Kvant mexanikasi nima

Kvant (to‘lqin) mexanikasi — fundamental fizik nazariyabo‘lib, u tabiatni juda kichik — atomlar va subatom zarralarmiqyosida tavsiflaydi. U butun kvant fizikasiningasosini tashkil etadi, shu jumladan, kvant kimyosi, kvant maydon nazariyasi, kvant texnologiyasi va kvant informatikasining rivojlanishiga asos bo‘ladi.

Klassik fizika— kvant mexanikasi paydo bo‘lishidan oldingi nazariyalar majmuasi bo‘lib, tabiatning odatiy miqyosdagi ko‘plab jihatlarini tavsiflaydi, ammo kichik (atom va subatom) miqyosdagi hodisalarni miqdoriy jihatdan tavsiflash uchun yetarli emas. Klassik fizikaning aksariyat nazariyalarini kvant mexanikasidan katta (makroskopik) miqyoslarda o‘rinli bo‘lgan yaqinlashuvlar sifatida keltirib chiqarish mumkin.

Kvant mexanikasi klassik fizikadan shunisi bilan farq qiladiki, energiya, impuls, impuls momenti va tizimning bog‘langan holatidagi boshqa kattaliklari ixtiyoriy qiymatlarni qabul qilmaydi, balki diskret qiymatlar (kvantlanish) bilan cheklanadi; obyektlar ham zarrachaham to‘lqin (korpuskulyar-to‘lqin dualizmi)xususiyatlariga ega bo‘ladi va boshlang‘ich shartlarning to‘liq to‘plami berilganida ham fizik kattalikning qiymatini o‘lchashdan oldin aniq bashorat qilish imkoniyati cheklangan (noaniqlik prinsipi).

Kvant mexanikasi asta-sekin shakllandi ; bunga klassik fizika tushunchalari bilan izohlab bo‘lmaydigan kuzatuvlarni tushuntirgan nazariyalar, jumladan, Maks Plankning 1900-yilda mutlaq qora jism nurlanishi^[ingl.]^* muammosini hal qilishi hamda yorug‘lik kvantining energiyasi bilan chastotasi orasidagi bog‘liqlikni ko‘rsatgan Albert Eynshteynning maqolasi 1905-yildagibo‘lib, u fotoeffektnitushuntirgan. Mikroskopik hodisalarni anglash yo‘lidagi ushbu dastlabki urinishlar hozir «eski kvant nazariyasi» deb ataladi va ular 1920-yillarning o‘rtalarida Nils Bor, Ervin Shryodinger, Verner Geyzenberg, Maks Born va boshqalarningishlari natijasida kvant mexanikasining jadal rivojlanishiga olib keldi. Zamonaviy nazariya turli maxsus ishlab chiqilgan matematik formalizmlaryordamida ifodalanadi. Ulardan birida to‘lqin funksiyasideb ataladigan matematik obyekt ehtimollik amplitudalari ko‘rinishida zarrachaning energiyasi, impulsi va boshqa fizik xossalarini o‘lchash qanday natijalarga olib kelishi haqida ma’lumot beradi.

Umumiy ko‘rinish va asosiy tushunchalar

Kvant mexanikasi fizik tizimlarning xossalari va xatti-harakatini hisoblash imkonini beradi. Odatda u molekulalar, atomlar va subatom zarralardan iborat mikroskopik tizimlarga qo‘llanadi^:1.1. Shuningdek, kvant mexanikasi minglab atomlardan tashkil topgan murakkab molekulalarning xatti-harakatini ham to‘g‘ri tavsiflashi ko‘rsatilgan. Biroq uni odamlarga tatbiq etishga urinishlar Vignerning do‘stikabi falsafiy savollar va paradokslarni keltirib chiqaradi, shuningdek nazariyani butun Koinotga qo‘llash ham hozircha taxminiy hisoblanadi. Kvant mexanikasining bashoratlari tajribalarda nihoyatda yuqori aniqlik bilan tasdiqlangan.

Kvant nazariyasining asosiy xususiyati shundaki, u odatda fizik kattaliklar (dinamik o‘zgaruvchilar) qiymatlarini qat’iy aniqlikda bashorat qila olmaydi, faqat ularni o‘lchaganda muayyan natija olinishi ehtimolini beradi. Matematik jihatdan ehtimollik kompleks sonningmoduli kvadratini olish orqali topiladi; bu son ehtimollik amplitudasi deb ataladi. Ushbu qoida Born qoidasideb nomlanadi va fizik Maks Bornsharafiga atalgan. Masalan, elektronkabi kvant zarrasi to‘lqin funksiyasibilan tavsiflanadi; u fazoning har bir nuqtasi uchun ehtimollik amplitudasini belgilaydi. Ushbu amplitudalarga Born qoidasini tatbiq etish zarrachaning koordinatasi o‘lchanganda ehtimollik zichligi funksiyasini aniqlaydi. Nazariya bundan ortig‘ini ayta olmaydi: elektron aynan qayerda topilishini oldindan aniq bilib bo‘lmaydi. Shryodinger tenglamasi tizimning vaqt davomida qanday o‘zgarishini tavsiflaydi, ya’ni bir vaqtdagi ehtimollik amplitudalari to‘plamini boshqa vaqtdagi amplitudalar to‘plami bilan bog‘laydi.

Kvant mexanikasining matematik qoidalaridan kelib chiqadigan oqibatlardan biri turli o‘lchanadigan kattaliklarni aniqlashdagi o‘zaro cheklanishdir. Uning eng mashhur ko‘rinishi — noaniqlik prinsipi shuni bildiradiki, kvant zarrasining holati qanday tayyorlanishidan yoki tajriba qanchalik puxta o‘tkazilishidan qat’i nazar, zarrachaning joylashuvi va impulsini bir vaqtda mutlaq aniqlik bilan bashorat qilib bo‘lmaydi.

Kvant mexanikasining matematik qoidalaridan kelib chiqadigan yana bir hodisa kvant interferensiyasibo‘lib, unga misol sifatida ikki tirqishli tajribakeltiriladi. Ushbu tajribaning asosiy ko‘rinishida kogerent yorug‘lik manbai, masalan, lazerikki parallel tirqishi bor noshaffof plastinani yoritadi, tirqishlardan o‘tgan yorug‘lik esa plastina ortidagi ekranda kuzatiladi^:1.1–1.8^:102–111. Yorug‘likning to‘lqin xususiyati yorug‘lik to‘lqinlari ikki tirqishdan o‘tib, interferensiyalashib ekranda yorug‘ va qorong‘i chiziqlar hosil qilishini anglatadi. Agar yorug‘lik klassik zarrachalardan iborat bo‘lganida, bunday natija kutilmas edi. Biroq tajriba doimo yorug‘lik ekranda to‘lqin kabi emas, alohida zarrachalar kabi muayyan nuqtalarda yutilishini ko‘rsatadi; interferensiya manzarasi bu zarrachalar foto plastinkaga tushganda yoritilish zichligi turlicha bo‘lishidan paydo bo‘ladi. Bundan tashqari, tirqishlarga detektorlar o‘rnatilgan tajribalarda har bir kuzatilgan foton to‘lqin kabi ikkala tirqishdan emas, klassik zarracha singari bitta tirqishdan o‘tishi aniqlanadi^:109. Bunday tajribalardan zarrachaning qaysi tirqishdan o‘tganini aniqlaganda interferensiya manzarasi hosil bo‘lmasligi kelib chiqadi. Shuningdek, elektronlarkabi atom miqyosidagi boshqa obyektlar ham ikki tirqishli ekranga tushganda shunday xatti-harakat namoyon etishi aniqlangan. Mikroobyektlarning bu xususiyati korpuskulyar-to‘lqin dualizmi deb ataladi va kvant mexanikasining «yuragi» hisoblanadi.

Tunnel effekti — kvant mexanikasi elektronlar potensial to‘siqdan o‘ta olishini ko‘rsatadi va bu tajribalar bilan tasdiqlangan.
Klassik mexanika esa buni imkonsiz deb bashorat qiladi

Kvant mexanikasi bashorat qiladigan va kundalik tajribaga zid yana bir hodisa — kvant tunnellanishibunda zarracha potensial to‘siqqaduch kelib, kinetik energiyasi potensialning maksimal qiymatidan kichik bo‘lsa ham, undan o‘ta oladi. Klassik mexanikada bunday zarracha har doim to‘siqdan qaytadi. Kvant tunnellanishining bir qancha muhim kuzatiladigan oqibatlari mavjud, jumladan, radioaktiv yemirilish, yadro sintezi yulduzlarda, shuningdek, skanerlovchi tunnel mikroskopiyasi va tunnel diodlarini yaratish.

Kvant tizimlari o‘zaro ta’sirlashganda kvant chigallashuviyuzaga kelishi mumkin: ularning xossalari shu qadar o‘zaro bog‘lanadiki, butun tizimni faqat alohida qismlar xossalari orqali tavsiflab bo‘lmaydi. Shryodinger chigallashuvni

«…kvant mexanikasining o‘ziga xos xususiyati, uni klassik fikrlash yo‘llaridan butunlay ajratib turadigan jihat»

Asl matn (inglizcha)
«…kvant mexanikasining o‘ziga xos xususiyati, uni klassik fikrlash usullaridan butunlay uzoqlashtiradigan belgi»

Kvant chigallashuvi kvant psevdotelepatiyasining^[ingl.] g‘ayrioddiy xususiyatlarini namoyon etadi va kvant kalitlarini taqsimlash va o‘ta zich kodlashkabi aloqa protokollarida foydali usulga aylanishi mumkin. Keng tarqalgan noto‘g‘ri tushunchaga zid ravishda, chigallashuv yorug‘lik tezligidan yuqori tezlikdasignal uzatishga imkon bermaydi; buni aloqa yo‘qligi teoremasi^[ingl.].

Chigallashuv ochadigan yana bir imkoniyat — «yashirin o‘zgaruvchilar» mavjudligini tekshirishdir. Bular kvant nazariyasida ko‘riladigan kattaliklardan ham fundamentalroq bo‘lishi mumkin bo‘lgan faraziy xossalar bo‘lib, ularni bilish kvant nazariyasidagidan aniqroq bashorat qilishga imkon bergan bo‘lardi. Ko‘plab natijalar, avvalo, Bell teoremasibunday yashirin o‘zgaruvchili nazariyalarning keng sinflari kvant fizikasi bilan mos kelmasligini ko‘rsatgan. Bell teoremasigako‘ra, agar tabiat haqiqatan ham lokal yashirin o‘zgaruvchilar nazariyasiga bo‘ysunsa, Bell tengsizliklarini tekshirish natijalari miqdoriy baholash mumkin bo‘lgan muayyan chegaralar bilan cheklanadi. Chigallashgan zarrachalar yordamida ko‘plab Bell sinovlari o‘tkazilgan va ularning natijalari lokal yashirin o‘zgaruvchilar nazariyalari belgilaydigan cheklovlarga mos kelmagan.

Haqiqiy matematikani kiritmasdan bu tushunchalarni yuzaki darajadan chuqurroq tushuntirib bo‘lmaydi. Kvant mexanikasini anglash uchun faqat kompleks sonlar bilan amallarni bilish emas, balki chiziqli algebra, differensial tenglamalar, guruhlar nazariyasi va matematikaning boshqa murakkab bo‘limlari ham zarur. Fizik Jon K. Baez shunday ogohlantiradi:

«…kvant mexanikasiga oid masalalarni yecha olmasdan uning talqinini tushunib bo‘lmaydi. Nazariyani anglash uchun undan foydalana olish kerak (va aksincha)».

Asl matn (inglizcha)
«…kvant mexanikasi masalalarini yechishni bilmasdan uning talqinini tushunishning iloji yo‘q; nazariyani tushunish uchun uni qo‘llay bilish kerak (va aksincha)».

Karl Sagan kvant mexanikasining «matematik asoslanishi»ni umumiy tarzda bayon qilib, shunday yozgan:

«Ko‘pchilik fizika talabalari uchun bu jarayon, masalan, uchinchi sinfdan aspiranturaning boshlanishigacha — taxminan 15 yil davom etishi mumkin. (…) Bunday tayyorgarlikdan o‘tmagan keng ommaga kvant mexanikasi haqida qandaydir tasavvur berishga urinadigan ilm-fan targ‘ibotchisining vazifasi nihoyatda murakkab. Menimcha, kvant mexanikasini ommabop tarzda muvaffaqiyatli tushuntirgan asar yo‘q — qisman aynan shu sababli».

Asl matn (inglizcha)
«Fizika yo‘nalishidagi aksariyat talabalar uchun bu, deylik, uchinchi sinfdan aspiranturaning boshlanishigacha davom etishi mumkin — – taxminan 15 yil. […] Bunday tayyorgarlik bosqichlaridan o‘tmagan keng auditoriyaga kvant mexanikasi haqida tasavvur berishga urinish ilm-fanni ommalashtiruvchi uchun qo‘rqinchli darajada qiyin vazifadir. Mening fikrimcha, kvant mexanikasining muvaffaqiyatli ommabop bayoni yo‘q — – qisman shu sababli».

Shu bois ushbu maqolada kvant mexanikasining matematik ifodasi bayon etilib, uning ayrim foydali va ko‘p o‘rganiladigan misollarga qo‘llanishi ko‘rib chiqiladi.

Tarix

Kvant mexanikasi XX asrning dastlabki o‘n yilliklarida klassik yondashuv bilan izohlab bo‘lmagan hodisalarni tushuntirish zarurati tufayli shakllandi. Yorug‘likning to‘lqin xususiyatini ilmiy o‘rganish XVII–XVIII asrlarda boshlangan. O‘sha davrda Robert Guk, Xristian Gyuygens va Leonard Eylerkabi olimlar tajribaviy kuzatuvlarga asoslangan yorug‘likning to‘lqin nazariyasini taklif qilishdi. 1803-yilda ingliz qomusiy olimi Tomas Yung mashhur ikki tirqishli tajribanitavsifladi. Bu tajriba yorug‘likning to‘lqin nazariyasi.

keng tan olinishida muhim rol o‘ynadi. XIX asr boshlarida kimyo sohasidagi Jon Dalton va Amedeo Avogadro tadqiqotlari materiyaning atom nazariyasini dalillar bilan mustahkamladi. Bu g‘oyaga tayanib, Jeyms Klark Maksvell, Lyudvig Bolsman va boshqalar gazlarning kinetik nazariyasiniyaratishdi. Kinetik nazariyaning muvaffaqiyatlari materiya atomlardan iborat ekaniga ishonchni yanada kuchaytirdi. Biroq ushbu nazariyada ham faqat kvant mexanikasi rivojlanishi bilan bartaraf etiladigan kamchiliklar bor edi. Qadimgi yunon falsafasida atomlar bo‘linmas birliklar deb qaralgan — «atom» so‘zi yunoncha «bo‘linmaydigan» degan ma’noni bildiradi. XIX asrda esa atomning ichki, subatom tuzilishi haqida farazlar ilgari surildi. Bu yo‘nalishdagi muhim kashfiyotlardan biri Maykl Faradeyning kuzatuvi bo‘lib, u 1838-yilda past bosimli gaz solingan shisha naychada elektr razryadi ta’sirida nurlanish paydo bo‘lishini aniqlagan. Yulius Plyukker, Iogann Vilgelm Gittorf va Oygen Goldshteyn Faradey ishini davom ettirib, takomillashtirdilar. Natijada katod nurlarianiqlandi; keyinchalik J. J. Tomsonular elektron deb nomlangan subatom zarralardan iboratligini ko‘rsatdi.

Qora jism nurlanishi muammosi tomonidan Gustav Kirxgof 1859-yilda aniqlangan. 1900-yilda Maks Plank energiya alohida «kvantlar» (yoki energiya paketlari) ko‘rinishida chiqarilishi va yutilishi haqidagi farazni ilgari surdi. Bu mutlaq qora jism nurlanishining kuzatilgan spektrini tushuntirishga imkon berdi. «Kvant» so‘zi lotincha quantusso‘zidan kelib chiqqan bo‘lib, «qancha» degan ma’noni anglatadi. Plank fikricha, energiya miqdorini «elementlar»ga bo‘lingan deb qarash mumkin, ularning kattaligi (E) ularning chastotasiga (ν):

E=h\nu \ ,

bu yerda h — Plank doimiysi. Plank ehtiyotkorlik bilan buning nurlanishni yutish va chiqarish jarayonlariga xos jihat ekanini, nurlanishning fizik haqiqati emasligini ta’kidlagan. U kvant gipotezasini to‘g‘ri javob olish uchun matematik usul deb hisoblash kerakmi yoki muhim kashfiyot deb bilish kerakmi, degan masalada ikkilanib qolgan. Biroq 1905-yilda Albert Eynshteyn Plankning kvant gipotezasini real fizik ma’noda talqin qilib, undan fotoelektr effektnitushuntirishda foydalandi. Bunda muayyan materiallarga tushgan yorug‘lik ulardan elektronlarni urib chiqarishi mumkin. Keyinchalik Nils Bor Plankning nurlanish haqidagi g‘oyasini rivojlantirib, atom modeligakiritdi. Bu model vodorodning spektral chiziqlarini muvaffaqiyatli bashorat qildi. Eynshteyn bu fikrni davom ettirib, elektromagnit to‘lqin, masalan yorug‘lik, energiyasi chastotasiga bog‘liq bo‘lgan diskret zarracha (keyinchalik foton) deb atalgan) ham tasvirlash mumkinligini ko‘rsatdi. Uning energiyasi chastotaga bog‘liq. «Nurlanishning kvant nazariyasi haqida» (nemischa Zur Quantentheorie der Strahlung) nomli 1916-yilda chop etilgan maqolasida Eynshteyn atomlarning energiyani yutishi va chiqarishini tushuntirish uchun energiya bilan moddaning o‘zaro bog‘liqligini kengaytirdi. Uning umumiy nisbiylik nazariyasi o‘sha paytda bu g‘oyani soyada qoldirgan bo‘lsa-da, ushbu maqolada keyinchalik lazerlarning.

ishlashidagi asosiy tamoyilga aylangan majburiy nurlanish mexanizmi ifodalangan. Kvant nazariyasi rivojlanishining bu bosqichi eski kvant nazariyasideb yuritiladi. U hech qachon to‘liq va ziddiyatsiz bo‘lmagan, aksincha, evristik tuzatishlar asosida klassik mexanikagaqo‘shimcha sifatida qaralgan. Hozirda eski nazariya zamonaviy kvant mexanikasiga nisbatan yarimklassik yaqinlashuv deb tushuniladi. Bu davrning muhim natijalariga yuqorida tilga olingan Plank, Eynshteyn va Bor ishlaridan tashqari, Eynshteyn va Piter Debayning qattiq jismlarning solishtirma issiqlik sig‘imi bo‘yicha ishlari, Bor va Xendrika Yoxanna van Leyvenning isboti— klassik fizika diamagnetizmni tushuntira olmasligi hamda Arnold Zommerfeldning nisbiylik effektlarini qamrab olgan Bor modelini kengaytirishi kiradi.

1920-yillarning o‘rtalarida atom fizikasining standart matematik ifodasiga aylangan kvant mexanikasi ishlab chiqildi. 1923-yilda fransuz fizigi Lui de Broyl materiya to‘lqinlari nazariyasini ilgari surib, zarrachalar to‘lqin xususiyatlarini namoyon qilishi va aksincha bo‘lishi mumkinligini aytdi. De Broyl yondashuviga tayangan zamonaviy kvant mexanikasi 1925-yilda nemis fiziklari Verner Geyzenberg, Maks Born va Paskual Yordan birgalikda matritsali mexanikani ishlab chiqdilar, avstriyalik fizik Ervin Shryodinger esa to‘lqin mexanikasini. Born 1926-yil iyulida Shryodinger to‘lqin funksiyasining ehtimollik talqinini taklif qildi. Shu tariqa kvant fizikasining butun bir sohasi shakllanib, beshinchi Solvey konferensiyasida 1927-yilda kengroq tan olindi.

1927-yilda V. Gaytler va F. London birgalikda vodorod molekulasi spektrini hisoblab, molekulalarda kimyoviy bog‘lanishning kelib chiqishini tushuntirdilar. F. Blox kristall panjaraning davriy potensialida zarrachalar harakati nazariyasiga asos soldi. Shu yili V. Pauli Shryodinger tenglamasini elektron spininini hisobga olgan holda umumlashtirdi. Keyingi yilda elektron uchun relyativistik tenglama — Dirak tenglamasipaydo bo‘ldi. U antizarrachalarning mavjudligini bashorat qildi.

Eynshteyn kvant mexanikasini yakunlangan, ya’ni tabiatni to‘liq tavsiflovchi nazariya deb tan olmagan. Shu sababli 1935-yilda chigallashgan tizimda yuzaga keladigan, hozir Eynshteyn — Podolskiy — Rozen paradoksideb ataladigan paradoks haqida maqola e’lon qilindi. Shryodinger EPR g‘oyasini qo‘llab-quvvatlab, o‘sha yili «Shryodinger mushugi» nomi bilan mashhur paradoksni o‘ylab topdi. Bu paradokslar kvant mexanikasi asoslarini tadqiq qiluvchilar e’tiborini jalb etmoqda.

Vodorod atomi uchun Shryodinger tenglamasining analitik yechimi mavjud, ammo ko‘p elektronli atom uchun bunday yechim noma’lum. Shu bois to‘lqin funksiyalarini hisoblashning turli taqribiy usullari ishlab chiqilgan. Masalan, 1928-yilda Duglas Xartri tomonidan o‘z-o‘ziga moslashgan maydon usulitaklif qilindi, 1930-yilda esa V. A. Fok bu yondashuvni elektron spinini hisobga olgan holda kengaytirdi.

1930-yilga kelib kvant mexanikasi David Gilbert, Pol Dirak va Jon fon Neyman tomonidan yanada birlashtirilib, rasmiy matematik shaklga keltirildi. Bunda o‘lchashjarayonini rasmiylashtirishga, voqelik haqidagi bilimlarimizning statistik tabiatiga va «kuzatuvchi» haqidagi falsafiy mulohazalargakatta e’tibor berildi. O‘shandan beri u ko‘plab fanlarga, jumladan kvant kimyosi, kvant elektronikasi, kvant optikasi va kvant informatikasigakirib bordi. Bundan tashqari, u zamonaviy kimyoviy elementlar davriy jadvalining xususiyatlarini izohlab, atomlarning o‘zaro kimyoviy bog‘ hosil qilishidagi xatti-harakatini hamda elektronlarning aynan yarimo‘tkazgichlardagiko‘chishini tushuntiradi. Shu sababli ko‘plab zamonaviy texnologiyalar uchun hal qiluvchi ahamiyatga ega. Kvant mexanikasi juda kichik miqyosdagi olamni tasvirlash uchun yaratilgan bo‘lsa-da, ayrim makroskopik hodisalarni, masalan, o‘ta o‘tkazgichlarni va o‘ta oquvchan suyuqliklarnitushuntirish uchun ham zarur. 1957-yilda J. Bardin L. Kuper va J. Shriffer birinchi tur o‘ta o‘tkazgichlar nazariyasini yaratdilar.

1954-yilda Ch. Tauns, N. G. Basov va A. M. Proxorov ishlari tufayli dastlabki kvant mikroto‘lqin generatorlari — mazerlar — ammiakasosida yaratildi. Nurlanishni optik diapazonda kuchaytirish uchun T. Meyman 1960-yilda yoqutdanfoydalandi. 1963-yilda J. Alfyorov dastlabki yarimo‘tkazgich geterotuzilmalarniyaratdi; zamonaviy yarimo‘tkazgich lazerlar shu tuzilmalar asosida tayyorlanadi.

1980-yilda Pol Benioff kompyuterning ilk kvant-mexanik modelini tavsifladi. U Shryodinger tenglamasi yordamida Tyuring mashinalarining ishlashini ifodalab, kompyuter kvant mexanikasi qonunlariga muvofiq faoliyat yuritishi mumkinligini ko‘rsatdi va kvant hisoblashlarisohasidagi keyingi ishlar uchun asos yaratdi. Ikkikubitli kvant kompyuterining, ya’ni yadro magnit rezonansihodisasiga asoslangan kompyuterning, ilk tajribaviy namoyishi 1998-yilda bo‘lib o‘tdi. 2019-yil oktyabrda Google kompaniyasi 53 kubitli o‘ta o‘tkazuvchi Sycamore kvant protsessorini yaratgani va oddiy kompyuterlarga nisbatan «kvant ustunligi»ni namoyish etganini e’lon qildi.

Matematik ifodalanishi

Kvant mexanikasining matematik jihatdan qat’iy ifodasida kvant-mexanik tizim holati kompleks ( $\psi$ vektor bilan ifodalanadi, useparabel) Gilbert fazosida ${\mathcal {H}}$ aniqlangan bo‘ladi. Ushbu vektor Gilbert fazosining skalyar ko‘paytmasiga nisbatan normallashgan, ya’ni $\langle \psi ,\psi \rangle =1,$ shartni qanoatlantiradi, deb faraz qilinadi. Vektor moduli 1 ga teng kompleks songa (global fazaga) ko‘paytirishgacha aniqlikda beriladi, ya’ni $\psi$ va $e^{i\alpha }\psi$ bir xil fizik holatni bildiradi. Mumkin bo‘lgan holatlar proyektiv Gilbert fazosining nuqtalari bo‘lib, u odatda kompleks proyektiv fazo^[ingl.]deb ataladi. Gilbert fazosining aniq tabiati ko‘rilayotgan tizimga bog‘liq: masalan, zarrachaning koordinatasi va impulsini tasvirlash uchun kompleks kvadrati integrallanuvchi funksiyalar^[ingl.] $L^{2}(\mathbb {C} )$ fazosi, alohida zarrachaning spini uchun esa oddiygina ikki o‘lchamli kompleks vektorlar fazosi $\mathbb {C} ^{2}$ va odatiy skalyar ko‘paytma.

ishlatiladi. Qiziqtirayotgan fizik kattaliklar — koordinata, impuls, energiya va spin — kuzatiladigan kattaliklar (yoki kuzatiluvchilar) sifatida ifodalanadi. Ularga Gilbert fazosida ta’sir qiluvchi Ermit (aniqrog‘i, o‘z-o‘ziga qo‘shma) chiziqli operatorlarmos qo‘yiladi. Kvant holati kuzatiluvchi operatorning xos vektori yoki xos holatibo‘lishi mumkin. U bilan bog‘liq xos qiymat shu holatda kuzatiluvchining qiymatiga mos keladi. Umumiyroq holda kvant holati kvant superpozitsiyasideb ataladigan xos holatlarning chiziqli kombinatsiyasi bilan ifodalanadi. Kuzatiluvchi o‘lchanganda, natija uning diskret xos qiymatlaridan biri bo‘ladi; ehtimollik Born qoidasibilan belgilanadi: eng sodda holatda $\lambda$ xos qiymat aynimagan bo‘ladi va ehtimollik $|\langle {\vec {\lambda }},\psi \rangle |^{2}$ bu yerda ${\vec {\lambda }}$ — unga mos xos vektor. Umumiyroq holda xos qiymat aynigan bo‘ladi va ehtimollik $\langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle ,$ bu yerda $P_{\lambda }$ — unga mos xos fazoga proyektor. Uzluksiz xos qiymatlar spektri ko‘rilganda, bu formulalarda ehtimollik zichligi.

tushunchasi qo‘llanadi. O‘lchashdan keyin $\lambda$ natija olingan bo‘lsa, kvant holati kollapsga uchrab aynimagan holatda ${\vec {\lambda }}$ ga, umumiy holatda esa $P_{\lambda }\psi /{\sqrt {\langle \psi ,P_{\lambda }\psi \rangle }}$ ga o‘tadi, deb faraz qilinadi. Demak, kvant mexanikasining ehtimollik tabiati o‘lchash jarayonidan kelib chiqadi. Bu kvant tizimlarining tushunish eng qiyin fizik jihatlaridan biridir. Mazkur masala mashhur Bor va Eynshteyn bahslariningmarkazida bo‘lgan; unda ikki olim tafakkur tajribalariyordamida ushbu fundamental tamoyillarni aniqlashtirishga urinishgan. Kvant mexanikasi yaratilganidan keyingi o‘n yilliklarda fizik kattalikni o‘lchashjarayoni mohiyati keng o‘rganildi. « Kvant mexanikasining talqinlari»ning zamonaviyroq ko‘rinishlari «to‘lqin funksiyasining reduksiyasi (kollapsi)» tushunchasidan voz kechadi (qarang, masalan, ko‘p olamlar talqini). Asosiy fikr shundan iboratki, kvant tizimi o‘lchov asbobi bilan o‘zaro ta’sirlashganda ularning to‘lqin funksiyalari chigallashadiva dastlabki kvant tizimi mustaqil obyekt sifatida mavjud bo‘lmay qoladi. Batafsil kvant mexanikasidagi o‘lchash.

haqidagi maqolaga qarang. Kvant holatining vaqt davomida o‘zgarishi Shryodinger tenglamasi:

i\hbar {\frac {d}{dt}}\psi (t)=H\psi (t)\,.

bilan ifodalanadi. Bu yerda $H$ — Gamiltonian — tizimning, ya’ni to‘liq energiyasi va $\hbar$ — keltirilgan Plank doimiysi. Doimiy $i\hbar$ shunday kiritiladiki, kvant tizimining xossalari tegishli klassik modelga yaqinlashganda Gamiltonian klassik Gamiltonianga aylanadi. Ma’lum chegarada bunday yaqinlashuvga erishish imkoniyati moslik prinsipi.

deb ataladi. Ushbu differensial tenglamaning formal yechimi quyidagicha beriladi:

\psi (t)=e^{-iHt/\hbar }\psi (0)\,.

Operator $U(t)=e^{-iHt/\hbar }$ quyidagi nom bilan ma’lum: evolyutsiya operatori deb ataladi va muhim unitarlikxossasiga ega. Bunda tizim evolyutsiyasi deterministik bo‘ladi, ya’ni boshlang‘ich kvant holati $\psi (0),$ berilgan bo‘lsa, bu operator $\psi (t)$ kvant holati keyingi istalgan t.

kabi). Ayrim to‘lqin funksiyalari vaqtga bog‘liq bo‘lmagan ehtimollik taqsimotlarini tavsiflaydi, masalan, Gamiltonianning xos holatlari. Klassik mexanikada o‘rganiladigan ko‘plab dinamik tizimlar ana shunday «statsionar» to‘lqin funksiyalari bilan ifodalanadi. Masalan, bir elektron qo‘zg‘atilmagan atomda klassik yondashuvda atom yadrosiatrofida aylana trayektoriya bo‘ylab harakatlanadigan zarracha sifatida tasvirlanadi; kvant mexanikasida esa u yadroni o‘rab turgan statsionar to‘lqin funksiyasi bilan ifodalanadi. Masalan, qo‘zg‘atilmagan vodorod atomidagi elektronning to‘lqin funksiyasi sferik simmetrik bo‘lib, s-orbital.

deb ataladi. Shryodinger tenglamasining analitik yechimlari nisbatan sodda model Gamiltonianlar^[ingl.]uchun ma’lum, jumladan, kvant garmonik ossillyatori, qutidagi zarracha, vodorodning molekulyar ioni, vodorod atomi va boshqalar. Hatto atigi ikki elektronga ega geliyatomi ham to‘liq analitik yechimni topishga qaratilgan barcha urinishlar uchun murakkab masala bo‘lib kelgan.

Taqribiy yechimlarni topish usullari mavjud. Ulardan biri g‘alayonlar nazariyasideb ataladi va sodda kvant-mexanik modelning analitik yechimidan unga yaqin, ammo murakkabroq model uchun yechim tuzishda, masalan, kichik potensial energiyaniqo‘shish orqali foydalanadi. Yana bir usul «kvaziklassik harakat tenglamasi» bo‘lib, kvant mexanikasi klassik xatti-harakatdan faqat kichik og‘ishlarni bashorat qiladigan tizimlarga qo‘llanadi. Bu og‘ishlarni klassik harakat asosida hisoblash mumkin. Mazkur yondashuv kvant xaosi.

Noaniqlik prinsipi

Kvant mexanikasi formalizmining oqibatlaridan biri noaniqlik prinsipidir. Uning eng mashhur shakliga ko‘ra, kvant zarrasining koordinatasi va impulsini bir vaqtning o‘zida aniq bashorat qilib bo‘lmaydi. Koordinata va impuls kuzatiladigan kattaliklar bo‘lib, ularni Ermit operatorlari bilan ifodalash mumkin. Koordinata operatori ${\hat {X}}$ va impuls operatori ${\hat {P}}$ o‘zaro kommutativ emas, balki kanonik kommutatsiya munosabatini:

[{\hat {X}},{\hat {P}}]=i\hbar \,.

qanoatlantiradi. Berilgan kvant holati uchun Born qoidasi $X,$ $P$ va ularning darajalari uchun matematik kutilmalarni hisoblashga imkon beradi. Kuzatiluvchining noaniqligini standart og‘ishformulasi bilan ifodalasak, koordinata uchun quyidagini yozish mumkin:

\sigma _{X}={\sqrt {\langle {X}^{2}\rangle -\langle {X}\rangle ^{2}}}\,

Impuls uchun ham shunga o‘xshash:

\sigma _{P}={\sqrt {\langle {P}^{2}\rangle -\langle {P}\rangle ^{2}}}\,.

Noaniqlik prinsipi quyidagini bildiradi:

\sigma _{X}\sigma _{P}\geq {\frac {\hbar }{2}}\,.

Har bir standart og‘ishni alohida istalgancha kichraytirish mumkin, ammo ikkisini bir vaqtda emas. Tengsizlik ixtiyoriy o‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlar $A$ va $B$ . juftligiga ham umumlashtiriladi. Bu ikki operatorning kommutatori ta’rifga ko‘ra quyidagiga teng:

[A,B]=AB-BA,

Bu standart og‘ishlar ko‘paytmasining quyi chegarasini belgilaydi:

\sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\frac {1}{2}}\left|\langle [A,B]\rangle \right|.

Kanonik kommutatsiya munosabatidan koordinata va impuls operatorlari o‘zaro Furye almashtirishlari ekanligi kelib chiqadi. Obyektning impuls fazosidagi tavsifi uning koordinata fazosidagi tavsifining Furye almashtirishiga teng. Impulsga bog‘liqlik koordinataga bog‘liqlikning Furye almashtirishi bo‘lgani uchun impuls operatori ( $i/\hbar$ ko‘paytuvchigacha aniqlikda) koordinata bo‘yicha hosila olishga teng kuchli, chunki Furye tahlilida differensiallash amaliga dual fazoda ko‘paytirish mos keladi. Shu sababli koordinata tasviridagi kvant tenglamalarida impuls $p_{i}$ ifoda bilan almashtiriladi $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$ va, xususan, koordinata fazosidagi norelyativistik Shryodinger tenglamasida impuls kvadrati $-\hbar ^{2}$ Laplasyan.

Murakkab tizimlar va chigallashuv

Ikki alohida kvant tizimi birgalikda qaralsa, birlashgan tizimning Gilbert fazosi ikki tarkibiy qism Gilbert fazolarining tenzor ko‘paytmasi bo‘ladi. Masalan, A va B — Gilbert fazolari mos ravishda ${\mathcal {H}}_{A}$ va ${\mathcal {H}}_{B}$ bo‘lgan ikki kvant tizimidir. Birlashgan tizimning Gilbert fazosi quyidagiga teng:

{\mathcal {H}}_{AB}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}.

Birinchi tizimning holati $\psi _{A}$ vektor, ikkinchi tizimning holati esa $\psi _{B}$ bo‘lsa, birlashgan tizimning holati quyidagicha bo‘ladi:

\psi _{A}\otimes \psi _{B}.

Umumiy Gilbert fazosidagi barcha holatlarni ${\mathcal {H}}_{AB}$ bunday shaklda yozib bo‘lmaydi, chunki superpozitsiya prinsipi bu «ajraluvchi» yoki «ko‘paytma» holatlarning chiziqli kombinatsiyalari ham mumkinligini bildiradi. Masalan, $\psi _{A}$ va $\phi _{A}$ tizimning mumkin bo‘lgan ikki holati, $A$ va $\psi _{B}$ va $\phi _{B}$ tizimning mumkin bo‘lgan holatlari bo‘lsa, $B$ yangi holat

{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(\psi _{A}\otimes \psi _{B}+\phi _{A}\otimes \phi _{B}\right)

ajralmaydigan, ammo ruxsat etilgan umumiy holatni tavsiflaydi. Ajralmaydigan holatlar chigallashgan yoki bog‘langan holatlar deb ataladi.

Agar murakkab tizim holati chigallashgan bo‘lsa, uning A yoki B tarkibiy qismlaridan hech birini holat vektori bilan tasvirlab bo‘lmaydi. Buning o‘rniga quyi tizimlarning zichlik matritsalarinianiqlash mumkin; ular tizimning istalgan alohida qismi ustida o‘lchash o‘tkazilganda olinadigan natijalarni tasvirlaydi. Biroq bunda ma’lumotning bir qismi muqarrar yo‘qoladi: alohida tizimlarning zichlik matritsalarini bilish umumiy tizim holatini tiklash uchun yetarli emas. Zichlik matritsalari yirikroq tizimning quyi qismi holatini qanday ifodalasa, musbat operator qiymatli o‘lchovlar^[ingl.] (POVM) ham kattaroq tizimda o‘tkazilgan o‘lchashning quyi tizimga ta’sirini shunday tavsiflaydi. POVM kvant axborot nazariyasida keng qo‘llanadi.

Yuqorida aytilganidek, chigallashuv o‘lchash jarayonining modellarida muhim rol o‘ynaydi: detektor o‘lchanayotgan tizim bilan chigallashadi. Atrof-muhit bilan o‘zaro ta’sirlashadigan tizimlar odatda shu muhit bilan ham chigallashadi. Bu hodisa kvant dekogerensiyasideb ataladi. U nima uchun makroskopik tizimlarda kvant effektlarini amalda kuzatish qiyinligini izohlashi mumkin.

Ifodalarning ekvivalentligi

Kvant mexanikasining matematik jihatdan ekvivalent bo‘lgan ko‘plab ifodalari mavjud. Ularning eng qadimgi va keng tarqalganlaridan biri — «almashtirishlar nazariyasi^[ingl.]» bo‘lib, uni Pol Diraktaklif qilgan. Mazkur nazariya kvant mexanikasining eng dastlabki ikki ifodasini — matritsali mexanikani ( Verner Geyzenbergyaratgan) va to‘lqin mexanikasini ( Ervin Shryodingeryaratgan) — birlashtiradi va umumlashtiradi. Bundan tashqari, kvant mexanikasini trayektoriyalar bo‘yicha integral Feynmantilida ham ifodalash mumkin. Bunda kvant-mexanik amplituda boshlang‘ich va yakuniy holatlar orasidagi barcha mumkin bo‘lgan klassik va noklassik yo‘llar yig‘indisi sifatida ko‘riladi. Bu klassik mexanikadagi ta’sir prinsipi ning kvant-mexanik analogidir.

Simmetriyalar va saqlanish qonunlari

Gamiltonian $H$ vaqt bo‘yicha evolyutsiyaning generatori deb ataladi, chunki u har bir $U(t)=e^{-iHt/\hbar }$ qiymati uchun vaqt bo‘yicha unitar evolyutsiya operatorini $t$ aniqlaydi. $U(t)$ va $H$ orasidagi ushbu munosabatdan $A,$ bilan kommutativ bo‘lgan istalgan $H,$ kuzatiluvchi saqlanishi , ya’ni uning kutilgan qiymati vaqt davomida o‘zgarmasligi kelib chiqadi. Bu fikr umumlashtiriladi: istalgan Ermit operatori $A$ parametr bilan belgilangan unitar operatorlar oilasini hosil qilishi mumkin. $t$ operatori hosil qiladigan evolyutsiyada, $A$ u bilan kommutativ bo‘lgan istalgan $B$ kuzatiluvchi $A,$ saqlanadi. Bundan tashqari, agar $B$ operatori hosil qilgan evolyutsiyada $A$ kuzatiluvchi saqlansa, $A$ operatori hosil qilgan evolyutsiyada ham $B$ . Bu Emmi Nyoter tomonidan klassik (Lagranj) mexanikasida isbotlangan natijaning kvant ko‘rinishidir: har bir uzluksiz simmetriyaalmashtirishiga, agar u ta’sirni o‘zgartirmasa, tegishli saqlanish qonuni.

Misollar

Erkin zarracha

Koordinata erkinlik darajasiga ega kvant tizimining eng sodda misoli — bir fazoviy o‘lchamda harakatlanuvchi erkin zarrachadir. Erkin zarrachaga tashqi ta’sir bo‘lmagani uchun Gamiltonian faqat uning kinetik energiyasidan iborat, Shryodinger tenglamasi esa quyidagi ko‘rinishda yoziladi:

{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}\,,

bu yerda $i$ — mavhum birlik, $\hbar$ — keltirilgan Plank doimiysi, $m$ — zarrachaning massasi. Bu tenglamada o‘zgaruvchilarni ajratish mumkin; Shryodinger tenglamasining umumiy yechimi yassi to‘lqinlar paketini tavsiflovchi istalgan yaqinlashuvchi integral sifatida ifodalanadi:

\psi (x,t)=\int _{-\infty }^{+\infty }C(k)e^{i(kx-\omega t)}dk\,,

bu yerda $\omega$ — chastota, $k$ — to‘lqin soni, integralning chekli bo‘lish sharti ham bajariladi: $\lim _{|k|\rightarrow \infty }C(k)\approx |k|^{-\alpha }$ bo‘lganda $\alpha \geq 1$ . Gauss paketining xususiy holatida to‘lqin soni $k_{0}$ bo‘lgan zarrachaning $t=0$ vaqt momentidagi to‘lqin funksiyasi quyidagicha ifodalanadi:

\psi (x,0)=A\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2a^{2}}}+ik_{0}x\right)\,,

bu yerda $a$ — to‘lqin paketining o‘lchami, $A$ — normallash ko‘paytuvchisi. Bu zarrachaning tezligi $v_{0}=\hbar k_{0}/m\,.$ ifoda bilan aniqlanadi. Uni yassi to‘lqinlarga ajratib, $C(k)\,,$ koeffitsiyentni oshkor ko‘rinishda topish mumkin:

C(k)={\frac {Aa}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}(k-k_{0})\right]\,.

To‘lqin funksiyasining istalgan vaqtdagi xatti-harakatini topish uchun integrallash kifoya. Zichlik to‘lqin funksiyasi moduli kvadratiga teng; u har qanday vaqtda quyidagicha bo‘ladi:

\rho (x,t)=|\psi (x,t)|^{2}={\frac {|A|^{2}}{\sqrt {1+\left({\frac {\hbar t}{ma^{2}}}\right)^{2}}}}\exp \left[-{\frac {\left(x-{\frac {\hbar k_{0}}{m}}t\right)^{2}}{a^{2}\left[1+\left({\frac {\hbar t}{ma^{2}}}\right)^{2}\right]}}\right]\,.

Gauss to‘lqin paketining markazi fazoda $\hbar k_{0}/m,$ o‘zgarmas tezlik bilan, xuddi kuch ta’sir qilmaydigan klassik zarracha kabi harakatlanadi. Biroq vaqt o‘tishi bilan to‘lqin paketi $\hbar t/ma,$ miqdorga yoyilib boradi, ya’ni animatsiyada ko‘rsatilganidek, zarrachaning joylashuvi tobora noaniq bo‘ladi.

Qutidagi zarracha

Cheksiz devorlari bo‘lgan bir o‘lchamli potensialdagi zarracha energiya sathlari kvantlanishini keltirib chiqaruvchi chegaraviy shartlarning eng sodda matematik misolidir. Quti zarrachaning ichida muayyan soha bo‘ylab potensial energiyasi nolga, boshqa barcha joylarda tashqarida cheksiz potensial energiyaga ega bo‘lgan potensial bilan aniqlanadi. Bir o‘lchamli holatda $x$ o‘qi bo‘ylab vaqtga bog‘liq bo‘lmagan Shryodinger tenglamasi quyidagicha yoziladi:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .

Impulsning differensial operatorini kiritganda, ${\hat {p}}_{x}=-i\hbar \,d/dx,$ oldingi tenglamani klassik kinetik energiya,

{\frac {1}{2m}}{\hat {p}}_{x}^{2}=E\,,

formulasiga o‘xshash tarzda yozish mumkin; holat $\psi$ bo‘lib, uning energiyasi $E$ bu holatda zarrachaning kinetik energiyasiga tengdir.

Bir o‘lchamli qutidagi zarracha to‘lqin funksiyasining fazoviy qismi uchun Shryodinger tenglamasining umumiy yechimlari quyidagicha:

\psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx},\qquad \qquad E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}},

yoki Eyler formulasi,

\psi (x)=C\sin kx+D\cos kx\,.

bo‘yicha. Qutining cheksiz potensial devorlari noma’lum koeffitsiyentlar $C,D$ va $k$ qiymatlarini quyidagi shartdan aniqlaydi: nuqtalarda $x=0$ va $x=L$ to‘lqin funksiyasi $\psi$ nolga teng bo‘lishi kerak. Shunday qilib, $x=0$

\psi (0)=0=C\sin 0+D\cos 0=D,

bundan $D=0$ kelib chiqadi. Nuqtada $x=L$

\psi (L)=0=C\sin kL\,;

bu yerda na $C,$ na $k$ nol bo‘la oladi, chunki aks holda $\psi$ funksiya aynan nolga teng bo‘lib qoladi. Bu esa $\psi$ normasi 1 ga teng bo‘lishi haqidagi postulatga zid. Demak, $\sin kL=0,$ argument $kL$ ga karrali $\pi ,$ bo‘lishi kerak, ya’ni:

k_{n}={\frac {n\pi }{L}},\qquad \qquad n=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots \,.

Ushbu cheklov $k$ tizimning mumkin bo‘lgan xos funksiyalarini turg‘un to‘lqinlarto‘plami bilan cheklaydi: ularda yarim to‘lqinlar potensial quduq uzunligiga butun marta joylashadi. Zarrachalarning mumkin bo‘lgan energiya qiymatlari ham diskret to‘plam bilan cheklanadi:

E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}\,.

To‘g‘ri burchakli kvant qudug‘i — cheksiz potensial quduq masalasini cheklangan chuqurlikdagi potensial quduqlarga umumlashtiradi. Cheklangan potensial quduq masalasi qutidagi zarracha masalasidan matematik jihatdan murakkabroq: to‘lqin funksiyasi quduq devorlarida nol bo‘lishi shart emas. Aksincha, u murakkabroq chegaraviy shartlarga bo‘ysunishi kerak, chunki odatda quduqdan tashqarida ham nolga teng bo‘lmaydi. Yana bir o‘xshash masala to‘g‘ri burchakli potensial to‘siqbilan bog‘liq bo‘lib, u kvant tunnellanish effektiningbo‘lib, u flesh-xotira va boshqa zamonaviy texnologiyalar, jumladan flesh-xotira va skanerlovchi tunnel mikroskopiyasi.

Garmonik ossillyator

Kvant garmonik ossillyatorining potensiali klassik holatdagi kabi quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:

V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\,.

Kvant garmonik ossillyatorining energiya sathlari va holat funksiyalarini Shryodinger tenglamasini bevosita yechib topish mumkin, ammo bu oddiy vazifa emas. Yoki Pol Dirak ilk bor taklif qilgan nafisroq «zinapoya usuli»dan foydalanish mumkin. Kvant garmonik ossillyatorining xos holatlari quyidagicha beriladi:

\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\left({\frac {\lambda }{\pi }}\right)^{1/4}e^{-{\frac {\lambda x^{2}}{2}}}H_{n}\left({\sqrt {\lambda }}x\right)\,,

bu yerda $\lambda =m\omega /\hbar$ va $n=0,1,2,\ldots \,,$ H_n — Ermit ko‘phadlari

H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right),

va tegishli energiya sathlari diskretdir:

E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)\,.

Bu energiyaning diskretlashishini ko‘rsatadigan yana bir misol bo‘lib, bog‘langan holatlarda kuzatiladi.

Max — Sender interferometri

Max — Sender interferometri differensial tenglamalarsiz, 2 o‘lchamli diskret fazodagi chiziqli algebra yordamida superpozitsiya va interferensiya tushunchalarini namoyish etadi. Uni ikki tirqishli tajribaning soddalashtirilgan ko‘rinishi deb qarash mumkin, ammo o‘zi ham qiziqarli. Masalan, bu Kvant o‘chirg‘ichi bilan kechiktirilgan tanlov, Elitsur — Vaydman bombasi tajribasi^[ingl.] va kvant chigallashuvini o‘rganishda ham.

Interferometrdan o‘tayotgan fotonni ko‘rib chiqaylik. Har bir nuqtada u faqat ikkita yo‘lning superpozitsiyasida bo‘lishi mumkin: chapdan boshlanib ikkala nur ajratgichdan to‘g‘ri o‘tib tepada tugaydigan «quyi» yo‘l va pastdan boshlanib ikkala nur ajratgichdan to‘g‘ri o‘tib o‘ngda tugaydigan «yuqori» yo‘l. Demak, fotonning kvant holati $\psi \in \mathbb {C} ^{2}$ — «quyi» yo‘l $\psi _{l}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ va «yuqori» yo‘l $\psi _{u}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ superpozitsiyasidir, ya’ni $\psi =\alpha \psi _{l}+\beta \psi _{u}$ kompleks koeffitsiyentlar uchun. $\alpha ,\beta$ Postulatni qanoatlantirish uchun $\langle \psi ,\psi \rangle =1$ shart bajarilishi kerak. $|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1$ .

Quyi va yuqori nur ajratgichlar^[ingl.] mos ravishda $B_{l}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}}$ va $B_{u}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}}$ matritsalar bilan ifodalanadi. Demak, foton nur ajratgichga tushganda $1/{\sqrt {2}}$ amplituda bilan o‘sha yo‘lda qolishi yoki $1/{\sqrt {2}}$ amplituda bilan boshqa yo‘lga qaytishi mumkin (faza πga siljiydi). Ko‘zgu $M={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.$ matritsa bilan ifodalanadi. Yelkaga o‘rnatilgan faza aylantirgich $P={\begin{pmatrix}e^{i\Delta \Phi }&0\\0&1\end{pmatrix}},$ unitar matritsa bilan modellashtiriladi: agar foton «yuqori» yo‘lda bo‘lsa, uning nisbiy fazasi $\Delta \Phi$ ga o‘zgaradi; quyi yo‘lda bo‘lsa, o‘zgarmaydi.

Interferometrga chapdan kirgan foton avval $B_{l}$ nur ajratgich, ko‘zgu, faza aylantirgich $P$ va yana bir nur ajratgich $B_{u}$ ta’siriga uchrab, quyidagi holatga keladi:

B_{u}PMB_{l}\psi _{l}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}e^{i\Delta \Phi }+1\\e^{i\Delta \Phi }-1\end{pmatrix}}\,,

Uning o‘ng tomonda yoki yuqorida qayd etilish ehtimolliklari mos ravishda quyidagicha:

p(u)=|\langle \psi _{u},B_{u}PMB_{l}\psi _{l}\rangle |^{2}=\cos ^{2}{\frac {\Delta \Phi }{2}}\,,

p(l)=|\langle \psi _{l},B_{u}PMB_{l}\psi _{l}\rangle |^{2}=\sin ^{2}{\frac {\Delta \Phi }{2}}\,.

Shunday qilib, Max — Sender interferometridan faza siljishini ushbu ehtimolliklarni hisoblash orqali baholashda foydalanish mumkin.

Yana fotonning nur ajratgichlar orasida aniq «quyi» yoki «yuqori» yo‘lda bo‘lsa, nima yuz berishini ham aniqlash mumkin. Buning uchun yo‘llardan birini to‘sish yoki unga teng ravishda birinchi nur ajratgichni olib tashlab, fotonni istakka ko‘ra chapdan yoki pastdan yuborish mumkin. Har ikkala holatda yo‘llar orasida interferensiya qolmaydi va ehtimolliklar $p(u)=p(l)=1/2,$ fazaga bog‘liq bo‘lmagan holda aniqlanadi. $\Delta \Phi$ Bundan xulosa qilish mumkinki, foton birinchi nur ajratgichdan keyin ma’lum bir yo‘lni tanlamaydi, balki ikkala yo‘lning haqiqiy kvant superpozitsiyasida bo‘ladi.

Qo‘llanish sohalari

Kvant mexanikasi kichik miqyosdagi fizik hodisalar, diskret kattaliklar va o‘zaro ta’sirlarning klassik usullar bilan tushuntirib bo‘lmaydigan ko‘plab jihatlarini izohlashda ulkan yutuqlarga erishdi klassik usullar. Kvant mexanikasi ko‘pincha materiyaning barcha shakllarini tashkil qiluvchi subatom zarralarningalohida xatti-harakatini tushuntira oladigan yagona nazariyadir. Ulargaelektronlar, protonlar, neytronlar, fotonlar va boshqalar kiradi. Qattiq jismlar fizikasi va materialshunoslik qonunlari kvant mexanikasi bilan izohlanadi.

Zamonaviy texnologiyalarning ko‘p jihatlari kvant effektlari muhim bo‘lgan miqyoslarda ishlaydi. Kvant nazariyasining asosiy qo‘llanishlariga kvant kimyosi, kvant optikasi, kvant hisoblashlari, o‘ta o‘tkazuvchi magnitlar, yorug‘lik chiqaruvchi diodlar, optik kuchaytirgichlar va lazerlar, tranzistorlar va yarimo‘tkazgichlar, mikroprotsessorlar, tibbiy va tadqiqot tasvirlash usullari (masalan, magnit-rezonans tomografiya va elektron mikroskopiya) kiradi. Ko‘plab biologik hodisalarni tushuntirish kimyoviy bog‘lanish tabiatiga, ayniqsa DNK.

kabi makromolekulalardagi bog‘lanishga asoslanadi. Aslida, zamonaviy yarimo‘tkazgich elektronikasining barchasi kvant mexanikasiga tayanadi, chunki u qattiq jismlarning zona tuzilishini bilishni talab qiladi. Texnologiya kremniy qatlamlariga turli elementlarni legirlash va nanometr miqyosidagi tranzistorlarni yaratish imkonini beradi. Bunday elementlarning ko‘pchiligi stol kompyuterlari, noutbuklar, planshetlar, smartfonlar, maishiy texnika va bolalar o‘yinchoqlari kabi barcha texnologik qurilmalarni boshqaruvchi chiplarni tashkil qiladi. Butunjahon tarmog‘idagioptik tolali kabellar orqali xabar uzatadigan yorug‘lik manbalari materiallarning kvant xossalari haqidagi bilimlar yordamida yaratilgan lazerlardir. Smartfon navigatsiyasi global sun’iy yo‘ldosh joylashuv tizimlariorqali ta’minlanadi. Ular vaqtni juda aniq o‘lchash tufayli ishlaydi. Smartfondagi GPS qabul qilgichi orbitadagi atom soatlariga ega har bir yo‘ldoshdan signal qabul qilib, ulargacha bo‘lgan masofani hisoblaydi va o‘z joylashuvini bir necha metr aniqlikda topadi. Atom soatlarida ishlatiladigan optik o‘tish kvant mexanikasi bilan tavsiflanadigan o‘ta nozik o‘tishdir. Bemorning yumshoq to‘qimalarini magnit-rezonans tomografiya.

Boshqa ilmiy nazariyalar bilan aloqasi

Klassik mexanika

Kvant mexanikasi postulatlariga ko‘ra, kvant tizimining holatlar fazosi Gilbert fazosi bo‘lib, tizimning kuzatiladigan kattaliklariga ushbu fazo vektorlariga ta’sir etuvchi Ermit operatorlarimos keladi. Biroq postulatlar qaysi Gilbert fazosi va operatorlar ishlatilishini aniqlamaydi. Fizik tizimlarning xatti-harakatini bashorat qilish uchun zarur bo‘lgan miqdoriy tavsifni olish maqsadida ular mos ravishda tanlanishi kerak. Bunda moslik prinsipiqo‘llanadi. Ushbu evristik qoida katta kvant sonlarichegarasida kvant mexanikasi bashoratlari klassik mexanika bashoratlariga yaqinlashishini bildiradi. Muayyan tizimning ma’lum klassik modelidan boshlab, moslik chegarasida shu modelga aylanadigan asosiy kvant modelni topishga ham urinish mumkin. Bu yondashuv kvantlash.

deb ataladi. Kvant mexanikasi dastlab shakllantirilganida, moslik chegarasi norelyativistik klassik mexanikabo‘lgan modellarga tatbiq etilgan. Masalan, keng o‘rganilgan kvant garmonik ossillyatori modeli ossillyatorning kinetik energiyasi uchun aniq norelyativistik ifodadan foydalanadi va shu sababli klassik garmonik ossillyatorning.

kvant ko‘rinishidir. Kvantlash jarayonida xaotik tizimlarqiyinchilik tug‘diradi, chunki ularda qulay kvant sonlari yo‘q. Kvant xaosi bunday tizimlarning klassik va kvant tavsiflari o‘rtasidagi bog‘liqlikni o‘rganadi.

Kvant dekogerensiyasi — kvant tizimlarining kogerentligini yo‘qotishi va shu tariqa ko‘plab odatiy kvant effektlarini namoyon eta olmasligi mexanizmidir: kvant superpozitsiyasi oddiy ehtimolliklar yig‘indisiga, kvant chigallashuvi esa oddiy klassik korrelyatsiyalarga aylanadi. Harorat mutlaq nolgayaqinlashadigan hollar bundan mustasno, kvant kogerentligi odatda makroskopik miqyosda namoyon bo‘lmaydi; juda past haroratlarda kvant xatti-harakati makroskopik tarzda kuzatilishi mumkin.

Klassik tizimning ko‘plab makroskopik xossalari uning tarkibiy qismlaridagi kvant xatti-harakatining bevosita natijasidir. Masalan, hajmli moddaning barqarorligi (u atomlar va molekulalardaniborat bo‘lib, faqat elektr kuchlari ta’sirida tezda yemirilgan bo‘lardi), qattiq jismlarning qattiqligi hamda moddaning mexanik, issiqlik, kimyoviy, optik va magnit xossalari — barchasi elektr zaryadlarining kvant mexanikasi qonunlariga muvofiq o‘zaro ta’siri natijasidir.

Kvant effektlarining makroskopik miqyosda namoyon bo‘lishi tajribada faol (Braun) harakat qilayotgan o‘ndan bir millimetr o‘lchamdagi granulalarda o‘ta oquvchan geliyda.

Maxsus nisbiylik nazariyasi va elektrodinamika

Kvant mexanikasini maxsus nisbiylik nazariyasi bilan birlashtirishga dastlabki urinishlar Shryodinger tenglamasini kovariant tenglamaga, masalan, Kleyn — Gordon yoki Dirak tenglamasibilan almashtirishni o‘z ichiga olgan. Ushbu nazariyalar ko‘plab tajriba natijalarini muvaffaqiyatli izohlasa-da, zarrachalarning paydo bo‘lishi va annigilyatsiyasini e’tiborga olmagani sababli ayrim qoniqarsiz xossalarga ega edi. To‘liq relyativistik kvant nazariyasi uchun kvant maydon nazariyasinirivojlantirishga to‘g‘ri keldi. U qat’iy belgilangan zarrachalar to‘plamini emas, maydonni kvantlaydi. Birinchi izchil kvant maydon nazariyasi — kvant elektrodinamikasi— elektromagnit o‘zaro ta’sirnito‘liq tavsiflaydi. Kvant elektrodinamikasi umumiy nisbiylik nazariyasibilan birgalikda yaratilgan eng aniq fizik nazariyalardan biridir.

Elektrodinamik tizimlarni tavsiflashda kvant maydon nazariyasining to‘liq apparati ko‘pincha shart emas. Kvant mexanikasi paydo bo‘lgandan buyon ishlatiladigan soddaroq yondashuv zaryadlangan zarrachalarga klassik elektromagnit maydonta’sir etadigan kvant-mexanik obyektlar sifatida qarashdir. Masalan, vodorod atomining tavsiflaydi elektr maydonini vodorod atomining klassik $\textstyle -e^{2}/(4\pi \epsilon _{_{0}}r)$ Kulon potensiali yordamidaorqali tasvirlaydi. Bu «yarimklassik» yondashuv elektromagnit maydonning kvant fluktuatsiyalari muhim rol o‘ynaganida, masalan, fotonlar zaryadlangan zarrachalar tomonidan nurlantirilganda samarasiz bo‘lib qoladi..

Shuningdek, kvant maydon nazariyalari kuchli yadroviy o‘zaro ta’sir va kuchsiz yadroviy o‘zaro ta’siruchun ham ishlab chiqilgan. Kuchli yadroviy o‘zaro ta’sirning kvant maydon nazariyasi kvant xromodinamikasi deb ataladi va kvarklar va glyuonlarkabi yadrodan kichik zarrachalarning o‘zaro ta’sirini tavsiflaydi. Kuchsiz yadroviy o‘zaro ta’sir bilan elektromagnit o‘zaro ta’sir kvantlashgan shaklda yagona kvant maydon nazariyasiga ( elektrokuchsiz nazariyadeb ataladigan) fiziklar Abdus Salom, Sheldon Gleshou va Stiven Vaynberg.

Umumiy nisbiylik nazariyasi bilan munosabati

Kvant nazariyasi va umumiy nisbiylik nazariyasining bashoratlari qat’iy hamda takrorlanuvchi empirik dalillarbilan tasdiqlangan bo‘lsa-da, ularning mavhum matematik formalizmlari bir-biriga zid. Shuning uchun ularni yagona izchil, ziddiyatsiz modelga birlashtirish nihoyatda mushkul. Elementar zarralar fizikasining ko‘plab sohalarida gravitatsiyani hisobga olmaslik mumkin. Shu sababli bu alohida qo‘llanishlarda umumiy nisbiylik nazariyasi bilan kvant mexanikasini birlashtirish shoshilinch masala emas. Ammo izchil kvant gravitatsiyasi nazariyasining mavjud emasligi fizik kosmologiya uchun va fiziklarning nafis «Barcha narsalar nazariyasi»ni izlashida jiddiy muammodir. Ikki nazariya orasidagi ziddiyatlarni bartaraf etish 20- va 21-asr fizikasining asosiy maqsadlaridan biriga aylandi. Bunday yagona nazariya nafaqat subatom fizika modellarini birlashtirishi, balki tabiatning to‘rt fundamental kuchini bitta kuch yoki hodisadan keltirib chiqarishi kerak.

Shu yo‘ldagi takliflardan biri — strunalar nazariyasi. Unga ko‘ra, elementar zarralar fizikasidagi nuqtasimon zarrachalar bir o‘lchamli obyektlar bilan almashtiriladi: bir o‘lchamli obyektlar — strunalarbilan almashtiriladi. Strunalar nazariyasi bu strunalarning fazoda qanday tarqalishi va o‘zaro ta’sirlashishini tavsiflaydi. Struna o‘lchamidan ancha katta masofalarda u oddiy zarracha kabi ko‘rinadi; massasi, zaryadi va boshqa xossalari strunaning tebranish holatiga bog‘liq bo‘ladi. Strunalar nazariyasida strunaning ko‘plab tebranish holatlaridan biri gravitongamos keladi. Graviton — gravitatsion o‘zaro ta’sirni tashuvchi kvant-mexanik zarrachadir.

Yana bir mashhur nazariya — ilmoqli kvant gravitatsiyasibo‘lib, gravitatsiyaning kvant xossalarini tavsiflaydi, ya’ni kvant fazo-vaqtnazariyasidir. Ilmoqli gravitatsiya nazariyasi standart kvant mexanikasi bilan standart umumiy nisbiylik nazariyasini birlashtirish va moslashtirishga urinishdir. Bu nazariya fazoni spin tarmoqlarideb ataluvchi cheklangan ilmoqlardan «to‘qilgan» juda nozik mato sifatida tasvirlaydi. Spin tarmog‘ining vaqt bo‘yicha rivojlanishi spin ko‘pigideb ataladi. Spin ko‘pigiga xos uzunlik miqyosi Plank uzunligibo‘lib, u taxminan 1,616 × 10⁻³⁵ m ga teng. Shu sababli Plank uzunligidan qisqaroq masofalar ilmoqli gravitatsiya nazariyasida fizik ma’noga ega emas.

Falsafiy oqibatlar

Yaratilganidan beri kvant mexanikasining ko‘plab natijalari va mantiqqa ziddek tuyuladigan jihatlari qizg‘in falsafiy bahslarni va ko‘plab talqinlarningpaydo bo‘lishini keltirib chiqargan. Munozaralar kvant mexanikasining ehtimollik tabiatini, to‘lqin funksiyasining kollapsi bilan bog‘liq qiyinchiliklarni, ularga aloqador o‘lchash muammosini, shuningdek, kvant nolokalliginiqamrab oladi. Balki bu masalalarda mavjud yagona kelishuv — umumiy kelishuv yo‘qligidir. Richard Feynman bir kuni shunday degan: «Ishonch bilan ayta olamanki, hech kim kvant mexanikasini tushunmaydi». Stiven Vaynbergfikricha: «Hozircha kvant mexanikasining to‘liq qoniqarli talqini mavjud emas, deb o‘ylayman».

Olimlarning, xususan, Nils Bor, Verner Geyzenberg va boshqa fiziklarning kvant mexanikasiga qarashlari ko‘pincha «Kopengagen talqini» nomi bilan birlashtiriladi. Ushbu qarashlarga ko‘ra, kvant mexanikasining ehtimollik tabiati kelajakda deterministik nazariya bilan almashtiriladigan vaqtinchalik xususiyat emas, balki klassik «sababiyat» g‘oyasidan uzil-kesil voz kechishdir. Xususan, Bor kvant-mexanik formalizmning har qanday aniq qo‘llanishi doimo tajriba qurilmasiga tayanishi kerakligini ta’kidlagan, chunki turli tajriba sharoitlarida olingan natijalar bir-birini to‘ldiruvchi xususiyatga ega. Kopengagen turidagi talqinlar XXI asrda ham ommaligicha qolmoqda.

Albert Eynshteynni, kvant nazariyasiningasoschilaridan birini, nazariyaning determinizm va lokallikkabi ayrim qadrli metafizik tamoyillarga go‘yoki zid kelishi bezovta qilgan. Eynshteyn va Borning kvant mexanikasi mazmuni va maqomi haqidagi uzoq davom etgan fikr almashinuvi hozir Bor — Eynshteyn bahslarideb yuritiladi. Eynshteyn kvant mexanikasi asosida masofadan ta’sir qilishnianiq taqiqlaydigan nazariya yotishi kerak deb hisoblagan. U kvant mexanikasini to‘liq emas, to‘g‘ri, ammo fundamental bo‘lmagan nazariya deb bilgan. Bu termodinamika to‘g‘ribo‘lsa-da, uning asosida yanada fundamental statistik mexanikayotishiga o‘xshaydi. 1935-yilda Eynshteyn va hamkorlari Boris Podolskiy va Natan Rozen lokallik prinsipi kvant mexanikasining to‘liq emasligini anglatishi haqidagi dalilni chop etdilar. Ularning tafakkur tajribasikeyinchalik Eynshteyn — Podolskiy — Rozen paradoksi (EPR) deb ataldi. 1964-yilda Jon Bell EPRdagi lokallik prinsipi determinizm bilan birga kvant mexanikasiga mos kelmasligini ko‘rsatdi: ular masofadagi tizimlar hosil qiladigan korrelyatsiyalarga cheklovlar qo‘yadi. Bu cheklovlar hozir Bell tengsizliklarideb ataladi va chigallashgan zarrachalar ularni buzishi mumkin. Shundan beri bir qancha tajribalar^[ingl.]o‘tkazilib, ushbu korrelyatsiyalar o‘lchandi. Natijalar Bell tengsizliklari haqiqatan ham buzilishini ko‘rsatdi va shu tariqa lokallik bilan determinizmni birlashtiruvchi yondashuvni rad etdi.

Bom mexanikasi kvant mexanikasini ochiq nolokallik evaziga deterministik shaklda qayta ifodalash mumkinligini ko‘rsatadi. U fizik tizimga nafaqat to‘lqin funksiyasini, balki nolokal boshqaruvchi tenglama bilan deterministik rivojlanadigan haqiqiy joylashuvni ham mos qo‘yadi. Fizik tizimning har qanday vaqtdagi evolyutsiyasi Shryodinger tenglamasi va yo‘naltiruvchi tenglama bilan belgilanadi; to‘lqin funksiyasi hech qachon kollapsga uchramaydi. Bu yondashuv o‘lchash muammosini hal qiladi.

Ko‘p olamlar talqini , Everett tomonidan 1956-yilda ifodalangan nazariyaga ko‘ra, barcha kvant nazariyasi tavsiflaydigan imkoniyatlar bir vaqtning o‘zida asosan mustaqil parallel koinotlardan iborat multikoinotda ro‘y beradi. Bu to‘lqin paketining kollapsi muammosini bartaraf qiladi, chunki o‘lchanayotgan tizim, o‘lchov asbobi va kuzatuvchining barcha mumkin bo‘lgan holatlari haqiqiy fizik kvant superpozitsiyasidamavjud bo‘ladi. Multikoinot deterministik bo‘lsa-da, biz ehtimolliklar bilan boshqariladigan nodeterministik xatti-harakatni idrok qilamiz, chunki biz butun multikoinotni emas, har bir vaqtda faqat bitta parallel koinotni kuzatamiz. Bu aynan qanday ishlashi haqida ko‘plab bahslar bo‘lgan. Born qoidasini keltirib chiqarishga bir necha bor urinishgan, lekin bu urinishlar muvaffaqiyatli bo‘lgan-bo‘lmagani haqida yakdil fikr yo‘q.

Relyatsion kvant mexanikasi 1990-yillarning oxirida Kopengagen uslubidagi g‘oyalarning zamonaviy davomchisi sifatida paydo bo‘lgan. Bir necha yil o‘tib esa kvant bayeschiligi.

Adabiyotlar

На русском языке

Альбеверио С., Гестези Ф., Хёэг-Крон Р., Хольден Х. Решаемые модели квантовой механики. М.: Мир, 1991. — 568 с.
Байков Ю. А., Кузнецов В. М., Петров Н. И. Нерелятивистская квантовая механика. — М.: Лаборатория знаний, 2025. — 318 с. — ISBN 978-5-93208-919-4.
Блохинцев Д. И. Принципиальные вопросы квантовой механики. Архивная копия от 11 ноября 2007 на Wayback Machine М.: Наука, 1966.
Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1976. — 664 с.
Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М.: Мир, 1990. — 720 с. — ISBN 5-03-001311-3.
Герштейн С. С., Берестецкий В. Б. Квантовая механика // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2: Добротность — Магнитооптика. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
Давыдов А. С. Квантовая механика. — 3-е изд. — СПб.: БХВ-Петербург, 2011. — 704 с. — ISBN 978-5-9775-0548-2.
Джеммер, Макс. Эволюция понятий квантовой механики / Пер. с англ. / Под ред. Л. И. Пономарёва. — М.: Наука, 1985. — 384 с.
Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики Архивная копия от 11 ноября 2007 на Wayback Machine (2-е издание), — М.: Наука, 1979.
Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1979. — 480 с. Архивная копия от 11 ноября 2007 на Wayback Machine
Иванов М. Г. Как понимать квантовую механику. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2012. — 516 с. — ISBN 978-5-93972-944-4.
Начальные главы квантовой механики / Н. В. Карлов, Н. А. Кириченко — М. : Физматлит, 2004 (ОАО Моск. тип. ј 6). — 359 с. : ил., табл.; 22 см; ISBN 5-9221-0538-8
Коэн-Таннуджи К., Диу Б., Лалоэ Ф. Квантовая механика / Пер. с франц.. — Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та, 2000. — Т. Т.1. — 944 с. — ISBN 5-7525-1131-3.
Коэн-Таннуджи К., Диу Б., Лалоэ Ф. Квантовая механика. Т.2. Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та, 2000. — 800 с.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.
Липкин А. И. Основания физики. Взгляд из теоретической физики. Архивная копия от 16 августа 2017 на Wayback Machine М.: URSS, 2014.— 207 с.
Милантьев, Владимир Петрович. История возникновения квантовой механики и развитие представлений об атоме. — М.: Книжный дом «Либроком», 2009. — С. 188. — 248 с. — ISBN 978-5-397-00146-5.
Мотт Н., Снеддон И. Волновая механика и её применения. — М., Наука, 1966. — Тираж 9400 экз. — 427 с.
Нейман И. Математические основы квантовой механики Архивная копия от 11 ноября 2007 на Wayback Machine, — М.: Наука, 1964.
Паули В. Общие принципы волновой механики Архивная копия от 10 ноября 2007 на Wayback Machine, — М. — Л.: ГИТТЛ, 1947.
Леонард Сасскинд, Арт Фриман — Квантовая механика: теоретический минимум / пер. с англ. А. Сергеев. — СПб.: Питер, 2015. — 400 с.
Садовский М. В. Лекции по квантовой теории поля. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 480 с. — ISBN 5-93972-241-5.
Степанов Н. Ф. Квантовая механика и квантовая химия.— 2013.
Садбери А. Квантовая механика и физика элементарных частиц. М.: Мир, 1989. — 488 с. Архивная копия от 24 апреля 2014 на Wayback Machine
Шифф Л. Квантовая механика. Рипол Классик, 2013.
Фаддеев Л. Д., Якубовский О. А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков. Архивная копия от 24 апреля 2014 на Wayback Machine Л., Изд-во ЛГУ, 1980. — 200 c.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Феймановские лекции по физике. Пер. с англ., Том. 8. Архивная копия от 9 ноября 2007 на Wayback Machine Том 9. Архивная копия от 9 ноября 2007 на Wayback Machine, М., 1966—1967.
Флюгге Зигфрид. Задачи по квантовой механике / Пер. с англ. / Под ред. А. А. Соколова. — М.: Мир, 1974. — Т. 1. — 344 с.
Фущич В. И., Никитин А. Г. Симметрия уравнений квантовой механики Архивная копия от 13 января 2012 на Wayback Machine, — М.: Наука, 1990.
Ченг Т.-П., Ли Л.-Ф. Калибровочные теории в физике элементарных частиц. — М.: Мир, 1987. — 624 с.
Шрёдингер Э. Избранные труды по квантовой механике Архивная копия от 10 ноября 2007 на Wayback Machine, — М.: Наука, 1976.

На английском языке

Auletta, Gennaro. Foundations and interpretation of quantum mechanics : in the light of a critical-historical analysis of the problems and of a synthesis of the results. — Singapore River Edge, NJ : World Scientific, 2000. — ISBN 9810240392.
von Neumann, John. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. — Princeton University Press, 1955. — ISBN 978-0-691-02893-4.
Transnational College of Lex. What is Quantum Mechanics? A Physics Adventure. — Boston : Language Research Foundation, 1996. — ISBN 978-0-9643504-1-0.