
Yaxlit silindr yoki disk, radiusi r va massasi m	Silindr o‘qi	$\frac{1}{2} m r^{2}$
Ichi bo‘sh qalin devorli silindr, massasi m , tashqi radiusi r₂ va ichki radiusi r₁	Silindr o‘qi	$m \frac{r_{2}^{2} + r_{1}^{2}}{2}$
Yaxlit silindr, uzunligi l, radiusi r va massasi m	O‘q silindr yasovchisiga perpendikulyar bo‘lib, uning massa markazidan o‘tadi	$\frac{1}{4} m \cdot r^{2} + \frac{1}{12} m \cdot l^{2}$
Ichi bo‘sh yupqa devorli silindr (halqa), uzunligi l, radiusi r va massasi m	O‘q silindrga perpendikulyar bo‘lib, uning massa markazidan o‘tadi	$\frac{1}{2} m \cdot r^{2} + \frac{1}{12} m \cdot l^{2}$
To‘g‘ri ingichka sterjen, uzunligi l va massasi m	O‘q sterjenga perpendikulyar bo‘lib, uning massa markazidan o‘tadi	$\frac{1}{12} m l^{2}$
To‘g‘ri ingichka sterjen, uzunligi l va massasi m	O‘q sterjenga perpendikulyar bo‘lib, uning uchidan o‘tadi	$\frac{1}{3} m l^{2}$
Yupqa devorli sfera, radiusi r va massasi m	O‘q sferaning markazidan o‘tadi	$\frac{2}{3} m r^{2}$
Shar, radiusi r va massasi m	O‘q sharning markazidan o‘tadi	$\frac{2}{5} m r^{2}$
Konus, radiusi r va massasi m	Konus o‘qi	$\frac{3}{10} m r^{2}$
Teng yonli uchburchak, balandligi h, asosi a va massasi m	O‘q uchburchak tekisligiga perpendikulyar bo‘lib, uning uchidan (balandlik tushirilgan uchidan) o‘tadi	$\frac{1}{24} m (a^{2} + 12 h^{2})$
Muntazam yaxlit uchburchak, tomoni a va massasi m	O‘q uchburchak tekisligiga perpendikulyar bo‘lib, uning massa markazidan o‘tadi	$\frac{1}{12} m a^{2}$
Yaxlit kvadrat, tomoni a va massasi m	O‘q kvadrat tekisligiga perpendikulyar bo‘lib, uning massa markazidan o‘tadi	$\frac{1}{6} m a^{2}$
Yaxlit to‘g‘ri to‘rtburchak, tomonlari a va b , massasi esa m	O‘q to‘g‘ri to‘rtburchak tekisligiga perpendikulyar bo‘lib, uning massa markazidan o‘tadi	$\frac{1}{12} m (a^{2} + b^{2})$
Yaxlit muntazam n-burchak, tashqi chizilgan aylanasining radiusi r va massasi m	O‘q tekislikka perpendikulyar bo‘lib, massa markazidan o‘tadi	$\frac{m r^{2}}{6} [1 + 2 \cos^{2} (π / n)]$
Tor (ichi bo‘sh), yo‘naltiruvchi aylanasining radiusi R, yasovchi aylanasining radiusi r va massasi m	O‘q torning yo‘naltiruvchi aylanasi tekisligiga perpendikulyar bo‘lib, massa markazidan o‘tadi	$I = m (\frac{3}{4} r^{2} + R^{2})$

Formulalarni keltirib chiqarish

Yupqa devorli silindr (halqa, gardish)

Formulani keltirib chiqarish

Jismning inersiya momenti uni tashkil qiluvchi qismlar inersiya momentlarining yig‘indisiga teng. Yupqa devorli silindrni massasi dm va inersiya momentlari dJ_ibo‘lgan elementlarga ajratamiz. U holda

J = \sum d J_{i} = \sum R_{i}^{2} d m . (1) .

Yupqa devorli silindrning barcha elementlari aylanish o‘qidan bir xil masofada joylashgani sababli (1) formula quyidagi ko‘rinishga keladi:

J = \sum R^{2} d m = R^{2} \sum d m = m R^{2} .

Qalin devorli silindr (halqa, gardish)

Formulani keltirib chiqarish

Tashqi radiusi R, ichki radiusi R₁, qalinligi h va zichligi ρbo‘lgan bir jinsli halqani olaylik. Uni qalinligi drbo‘lgan ingichka halqalarga ajratamiz. Radiusi r bo‘lgan ingichka halqaning massasi va inersiya momenti quyidagicha bo‘ladi:

d m = ρ d V = ρ \cdot 2 π r h d r; d J = r^{2} d m = 2 π ρ h r^{3} d r .

Qalin halqaning inersiya momentini integral orqali topamiz:

J = \int_{R_{1}}^{R} d J = 2 π ρ h \int_{R_{1}}^{R} r^{3} d r =

= 2 π ρ h {\frac{r^{4}}{4} |}_{R_{1}}^{R} = \frac{1}{2} π ρ h (R^{4} - R_{1}^{4}) = \frac{1}{2} π ρ h (R^{2} - R_{1}^{2}) (R^{2} + R_{1}^{2}) .

Halqaning hajmi va massasi quyidagilarga teng bo‘lgani uchun:

V = π (R^{2} - R_{1}^{2}) h; m = ρ V = π ρ (R^{2} - R_{1}^{2}) h,

halqaning inersiya momenti uchun yakuniy formulani olamiz:

J = \frac{1}{2} m (R^{2} + R_{1}^{2}) .

Bir jinsli disk (yaxlit silindr)

Formulani keltirib chiqarish

Silindrni (diskni) ichki radiusi nolga teng halqa sifatida qarab (R₁ = 0), silindrning (diskning) inersiya momenti formulasini olamiz:

J = \frac{1}{2} m R^{2} .

Yaxlit konus

Formulani keltirib chiqarish

Konusni uning o‘qiga perpendikulyar, qalinligi dhbo‘lgan yupqa disklarga ajratamiz. Bunday diskning radiusi quyidagiga teng:

r = \frac{R h}{H},

bu yerda R — konus asosining radiusi, H — konusning balandligi, h — konus uchidan diskkacha bo‘lgan masofa. Bunday diskning massasi va inersiya momenti quyidagicha bo‘ladi:

d m = ρ d V = ρ \cdot π r^{2} d h;

d J = \frac{1}{2} r^{2} d m = \frac{1}{2} π ρ r^{4} d h = \frac{1}{2} π ρ {(\frac{R h}{H})}^{4} d h;

Integrallab, quyidagini olamiz:

\begin{matrix} J = \int_{0}^{H} d J = \frac{1}{2} π ρ {(\frac{R}{H})}^{4} \int_{0}^{H} h^{4} d h = \frac{1}{2} π ρ {(\frac{R}{H})}^{4} {\frac{h^{5}}{5} |}_{0}^{H} = = \frac{1}{10} π ρ R^{4} H = (ρ \cdot \frac{1}{3} π R^{2} H) \frac{3}{10} R^{2} = \frac{3}{10} m R^{2} . \end{matrix}

Yaxlit bir jinsli shar

Formulani keltirib chiqarish

Sharni aylanish o‘qiga perpendikulyar, qalinligi dhbo‘lgan yupqa disklarga ajratamiz. Shar markazidan h balandlikda joylashgan bunday diskning radiusini quyidagi formula orqali topamiz:

r = \sqrt{R^{2} - h^{2}} .

Bunday diskning massasi va inersiya momenti quyidagicha bo‘ladi:

d m = ρ d V = ρ \cdot π r^{2} d h;

d J = \frac{1}{2} r^{2} d m = \frac{1}{2} π ρ r^{4} d h = \frac{1}{2} π ρ {(R^{2} - h^{2})}^{2} d h = \frac{1}{2} π ρ (R^{4} - 2 R^{2} h^{2} + h^{4}) d h .

Sharning inersiya momentini integrallash orqali topamiz:

\begin{matrix} J & = \int_{- R}^{R} d J = 2 \int_{0}^{R} d J = π ρ \int_{0}^{R} (R^{4} - 2 R^{2} h^{2} + h^{4}) d h = \\ = π ρ {(R^{4} h - \frac{2}{3} R^{2} h^{3} + \frac{1}{5} h^{5}) |}_{0}^{R} = π ρ (R^{5} - \frac{2}{3} R^{5} + \frac{1}{5} R^{5}) = \frac{8}{15} π ρ R^{5} = \\ = (\frac{4}{3} π R^{3} ρ) \cdot \frac{2}{5} R^{2} = \frac{2}{5} m R^{2} . \end{matrix}

Yupqa devorli sfera

Formulani keltirib chiqarish

Formulani keltirib chiqarishda radiusi R:

J_{0} = \frac{2}{5} M R^{2} = \frac{8}{15} π ρ R^{5} .

bo‘lgan bir jinsli sharning inersiya momenti formulasidan foydalanamiz. Zichlik ρ o‘zgarmagan holda shar radiusi cheksiz kichik dR.

\begin{matrix} J & = \frac{d J_{0}}{d R} d R = \frac{d}{d R} (\frac{8}{15} π ρ R^{5}) d R = \\ = \frac{8}{3} π ρ R^{4} d R = (ρ \cdot 4 π R^{2} d R) \frac{2}{3} R^{2} = \frac{2}{3} m R^{2} . \end{matrix}

miqdorga oshsa, uning inersiya momenti qanchaga o‘zgarishini hisoblaymiz:

Ingichka sterjen (o‘q markazidan o‘tadi)

Formulani keltirib chiqarish Sterjenni uzunligibo‘lgan kichik bo‘laklarga ajratamiz. Bunday bo‘lakning massasi va inersiya momenti quyidagiga teng:

d m = \frac{m d r}{l}; d J = r^{2} d m = \frac{m r^{2} d r}{l} .

Integrallab, quyidagini olamiz:

J = \int_{- l / 2}^{l / 2} d J = 2 \int_{0}^{l / 2} d J = \frac{2 m}{l} \int_{0}^{l / 2} r^{2} d r = \frac{2 m}{l} {\frac{r^{3}}{3} |}_{0}^{l / 2} = \frac{2 m}{l} \frac{l^{3}}{24} = \frac{1}{12} m l^{2} .

Ingichka sterjen (o‘q uchidan o‘tadi)

Formulani keltirib chiqarish

Aylanish o‘qi sterjenning o‘rtasidan uchiga ko‘chirilganda sterjenning og‘irlik markazi o‘qqa nisbatan l⁄2masofaga siljiydi. Shteyner teoremasiga ko‘ra, yangi inersiya momenti quyidagiga teng bo‘ladi:

J = J_{0} + m r^{2} = J_{0} + m {(\frac{l}{2})}^{2} = \frac{1}{12} m l^{2} + \frac{1}{4} m l^{2} = \frac{1}{3} m l^{2} .

Sayyoralar va yo‘ldoshlarning o‘lchamsiz inersiya momentlari

Sayyoralar va ularning yo‘ldoshlari ichki tuzilishini tadqiq etishda ularning o‘lchamsiz inersiya momentlari katta ahamiyatga ega. Jismning radiusi r va massasi m bo‘lsa, uning o‘lchamsiz inersiya momenti aylanish o‘qiga nisbatan inersiya momentining shu massaga ega va qo‘zg‘almas aylanish o‘qidan r masofada joylashgan moddiy nuqtaning inersiya momentiga (yaʼni mr²ga teng qiymatga) nisbatidir. Bu kattalik massa jismning ichki qatlamlari bo‘ylab qanday taqsimlanganini ko‘rsatadi. Sayyoralar va yo‘ldoshlarda uni o‘lchash usullaridan biri Dopler siljishini kuzatishga asoslanadi: uni sayyora yoki yo‘ldosh yaqinidan uchib o‘tayotgan avtomatik sayyoralararo stansiya (ASS)uzatgan radiosignaldan aniqlashadi. Yupqa devorli sfera uchun o‘lchamsiz inersiya momenti 2/3 (~0,67) ga, bir jinsli shar uchun 0,4 ga teng; umuman, jism massasining markazida qancha ko‘p qismi to‘plangan bo‘lsa, bu kattalik shuncha kichik bo‘ladi. Masalan, Oyning o‘lchamsiz inersiya momenti 0,4 ga yaqin (0,391 ga teng), shuning uchun Oy nisbatan bir jinsli deb hisoblanadi: uning zichligi chuqurlik bo‘yicha kam o‘zgaradi. Yerning o‘lchamsiz inersiya momenti bir jinsli sharnikidan kichik (0,335 ga teng). Bu Yerda zich yadro mavjudligini tasdiqlovchi dalillardan biridir.

Markazdan qochma inersiya momenti

Jismning to‘g‘ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasidagi o‘qlariga nisbatan markazdan qochma inersiya momentlari deb quyidagi kattaliklar ataladi:

J_{x y} = \int_{(m)} x y d m = \int_{(V)} x y ρ d V,

J_{x z} = \int_{(m)} x z d m = \int_{(V)} x z ρ d V,

J_{y z} = \int_{(m)} y z d m = \int_{(V)} y z ρ d V,

bu yerda x, y va z — jismning kichik elementining koordinatalari; elementning hajmi dV, , zichligi ρ va massasi dm.

OX o‘qi jismning bosh inersiya o‘qideb ataladi, agar markazdan qochma inersiya momentlari J_xy va J_xz bir vaqtning o‘zida nolga teng bo‘lsa. Jismning har bir nuqtasidan uchta bosh inersiya o‘qini o‘tkazish mumkin. Bu o‘qlar o‘zaro perpendikulyardir. Jismning inersiya momentlari uning ixtiyoriy O nuqtasidan o‘tuvchi uchta bosh inersiya o‘qiga nisbatan hisoblanganida bosh inersiya momentlari deb ataladi.

Jismning massa markazidan o‘tuvchi bosh inersiya o‘qlari jismning bosh markaziy inersiya o‘qlari deb ataladi, bu o‘qlarga nisbatan inersiya momentlari esa uning bosh markaziy inersiya momentlari deb ataladi. Simmetriya o‘qi bir jinsli jismning bosh markaziy inersiya o‘qlaridan biri bo‘ladi.

Geometrik inersiya momentlari

Hajmning geometrik inersiya momenti o‘qqa nisbatan jismning quyidagi formula bilan ifodalanadigan geometrik xarakteristikasidir:

J_{V a} = \int_{(V)} r^{2} d V,

bu yerda, avvalgidek, r — dV elementidan o‘qqacha bo‘lgan masofa; o‘qning belgisi a.

O‘lchamligi J_Va — uzunlikning beshinchi darajasi ( $d i m J_{V a} = L^{5}$ ), shuning uchun SI tizimidagi o‘lchov birligi — m⁵.

Yuzaning geometrik inersiya momenti o‘qqa nisbatan jismning quyidagi formula bilan ifodalanadigan geometrik xarakteristikasidir:

J_{S a} = \int_{(S)} r^{2} d S,

bu yerda integrallash Ssirt bo‘yicha bajariladi, va dS — shu sirtning elementi.

O‘lchamligi J_Sa — uzunlikning to‘rtinchi darajasi ( $d i m J_{S a} = L^{4}$ ), shuning uchun SI tizimidagi o‘lchov birligi — m⁴. Qurilish hisob-kitoblarida, adabiyotlarda va metall prokat assortimenti jadvallarida ko‘pincha sm⁴.

Yuzaning geometrik inersiya momenti orqali kesimning qarshilik momenti ifodalanadi:

W = \frac{J_{S a}}{r_{m a x}} .

Bu yerda r_max — sirtdan o‘qqacha bo‘lgan eng katta masofa.

Ayrim shakllar yuzasining geometrik inersiya momentlari
To‘g‘ri to‘rtburchakning balandligi $h$ va eni $b$ :	$J_{y} = \frac{b h^{3}}{12}$ $J_{z} = \frac{h b^{3}}{12}$
To‘g‘ri to‘rtburchak shaklidagi quti kesimning tashqi konturi bo‘yicha balandligi va eni $H$ va $B$ , ichki kontur bo‘yicha esa $h$ va $b$ bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchakli quti kesim	$J_{z} = \frac{B H^{3}}{12} - \frac{b h^{3}}{12} = \frac{1}{12} (B H^{3} - b h^{3})$ $J_{y} = \frac{H B^{3}}{12} - \frac{h b^{3}}{12} = \frac{1}{12} (H B^{3} - h b^{3})$
Doiraning diametri $d$	$J_{y} = J_{z} = \frac{π d^{4}}{64}$

Tekislikka nisbatan inersiya momenti

Qattiq jismning biror tekislikka nisbatan inersiya momenti deb jismdagi har bir nuqta massasining ushbu nuqtadan ko‘rilayotgan tekislikkacha bo‘lgan masofa kvadratiga ko‘paytmalari yig‘indisiga teng skalyar kattalikka aytiladi.

Agar ixtiyoriy $O$ nuqtadan koordinata o‘qlari $x, y, z$ o‘tkazilsa, koordinata tekisliklariga nisbatan inersiya momentlari $x O y$ , $y O z$ va $z O x$ quyidagi formulalar bilan ifodalanadi:

J_{x O y} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} z_{i}^{2},

J_{y O z} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i}^{2},

J_{z O x} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} y_{i}^{2} .

Tutash jism holatida yig‘indi olish o‘rniga integrallash bajariladi.

Markaziy inersiya momenti

Markaziy inersiya momenti (O nuqtaga nisbatan inersiya momenti, qutbga nisbatan inersiya momenti, qutbiy inersiya momenti) $J_{O}$ — quyidagi ifoda bilan aniqlanadigan kattalik:

J_{a} = \int_{(m)} r^{2} d m = \int_{(V)} ρ r^{2} d V,

bu yerda:

$d m = ρ d V$ — jismning kichik hajm elementi massasi $d V$ ,
$ρ$ — zichlik,
$r$ — elementdan $d V$ O nuqtagacha bo‘lgan masofa.

Markaziy inersiya momentini bosh o‘q inersiya momentlari, shuningdek, tekisliklarga nisbatan inersiya momentlari orqali ifodalash mumkin:

J_{O} = \frac{1}{2} (J_{x} + J_{y} + J_{z}),

J_{O} = J_{x O y} + J_{y O z} + J_{x O z} .

Ushbu kattalik amalda elastiklik nazariyasida qo‘llanadi.

Inersiya tenzori va inersiya ellipsoidi

Jismning massa markazidan o‘tuvchi, yo‘nalishi birlik vektor $\vec{s} = {‖ s_{x}, s_{y}, s_{z} ‖}^{T}, | \vec{s} | = 1$ quyidagi kvadratik (bilinear) shakl orqali ifodalash mumkin:

I_{s} = {\vec{s}}^{T} \cdot \hat{J} \cdot \vec{s},

(1)

bu yerda $\hat{J}$ — inersiya tenzori. Inersiya tenzori matritsasi simmetrik, o‘lchami $3 \times 3$ bo‘lib, markazdan qochma inersiya momentlari komponentlaridan tashkil topgan:

\hat{J} = ‖ \begin{matrix} J_{x x} & - J_{x y} & - J_{x z} \\ - J_{y x} & J_{y y} & - J_{y z} \\ - J_{z x} & - J_{z y} & J_{z z} \end{matrix} ‖,

J_{x y} = J_{y x}, J_{x z} = J_{z x}, J_{z y} = J_{y z},

J_{x x} = \int_{(m)} (y^{2} + z^{2}) d m, J_{y y} = \int_{(m)} (x^{2} + z^{2}) d m, J_{z z} = \int_{(m)} (x^{2} + y^{2}) d m .

Mos koordinatalar sistemasini tanlash orqali inersiya tenzori matritsasini diagonal ko‘rinishga keltirish mumkin. Buning uchun tenzor matritsasining xos qiymatlarini topish masalasini yechish kerak. Tenzor matritsasi $\hat{J}$ :

{\hat{J}}_{d} = {\hat{Q}}^{T} \cdot \hat{J} \cdot \hat{Q},

{\hat{J}}_{d} = ‖ \begin{matrix} J_{X} & 0 & 0 \\ 0 & J_{Y} & 0 \\ 0 & 0 & J_{Z} \end{matrix} ‖,

bu yerda $\hat{Q}$ — ortogonal matritsa inersiya tenzorining xos bazisiga o‘tish matritsasidir. Xos bazisda koordinata o‘qlari inersiya tenzorining bosh o‘qlari bo‘ylab yo‘naladi va shu bilan birga inersiya tenzori ellipsoidining bosh yarim o‘qlariga mos keladi. Kattaliklar $J_{X}, J_{Y}, J_{Z}$ — bosh inersiya momentlari. Xos koordinatalar sistemasida (1) ifoda quyidagicha ko‘rinadi:

I_{s} = J_{X} \cdot s_{x}^{2} + J_{Y} \cdot s_{y}^{2} + J_{Z} \cdot s_{z}^{2},

bundan ellipsoidning xos koordinatalardagi tenglamasi kelib chiqadi. Tenglamaning har ikki tomonini $I_{s}$

{(\frac{s_{x}}{\sqrt{I_{s}}})}^{2} \cdot J_{X} + {(\frac{s_{y}}{\sqrt{I_{s}}})}^{2} \cdot J_{Y} + {(\frac{s_{z}}{\sqrt{I_{s}}})}^{2} \cdot J_{Z} = 1

ga bo‘lib, quyidagi almashtirishlarni bajaramiz:

ξ = \frac{s_{x}}{\sqrt{I_{s}}}, η = \frac{s_{y}}{\sqrt{I_{s}}}, ζ = \frac{s_{z}}{\sqrt{I_{s}}},

natijada ellipsoid tenglamasining kanonik ko‘rinishini olamiz: $ξ η ζ$ :

ξ^{2} \cdot J_{X} + η^{2} \cdot J_{Y} + ζ^{2} \cdot J_{Z} = 1.

Markazdan ellipsoidning biror nuqtasigacha bo‘lgan masofa jismning ellipsoid markazi va mazkur nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq bo‘ylab inersiya momenti qiymati bilan bog‘liq:

r^{2} = ξ^{2} + η^{2} + ζ^{2} = {(\frac{s_{x}}{\sqrt{I_{s}}})}^{2} + {(\frac{s_{y}}{\sqrt{I_{s}}})}^{2} + {(\frac{s_{z}}{\sqrt{I_{s}}})}^{2} = \frac{1}{I_{s}} .

Sharhlar

↑ При получении этой формулы путём вычитания момента инерции сплошного цилиндра радиусом r₁ из цилиндра радиусом r₂ необходимо обратить внимание, что их массы при этом не будут одинаковыми или равны m. При этом должно выполняться условие $m_{2} - m_{1} = m$ . Из формулы для массы соответствующего цилиндра можно определить, что в этом случае $m_{1} = m \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2} - r_{1}^{2}}$ и $m_{2} = m \frac{r_{2}^{2}}{r_{2}^{2} - r_{1}^{2}}$ . В правильности использования знака «+» в этой формуле также можно убедиться, если сравнить моменты инерции полого толстостенного и сплошного цилиндров с одинаковыми массами. Действительно, у первого из этих цилиндров масса в среднем сосредоточена дальше от оси, чем у второго, поэтому и момент инерции этого цилиндра должен быть больше, чем у сплошного. Именно такое соотношение моментов инерции и обеспечивает знак «+». С другой стороны, в пределе при стремлении r₁ к r₂ формула для полого толстостенного цилиндра должна приобрести тот же вид, что и формула для полого тонкостенного цилиндра. Очевидно, что такой переход происходит только при использовании формулы со знаком «+».

Adabiyotlar

Matveyev A. N. Mexanika va nisbiylik nazariyasi. Moskva: Visshaya shkola, 1986. (3-nashr: Moskva, ONIKS 21 vek: Mir i Obrazovaniye, 2003. — 432 bet.)
Trofimova T. I. Fizika kursi. — 7-nashr. — Moskva: Visshaya shkola, 2001. — 542 bet.
Aleshkyevich V. A., Dedenko L. G., Karavayev V. A. Qattiq jism mexanikasi. Maʼruzalar. Arxivlangan nusxasi 7-yanvar 2014-yildagi, saqlangan joyi: Wayback Machine Moskva davlat universiteti fizika fakulteti nashriyoti, 1997.
Pavlenko Yu. G. Nazariy mexanika bo‘yicha maʼruzalar. Moskva: FIZMATLIT, 2002. — 392 bet.
Yavorskiy B. M., Detlaf A. A. Yuqori sinf o‘quvchilari va oliy o‘quv yurtlariga kiruvchilar uchun fizika: o‘quv qo‘llanma. — Moskva: Drofa, 2002. — 800 bet. ISBN 5-7107-5956-3
Sivuxin D. V. Fizikaning umumiy kursi. 5 jildda. I jild. Mexanika. 4-nashr. Moskva: FIZMATLIT; MFTI nashriyoti, 2005. — 560 bet.
Belyayev N. M. Materiallar qarshiligi. «Nauka» nashriyotining fizika-matematika adabiyotlari bosh tahririyati, 1976. — 608 bet.

Havolalar

Oddiy shakldagi jismlarning inersiya momentini aniqlash.

[2] При получении этой формулы путём вычитания момента инерции сплошного цилиндра радиусом r₁ из цилиндра радиусом r₂ необходимо обратить внимание, что их массы при этом не будут одинаковыми или равны m. При этом должно выполняться условие $m_{2} - m_{1} = m$ . Из формулы для массы соответствующего цилиндра можно определить, что в этом случае $m_{1} = m \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2} - r_{1}^{2}}$ и $m_{2} = m \frac{r_{2}^{2}}{r_{2}^{2} - r_{1}^{2}}$ . В правильности использования знака «+» в этой формуле также можно убедиться, если сравнить моменты инерции полого толстостенного и сплошного цилиндров с одинаковыми массами. Действительно, у первого из этих цилиндров масса в среднем сосредоточена дальше от оси, чем у второго, поэтому и момент инерции этого цилиндра должен быть больше, чем у сплошного. Именно такое соотношение моментов инерции и обеспечивает знак «+». С другой стороны, в пределе при стремлении r₁ к r₂ формула для полого толстостенного цилиндра должна приобрести тот же вид, что и формула для полого тонкостенного цилиндра. Очевидно, что такой переход происходит только при использовании формулы со знаком «+».