Arximed qonuni

Videodars: Arximed qonuni

Buyuk olim Arximed nomi bilan atalgan qonun — gidrostatika va aerostatika: suyuqlik yoki gazga botirilgan jismga itarib chiqaruvchi kuch ta’sir qiladi; uning kattaligi jism siqib chiqargan hajmdagi suyuqlik yoki gazning og‘irligiga teng. Bu qonunni Arximed miloddan avvalgi III asrda kashf etgan. Itarib chiqaruvchi kuch Arximed kuchi yoki gidrostatik ko‘tarish kuchi deb ham ataladi (uni gaz yoki suyuqlik oqimi jism atrofidan oqib o‘tganda paydo bo‘ladigan aero- va gidrodinamik ko‘tarish kuchi bilan adashtirmaslik kerak).

Arximed kuchi og‘irlik kuchi tufayli yuzaga kelgani sababli, vaznsizlik holatida u ta’sir qilmaydi.

Arximed qonuniga ko‘ra, itarib chiqaruvchi kuch quyidagicha ifodalanadi:

F_{A} = ρ g V,

bu yerda:

$ρ$ — zichlik — suyuqlik yoki gazning zichligi, kg/m³;
$g$ — erkin tushish tezlanishi, m/s²;
$V$ — hajm — jismning suyuqlik yoki gazga botgan qismi hajmi, m³;
$F_{A}$ — Arximed kuchi, N.

Tavsif

Itarib chiqaruvchi yoki ko‘taruvchi kuchning yo‘nalishi og‘irlik kuchi yo‘nalishiga qarama-qarshi bo‘lib, u jism siqib chiqargan suyuqlik yoki gaz hajmining og‘irlik markaziga qo‘yilgan bo‘ladi.

Agar jism suzayotgan bo‘lsa (qarang: jismlarning suzishi) yoki yuqoriga yoxud pastga bir tekis harakat qilsa, itarib chiqaruvchi yoki ko‘taruvchi kuchning moduli jism siqib chiqargan hajmdagi suyuqlik yoki gazga ta’sir etuvchi og‘irlik kuchiga teng bo‘ladi.

Masalan, havo shari hajmi $V$ bo‘lib, geliy bilan to‘ldirilgan bo‘lsa, yuqoriga ko‘tariladi, chunki geliyning zichligi ( $ρ_{H e}$ ) havo zichligidan kichik ( $ρ_{a i r}$ ):

$F_{A} > F_{p};$
$ρ_{a i r} g V > ρ_{H e} g V .$

Arximed qonunini gidrostatik bosimlarning farqi orqali suyuqlik yoki gazga botirilgan to‘g‘ri burchakli jism misolida tushuntirish mumkin. Jismning simmetriyasi tufayli uning yon sirtlariga ta’sir etuvchi bosim kuchlari o‘zaro muvozanatlashadi. Jismning yuqori sirtiga ta’sir etuvchi bosim ( $P_{A}$ ) va bosim kuchi ( $F_{A}$ ) quyidagilarga teng:

P_{A} = ρ g h_{A};

F_{A} = ρ g h_{A} S,

bu yerda:

$P_{A}$ — suyuqlik yoki gazning jism yuqori sirtiga ko‘rsatadigan bosimi, Pa;
$F_{A}$ — jismning yuqori sirtiga ta’sir etuvchi va pastga yo‘nalgan bosim kuchi, N;
$ρ$ — zichlik — suyuqlik yoki gazning zichligi, kg/m³;
$h_{A}$ — suyuqlik yoki gaz sathi bilan jismning yuqori sirti orasidagi masofa, m;
$S$ — jismning gorizontal ko‘ndalang kesimi yuzi, m².

Bosim ( $P_{B}$ ) va bosim kuchi ( $F_{B}$ ) jismning pastki sirtiga ta’sir etganda quyidagilarga teng:

P_{B} = ρ g h_{B};

F_{B} = ρ g h_{B} S,

bu yerda:

$P_{B}$ — suyuqlik yoki gazning jism pastki sirtiga ko‘rsatadigan bosimi, Pa;
$F_{B}$ — jismning pastki sirtiga ta’sir etuvchi va yuqoriga yo‘nalgan bosim kuchi, N;
$h_{B}$ — suyuqlik yoki gaz sathi bilan jismning pastki sirti orasidagi masofa, m.

Jismga ta’sir qiluvchi natijaviy bosim kuchi quyidagi ikki kuchning ayirmasi orqali aniqlanadi — $F_{B}$ va $F_{A}$ :

F_{B} - F_{A} = ρ g h_{B} S - ρ g h_{A} S = ρ g (h_{B} - h_{A}) S = ρ g h S = ρ g V,

bu yerda:

$h = h_{B} - h_{A}$ — jismning yuqori va pastki sirtlari orasidagi masofa (jism qisman botgan bo‘lsa, uning suyuqlik yoki gazga botgan qismining balandligi), m;
$V$ — jismning suyuqlik yoki gazga botgan hajmi (jism qisman botgan bo‘lsa, faqat botgan qismining hajmi), m³.

Bosimlar farqi:

P_{B} - P_{A} = ρ g h_{B} - ρ g h_{A} = ρ g h .

Gravitatsion maydon bo‘lmaganda, ya’ni vaznsizlik holatida Arximed qonuni amal qilmaydi. Kosmonavtlar bu hodisani yaxshi bilishadi. Xususan, vaznsizlikda (tabiiy) konveksiya hodisasi kuzatilmaydi. Shu sababli, masalan, kosmik kemalarning yashash bo‘linmalarida havoni sovitish va shamollatish uchun majburiy ravishda ventilyatorlardan foydalaniladi.

Umumlashtirishlar

Arximed qonuniga o‘xshash qoida jism va suyuqlik (gaz)ga turlicha ta’sir qiladigan har qanday kuch maydonida yoki bir jinsli bo‘lmagan maydonda ham amal qiladi. Masalan, bu inersiya kuchlari maydoniga (jumladan, markazdan qochma kuch maydoniga) ham taalluqlidir. Aynan shu hodisaga sentrifugalash asoslanadi. Mexanik bo‘lmagan maydonga misol: diamagnit vakuumda magnit maydonining induksiyasi yuqoriroq bo‘lgan sohasidan pastroq bo‘lgan sohasiga siqib chiqariladi.

Ixtiyoriy shakldagi jism uchun Arximed qonunini keltirib chiqarish

Fikriy tajriba orqali keltirib chiqarish

Suyuqlikka botirilgan jismni xayolan ayni suyuqlikning o‘zi bilan almashtiraylik. Xuddi shu hajmni egallagan suvning xayolan ajratilgan qismi muvozanatda turadi va atrofidagi suvga o‘ziga ta’sir etayotgan og‘irlik kuchiga teng kuch bilan ta’sir ko‘rsatadi. Suv zarrachalari bir-biri bilan aralashmayotgani sababli, atrofdagi suv ham ajratilgan hajmga moduli shunday, ammo yo‘nalishi qarama-qarshi bo‘lgan kuch bilan ta’sir qilishini aytish mumkin. Bu kuchning kattaligi $m g = ρ g V$ .

Kuchni hisoblash

Jismga ta’sir etuvchi gidrostatik bosim $p$ , uning suyuqlikdagi chuqurligi $h$ , suyuqlikning zichligi $ρ$ bo‘lsa, quyidagicha hisoblanadi: $p = ρ g h$ . Faraz qilaylik, suyuqlikning zichligi ( $ρ$ ) va gravitatsion maydon kuchlanganligi ( $g$ ) o‘zgarmas kattaliklar bo‘lsin, $h$ esa parametr bo‘lsin. Hajmi noldan katta bo‘lgan ixtiyoriy shakldagi jismni olaylik. O‘ng yo‘nalishli ortonormal koordinatalar sistemasini $O x y z$ kiritamiz va z o‘qining yo‘nalishini $\vec{g}$ vektor yo‘nalishiga mos tanlaymiz. z o‘qidagi nol nuqtani suyuqlik sathida joylashtiramiz. Jism sirtidan elementar yuzachani $d S$ ajratamiz. Unga jism ichkarisiga yo‘nalgan suyuqlik bosim kuchi ta’sir etadi, $d {\vec{F}}_{A} = - p d \vec{S}$ . Jismga ta’sir etuvchi umumiy kuchni topish uchun sirt bo‘yicha integral olamiz:

{\vec{F}}_{A} = - \int_{S} p d \vec{S} = - \int_{S} ρ g h d \vec{S} = - ρ g \int_{S} h d \vec{S} =^{*} - ρ g \int_{V} grad (h) d V =^{* *} - ρ g \int_{V} {\vec{e}}_{z} d V = - ρ g {\vec{e}}_{z} \int_{V} d V = (ρ g V) (- {\vec{e}}_{z}) .

Sirt bo‘yicha integraldan hajm bo‘yicha integralga o‘tishda umumlashtirilgan Ostrogradskiy–Gauss teoremasidan foydalanamiz.

^{*} h (x, y, z) = z;

^{* *} grad h = \nabla h = {\vec{e}}_{z} .

Natijada Arximed kuchining moduli $ρ g V$ ga teng bo‘lishi va Arximed kuchi gravitatsion maydon kuchlanganligi vektoriga qarama-qarshi yo‘nalishi kelib chiqadi.

Energiyaning saqlanish qonuni orqali keltirib chiqarish

Arximed qonunini energiyaning saqlanish qonunidan ham keltirib chiqarish mumkin. Botirilgan jismning suyuqlikka ko‘rsatadigan kuchi bajargan ish suyuqlikning potensial energiyasini o‘zgartiradi:

A = - F * (h_{1} - h_{2}) = - Δ E_{p} = - m_{ж} g Δ h,

bu yerda $m_{ж}$ — siqib chiqarilgan suyuqlik qismining massasi, $Δ h$ — uning massa markazining siljishi. Bundan itarib chiqaruvchi kuchning moduli:

F = m_{ж} g .

Nyutonning uchinchi qonuniga ko‘ra, bu kuchning moduli suyuqlik tomonidan jismga ta’sir etuvchi Arximed kuchining moduliga teng, yo‘nalishi esa qarama-qarshi. Siqib chiqarilgan suyuqlik hajmi jismning botgan qismi hajmiga teng. Shuning uchun siqib chiqarilgan suyuqlik massasini quyidagicha yozish mumkin:

m_{ж} = ρ_{ж} V_{т},

bu yerda

V_{т}

— jismning suyuqlikka botgan qismi hajmi.

Shunday qilib, Arximed kuchi uchun quyidagini olamiz:

F_{A} = F = m_{ж} g = ρ_{ж} g V_{т} .

Jismlarning suzish sharti

Suyuqlik yoki gaz ichidagi jismning harakati va holati unga ta’sir etuvchi og‘irlik kuchining $F_{T}$ va Arximed kuchining $F_{A}$ modullari orasidagi nisbatga bog‘liq. Quyidagi uch holat bo‘lishi mumkin:

$F_{T} > F_{A}$ — jism cho‘kadi;
$F_{T} = F_{A}$ — jism suyuqlik yoki gazda muallaq suzib turadi;
$F_{T} < F_{A}$ — jism suzib tura boshlaguniga qadar yuqoriga ko‘tariladi.

Boshqacha ifodalash mumkin (bu yerda $ρ_{t}$ — jismning zichligi, $ρ_{s}$ — jism botirilgan muhitning zichligi):

$ρ_{t} > ρ_{s}$ — jism cho‘kadi;
$ρ_{t} = ρ_{s}$ — jism suyuqlik yoki gazda muallaq suzib turadi;
$ρ_{t} < ρ_{s}$ — jism suzib tura boshlaguniga qadar yuqoriga ko‘tariladi.

Havolalar

Arximed qonuni // Brokgaus va Yefron ensiklopedik lug‘ati : 86 jild (82 jild va 4 qo‘shimcha jild). — Sankt-Peterburg, 1890—1907.
Arximed qonuni // «Ensiklopediya Krugosvet».