Daniel Bernulli tomonidan shakllantirilgan Bernulli prinsipi shuni ta’kidlaydiki, harakatlanayotgan suyuqlikning (suyuqlik yoki gaz) tezligi ortgani sari, uning ichidagi bosim kamayadi. Qonunni Bernulli aniqlagan bo‘lsa-da, Bernulli tenglamasini odatda qo‘llanadigan ko‘rinishda 1752-yilda Leonard Eyler keltirib chiqargan.

Bernulli prinsipi nima?

Bernulli prinsipi shuni aytadiki:

Harakatlanayotgan suyuqlikning umumiy mexanik energiyasi, ya’ni balandlikka bog‘liq gravitatsion potensial energiya, suyuqlik bosimi bilan bog‘liq energiya va suyuqlik harakatining kinetik energiyasi o‘zgarmas bo‘lib qoladi.

Bernulli prinsipini energiya saqlanish prinsipidan keltirib chiqarish mumkin.

Bernulli prinsipi formulasi

Bernulli tenglamasi formulasi idish ichidagi suyuqlik uchun bosim, kinetik energiya va gravitatsion potensial energiya orasidagi bog‘lanishni ifodalaydi.

Bernulli prinsipi formulasi quyidagicha beriladi:

Bu yerda p — suyuqlik hosil qiladigan bosim, v — suyuqlik tezligi, ρ — suyuqlik zichligi, h esa idishning balandligi.

Bernulli tenglamasi bosim, tezlik va balandlik o‘rtasidagi muvozanatni chuqur tushunishga yordam beradi.

Bernulli tenglamasining keltirib chiqarilishi

Diametri va balandligi o‘zgarib turadigan quvurni qaraylik, unda siqilmaydigan suyuqlik oqmoqda. Ko‘ndalang kesim yuzalari A, oqim tezligi v, yerdan balandlik y va 1 hamda 2 nuqtalardagi bosim p o‘rtasidagi bog‘lanish quyidagi rasmda ko‘rsatilgan.

 

To‘g‘ri javobni tanlang va “Tugatish” tugmasini bosing. Test oxirida ballingiz va izohlarni tekshiring

Farazlar:

• Siqilmaydigan suyuqlikning zichligi har ikkala nuqtada ham o‘zgarmas qoladi.
• Suyuqlikda yopishqoqlik kuchlari yo‘q deb qaralganligi sababli, suyuqlik energiyasi saqlanadi.

Shuning uchun suyuqlik ustida bajarilgan ish quyidagicha bo‘ladi:

dW = F₁dx₁ – F₂dx₂

dW = p₁A₁dx₁ – p₂A₂dx₂

dW = p₁dv – p₂dv = (p₁ – p₂)dv

Ma’lumki, suyuqlik ustida bajarilgan ish gravitatsion potensial energiya o‘zgarishi va kinetik energiya o‘zgarishining saqlanishi bilan bog‘liq. Suyuqlikning kinetik energiyasi o‘zgarishi quyidagicha beriladi:

Potensial energiyaning o‘zgarishi quyidagicha beriladi:

dU = m₂gy₂ – m₁gy₁ = ρdvg(y₂ – y₁)

Shunday qilib, energiya tenglamasi quyidagicha yoziladi:

dW = dK + dU

Yuqoridagi tenglamani qayta tartiblasak, quyidagini hosil qilamiz:

Uzluksizlik prinsipi

Uzluksizlik prinsipiga ko‘ra:

Agar suyuqlik oqimi oqim chiziqlari bo‘ylab (streamline flow) harakat qilsa va siqilmaydigan bo‘lsa, unda turli ko‘ndalang kesimlardan o‘tadigan suyuqlik massasi bir xil bo‘ladi.

Yuqoridagi holatdan shuni aytish mumkinki, idish ichidagi suyuqlik massasi o‘zgarmay qoladi.

Kirayotgan massa miqdori tezligi = chiqayotgan massa miqdori tezligi

Kirayotgan massa miqdori tezligi = ρA₁V₁Δt—– (1)

Chiqayotgan massa miqdori tezligi = ρA₂V₂Δt—– (2)

Yuqoridagi tenglamalardan foydalanib,

ρA₁V₁=ρA₂V₂

Bu tenglama uzluksizlik prinsipi deb ataladi.
Endi quyidagi qurilma uchun oqib chiqish tezligini hisoblash kerak deb faraz qilaylik.

1-nuqta va 2-nuqtada Bernulli tenglamasidan foydalanib,

Odatda, A₂ A₁ ga nisbatan ancha kichik bo‘ladi; bu holda v₁² qiymati v₂² ga nisbatan juda kichik bo‘ladi va e’tiborga olinmasligi mumkin. Shunda biz quyidagini topamiz:

Agar A₂<<A₁ deb olsak,

unda quyidagini hosil qilamiz,

Demak, oqib chiqish tezligi quyidagiga teng bo‘ladi:

Bernulli prinsipi va tenglamasining qo‘llanilishi

Bernulli prinsipi okean sirtidagi to‘lqinlar nazariyasi va akustikada qo‘llanadigan noturg‘un potensial oqimni o‘rganishda ishlatiladi. Shuningdek, u bosim va suyuqlik tezligi kabi parametrlarni taxminiy aniqlashda ham qo‘llanadi.

Bernulli prinsipining boshqa qo‘llanishlari quyidagilardan iborat:

• Venturi o‘lchagichi (Venturi meter): Bu Bernulli teoremasiga asoslangan qurilma bo‘lib, quvurlar orqali o‘tayotgan suyuqlik sarf tezligini o‘lchash uchun ishlatiladi. Bernulli teoremasidan foydalanib, Venturi o‘lchagichi formulasi quyidagicha beriladi:

• Samolyotning ishlashi: Qanotlarning shakli shundayki, havo qanotning yuqori sirtidan pastki sirtiga qaraganda tezroq oqib o‘tadi. Havo tezliklari orasidagi farq Bernulli prinsipi yordamida hisoblanadi va bu bosim farqini hosil qiladi.
• Temiryo‘l vokzalida turganimizda yonimizdan poyezd o‘tib ketsa, ko‘pincha poyezd tomonga tortilgandek bo‘lamiz. Buni Bernulli prinsipi bilan tushuntirish mumkin: poyezd o‘tib ketayotganda poyezd bilan biz orasidagi havo tezligi ortadi. Demak, tenglamaga ko‘ra bosim kamayadi. Natijada orqa tomondan ta’sir qilayotgan yuqori bosim bizni poyezd tomon itaradi. Bu Bernulli effektiga asoslanadi.

Energiya saqlanish qonuni va Bernulli tenglamasi o‘rtasidagi bog‘liqlik

Bernulli tenglamasini hosil qilish uchun energiya saqlanish qonuni suyuqlik oqimiga tatbiq etiladi. Bajarilgan sof ish suyuqlikning kinetik energiyasi va gravitatsion potensial energiyasidagi o‘zgarish natijasida yuzaga keladi. Bernulli tenglamasi ishtirok etayotgan energiya turiga qarab o‘zgartirilishi mumkin. Energiya turlarining boshqa shakllariga suyuqlik yopishqoqligi sababli issiqlik energiyasining sochilishi ham kiradi.

Doimiy chuqurlikdagi Bernulli tenglamasi

Suyuqlik doimiy chuqurlikda harakat qilganda, ya’ni h₁ = h₂ bo‘lsa, Bernulli tenglamasi quyidagicha yoziladi:

Tinch holatdagi suyuqliklar uchun Bernulli tenglamasi

Agar suyuqlik tinch holatda bo‘lsa, u holda v₁ = v₂ = 0 bo‘ladi, demak, Bernulli tenglamasi quyidagicha yoziladi:

v1 = v2 = 0 bo‘lganda	P1 + ρgh1 = P2 + ρgh2
h2 = 0 bo‘lganda	P2 = P1 + ρgh1

Bernulli prinsipiga misol

S1. Absolyut bosimi 1.01 x 10⁵ N.m^-2 bo‘lgan shlangdagi bosimni hisoblang, agar shlang ichidagi suv tezligi 1.96 m.s^-1 dan 25.5 m.s^-1 gacha oshsa. Oqim ishqalanishsiz deb oling va zichlik 10³ kg.m^-3 ga teng deb hisoblang.

Javob: Berilgan:

2-nuqtadagi bosim, p₂ = 1.01 × 10⁵ N.m^-2 

Suyuqlik zichligi, ρ = 10³ kg.m^-3

1-nuqtadagi suyuqlik tezligi, v₁ = 1.96 m.s^-1

2-nuqtadagi suyuqlik tezligi, v₂ = 25.5 m.s^-1

Bernulli prinsipiga ko‘ra p₁ uchun,

Yuqoridagi tenglamaga qiymatlarni qo‘ysak, quyidagini olamiz:

p₁ = 4.24 × 10⁵ N.m^-2

Beysbol to‘pining egri trayektoriyasi

Hech beysbol to‘pini uloqtiruvchi o‘yinchining egri to‘p (curveball) tashlaganini ko‘rganmisiz? Beysbol to‘pi zarba zonasidan o‘tayotganda egri trayektoriya bo‘ylab harakat qilsa, ko‘p hollarda hujumchi to‘pning yo‘lini to‘g‘ri baholay olmaydi va to‘pni ura olmay qoladi. Curveball hodisasining muhim jihatlaridan biri odatda suyuqlik oqimini tasvirlash uchun ishlatiladigan formula bilan tushuntiriladi. Bernulli tenglamasi beysbol to‘pining egri uchishi (curveball)ning asosiy jihatini tushuntirish uchun ishlatilishi mumkin. Odatda Bernulli tenglamasi bosim, balandlik va tezlikka ishora qiladi (“havo” bu yerda suyuqlik hisoblanadi). Suyuqlikning (havoning) istalgan nuqtasida K (o‘zgarmas miqdor) qolgan uchta qiymatning — balandlik, bosim va tezlikning — umumiy yig‘indisiga teng bo‘ladi.

Aeroprofil va Bernulli prinsipi

Odatdagi aeroprofil ustki qismidan o‘tayotgan havo qanot atrofiga nisbatan siqilgan oqim chiziqlari va yuqoriroq havo tezligiga duch keladi. Bu ustki qismda bosimning kamayishiga olib keladi (Bernulli tenglamasiga ko‘ra) va ko‘taruvchi kuchni hosil qiladi. Aerodinamika mutaxassislari shamol tunnellarida bajarilgan bosim hisoblarini tushuntirishda Bernulli konsepsiyasidan foydalanadilar. Ular aeroprofil atrofidagi bir nechta nuqtalarda bosim hisoblanib, keyin yig‘ilganda, u kuzatiladigan ko‘taruvchi kuchga mos kelishini ko‘rsatadilar.

Ko‘p beriladigan savollar – FAQ

S1

Bernulli nima bilan mashhur?

Daniel Bernulli suyuqlik tezligi uning bosimiga qanday ta’sir qilishini tushuntirib bergan, bu Bernulli effekti deb ataladi. Shuningdek, u gazlarning kinetik nazariyasini ham izohlab bergan. Shu ikki yo‘nalish uning ilm-fanga qo‘shgan eng katta hissasi bo‘lib, aynan ular uni mashhur qilgan.

Bernulli effektiga ko‘ra, u shuni tushuntirishga harakat qilgan: suyuqlik tezligi oshadigan hudud orqali oqib o‘tsa, bosim kamayadi. Bernulli effekti kundalik hayotda ko‘plab qo‘llanadi, masalan, samolyot qanotlari samolyotga ko‘taruvchi kuch berishda shu prinsipga asoslanadi.

S2

Bernulli tenglamasi nimani anglatadi?

Bernulli tenglamasi oqayotgan suyuqliklar uchun energiya saqlanish qonunining ifodasi deb qaraladi. U yuqori tezlikli sohalarda bosimning kamayishini tushuntiradigan sifat jihatidan xatti-harakatni ifodalaydi. Bu Bernulli effekti deb ataladi.

S3

Bernulli tenglamasidagi napor yo‘qotilishi (head loss) nima?

Bernulli tenglamasidagi napor yo‘qotilishi gidravlik tizim bo‘ylab oqayotgan suyuqlikning umumiy bosimi kamayishini bildiradi. Bu umumiy bosim tezlik napori, bosim napori va balandlik naporining yig‘indisidan iborat bo‘ladi.

S4

Napor yo‘qotilishi tenglamasi nima?

Quyidagi tenglama napor yo‘qotilishining matematik ifodasidir:
h_L = f L/D × v²/2g
h_L = fLv₂ / 2Dg
Bu yerda,

• h_L — napor yo‘qotilishi
• f — Darsi ishqalanish koeffitsiyenti
• L — quvur uzunligi
• D — quvurning ichki diametri
• v — suyuqlik tezligi
• g — gravitatsion doimiy

S5

Nasosning maksimal so‘rish balandligi qancha?

Nasosning maksimal so‘rish balandligi taxminan 15 futga teng.