Faradeyning elektromagnit induksiya qonuni

Faradeyning elektromagnit induksiya qonuni — elektrodinamikaning eng muhim qonunlaridan biri bo‘lib, unga ko‘ra,

har qanday yopiq konturda magnit maydon hosil qiladigan elektr yurituvchi kuch (EYK) shu kontur orqali o‘tuvchi magnit oqimining o‘zgarish tezligiga manfiy ishora bilan teng bo‘ladi,

yoki tafsilotlarni chetga surib aytganda,

hosil bo‘ladigan EYK magnit oqimining o‘zgarish tezligiga mutanosibdir.

Kontur deganda fazodagi istalgan yopiq egri chiziq tushuniladi; u harakatlanishi va deformatsiyalanishi mumkin.

Agar bunday egri chiziq bo‘ylab ingichka sim o‘tkazilsa, EYK induksion tokning oqishi orqali namoyon bo‘ladi va undan texnik maqsadlarda foydalanish mumkin. Bu hodisa transformatorlar, drossellar, ko‘plab turdagi elektr dvigatellar va generatorlarning ishlash tamoyiliga asos bo‘ladi. Bunda induksion tok shunday yo‘naladiki, uning ta’siri o‘zini keltirib chiqargan sababning ta’siriga qarshi bo‘ladi (Lens qoidasi).

Qonunning fizik mazmuni va ahamiyati

Zamonaviy nuqtayi nazardan elektromagnit induksiya qonuni bir nechta muhim jihatni ifodalaydi:

magnit maydon yordamida elektr maydonini ( $𝐄$ ) hosil qilish imkoniyati, bunda magnit maydon ( $𝐁$ ):

\nabla \times 𝐄 = - \frac{\partial 𝐁}{\partial t}

,

ya’ni elektr zaryadlarining Kulon qonuniga ko‘ra ta’siridan boshqa yo‘l bilan (

\nabla \times

— rotor belgisi);

elektr maydon sirkulyatsiyasi uchun formulaning mavjudligi

ℰ = \oint 𝐄 \cdot d 𝐥 = - \frac{d Φ}{d t}

(«EYK» deb ataluvchi) magnit maydon hosil qilgan elektr maydonining (bu yerda

Φ

— magnit oqimi,

t

— vaqt);

induksiyalangan tok

I = | ℰ | / R

elektr qarshiligi

R

bo‘lgan yopiq o‘tkazgichda, vaqt bo‘yicha o‘zgaruvchi magnit oqimi uni kesib o‘tganda induksiyalanishi.

Shu tarzda hosil qilingan elektr maydonini sinov zaryadi yordamida aniqlash mumkin, biroq u elektrostatik maydondan farqli ravishda potensial maydon emas. Yuqorida sirkulyatsiyasi uchun ifoda keltirilgan bu maydon kontur bo‘ylab sim bor-yo‘qligidan qat’i nazar, magnit oqimi har qanday tarzda o‘zgarganda paydo bo‘ladi. Agar sim bo‘lsa, tok oqadi (sim chiziq sifatida qaralishi uchun ingichka bo‘lishi, ammo qarshilik cheksiz bo‘lib ketmasligi uchun mutlaqo cheksiz ingichka bo‘lmasligi kerak). Dastlab qonun aynan induksiyalangan tok uchun, ya’ni «elektrotexnik» ma’noda kashf etilgan; maydonlar haqidagi mulohazalar keyinroq paydo bo‘lgan.

Tarixan Faradey qonuni Maksvell tenglamalari tizimini shakllantirishga asos bo‘lgan empirik qonunlardan biri edi. Biroq hozirgi metodologiyada bu tenglamalar postulat sifatida qabul qilinadi va ulardan elektromagnit induksiya qonunini keltirib chiqarish mumkin (mantiqiy jihatdan «teskari yo‘nalishda»).

Qonunning kashf etilish tarixi

Elektromagnit induksiya hodisasi bir-biridan mustaqil ravishda Maykl Faradey va Jozef Genri tomonidan 1831-yilda kashf etilgan, ammo Faradey tajribalarining natijalarini birinchi bo‘lib nashr etgan.

Elektromagnit induksiyani ilk bor tajribada namoyish etishda (1831-yil avgust) Faradey temir torning qarama-qarshi tomonlariga ikkita sim o‘ragan (bu tuzilma zamonaviy transformatorga o‘xshaydi). U yaqinda aniqlangan elektromagnit xususiyatini o‘zicha baholab, bir simdan tok o‘tkazilganda tor bo‘ylab o‘ziga xos to‘lqin tarqalib, uning qarama-qarshi tomonida qandaydir elektr ta’sirini yuzaga keltiradi, deb kutgan. U simlardan birini galvanometrga ulab, ikkinchi simni batareyaga ulayotganida asbobni kuzatgan. Darhaqiqat, sim batareyaga ulanganda u qisqa muddatli tok sakrashini (buni «elektr to‘lqini» deb atagan), uzilganda esa shunga o‘xshash yana bir sakrashni kuzatgan. Ikki oy davomida Faradey elektromagnit induksiyaning boshqa bir nechta namoyon bo‘lishini ham aniqlagan. Masalan, magnitni g‘altakka tez kiritib va undan chiqarib olganda tokning keskin o‘zgarishini kuzatgan, shuningdek, magnit yaqinida aylanayotgan mis diskda sirpanuvchi elektr kontakti yordamida o‘zgarmas tok hosil qilgan («Faradey diski»).

Faradey elektromagnit induksiyani «kuch chiziqlari» deb ataladigan tushuncha yordamida izohlagan. Biroq o‘sha davr olimlarining aksariyati uning nazariy g‘oyalarini, asosan, ular matematik shaklda ifodalanmagani sababli rad etgan. Bundan mustasno olim Maksvell bo‘lib, u Faradey g‘oyalarini o‘zining miqdoriy elektromagnit nazariyasiga asos qilib olgan. Maksvell asarlarida elektromagnit induksiyaning vaqt bo‘yicha o‘zgarish jihati differensial tenglamalar ko‘rinishida ifodalangan. Oliver Xevisayd bu tenglamani Faradey qonuni deb atagan, ammo u shaklan Faradey qonunining dastlabki ko‘rinishidan biroz farq qiladi va harakat natijasida EYK induksiyalanishini hisobga olmaydi. Xevisayd talqini bugun Maksvell tenglamalari.

Emiliy Xristianovich Lens 1834-yilda Lens qonunini (qoidasini) ta’riflagan. Bu qonun «zanjir orqali o‘tuvchi oqim»ni tavsiflaydi hamda elektromagnit induksiya natijasida hosil bo‘ladigan EYK va tok yo‘nalishini belgilaydi.

«Harakat EYKsi» va «transformator EYKsi»

Ayrim fiziklar Faradey qonuni bitta tenglamada ikki xil hodisani tavsiflashini ta’kidlaydilar: harakat EYKsi — harakatlanuvchi simga magnit kuchi ta’sir etishi natijasida hosil bo‘ladigan EYK va transformator EYKsi — magnit maydonning o‘zgarishi tufayli elektr kuchi ta’sirida hosil bo‘ladigan EYK. Jeyms Klerk Maksvell bu holatga o‘zining «Fizik kuch chiziqlari haqida» asarida 1861-yilda e’tibor qaratgan. Asarning II qismi ikkinchi yarmida Maksvell bu ikki hodisaning har biri uchun alohida fizik izoh bergan. Elektromagnit induksiyaning shu ikki jihati ayrim zamonaviy darsliklarda ham qayd etiladi. Richard Feynman shunday yozadi:

Shunday qilib, konturdagi EYK kontur orqali o‘tuvchi magnit oqimining o‘zgarish tezligiga teng, degan «oqim qoidasi» oqim qanday sabab bilan o‘zgarishidan qat’i nazar qo‘llanadi: maydon o‘zgaradimi, kontur harakatlanadimi yoki ikkisi ham sodir bo‘ladimi — farqi yo‘q.... Biz ushbu qoidani izohlashda ikki holat uchun mutlaqo boshqa-boshqa qonunlardan foydalandik: $𝐯 \times 𝐁$ «harakatlanuvchi zanjir» uchun va $\nabla \times 𝐄 = - \partial_{t} 𝐁$ «o‘zgaruvchan maydon» uchun.

Fizikada tushunish uchun ikki xil hodisani alohida tahlil qilishni talab etadigan, shunga o‘xshash sodda va aniq umumiy tamoyilning boshqa misolini bilmaymiz.

— Richard Feynman, Feynman fizika ma’ruzalari

Ushbu yaqqol ikkiyoqlamalik Eynshteynni maxsus nisbiylik nazariyasini ishlab chiqishga olib kelgan asosiy omillardan biri edi:

Ma’lumki, Maksvell elektrodinamikasi — bugungi kunda odatda qanday tushunilsa, shunday shaklda — harakatlanuvchi jismlarga tatbiq etilganda hodisaga xos bo‘lmagan ko‘rinadigan nosimmetriyaga olib keladi. Masalan, magnit va o‘tkazgichning elektrodinamik o‘zaro ta’sirini olaylik. Kuzatiladigan hodisa faqat o‘tkazgich bilan magnitning nisbiy harakatiga bog‘liq, holbuki odatiy qarash bu ikki holatni — birida bir jism, ikkinchisida esa boshqa jism harakatlanishini — keskin farqlaydi. Agar magnit harakatlansa, o‘tkazgich esa tinch tursa, magnit atrofida muayyan energiya zichligiga ega elektr maydoni paydo bo‘ladi va o‘tkazgich joylashgan yerda tok hosil qiladi. Ammo magnit tinch turib, o‘tkazgich harakatlansa, magnit atrofida hech qanday elektr maydoni yuzaga kelmaydi. Shunga qaramay, o‘tkazgichda o‘z-o‘zicha tegishli energiyaga ega bo‘lmagan elektr yurituvchi kuch paydo bo‘ladi; u esa — ikkala holatdagi nisbiy harakat bir xil deb hisoblanganda — birinchi holatdagi kabi ayni yo‘nalish va ayni kuchdagi elektr toklarini yuzaga keltiradi.
Bunday misollar, shuningdek, Yerning «yorug‘lik tashuvchi muhit»ga nisbatan harakatini aniqlashga bo‘lgan muvaffaqiyatsiz urinish elektrodinamika va mexanika hodisalari mutlaq tinchlik tushunchasiga mos xususiyatlarga ega emasligini ko‘rsatadi.

— Albert Eynshteyn, «Harakatlanuvchi jismlar elektrodinamikasiga doir»

Umuman olganda, harakat EYKsining harakatlanuvchi o‘tkazgichdagi yoki yuzasi o‘zgarayotgan konturdagi zaryadlarga magnit kuchining ta’siri orqali paydo bo‘lishini tushuntirish qoniqarli emas. Darhaqiqat, o‘tkazgich yoki konturda zaryadlar umuman bo‘lmasligi ham mumkin. Bunday holatda elektromagnit induksiya hodisasining o‘zi yo‘qoladimi? Bu holat bir maqolada tahlil qilingan: elektromagnit maydonning integral tenglamalari to‘rt o‘lchamli kovariant shaklda yozilganda Faradey qonunidagi vaqt bo‘yicha xususiy hosila o‘rniga kontur orqali o‘tuvchi magnit oqimining vaqt bo‘yicha to‘liq hosilasi paydo bo‘ladi. Demak, elektromagnit induksiya magnit maydon vaqt davomida o‘zgarganda yoki kontur yuzasi o‘zgarganda yuzaga keladi. Fizik nuqtayi nazardan induksiya EYKsi haqida emas, balki magnit oqimi o‘zgarganda konturda hosil bo‘ladigan induksiyalangan elektr maydon kuchlanganligi $𝐄 = - \nabla ℰ - \partial 𝐀 / \partial t$ haqida gapirish ma’qulroq. Bunda $𝐄$ ga magnit maydon o‘zgarishining hissasi $- \partial 𝐀 / \partial t$ hadi orqali amalga oshadi, bu yerda $𝐀$ — vektor potensialdir. Agar magnit maydon o‘zgarmagan holda kontur yuzasi o‘zgarsa, kontur qismlaridan biri albatta harakatlanadi va shu qism bilan bog‘langan K’ sanoq sistemasida $𝐄$ elektr maydoni paydo bo‘ladi. Bu harakatsiz K sanoq sistemasidagi $𝐁$ magnit maydonining Lorens almashtirishi natijasidir; mazkur maydon konturni kesib o‘tadi. K’ sistemasida $𝐄$ maydonining mavjudligi konturda zaryadlar bor-yo‘qligidan qat’i nazar, harakatlanuvchi konturdagi induksiya hodisasi natijasi sifatida qaraladi. O‘tkazuvchi konturda $𝐄$ maydoni zaryadlarni harakatga keltiradi. K sanoq sistemasida bu induksiya EYKsi $ℰ$ paydo bo‘lgandek ko‘rinadi; uning kontur bo‘ylab olingan $- \nabla ℰ$ ko‘rinishidagi gradiyenti go‘yo $𝐄$ .

Sirt orqali oqim va konturdagi EYK

Faradeyning elektromagnit induksiya qonuni magnit oqimi $Φ$ tushunchasidan foydalanadi. U $Σ$ sirt orqali o‘tadi va quyidagi sirt integrali orqali aniqlanadi:

Φ = \int_{Σ} 𝐁 \cdot d 𝐒

,

bu yerda $d 𝐒$ — sirt elementining yuzi $Σ (t)$ , $𝐁$ — magnit maydon, $𝐁 \cdot d 𝐒$ — skalyar ko‘paytma $𝐁$ va $d 𝐒$ . Sirtning $\partial Σ (t)$ bilan ifodalangan yopiq egri chiziq orqali chegaralangan «cheti» bor deb hisoblanadi. Faradey induksiya qonuniga ko‘ra, magnit oqimi o‘zgarganida birlik musbat sinov zaryadi $\partial Σ$ yopiq egri chiziq bo‘ylab harakatlantirilsa, EYK $ℰ$ hosil bo‘ladi, uning qiymati quyidagi formula bilan aniqlanadi:

| ℰ | = | \frac{d Φ}{d t} |

,

bu yerda $| ℰ |$ — elektr yurituvchi kuchning (EYK) voltlardagi qiymati, $Φ$ — magnit oqimi esa veberlarda ifodalanadi. Elektr yurituvchi kuchning yo‘nalishi Lens qonuni bilan aniqlanadi.

Zich o‘ralgan induktivlik g‘altagida $N$ ta o‘ram mavjud bo‘lib, ularning har biridan bir xil $Φ_{1}$ magnit oqimi o‘tsa, Faradey induksiya qonuni quyidagini bildiradi:

| ℰ | = N | \frac{d Φ_{1}}{d t} |

,

bu yerda $Φ_{1}$ — bitta o‘ramga to‘g‘ri keladigan magnit oqimi (veberlarda).

Tanlangan $\partial Σ (t)$ yo‘l EYKni hisoblash uchun ikki talabni bajarishi kerak: (i) yopiq bo‘lishi va (ii) kontur qismlarining nisbiy harakatini qamrab olishi (bu $t$ ga bog‘liqlikning $\partial Σ (t)$ da paydo bo‘lish sababidir). Yo‘lning tok chizig‘iga mos tushishi shart emas. Biroq oqim qonuni bo‘yicha topilgan EYK tanlangan yo‘l uchun hisoblanadi. Agar yo‘l tok chizig‘i bo‘ylab o‘tmasa, hisoblangan EYK tokni hosil qiluvchi EYKdan farq qilishi mumkin.

Faradey — Maksvell tenglamasi

O‘zgaruvchan magnit maydon Faradey — Maksvell tenglamasi bilan ifodalanadigan elektr maydonni hosil qiladi:

$\nabla \times 𝐄 = - \frac{\partial 𝐁}{\partial t}$

Bu tenglama zamonaviy Maksvell tenglamalari tizimiga kiradi va ko‘pincha Faradey qonuni deb ataladi.

Faradey qonuni boshqa shaklda integral ko‘rinish Kelvin — Stoks teoremasi:

\oint_{\partial Σ} 𝐄 \cdot d ℓ = - \int_{Σ} \frac{\partial}{\partial t} 𝐁 \cdot d 𝐒

.

Integrallash uchun vaqtga bog‘liq bo‘lmagan $Σ$ sirt kerak (bu yerda u xususiy hosilalarni talqin qilishning bir qismi deb qaraladi). Quyidagi belgilashlar qabul qilingan: $Σ$ — yopiq $\partial Σ$ kontur bilan chegaralangan sirt; bunda $Σ$ ham, $\partial Σ$ ham o‘zgarmas va vaqtga bog‘liq emas; $𝐄$ — elektr maydon; $d ℓ$ — cheksiz kichik kontur elementi, $\partial Σ$ ; $𝐁$ — magnit maydon; $d 𝐒$ — sirt vektorining cheksiz kichik elementi $Σ$ .

Elementlar $d ℓ$ va $d 𝐒$ ning ishoralari oldindan aniqlanmagan. To‘g‘ri ishoralarni belgilash uchun o‘ng qo‘l qoidasi qo‘llanadi (qarang: Kelvin — Stoks teoremasi). Tekis $Σ$ sirt uchun $d ℓ$ yo‘l elementining musbat yo‘nalishi $\partial Σ$ egri chiziqda o‘ng qo‘l qoidasi bilan belgilanadi: o‘ng qo‘lning bosh barmog‘i sirt normali $𝐧$ yo‘nalishida turganida qolgan to‘rt barmoq yo‘lning musbat yo‘nalishini ko‘rsatadi. $Σ$ .

Kontur $\partial Σ$ bo‘yicha integral «yo‘l bo‘yicha integral» yoki «egri chiziqli integral» deb ataladi. Sirt integrali Faradey — Maksvell tenglamasining o‘ng tomonida magnit oqimi $Φ$ ning $Σ$ orqali aniq ifodasidir. $𝐄$ uchun yo‘l bo‘yicha integralning nol bo‘lmasligi zaryadlar hosil qiladigan elektr maydonning xatti-harakatidan farq qiladi. Zaryad hosil qilgan $𝐄$ maydon skalyar maydonning gradiyenti sifatida ifodalanishi mumkin. U Puasson tenglamasining yechimi bo‘lib, yo‘l bo‘yicha integrali nolga teng.

Integral tenglama fazodagi istalgan yo‘l $\partial Σ$ va shu yo‘l chegara bo‘lib xizmat qiladigan istalgan sirt $Σ$ uchun o‘rinli. Quyidagidan foydalanib,

\frac{d}{d t} \int_{Σ} 𝐁 d 𝐒 = \int_{Σ} (\frac{\partial 𝐁}{\partial t} + 𝐯 \cdot (\nabla \cdot 𝐁) + \nabla \times (𝐁 \times 𝐯)) d 𝐒

hamda $\nabla \cdot 𝐁 = 0$ , $𝐁 \times 𝐯 = - 𝐯 \times 𝐁$ va $\int_{Σ} \nabla \times 𝐗 d 𝐒 = \oint_{\partial 𝜮} 𝐗 d ℓ$ munosabatlarni (oxirgisi — Kelvin — Stoks teoremasi) e’tiborga olsak, magnit oqimining to‘liq hosilasini quyidagicha ifodalash mumkin:

\int_{Σ} \frac{\partial 𝐁}{\partial t} d 𝐒 = \frac{d}{d t} \int_{Σ} 𝐁 d 𝐒 + \oint_{\partial Σ} 𝐯 \times 𝐁 d ℓ

.

Faradey — Maksvell tenglamasining ikki tomoniga $\oint 𝐯 \times 𝐁 d ℓ$ hadini qo‘shib va yuqoridagi tenglamani kiritib, quyidagini olamiz:

\oint_{\partial Σ} (𝐄 + 𝐯 \times 𝐁) d ℓ = \underset{induced emf}{\underset{⏟}{- \int_{Σ} \frac{\partial}{\partial t} 𝐁 d 𝐒}} + \underset{motional emf}{\underset{⏟}{\oint_{\partial Σ} 𝐯 \times 𝐁 d ℓ}} = - \frac{d}{d t} \int_{Σ} 𝐁 d 𝐒

,

Bu Faradey qonunidir. Demak, Faradey qonuni va Faradey — Maksvell tenglamasi fizik jihatdan ekvivalent.

Rasmda tenglamaning chap tomonidagi EYKga magnit kuchi qo‘shadigan hissa izohlangan. $d ℓ$ segmentining $\partial Σ$ egri chiziq bo‘ylab $d t$ vaqt davomida $𝐯$ tezlik bilan harakatlanib qamrab olgan yuzasi quyidagiga teng:

d 𝐒 = - d ℓ \times 𝒗 d t

,

Shunday qilib, magnit oqimi $Δ Φ$ ning $\partial Σ$ bilan chegaralangan sirt qismida $d t$ vaqt davomida o‘zgarishi quyidagiga teng:

\frac{d Δ Φ}{d t} = - 𝐁 \cdot d ℓ \times 𝒗 = - 𝐯 \times 𝐁 \cdot d ℓ

,

Bu $Δ Φ$ hissalarni konturdagi barcha $d ℓ$ segmentlar bo‘ylab qo‘shsak, Faradey qonunidagi magnit kuchining umumiy hissasini olamiz. Bu had harakat EYK bilan bog‘liq.

Ayrim misollar

Ushbu bo‘limda elektromagnit induksiya qonunining namoyon bo‘lishiga doir misollar ko‘rib chiqiladi. Tegishli tizimlarning xatti-harakatini odatda Lorens kuchi yordamida tavsiflash mumkin, ammo Faradey qonunidan foydalanish ko‘pincha qulayroq. Imkon qadar har ikkala usul ham bayon qilinadi.

Fazoda o‘zgaruvchi magnit maydon

O‘ngdagi rasmda $x y$ tekislikda joylashgan to‘rtburchak yopiq sim kontur $x$ o‘qi yo‘nalishida $v$ tezlik bilan siljiydigan holat ko‘rsatilgan. Kontur markazi $x_{C}$ quyidagi shartni qanoatlantiradi: $v = d x_{C} / d t$ . Kontur uzunligi $ℓ$ bo‘lib, $y$ o‘qi yo‘nalishida, uning eni esa $w$ bo‘lib, $x$ o‘qi yo‘nalishida joylashgan. Vaqtga bog‘liq va fazoda o‘zgaruvchi magnit maydon $B (x)$ $z$ yo‘nalishda ko‘rsatilgan. Kontur chap tomonidagi magnit maydon $B (x_{C} - w / 2)$ , o‘ng tomonidagi esa $B (x_{C} + w / 2)$ . Elektr yurituvchi kuchni Lorens qonuni yoki yuqorida keltirilgan Faradey induksiya qonuni orqali topish mumkin.

Lorens qonuni

$q$ zaryad kontur chap tomonidagi o‘tkazgichda Lorens kuchi $q 𝐯 \times B 𝐤 = - q v B (x_{C} - w / 2) 𝐣$ ta’sirini sezadi (bu yerda $𝐣$ , $𝐤$ — $y$ va $z$ yo‘nalishlaridagi birlik vektorlar; qarang: vektor ko‘paytma). Bu vektorlarning ko‘paytmasi kontur chap tomonining butun uzunligi bo‘ylab $v ℓ B (x_{C} - w / 2)$ EYKni (birlik zaryadga bajarilgan ishni) hosil qiladi. Konturning o‘ng tomonida shunga o‘xshash mulohaza EYK $v ℓ B (x_{C} + w / 2)$ ga tengligini ko‘rsatadi. Qarama-qarshi yo‘nalgan bu ikkita EYK musbat zaryadni konturning pastki qismiga suradi. Agar $𝐁$ magnit maydon $x$ bo‘ylab ortsa, o‘ng tomondagi kuch kattaroq bo‘ladi va tok soat mili yo‘nalishida oqadi. o‘ng qo‘l qoidasini qo‘llab, tok hosil qilgan $B$ maydon tashqi maydonga qarama-qarshi ekanini aniqlaymiz. Tokni keltirib chiqaruvchi EYK konturda soat miliga teskari yo‘nalishda ortishi kerak (tok yo‘nalishidan farqli ravishda). Kontur bo‘ylab soat miliga teskari yo‘nalishdagi EYKlarni yig‘sak:

ℰ = v ℓ [B (x_{C} + w / 2) - B (x_{C} - w / 2)]

.

Faradey qonuni

Konturning har bir nuqtasida u orqali o‘tuvchi magnit oqimi quyidagiga teng:

Φ = \pm \int_{0}^{ℓ} d y \int_{x_{C} - w / 2}^{x_{C} + w / 2} B (x) d x = \pm ℓ \int_{x_{C} - w / 2}^{x_{C} + w / 2} B (x) d x

.

Ishora sirtning shu nuqtadagi normali $𝐁$ yo‘nalishi bilan bir xilmi yoki unga qarama-qarshimi, shunga qarab tanlanadi. Agar sirt normali induksiyalangan tokning $B$ maydoni bilan bir xil yo‘nalgan bo‘lsa, ishora manfiy bo‘ladi. Oqimning vaqt bo‘yicha hosilasi (murakkab funksiyani differensiallash yoki Leybnits qoidasi yordamida integralni differensiallash orqali) quyidagiga teng:

\frac{d Φ}{d t} = (-) \frac{d}{d x_{C}} [\int_{0}^{ℓ} d y \int_{x_{C} - w / 2}^{x_{C} + w / 2} d x B (x)] \frac{d x_{C}}{d t} = (-) v ℓ [B (x_{C} + w / 2) - B (x_{C} - w / 2)]

,

(bu yerda $v = d x_{C} / d t$ — kontur $x$ o‘qi yo‘nalishida harakatlanadigan tezlik), bundan:

ℰ = - \frac{d Φ}{d t} = v ℓ [B (x_{C} + w / 2) - B (x_{C} - w / 2)]

,

Bu avvalgi holatdagi natijaga aynan teng.

Bu yondashuvlarning ekvivalentligi yaxshi ma’lum; masalaga qarab ulardan biri boshqasidan qulayroq bo‘lishi mumkin.

O‘zgarmas magnit maydonda harakatlanuvchi o‘tkazgich

Rasmda tok o‘tkazuvchi halqali ikkita diskdan hosil bo‘lgan shpindel va bu halqalar orasida tik joylashgan o‘tkazgichlar ko‘rsatilgan. Tok halqalarga sirpanuvchi kontaktlar orqali beriladi. Bu tuzilma har tomonga nisbatan bir xil kattalikka ega bo‘lgan, radial ravishda tashqariga yo‘nalgan magnit maydonda aylanadi. Bunda o‘tkazgichlarning oniy tezligi, ulardagi tok va magnit induksiya vektori o‘ng qo‘l uchligini hosil qiladi, bu esa o‘tkazgichlarni aylanishga majbur etadi.

Lorens kuchi

Bu holda o‘tkazgichlarga Amper kuchi, o‘tkazgichdagi birlik zaryadga esa Lorens kuchi ta’sir qiladi. Bunda $𝐁$ — magnit induksiya vektorining oqimi; halqalarni birlashtiradigan o‘tkazgichlardagi tok magnit induksiya vektoriga perpendikulyar, shuning uchun zaryadga ta’sir etuvchi kuch quyidagicha:

F = q B v

,

bu yerda $v$ = harakatlanayotgan zaryadning tezligi.

Shunday qilib, o‘tkazgichlarga ta’sir qiluvchi kuch:

ℱ = I B ℓ

,

bu yerda $ℓ$ — o‘tkazgichlarning uzunligi.

Bu yerda $B$ ni ma’lum kattalik deb oldik, aslida esa u tuzilma halqalarining geometrik o‘lchamlariga bog‘liq. Uning qiymatini Bio — Savar — Laplas qonuni yordamida hisoblash mumkin. Ushbu hodisa relsotronda ham qo‘llanadi.

Faradey qonuni

Oqim qoidasini qo‘llashning sezgiga qulay tuyuladigan, ammo xato usulida zanjir orqali o‘tuvchi oqim $Φ = B w ℓ$ formulasi bilan ifodalanadi, bu yerda $w$ — harakatlanuvchi konturning eni.

Bunday yondashuv xatodir, chunki bu odatiy ma’nodagi ramka emas. Rasmdagi to‘rtburchak halqaga ulangan alohida o‘tkazgichlardan tuzilgan. Ko‘rinib turibdiki, ikkala o‘tkazgichdan ham tok bir yo‘nalishda oqmoqda, ya’ni bu yerda «yopiq kontur» tushunchasi qo‘llanmaydi.

Bu hodisaning eng sodda va tushunarli izohi Amper kuchi tushunchasiga asoslanadi. Ya’ni chalkashlik tug‘dirmaslik uchun vertikal o‘tkazgich bitta bo‘lishi ham mumkin. Yoki chekli qalinlikdagi o‘tkazgich halqalarni bog‘lovchi o‘qda joylashishi mumkin. O‘tkazgich diametri chekli va noldan farqli bo‘lishi kerak, toki kuch momenti Amper kuchi noldan farqli bo‘lsin.

Harakatlanuvchi kuzatuvchi sanoq sistemasidagi tahlil

Harakatlanuvchi to‘rtburchak kontur misoliga qaytamiz. Harakatlanuvchi sanoq sistemasida $E$ va $B$ maydonlari, shuningdek, harakat va induksiyalangan EYK o‘rtasidagi yaqin bog‘liqlik ko‘rinadi. Kontur bilan birga harakatlanuvchi kuzatuvchini tasavvur qilaylik. U konturdagi EYKni ham Lorens qonuni, ham Faradeyning elektromagnit induksiya qonuni orqali hisoblaydi. U kontur bilan birga harakatlangani uchun kontur harakatini ko‘rmaydi, ya’ni $𝐯 \times 𝐁$ qiymati nol bo‘ladi. Ammo $B$ maydon $x$ nuqtada o‘zgarayotgani sababli harakatlanuvchi kuzatuvchi vaqt davomida o‘zgaruvchi magnit maydonni kuzatadi, ya’ni:

𝐁 = 𝐤 B (x + v t)

,

bu yerda $𝐤$ — quyidagi yo‘nalishdagi birlik vektor: $z$ .

Lorens qonuni

Faradey — Maksvell tenglamasiga ko‘ra, harakatlanuvchi kuzatuvchi $E_{y}$ elektr maydonining $y$ o‘qi yo‘nalishidagi qiymatini quyidagi formula bilan aniqlaydi:

\nabla \times 𝐄 = 𝐤 \frac{d E_{y}}{d x} = - \frac{\partial 𝐁}{\partial t} = - 𝐤 \frac{d B (x + v t)}{d t} = - 𝐤 \frac{d B}{d x} v

.

Quyidagi murakkab funksiyani differensiallash qoidasini qo‘llab, olamiz:

\frac{d B}{d t} = \frac{d B}{d (x + v t)} \frac{d (x + v t)}{d t} = \frac{d B}{d x} v

.

Quyidagining $E_{y}$ yechimi kontur bo‘ylab integralga hissa qo‘shmaydigan o‘zgarmas kattalikkacha aniqlanadi:

E_{y} (x, t) = - B (x + v t) v

.

Faqat elektr maydon tashkil etuvchisi bor Lorens qonunini qo‘llab, kuzatuvchi $t$ vaqt davomida konturdagi EYKni quyidagi formula bilan hisoblay oladi:

ℰ = - ℓ [E_{y} (x_{C} + w / 2, t) - E_{y} (x_{C} - w / 2, t)] = v ℓ [B (x_{C} + w / 2 + v t) - B (x_{C} - w / 2 + v t)]

,

Harakatsiz kuzatuvchi ham xuddi shu natijaga keladi: u massa markazi $x_{C}$ qiymatidan $x_{C} + v t$ qiymatiga siljiganini ko‘radi. Biroq harakatlanuvchi kuzatuvchi Lorens qonunida faqat elektr tashkil etuvchi ta’sir qilgan deb o‘ylaydi, harakatsiz kuzatuvchi esa faqat magnit tashkil etuvchi ta’sir qilgan, deb hisoblaydi.

Faradey induksiya qonuni

Faradey induksiya qonunini qo‘llash uchun $x_{C}$ nuqta bilan birga harakatlanayotgan kuzatuvchini ko‘rib chiqamiz. U magnit oqimining o‘zgarishini kuzatadi, ammo kontur unga harakatsiz ko‘rinadi: kontur markazi $x_{C}$ o‘zgarmas, chunki kuzatuvchi kontur bilan birga harakatlanadi. Demak, magnit oqimi:

Φ = - \int_{0}^{ℓ} d y \int_{x_{C} - w / 2}^{x_{C} + w / 2} B (x + v t) d x

,

bu yerda manfiy ishora sirtga o‘tkazilgan normal tashqi magnit maydon $B$ ga teskari yo‘nalganidan kelib chiqadi. Faradey induksiya qonuniga ko‘ra, EYK:

ℰ = - \frac{d Φ_{B}}{d t} = \int_{0}^{ℓ} d y \int_{x_{C} - w / 2}^{x_{C} + w / 2} \frac{d}{d t} B (x + v t) d x = \int_{0}^{ℓ} d y \int_{x_{C} - w / 2}^{x_{C} + w / 2} \frac{d}{d x} B (x + v t) v d x =

= v ℓ [B (x_{C} + w / 2 + v t) - B (x_{C} - w / 2 + v t)]

,

yana o‘sha natijani olamiz. Integralning chegaralari vaqtga bog‘liq bo‘lmagani uchun integrallashda vaqt bo‘yicha hosila qo‘llanadi. Vaqt bo‘yicha hosilani $x$ bo‘yicha hosilaga o‘tkazishda yana murakkab funksiyani differensiallash qoidasidan foydalaniladi.

Harakatsiz kuzatuvchi EYKni harakat EYKsi sifatida ko‘rsa, harakatlanuvchi kuzatuvchi uni induksiyalangan EYK deb hisoblaydi.

Hodisaning elektrotexnikadagi qo‘llanilishi

Elektr generatori

Faradey induksiya qonuniga muvofiq kontur bilan magnit maydonning o‘zaro nisbiy harakati natijasida EYK hosil bo‘lish hodisasi elektr generatorlari ishlashiga asos bo‘ladi. Agar doimiy magnit o‘tkazgichga nisbatan siljisa yoki aksincha, o‘tkazgich magnitga nisbatan siljisa, elektr yurituvchi kuch paydo bo‘ladi. Agar o‘tkazgich elektr yuklamasiga ulansa, u orqali tok oqadi va natijada harakatning mexanik energiyasi elektr energiyasiga aylanadi. Bu g‘oyani amalga oshirish usullaridan biri — Faradey diski bo‘lib, u o‘ngdagi rasmda soddalashtirib ko‘rsatilgan.

Faradey diski misolida disk o‘ziga perpendikulyar bir jinsli magnit maydonda aylanadi. Natijada Lorens kuchi tufayli radial o‘tkazgichda tok hosil bo‘ladi. Bu tokni hosil qilish uchun nima sababdan mexanik ish bajarish zarurligini tushunish qiziq. Hosil bo‘lgan tok o‘tkazuvchi halqa orqali oqayotganida, Amper qonuniga ko‘ra, ushbu tok magnit maydon hosil qiladi (rasmda «induksiyalangan $B$ » — Induced $B$ deb belgilangan). Shunday qilib, halqa elektromagnitga aylanadi va diskning aylanishiga qarshilik ko‘rsatadi (bu Lens qoidasiga misol). Rasmning uzoq tomonida qaytuvchi tok aylanuvchi o‘tkazgichdan halqaning uzoq tomoni orqali pastki cho‘tkaga oqadi. Ushbu tok hosil qilgan B maydon tashqi maydonga qarama-qarshi bo‘lib, kamayishiga sabab bo‘ladi va aylanish tufayli yuzaga keladigan oqim ortishiga qarshi ta’sir qiladi. Rasmning yaqin tomonida qaytuvchi tok aylanuvchi radial o‘tkazgichdan halqaning yaqin tomoni orqali pastki cho‘tkaga oqadi. Induksiyalangan maydon oqimni $B$ oshiradi va bu aylanish keltirib chiqargan oqimning kamayishiga qarshi ta’sir etadi. Demak, zanjirning ikkala tomoni ham aylanishga qarshilik ko‘rsatuvchi EYKni hosil qiladi. Ushbu qarshilik kuchiga qaramay disk aylanishini saqlash uchun sarflanadigan energiya ishlab chiqarilgan elektr energiyasiga (shuningdek, ishqalanish va Joul issiqligi va hokazolar). Bu holat mexanik energiyani elektr energiyasiga aylantiruvchi barcha generatorlarga xos.

Faradey qonuni barcha elektr generatorlarining ishlashini tavsiflasa-da, turli holatlarda jarayonning batafsil mexanizmi farqlanishi mumkin. Magnit harakatsiz o‘tkazgich atrofida aylanganda, o‘zgaruvchan magnit maydon Maksvell — Faradey tenglamasida tasvirlanganidek elektr maydonni hosil qiladi va bu elektr maydon o‘tkazgichdagi zaryadlarni harakatga keltiradi. Bu holat induksiyalangan EYK deb ataladi. Aksincha, magnit harakatsiz bo‘lib, o‘tkazgich aylansa, harakatlanayotgan zaryadlarga magnit kuchi ta’sir etadi (Lorens qonunida tavsiflanganidek) va shu kuch zaryadlarni o‘tkazgich bo‘ylab siljitadi. Bu holat harakat EYKsi deb ataladi.

Elektr dvigatel

Elektr generatori teskari yo‘nalishda ham ishlashi, ya’ni elektr dvigatelga aylanishi mumkin. Masalan, Faradey diskini olaylik. Faraz qilaylik, tashqi kuchlanish ta’sirida radial o‘tkazuvchi qismdan o‘zgarmas tok oqmoqda. Lorens kuchi qonuniga ko‘ra, $B$ magnit maydonida harakatlanayotgan zaryadga kuch ta’sir qiladi, bu kuch diskni chap qo‘l qoidasi bilan aniqlanadigan yo‘nalishda aylantiradi. Ishqalanish yoki Joul issiqligi kabi energiyaning dissipativ yo‘qolishiga olib keladigan ta’sirlar bo‘lmasa, disk shunday tezlikda aylanadiki, $d Φ / d t$ qiymati tokni hosil qiladigan kuchlanishga teng bo‘ladi.

Elektr transformatori

Faradey qonuni bashorat qiladigan EYK elektr transformatorlarining ishlashiga ham sabab bo‘ladi. Simli konturda elektr toki o‘zgarganda, o‘zgaruvchan tok o‘zgaruvchan magnit maydonni yaratadi. Bu maydon ta’sirida joylashgan ikkinchi o‘tkazgich magnit maydon o‘zgarishini o‘zi bilan bog‘langan $d Φ / d t$ magnit oqimining o‘zgarishi sifatida sezadi. Ikkinchi konturda yuzaga keladigan elektr yurituvchi kuch induksiyalangan EYK yoki transformator EYKsi deb ataladi. Agar ikkinchi konturning ikki uchi elektr yuklamasi orqali tutashtirilsa, undan tok oqadi.

Elektromagnit sarf o‘lchagichlar

Faradey qonuni elektr o‘tkazuvchi suyuqlik va suspenziyalarning sarfini o‘lchash uchun ishlatiladi. Bunday asboblar magnit sarf o‘lchagichlar deyiladi. Magnit maydonda hosil bo‘ladigan induksiyalangan ℇ kuchlanish $B$ ta’sirida $v$ tezlikda harakatlanuvchi o‘tkazuvchi suyuqlik tufayli yuzaga keladi va quyidagi formula orqali aniqlanadi:

ℰ = B ℓ v

,

bu yerda $ℓ$ — magnit sarf o‘lchagichdagi elektrodlar orasidagi masofa.

Parazit induksiya va issiqlik yo‘qotishlari

Statik magnit maydonga nisbatan harakatlanayotgan har qanday metall jismda induksion toklar paydo bo‘ladi; xuddi shuningdek, harakatlanuvchi magnit maydonga nisbatan harakatsiz bo‘lgan metall jismlarda ham shu hodisa yuz beradi. Transformator o‘zaklaridagi bunday energiya oqimlari nomaqbuldir: ular metall qatlamda tok oqishini va metallning qizishini keltirib chiqaradi.

Lens qoidasiga muvofiq, uyurma toklar o‘tkazgich ichida shunday yo‘llar va yo‘nalishlar bo‘ylab oqadiki, o‘z ta’siri bilan ularni yuzaga keltirgan sababga imkon qadar kuchli qarshilik ko‘rsatadi. Shu bois magnit maydonda harakatlanayotgan yaxshi o‘tkazgichlarga uyurma toklar bilan magnit maydonning o‘zaro ta’siri natijasida tormozlovchi kuch ta’sir qiladi. Bu hodisadan turli asboblarning harakatlanuvchi qismlari tebranishini so‘ndirish uchun foydalaniladi.

Ushbu nomaqbul induktiv ta’sirlarga qarshi kurashishning bir qancha usullari mavjud.

Elektr dvigatellar, generatorlar va transformatorlardagi elektromagnitlar yaxlit metalldan tayyorlanmaydi. Buning o‘rniga «laminatsiya plastinalari» deb ataladigan yupqa metall listlardan foydalaniladi. Quyida bayon etilganidek, bu yupqa plastinalar parazit uyurma toklarni kamaytiradi.
Elektronikadagi induktivlik g‘altaklarida odatda magnit o‘zaklar ishlatiladi. Parazit toklarni kamaytirish uchun o‘zaklar bog‘lovchi to‘ldirgich bilan aralashtirilgan metall kukunidan turli shakllarda tayyorlanadi. Bog‘lovchi modda tokning kukunsimon metall bo‘ylab o‘tishiga to‘sqinlik qiladi.

Elektromagnitni qatlamlarga ajratish

Yaxlit metall massa magnit maydonda aylanganda uyurma toklar yuzaga keladi, chunki metallning tashqi qismi ichki qismiga qaraganda ko‘proq magnit kuch chiziqlarini kesib o‘tadi. Natijada induksiyalangan elektr yurituvchi kuch bir tekis bo‘lmaydi va eng katta hamda eng kichik potensialli nuqtalar orasida tok hosil qilishga intiladi. Uyurma toklar sezilarli energiyani sarflaydi va ko‘pincha haroratning nomaqbul oshishiga sabab bo‘ladi.

Bu misolda uyurma toklarni bo‘lib yuborishni ko‘rsatish uchun atigi beshta laminatsiya qatlami yoki plastina tasvirlangan. Amalda bir dyuymga 40 dan 66 tagacha plastina yoki teshik to‘g‘ri keladi va bu uyurma toklar tufayli yuzaga keladigan yo‘qotishni taxminan bir foizgacha kamaytiradi. Plastinalar bir-biridan izolyatsiya bilan ajratilishi mumkin, ammo hosil bo‘ladigan kuchlanishlar juda kichik bo‘lgani sababli plastinalarning tabiiy zang yoki oksid qatlami ham ular orasida tok oqishining oldini olish uchun yetarlidir.

Bu diametri taxminan 20 mm bo‘lgan, kompakt disk pleyerlarida ishlatiladigan o‘zgarmas tok dvigatelining rotoridir. Parazit induktiv yo‘qotishlarni kamaytirish uchun elektromagnit qutbi qatlamlarga ajratilgan.

Induktivlik g‘altaklaridagi yo‘qotishlar

Ushbu rasmda aylanadigan yakordagi induktivlik g‘altagining yaxlit mis sterjeni magnitning N qutbi uchi ostidan o‘tadi. Sterjen orqali o‘tuvchi kuch chiziqlari notekis taqsimlangan. Magnit maydon mis sterjenning chap chetida (a, b) kuchliroq va zichroq, o‘ng chetida (c, d) esa kuchsizroq. Sterjenning ikkala cheti ham bir xil tezlikda harakatlanganidan, sterjen bo‘ylab maydon kuchlanganligining bu farqi mis sterjen ichida uyurma toklarni hosil qiladi.

Yuqori kuchlanishli qurilmalar odatda past kuchlanishli qurilmalarga qaraganda samaraliroq bo‘lishining sabablaridan biri ham shu. Yuqori kuchlanishli qurilmalarning dvigatellari, generatorlari va transformatorlarida simning ko‘plab kichik o‘ramlari bo‘ladi. Elektromagnitdagi ana shu ko‘p sonli kichik o‘ramlar uyurma toklarni bo‘lib yuboradi, past kuchlanishli qurilmalardagi yirik va yo‘g‘on induktivlik g‘altaklarida esa kattaroq uyurma toklar yuzaga keladi.

Adabiyotlar

Kalashnikov S. G. Elektr. — M.: Gostexteorizdat, 1956. — 664 bet.

ifazo.uz