Gravitatsion maydon

Gravitatsion maydon, yoki tortishish maydoni, — fundamental fizik maydon, u orqali gravitatsion o‘zaro ta’sir barcha moddiy jismlar o‘rtasida sodir bo‘ladi. U massaga ega jismlar tomonidan hosil qilinadi. Miqdor jihatdan koordinatalarga bog‘liq kuchlanganligi $\mathbf {g} (\mathbf {r} )$ (o‘lchov birligi N/kg, ya’ni m/s²) yoki potensiali $\varphi (\mathbf {r} )$ (J/kg, ya’ni m²/s²).

Klassik fizikada gravitatsion maydon

Nyutonning butun olam tortishish qonuni

Klassik fizika gravitatsion o‘zaro ta’sirni Nyutonning «butun olam tortishish qonuni» orqali tavsiflaydi. Bu qonunga ko‘ra, ikki moddiy nuqtaning massalari $m_{1}$ va $m_{2}$ bo‘lsa, ular orasidagi gravitatsion tortishish kuchi ikkala massaga to‘g‘ri, ular orasidagi masofaning kvadratiga esa teskari proporsional bo‘ladi:

F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}.

Bu yerda $G$ — gravitatsiya doimiysi, uning taxminiy qiymati $6{,}673\cdot 10^{-11}$ m³/(kg s²), $r$ — nuqtalar orasidagi masofa.

Harakat dinamikasiga oid masala, tortishuvchi massalarni moddiy nuqtalar deb hisoblash mumkin bo‘lmagan umumiy holatda, ikki bosqichda yechiladi: avval bu massalar hosil qiladigan gravitatsion maydon hisoblanadi, keyin esa maydonning o‘rganilayotgan tizimdagi massali jismlarga ta’siri aniqlanadi.

Gravitatsion potensialni hisoblash

Gravitatsion maydon potensial maydon hisoblanadi. Uning potensiali $\varphi (\mathbf {r} )$ Puasson tenglamasini qanoatlantiradi:

\Delta \varphi (\mathbf {r} )=-4\pi G\rho (\mathbf {r} )

,

bu yerda $\Delta$ — Laplas operatori. Ushbu tenglamaning yechimi quyidagicha:

\varphi (\mathbf {r} )=-G\int _{V^{\prime }}{\frac {\rho (\mathbf {r} ^{\prime })dV^{\prime }}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }|}}

.

Bu yerda $\mathbf {r}$ — potensial aniqlanayotgan nuqtaning radius-vektori, $\mathbf {r} ^{\prime }$ — hajm elementi $dV^{\prime }$ ning radius-vektori; moddaning zichligi esa $\rho (\mathbf {r} ^{\prime })$ , integrallash esa shu kabi barcha elementlarni qamrab oladi. Cheksizlikda $\varphi =0$ .

Koordinatalar boshida joylashgan nuqtaviy massa hosil qiladigan maydonning xususiy holida, ushbu massa $M$ bo‘lsa, potensial quyidagiga teng bo‘ladi:

\varphi (\mathbf {r} )=-G{\frac {M}{r}}

.

Xuddi shu ifoda massasi sferik simmetrik taqsimlangan va umumiy massasi $M$ bo‘lgan jismning tashqarisidagi potensialni ham tavsiflaydi.

Ixtiyoriy shakldagi jism uchun undan katta masofalarda potensialning yetarlicha aniq yaqinlashuvini quyidagi formula beradi:

\varphi (\mathbf {r} )=-G\left({\frac {M}{r}}+{\frac {A+B+C-3I}{2r^{3}}}\right),

bu yerda koordinatalar boshi sifatida jismning massa markazi olingan, $A,B,C$ — bosh inersiya momentlari esa jismga tegishli, $I$ — inersiya momenti bo‘lib, u $\mathbf {r}$ o‘qiga nisbatan hisoblanadi. Ushbu formula yassilangan sferoidlar shaklidagi, massasi konsentrik qatlamlarda bir tekis taqsimlangan aylanma astronomik jismlar uchun biroz soddalashadi. Bunday jismlarda $A=B$ va $I=A+(C-A)\sin ^{2}\alpha ,$ , bu yerda $\alpha$ — $\mathbf {r}$ bilan $A$ va $B$ bosh o‘qlari tekisligi orasidagi burchak. Natijada

\varphi (\mathbf {r} )=-G\left({\frac {M}{r}}+{\frac {C-A}{2r^{3}}}(1-3\sin ^{2}\alpha )\right).

Gravitatsion maydondagi harakat

Agar maydon potensiali ma’lum bo‘lsa, gravitatsion maydonda massasi $m$ bo‘lgan moddiy nuqtaga ta’sir etuvchi tortishish kuchi quyidagi formula bilan topiladi:

\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-m\nabla \varphi (\mathbf {r} )=-Gm\int _{V^{\prime }}{\frac {\rho (\mathbf {r} ^{\prime })(\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime })dV^{\prime }}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }|^{3}}}

.

Koordinatalar boshida joylashgan $M$ nuqtaviy massa maydonining xususiy holida ( $\mathbf {r} ^{\prime }=\mathbf {0}$ ), ta’sir etuvchi kuch quyidagicha bo‘ladi:

\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-G\,{\frac {mM}{r^{3}}}\,\mathbf {r}

.

Massasi o‘zidan ancha katta bo‘lgan moddiy nuqta hosil qiladigan gravitatsion maydondagi moddiy nuqtaning harakat trayektoriyasi Kepler qonunlariga bo‘ysunadi. Xususan, Quyosh tizimidagi sayyoralar va kometalar ellipslar yoki giperbolalar bo‘ylab harakatlanadi. Boshqa sayyoralar ta’siri tufayli yuzaga keladigan og‘ishlarni hisobga olish uchun quyidagi nazariyadan foydalaniladi: g‘alayonlar nazariyasi.

Agar o‘rganilayotgan jismni moddiy nuqta deb hisoblash mumkin bo‘lmasa, uning gravitatsion maydondagi harakati massa markazidan o‘tuvchi o‘q atrofida aylanishni ham o‘z ichiga oladi. Bunda hisoblash uchun asos qilib olinadigan nuqta — massa markazi:

{\frac {d\mathbf {H} }{dt}}=\mathbf {K} .

Bu yerda: $\mathbf {H}$ — impuls momenti massa markaziga nisbatan, $\mathbf {K}$ — ta’sir etuvchi kuchlar momentlarining massa markaziga nisbatan teng ta’sir etuvchisi. O‘rganilayotgan jism massasi maydon manbai massasiga yaqin bo‘lgan umumiyroq holat ikki jism masalasi deb ataladi va u ikkita mustaqil harakat tizimiga keltiriladi. Ikkitadan ortiq jism harakatini o‘rganish («uch jism masalasi») esa faqat ayrim maxsus holatlardagina yechilishi mumkin.

Nyutonning tortishish modelidagi kamchiliklar

Amaliyot klassik butun olam tortishish qonuni osmon jismlarining harakatini nihoyatda yuqori aniqlikda tushuntirish va oldindan aytish imkonini berishini ko‘rsatdi. Biroq Nyuton nazariyasida bir qator jiddiy kamchiliklar mavjud edi. Ularning eng asosiysi — izohlab bo‘lmaydigan uzoqdan bevosita ta’sir hodisasi edi: tortishish kuchi mutlaqo bo‘sh fazo orqali qanday uzatilishi noma’lum bo‘lib, u cheksiz katta tezlikda tarqaladi deb qaralgan. Aslida, Nyuton modeli hech qanday fizik mazmunga ega bo‘lmagan, faqat matematik model edi. Bundan tashqari, agar Koinot, o‘sha davrda taxmin qilinganidek, Yevklid geometriyasiga mos va cheksiz bo‘lsa, undagi moddaning o‘rtacha zichligi ham noldan farq qilsa, gravitatsion paradoks yuzaga keladi: maydon potensiali hamma joyda cheksizlikka intiladi. XIX asr oxirida yana bir muammo aniqlandi: nazariy va kuzatilgan siljish ning perigeliyga oid qiymatlari Merkuriyda sezilarli darajada farq qildi.

Nyutondan keyingi ikki yuz yildan ortiq vaqt davomida fiziklar uning tortishish nazariyasini takomillashtirishning turli yo‘llarini taklif etdilar. Bu urinishlar 1915-yilda — umumiy nisbiylik nazariyasi Eynshteyn tomonidan yaratilgach — muvaffaqiyat bilan yakunlandi. Bu nazariyada yuqorida sanab o‘tilgan barcha qiyinchiliklar bartaraf etildi. Nyuton nazariyasi esa quyidagi ikki shart bajarilganda qo‘llanadigan umumiyroq nazariyaning yaqinlashuvi bo‘lib chiqdi:

Gravitatsion potensial o‘rganilayotgan tizimda uncha katta emas (ya’ni $c^{2}$ dan ancha kichik). Quyosh tizimida osmon jismlarining aksariyat harakatlari uchun bu shart bajariladi deb hisoblash mumkin — hatto Quyosh sirtida ham $|\varphi |/c^{2}$ nisbati bor-yo‘g‘i $2{,}12\cdot 10^{-6}$ ga teng. Sezilarli relyativistik ta’sir faqat yuqorida aytilgan perigeliy siljishidir.
Ushbu tizimdagi jismlarning harakat tezliklari yorug‘lik tezligidan ancha kichik.

Umumiy nisbiylik nazariyasida gravitatsion maydon

Umumiy nisbiylik nazariyasida (UNN) gravitatsion maydon alohida fizik tushuncha emas, balki materiya mavjudligida yuzaga keladigan fazo-vaqt xossasidir. Bu xossa fazo-vaqt metrikasining (geometriyasining) noyevklidligidir; tortishishning moddiy tashuvchisi esa fazo-vaqtning o‘zidir. Gravitatsiyani boshqa qo‘shimcha tushunchalarni kiritmasdan, to‘rt o‘lchamli noyevklid fazosi geometriyasi xossalarining namoyon bo‘lishi sifatida qarash mumkinligi tortishish maydonida barcha jismlarning bir xil tezlanishga ega bo‘lishi («ekvivalentlik prinsipi» — Eynshteyn prinsipi) bilan izohlanadi. Bunday yondashuvda fazo-vaqt fizik jismlarga ta’sir qiladigan va ayni vaqtda o‘sha jismlarga bog‘liq bo‘lgan fizik xossalarga ega bo‘ladi.

UNNda fazo-vaqt o‘zgaruvchan metrikaga ega psevdo-Riman ko‘pxilligi hisoblanadi. Fazo-vaqt egrilanishining sababi materiyaning mavjudligidir; uning energiyasi qanchalik katta bo‘lsa, egrilanish ham shunchalik kuchli bo‘ladi. UNNda Kristoffel simvollari gravitatsion kuch maydoni rolini, metrik tenzor esa gravitatsion potensial rolini bajaradi. Materiyaning taqsimoti ma’lum bo‘lganda fazo-vaqt metrikasini aniqlash uchun Eynshteyn tenglamalarini yechish kerak. Nyutonning tortishish nazariyasi esa UNNning faqat «vaqt egrilanishi», ya’ni metrikaning vaqt komponenti $g_{00}$ o‘zgarishini hisobga olish orqali olinadigan yaqinlashuvidir (bu yaqinlashuvda fazo Yevklid geometriyasiga mos keladi). Gravitatsion g‘alayonlar, ya’ni tortishuvchi massalar harakat qilganda metrikadagi o‘zgarishlar chekli tezlikda tarqaladi va shu sababli uzoqdan bevosita ta’sir UNNda mavjud emas.

UNN gravitatsion maydonining Nyuton modelidan boshqa muhim farqlari: fazoning murakkab topologiyasi, singulyar nuqtalar, gravitatsion to‘lqinlar.

Adabiyotlar

Duboshin G. N. . Osmon mexanikasi. Asosiy masalalar va usullar. — M.: Nauka, 1968. — 800 b.
Ivanenko D. D., Sardanashvili G. A. . Gravitatsiya. — 3-nashr. — M.: URSS, 2008. — 200 b.
Menzel D. (tahrir). Fizikaning asosiy formulalari. 29-bob. Osmon mexanikasi. — M.: Chet el adabiyoti nashriyoti, 1957. — 658 b.
Mizner Ch., Torn K., Uiler J. Gravitatsiya. — M.: Mir, 1977.

Havolalar

Tyulina I. A. Nyuton mexanikasining asoslari haqida (Nyutonning «Asoslar» asari uch yuz yilligi munosabati bilan) // Tabiiy fanlar tarixi va metodologiyasi. — M.: MDU, 1989. — 36-son. — 184—196-betlar..