Hayotining oxirgi yillariga yaqin Richard Feynman keng jamoatchilik uchun KEDga bag‘ishlangan ma’ruzalar turkumini o‘qidi. Ular dastlab 1985-yilda nashr etilgan «KED — yorug‘lik va moddaning g‘aroyib nazariyasi» kitobiga asos bo‘ldi. Unda KED amplitudalarni tuzish va qo‘shish qoidalari orqali ommabop tarzda bayon etilgan.

Ushbu bayonda uchta asosiy unsur qo‘llanadi:

Foton fazo va vaqtning bir nuqtasidan boshqasiga ko‘chadi.

Elektron fazo va vaqtning bir nuqtasidan boshqasiga ko‘chadi.

Elektron fazoning muayyan nuqtasida va muayyan vaqtda fotonni chiqaradi yoki yutadi.

Bu jarayonlar Feynman diagrammalarining uch asosiy unsuri yordamida soddalashtirib tasvirlanadi: foton uchun to‘lqinsimon chiziq, elektron uchun to‘g‘ri chiziq va elektronning foton chiqarishi yoki yutishini bildiruvchi cho‘qqi sifatida ikki to‘g‘ri hamda bitta to‘lqinsimon chiziqning tutashuvi (rasmga qarang). Jarayonlarning grafik belgilaridan tashqari, Feynman ehtimollik amplitudalari deb ataladigan sonli kattaliklarni ham belgilaydi. Ehtimollik — umumiy ehtimollik amplitudasi modulining kvadrati: ${\displaystyle P=|𝒜{|}^2}$. Agar foton fazo va vaqtning A nuqtasidan fazo va vaqtning B nuqtasiga ko‘chsa, unga mos kattalik Feynmanning qisqa yozuvida quyidagicha ifodalanadi: ${\displaystyle P(A\text{ to }B)}$. Elektronning C nuqtasidan D nuqtasiga ko‘chishiga mos kattalik esa quyidagicha yoziladi: ${\displaystyle E(C\text{ to }D)}$. Foton chiqarilishi yoki yutilishi bilan bog‘liq ko‘paytuvchini u j deb ataydi. Bu kattalik elektr zaryadi bilan bog‘liq bo‘lib, standart Feynman qoidalarida cho‘qqi zaryad ko‘paytuvchisi va Dirak matritsasini o‘z ichiga oladi. G‘alayonlar nazariyasida elektronlar va fotonlarning murakkab o‘zaro ta’siri shu unsurlardan tuzilgan diagrammalar majmuasi bilan ifodalanadi. Avval alohida diagrammalarning amplitudaga hissasi hisoblanadi, so‘ng ularning yig‘indisidan kuzatiladigan ehtimollik aniqlanadi. Bir xil tashqi zarralarga bir necha turli diagramma mos kelishi mumkin.

Ehtimollik amplitudalarining asosiy qoidalari quyidagilar:

1. Berilgan kvant holatlari o‘rtasidagi o‘tishga kompleks amplituda mos keladi. O‘tish ehtimolligi uning moduli kvadratiga teng.
2. Bir xil yakuniy holatga olib keladigan kogerent muqobil imkoniyatlar uchun amplitudalar qo‘shiladi. O‘zaro ortogonal yakuniy holatlar uchun esa ehtimolliklar qo‘shiladi.
3. Elementar o‘tishlar ketma-ketligining hissasi tegishli amplitudalar ko‘paytmasini o‘z ichiga oladi; bunda kuzatilmaydigan oraliq holatlar bo‘yicha yig‘indi olinadi yoki integrallash bajariladi.

Elektron fazoning muayyan nuqtasida va muayyan vaqtda joylashgan boshlang‘ich holat ko‘rib chiqiladi (bu joy va vaqtga shartli ravishda A belgisi beriladi); foton esa fazo va vaqtning boshqa nuqtasida joylashadi (unga B belgisi beriladi). Fizik nuqtayi nazardan odatiy savol: «Elektronni C nuqtasida (boshqa koordinata va keyinroq vaqtda), fotonni esa D nuqtasida (yana boshqa koordinata va vaqtda) topish ehtimolligi qanday?» Bunga erishishning eng sodda jarayoni — elektronning A nuqtasidan C nuqtasiga erkin tarqalishi (bir elementar harakat) va fotonning B nuqtasidan D nuqtasiga ko‘chishidir (yana bir elementar harakat). Shu kichik jarayonlarning ehtimollik amplitudalarini — E ( A dan C ga) va P ( B dan D ga) — bilgan holda, ularni ko‘paytirib, ikkala jarayonning bir vaqtda sodir bo‘lish amplitudasini hisoblash mumkin. Shu tariqa umumiy ehtimollik amplitudasining sodda bahosi olinadi; ehtimollikni hisoblash uchun uning kvadrati olinadi.

Biroq yakuniy natijaga erishishning boshqa yo‘llari ham mavjud. Elektron fazo va vaqtning E nuqtasiga ko‘chib, u yerda fotonni yutishi, so‘ng harakatini davom ettirib, F nuqtasida yana bir foton chiqarishi mumkin; shundan so‘ng u qayd etiladigan C nuqtasiga boradi, yangi foton esa D. ga yo‘naladi. Ushbu murakkab jarayon amplitudasini alohida jarayonlarning ehtimollik amplitudalarini bilgan holda hisoblash mumkin: elektronning uchta harakati, fotonlarning ikkita harakati va ikkita cho‘qqi — biri chiqarilish, ikkinchisi yutilish uchun. To‘liq amplitudani topish uchun ixtiyoriy tanlangan E va F. nuqtalari uchun barcha jarayonlarning ehtimollik amplitudalari ko‘paytiriladi. So‘ng yig‘indi qoidasiga ko‘ra, E va F. ning barcha mumkin bo‘lgan holatlari uchun amplitudalar qo‘shiladi. Amalda bu jarayon oddiy emas va integrallashni talab qiladi. Yana bir imkoniyat: elektron dastlab G nuqtasiga o‘tib, u yerda D ga yo‘naladigan foton chiqaradi; keyin elektron H nuqtasiga o‘tib, dastlabki fotonni yutadi va undan so‘ng C ga boradi. Bu jarayonlarning amplitudasi ham (barcha G va H nuqtalari uchun) hisoblanishi mumkin. Har ikki imkoniyat bir xil tartibli hissalarni beradi va ehtimollikni hisoblashdan oldin ular qo‘shilishi kerak. Fotonning elektron bilan bu o‘zaro ta’siri Kompton sochilishi deb ataladi.

Qo‘shimcha cho‘qqilar va ichki chiziqlarni o‘z ichiga olgan yuqori tartibli diagrammalar soni cheksizdir. Bog‘lanish kuchsiz bo‘lsa, dastlabki tuzatishlar ko‘pincha asosiy hissadan kichik bo‘ladi, lekin bu to‘liq qatorning yaqinlashishini kafolatlamaydi. Muayyan tartib uchun diagrammalarning to‘liq to‘plami tanlanadi, natija aniqligi esa kinematikaga va radiatsion tuzatishlarni hisobga olish usuliga ham bog‘liq. Ichki cho‘qqilar koordinatalari bo‘yicha integrallash zarrachaning kuzatiladigan trayektoriyasini bermaydi. Feynman propagatori klassik signalning tarqalishini tavsiflovchi funksiyadan farq qiladi. Shu bois uning xususiyatlarini axborotni yorug‘likdan tezroq uzatish yoki zarrani kuzatiladigan o‘tmishga jo‘natish imkoniyati sifatida talqin qilib bo‘lmaydi. Antizarrachalarning hissasi maydon tarqalishining kovariant tavsifiga kiradi, sababiyat esa maydonlarning kommutatsion xossalari orqali ifodalanadi. Koordinatalar orqali tavsiflash qoidalarni tushuntirish uchun qulay, biroq tajribada zarraning aniq koordinatasi bilan aniq impulsi odatda bir vaqtda belgilanmaydi. Tayyorlangan holat quyidagilar bilan tavsiflanadi: to‘lqin paketi, harakat yo‘nalishi va energiyalar taqsimoti. Shu sababli koordinatali propagatorlar ifodaga boshlang‘ich va yakuniy holatlar funksiyalari bilan birga kiradi. Oraliq cho‘qqilar bo‘yicha integrallash — tajribani o‘zgartirmay qayd etish mumkin bo‘lgan hodisalarni sanash emas, balki amplitudani hisoblashdir. Impuls tasvirida xuddi shu jarayon saqlanish qonunlari va mustaqil ichki impulslar bo‘yicha integrallar yordamida ifodalanadi. Elektron va foton misolida zarralarning erkin harakati bilan haqiqiy sochilishni ham farqlash kerak. Sochilish matritsasining birlik hadi o‘zaro ta’sir yo‘qligini bildiradi; bog‘langan diagrammalar esa bu harakatdan og‘ishni ifodalaydi. Kompton sochilishining eng sodda ikki diagrammasi zaryad bo‘yicha bir xil tartibga ega va ular birgalikda hisobga olinishi kerak. «Avval yutilish» va «avval chiqarilish» iboralari elektron propagatorining tuzilishini tushunishga yordam beradi, ammo har bir diagrammani alohida o‘lchanadigan jarayonga aylantirmaydi. Ta’sir kesimi amplitudalar yig‘indisi, jumladan, ularning interferensiyasi orqali aniqlanadi.

Kvant mexanikasi ehtimolliklarni hisoblash usuliga muhim o‘zgarish kiritadi. Ehtimolliklar hanuz noldan birgacha bo‘lgan haqiqiy sonlar bilan ifodalanadi, biroq ular ehtimollik amplitudasi deb ataladigan, kompleks sonlar bilan ifodalanadigan kattalik modulining kvadrati sifatida hisoblanadi. Feynman o‘quvchini kompleks sonlar matematikasi bilan tanishtirmasdan, ularni qog‘oz yoki ekran yuzasidagi strelkalar ko‘rinishida sodda tasvirlaydi. Bu strelkalarni Feynman diagrammalaridagi fermion chiziqlaridagi strelkalardan farqlash lozim: ular amplitudaning kompleks fazasini emas, fermion chizig‘ining yo‘nalishini bildiradi. Amplituda strelkalari dunyoni kvant nazariyasida tavsiflash uchun fundamental ahamiyatga ega. Ular ehtimollik bilan oddiy qoida orqali bog‘langan: hodisaning ehtimolligi tegishli amplituda strelkasi uzunligining kvadratiga teng. Shunday qilib, berilgan jarayon uchun bir xil yakuniy holatga amplitudalari mavjud ikki kogerent muqobil yo‘l olib kelsa, ularning amplitudalari v va w bo‘lganda, jarayon ehtimolligi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

${\displaystyle P=|𝐯+𝐰{|}^2.}$

Bu formulada interferensiya hadi mavjud:

${\displaystyle P=|v{|}^2+|w{|}^2+2\mathrm{Re}(v^{\ast }w).}$

U nisbiy fazaga bog‘liq. Bir-biridan farqlanadigan yakuniy holatlarda umumiy ehtimollikda bunday had bo‘lmaydi.

Qo‘shish va ko‘paytirish — kompleks sonlar nazariyasidagi odatiy amallar bo‘lib, rasmlarda ko‘rsatilgan. Yig‘indi quyidagicha topiladi: ikkinchi strelkaning boshi birinchisining uchiga qo‘yiladi. Yig‘indi — birinchi strelkaning boshidan ikkinchisining uchigacha yo‘nalgan uchinchi strelka. Ikki strelka ko‘paytmasining uzunligi ularning uzunliklari ko‘paytmasiga teng. Ko‘paytma yo‘nalishi strelkalarning tayanch yo‘nalishga nisbatan burilish burchaklarini qo‘shish bilan aniqlanadi.

Spinni hisobga olganda amplitudalar qo‘shimcha indekslarga ega bo‘ladi. Foton propagatori ikkita Lorens indeksiga, elektron propagatori esa spinor indekslariga ega, biroq ularning komponentlarini fizik qutblanishlar soni bilan aynanlashtirmaslik lozim. Erkin haqiqiy foton ikkita ko‘ndalang qutblanishga, berilgan impulsli elektron esa ikkita spin holatiga ega. Tashqi zarralarning qutblanish xususiyatlari amplitudaga qutblanish vektorlari va spinorlar orqali kiradi. Elektronlar uchun fermion statistikasini ham hisobga olish zarur: ikki bir xil tashqi fermion o‘rin almashtirganda amplitudaning ishorasi o‘zgaradi. Ikki elektronning A va B nuqtalaridan C va D nuqtalariga tarqalishining eng sodda sxemasida to‘g‘ri va almashuv hissalari paydo bo‘ladi, ular orasida manfiy ishora mavjud: ${\displaystyle E(A\to C)E(B\to D)-E(A\to D)E(B\to C)}$. Bu ikki elektronli holatning antisimmetriyasidan kelib chiqadi, qo‘shimcha klassik itarish kuchi emas.

Qutblanish tajribasi faqat zarraning yo‘nalishi va energiyasi o‘lchangandagiga qaraganda batafsilroq yakuniy holatlarni belgilaydi. Qutblanish qayd etilsa, tegishli spin yoki foton holatining ehtimolligi hisoblanadi. Qayd etilmasa, ortogonal yakuniy qutblanishlarning ehtimolliklari qo‘shiladi. Qutblanmagan boshlang‘ich dasta uchun boshlang‘ich holatlar statistik vaznlari. bilan o‘rtachalanadi. Boshlang‘ich qutblanishlar bo‘yicha o‘rtachalash va yakuniy qutblanishlar bo‘yicha yig‘ish spinorlar yoki qutblanish vektorlarining o‘zi ustida emas, balki to‘liq amplitudaning kvadrati ustida bajariladi. Bu amallar tartibi, masalan, Kompton sochilishining qutblanmagan formulasini keltirib chiqarishda muhim. Amplitudalarni qo‘shish bilan ehtimolliklarni qo‘shish o‘rtasidagi farq asbobning ajratish qobiliyati cheklanganda ham saqlanadi. Qayd etilmagan yumshoq foton ushbu foton bo‘lmagan holatdan farqli kvant yakuniy holatini anglatadi. Detektor bunday hodisalarni tajribada bitta toifaga birlashtirishi mumkin, biroq ushbu toifani nazariy hisoblash ehtimolliklarni qo‘shishni o‘z ichiga oladi. Har bir holatning ichida esa tanlangan holatga olib boradigan barcha diagramma amplitudalari qo‘shiladi. Shuning uchun asbob hisobotida hodisalarni farqlab bo‘lmasligi har doim ularga mos kvant muqobillarning kogerentligini anglatmaydi.

Nihoyat, foton va elektron uchun tegishli ehtimollik amplitudalarini — P ( A dan B ga) va E ( C dan D ga) — hisoblash kerak. Bular tegishlicha Grin funksiyalari bo‘lib, elektromagnit maydon tenglamasi va Dirak tenglamasiga tanlangan kalibrlash hamda Feynman chegara qoidasi (qutblarni aylanib o‘tish qoidasi) bilan mos keladi. Ular Feynman propagatorlari deb ataladi. Standart adabiyotlarda odatda ishlatiladigan belgilashlarga o‘tish quyidagicha:

${\displaystyle P(A\text{ to }B)\to D_F(x_B-x_A),E(C\text{ to }D)\to S_F(x_D-x_C),}$

bunda qisqartirilgan belgi, masalan, ${\displaystyle x_A}$ vaqt va uchta fazoviy koordinatani belgilovchi to‘rtta haqiqiy sonni ifodalaydi. Nuqta belgisi — nuqtasining uchta fazoviy koordinatasini belgilovchi to‘rtta haqiqiy sonni ifodalaydi..

Propagator faqat maydonning differensial tenglamasiga emas, chegara shartiga ham bog‘liq. To‘lqin tenglamasining kechikuvchi, ilgarilovchi va boshqa Grin funksiyalari mavjud. G‘alayonlar nazariyasida amplitudalar Feynman funksiyasi bilan hisoblanadi, u operatorlarning vaqt bo‘yicha tartiblangan ko‘paytmasi bilan bog‘liq. Impuls tasvirida chegara shartlarini tanlash maxrajga cheksiz kichik qo‘shimcha kiritish orqali belgilanadi. Qabul qilingan kelishuvlarda erkin elektron propagatori quyidagi tuzilishga ega:

${\displaystyle S_F(p)=\frac{i({\gamma }^{\mu }{p}_{\mu }+m)}{p^2-m^2+i0}.}$

Surat spin haqidagi ma’lumotni, maxraj esa massa sirtining joylashuvini o‘z ichiga oladi. Shu sababli elektron propagatorini bitta skalyar funksiya bilan almashtirish nazariyaning muhim qismini yo‘qotadi.

Ichki to‘rt impuls massa sirtida yotishi shart bo‘lmagan qiymatlar bo‘yicha integrallanadi. Tashqi erkin elektron uchun esa energiya va impuls o‘zaro relyativistik munosabat bilan bog‘langan orqali bog‘langan. Bu farq amplitudadagi chiziqlarning matematik vazifasiga tegishli. U energiya saqlanishining qisqa muddatli buzilishi haqidagi farazni talab qilmaydi. Tashqi impulslari belgilangan statsionar masalada saqlanish qonuni cho‘qqilar koordinatalari bo‘yicha integrallashdan kelib chiqadi, mustaqil halqaviy impulslar soni esa diagrammaning bog‘lanish tuzilishi bilan belgilanadi. Elektromagnit maydon uchun kalibrlash tanlovi propagator shaklini o‘zgartiradi. Turli kalibrlash tasvirlari tanlangan tartibdagi barcha hissalar va tashqi holatlarga qo‘yilgan cheklovlar to‘liq hisobga olinganda bir xil fizik ehtimolliklarga olib kelishi kerak. Tavsifning ortiqchaligi kalibrlash simmetriyasi va fizik holatlarni tanlash sharti bilan bartaraf etiladi. Bu nurlanishning erkin spektriga yangi zarralarni qo‘shmasdan hisoblashlarning ochiq relyativistik shaklini saqlashga imkon beradi.

Elektronning A nuqtadan B nuqtaga o‘tish amplitudasini hisoblash uchun erkin propagatorga radiatsion tuzatishlarni ham hisobga olish kerak. Masalan, elektron chizig‘ida ichki foton chizig‘i bilan bog‘langan ikkita cho‘qqi bo‘lishi mumkin. Foton impulsi bo‘yicha integral elektronning xususiy energiyasiga kiradi va ultrabinafsha divergentsiyaga ega bo‘ladi. Massani qayta normallash boshlang‘ich Lagranjian parametrini fizik zarrani tavsiflovchi o‘lchanadigan massadan ajratadi. U maydon va zaryadni qayta normallash bilan birgalikda bajariladi. Bunday tuzilma doirasida KED, xususan, elektronning anomal magnit momentini va sochilishga radiatsion tuzatishlarni hisoblaydi. Elektron massasi va elektr zaryadi nazariyaga fizik parametrlar sifatida kiradi. KED kuzatiladigan kattaliklarning ushbu parametrlarga bog‘liqligini bashorat qiladi, lekin ularning son qiymatlarini faqat kalibrlash simmetriyasi talabidan kelib chiqib aniqlamaydi.

Ta’rifni qo‘yish ${\displaystyle D_{\mu }}$ Lagranjianga quyidagini beradi:

${\displaystyle ℒ=i\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }\psi -e\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }(A_{\mu }+B_{\mu })\psi -m\overline{\psi }\psi -\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }.}$

Ushbu Lagranjiandan maydonlarning harakat tenglamalarini olish mumkin ψ va A.

Variatsiya Qo‘shma spinor maydon bo‘yicha variatsiya olish Dirak tenglamasini beradi:

${\displaystyle (i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-e{\gamma }^{\mu }(A_{\mu }+B_{\mu })-m)\psi =0.}$

Uning chap tomonida erkin tenglama va umumiy potensial bilan o‘zaro ta’sir hadi mavjud. Dinamik elektromagnit potensial bo‘yicha variatsiya esa quyidagini beradi:

${\displaystyle {\partial }_{\nu }{F}^{\nu \mu }=j^{\mu },j^{\mu }=e\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi .}$

Bu Dirak maydoni toki qatnashgan Maksvell tenglamasidir; bunday variatsiyada berilgan tashqi potensial o‘zgarmaydi.

Agar Lorens kalibrlash sharti

${\displaystyle {\partial }_{\mu }{A}^{\mu }=0,}$

qabul qilinsa, tenglamalar quyidagicha soddalashadi:

${\displaystyle ◻A^{\mu }=e\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi ,}$

bu to‘lqin tenglamasi bo‘lib, to‘rt potensial uchun klassik Maksvell tenglamalarining Lorens kalibrlashidagi KED ko‘rinishidir. Bu yerda kvadrat belgisi Dalamber operatorini bildiradi, ${\displaystyle ◻={\partial }_{\alpha }{\partial }^{\alpha }}$.

Berilgan tashqi potensial bo‘lmasa, Lagranjian quyidagi lokal almashtirishga nisbatan invariantdir:

${\displaystyle \psi (x)\mapsto e^{-ie\chi (x)}\psi (x),A_{\mu }(x)\mapsto A_{\mu }(x)+{\partial }_{\mu }\chi (x).}$

Bunday almashtirishda spinorning oddiy hosilasi funksiya hosilasiga mutanosib qo‘shimcha had oladi; mazkur funksiya ${\displaystyle \chi }$. Kovariant hosila shu had potensial o‘zgarishi bilan qisqaradigan tarzda qurilgan. Natijada ${\displaystyle D_{\mu }\psi }$ xuddi shu fazada o‘zgaradi, ${\displaystyle \psi }$ qo‘shma spinor bilan ko‘paytma esa invariantligicha qoladi. Elektromagnit maydon tenzori ham o‘zgarmaydi, chunki kalibrlash funksiyasining aralash hosilalari qisqaradi. Elektr toki quyidagi ifoda bilan aniqlanadi: ${\displaystyle j^{\mu }=e\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi }$. Uning vaqt komponenti zaryad zichligini, fazoviy komponentlari esa elektr toki zichligini bildiradi. Izolyatsiyalangan sistema uchun butun fazo bo‘yicha zaryad zichligining integrali saqlanadi. Bu fikrning lokal shakli — uzluksizlik tenglamasidir. Qisqa isbot Maksvell tenglamasidan bevosita kelib chiqadi: yana bir hosila olish ${\displaystyle {\partial }_{\mu }{j}^{\mu }={\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{F}^{\nu \mu }=0}$ ni beradi, chunki maydon tenzori antisimmetrik, hosilalar ko‘paytmasi esa simmetrikdir. Shu qonunni Dirak tenglamasi va qo‘shma maydon tenglamasidan ham olish mumkin.

Kalibrlash simmetriyasi o‘zaro ta’sirning mumkin bo‘lgan ko‘rinishini cheklaydi. Potensial kvadratiga mutanosib fotonning odatiy massa hadi ushbu almashtirishda saqlanmaydi. Dirak maydonining potensial bilan minimal bog‘lanishi oddiy hosilani kovariant hosila bilan almashtirishdan kelib chiqadi. Biroq simmetriyaning o‘zi elektron massasi va zaryadining son qiymatlarini belgilamaydi: ular parametr bo‘lib qoladi. Fizik talablar to‘liq kuzatiladigan kattaliklar va hissalarning o‘zaro muvofiqlashtirilgan to‘plamiga tegishlidir. Tashqi potensial ${\displaystyle B_{\mu }}$ masala shartlari bilan belgilanadi. U tanlangan yaqinlashuvda harakati hisoblanmaydigan yadro, magnit yoki boshqa manba maydonini tavsiflashi mumkin. Dirak tenglamasiga tashqi va dinamik potensiallarning yig‘indisi kiradi. Agar tashqi manba bilan energiya almashinuvi ko‘rilsa, elektron-foton quyi sistemasi o‘zi yopiq bo‘lmasligi mumkin. Butun sistemada energiyaning saqlanishi amal qiladi, ammo quyi sistema uchun uning ifodasi berilgan maydonning statsionar ekaniga va manbaning qaysi erkinlik darajalari hisoblashdan chiqarilganiga bog‘liq.

Erkin elektromagnit maydonni normal modalarga ajratish mumkin. Har bir ko‘ndalang moda garmonik ossillyator kabi harakat qiladi, kvantlangandan keyin uning energiyasi diskret miqdorlarda o‘zgaradi. Yaratish va yo‘q qilish operatorlari tanlangan impuls va qutblanishli fotonlar sonini oshiradi yoki kamaytiradi. Ularning kommutatsion munosabatlari quyidagini belgilaydi: bozon statistikasi — bir xil fotonlarning istalgan manfiy bo‘lmagan butun soni mavjud bo‘lgan holat mumkin. Holatlar fazosi vakuumga yaratish operatorlarini ketma-ket qo‘llash orqali quriladi va zarrachalar soni turlicha bo‘lgan sektorlarni qamrab oladi. Kulon kalibrlashida erkin nurlanishning fizik erkinlik darajalarini vektor potensialining ikkita ko‘ndalang komponenti bilan belgilash qulay. Bu qutblanishlar sonini bevosita ko‘rsatadi, ammo fazoviy va vaqt komponentlari orasidagi simmetriyani yashiradi. Kovariant kvantlash yordamchi komponentlarni kiritish evaziga to‘rt o‘lchamli yozuvni saqlaydi. So‘ng fizik holatlarga qo‘yilgan shart kuzatiladigan nurlanishdan mustaqil skalyar va bo‘ylama qo‘zg‘alishlarni chiqarib tashlaydi. Hisoblashni tashkil etishning bu ikki yo‘li oraliq matematikasi bilan farqlanadi, biroq bir xil fizik foton holatlarini tavsiflaydi.. Bu qutblanishlar sonini bevosita ko‘rsatadi, ammo fazoviy va vaqt komponentlari orasidagi simmetriyani yashiradi. Kovariant kvantlash yordamchi komponentlarni kiritish evaziga to‘rt o‘lchamli yozuvni saqlaydi. So‘ng fizik holatlarga qo‘yilgan shart kuzatiladigan nurlanishdan mustaqil skalyar va bo‘ylama qo‘zg‘alishlarni chiqarib tashlaydi. Hisoblashni tashkil etishning bu ikki yo‘li oraliq matematikasi bilan farqlanadi, biroq bir xil fizik foton holatlarini tavsiflaydi.

Lorens sharti operatorlarga o‘tgandan keyin ehtiyotkorlikni talab etadi. Kovariant kvantlashda u potensialning barcha operator komponentlarini ixtiyoriy nolga tenglashtirish emas, mumkin bo‘lgan holatlarga qo‘shimcha shart sifatida bajariladi. Nofizik komponentlarning hissasi fizik o‘rtacha qiymatlarda qisqaradi. Shuning uchun to‘rt potensial uchun to‘lqin tenglamasining klassik yozuvi kvant masalasini to‘liq ifodalamaydi: holatlar fazosi, kommutatsion munosabatlar va kuzatiladigan qo‘zg‘alishlarni tanlash sharti ham aniqlanishi kerak. Fotonning tinchlik massasi nolga teng. Yassi to‘lqin uchun uning energiyasi tabiiy birliklarda impuls moduliga teng, ikki mustaqil doiraviy qutblanish esa qarama-qarshi ishorali spiralliklarga mos keladi. Chiziqli qutblangan holat ularning superpozitsiyasidir. Qutblanish bazisini almashtirish fizik mazmunni o‘zgartirmaydi: qutblanish korrelyatsiyalari tanlangan vektorlar bilan birga o‘zgarishi kerak. Bu turli bazislarda yozilgan formulalarni taqqoslash va yakuniy fotonning ajratilmaydigan qutblanishlari bo‘yicha yig‘ish uchun muhim.

Erkin Dirak maydonining yoyilmasi elektron va pozitron operatorlarini o‘z ichiga oladi. Musbat va manfiy chastotali yechimlar oldidagi koeffitsiyentlar zarralarni yo‘q qilish va antizarralarni yaratish operatorlari sifatida talqin etiladi. Bu yozuvda manfiy chastotali qism energiyasi chegarasiz manfiy bo‘lgan kuzatiladigan elektronlar to‘plamini anglatmaydi. Vakuum holati va normal tartiblash aniqlangandan so‘ng maydonning qo‘zg‘alishlari musbat energiyali elektronlar va pozitronlar sifatida tavsiflanadi. Ularning qarama-qarshi zaryadlari to‘liq elektr zaryad operatori ifodasidan kelib chiqadi. Fermion operatorlar antikommutatsion munosabatlarga bo‘ysunadi. Bitta moda uchun ulardan ${\displaystyle N^2=N}$ kelib chiqadi, shu sababli faqat nol va bir xos qiymatlar mumkin. Bu Pauli prinsipini ifodalaydi: ikkita bir xil zarra bir xil to‘liq bir zarrachali holatni egallay olmaydi. Cheklov barcha kvant sonlarining mos kelishiga tegishli; xususan, spin holatlari turli bo‘lgan ikki elektron bitta modani tashkil etmaydi. Operatorlar o‘rin almashtirilganda manfiy ishoralar hosil bo‘ladi, ular keyinchalik almashuv amplitudalarini hisoblash qoidalariga o‘tadi. Bozon va fermion statistikasi orasidagi farq nurlanish jarayonlarida bevosita namoyon bo‘ladi. Foton modasida undagi mavjud fotonlar majburiy nurlanishni kuchaytirishi mumkin. Elektron uchun esa yakuniy bir zarrachali holat band bo‘lsa, unga o‘tish taqiqlanadi. Alohida va siyrak dastalarni ko‘rishda amplitudalar antisimmetriyasini hisobga olish yetarli, ammo elektron holatlar to‘lgan sistemalarda ularning haqiqiy bandlik darajasi ham muhim.

G‘alayonlar nazariyasini qurish uchun dastlab erkin bozon va fermion maydonlari kvantlanadi. Bu turli jarayonlar ehtimollik amplitudalarini hisoblashda ishlatiladigan asimptotik holatlar to‘plamini yaratishga imkon beradi. Buning uchun evolyutsiya operatorini hisoblash kerak; uning boshlang‘ich va yakuniy holatlar orasidagi matritsa elementi o‘tish amplitudasini beradi.

${\displaystyle M_{fi}=⟨f|U|i⟩.}$

Bu usul S-matritsa usuli deb ham ataladi. Evolyutsiya operatori o‘zaro ta’sir tasvirida hosil qilinadi; bunda vaqt bo‘yicha evolyutsiya Gamiltonian bilan belgilanadi. U tashqi maydon bo‘lmagan holda o‘zaro ta’sir zichligining fazo bo‘yicha olingan, ishorasi teskari integraliga teng:

${\displaystyle V=e\int d^{3}x\overline{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi A_{\mu },}$

Yoki

${\displaystyle U=T\exp [-i{\int }_{t_0}^{t}d{t}^{\prime }V(t^{\prime })],}$

bu yerda T — vaqt bo‘yicha tartiblash operatori . Hisoblashlarda eksponenta vaqt bo‘yicha tartiblangan qatorga yoyiladi. Natijada zaryad bo‘yicha g‘alayonlar nazariyasi qatori hosil bo‘ladi. Bunda radiatsion tuzatishlarni nozik tuzilish doimiysining darajalari bo‘yicha tasniflash qulay. Bu qator Dayson qatori deb ataladi.

O‘zaro ta’sir tasvirida Gamiltonianning erkin qismi maydon operatorlarining vaqtga bog‘liqligini, o‘zaro ta’sir esa holat vektorining o‘zgarishini belgilaydi. Bunday ajratish erkin tenglamalarning ma’lum yechimlaridan foydalanish va tuzatishlarni tizimli qurish imkonini beradi. Vaqt bo‘yicha tartiblash zarur, chunki turli vaqtlardagi o‘zaro ta’sir operatorlari odatda kommutatsiyalanmaydi. Bunday tartiblashsiz oddiy eksponenta yoyilmadagi operatorlarning zarur ketma-ketligini bermaydi. Muayyan sonli cho‘qqilarga ega had ularning joylashuvi bo‘yicha integrallarni va tegishli kombinatorik ko‘paytuvchini o‘z ichiga oladi. Sochilish masalasida boshlang‘ich zarralar muhim o‘zaro ta’sirdan oldin tayyorlangan, yakuniy zarralar esa undan keyin qayd etilgan deb olinadi. Sochilish matritsasi tegishli asimptotik holatlarni bog‘laydi. Uning matritsa elementi hali o‘lchangan kesimga teng emas: holatlarning normallanishi, tushayotgan zarralar oqimi, kuzatish vaqti va yakuniy holatlar zichligini hisobga olish kerak. Aynan shu ko‘paytuvchilar amplitudani o‘tish tezligiga yoki to‘qnashuv ehtimolligini tavsiflovchi kesimga aylantiradi. Normallashga oid turli kelishuvlar oraliq formulalarni o‘zgartirishi mumkin, lekin yakuniy kattaliklarni o‘zgartirmaydi.

Vik teoremasi erkin operatorlarning vaqt bo‘yicha tartiblangan ko‘paytmalarini normal ko‘paytmalar va juftlashtirishlar yig‘indisiga aylantiradi. Har bir juftlashtirish propagator bilan bog‘lanadi. Bu operator ifodasi bilan grafik tasvir o‘rtasida moslik o‘rnatadi: chiziqlar juftlashtirishlardan, cho‘qqilar esa o‘zaro ta’sir hadlaridan hosil bo‘ladi. Diagrammalar texnikasi mavjud yoyilmani tartibga soladi va uning barcha hadlari, nisbiy ishoralari hamda kombinatorik koeffitsiyentlarini hisobga olishga yordam beradi.

O‘tish ehtimolligi normallangan kvant holatini tavsiflaydi, statsionar tajribada esa odatda kuzatish vaqtidagi hodisalar soni o‘lchanadi. Doimiy g‘alayon ta’siridagi o‘tishlar uchun jarayon tezligi ajratiladi. Qarama-qarshi harakatlanuvchi zarralar tajribasida natija qo‘shimcha ravishda oqimga bo‘linadi va bu ta’sir kesimi formulasini beradi. Bu kattaliklarning o‘lchov birliklari va normallash usullari turlicha. Differensial kesim yakuniy kinematik o‘zgaruvchilarning bir qismi haqidagi ma’lumotni saqlaydi. To‘liq kesim ruxsat etilgan soha bo‘yicha integrallash va ajratilmaydigan diskret kvant sonlari bo‘yicha yig‘ishdan keyin hosil bo‘ladi. Agar detektor faqat burchaklarning bir qismini qamrasa, bevosita cheklangan integral kattalik o‘lchanadi. Uni to‘liq kesim bilan taqqoslash uchun qayd etishning geometrik sohasini hisobga olish lozim. Bunday farq nurlanish yoki sochilish kuchli yo‘nalgan holatlarda ayniqsa muhim, chunki burchak diapazonining kichik qismi ham barcha hodisalarning sezilarli ulushini berishi mumkin. Fazaviy hajm berilgan energiya va impulslarga ega mavjud yakuniy holatlar sonini ifodalaydi. U to‘rt impuls saqlanishi cheklovlarini o‘z ichiga oladi va shu sababli zarralar hosil bo‘lish bo‘sag‘asidan o‘tilganda o‘zgaradi. Hatto amplituda sekin o‘zgarsa ham, bo‘sag‘a yaqinida kinematik omillar tufayli kesim keskin o‘zgarishi mumkin. Aksincha, ruxsat etilgan fazaviy hajm katta ehtimollikni kafolatlamaydi: spin yoki qutblanish shartlari matritsa elementini susaytirishi mumkin. Dinamik va kinematik tahlil kuzatiladigan taqsimotlarni tushuntirishda bir-birini to‘ldiradi.

To‘liq ehtimollikning saqlanishi sochilish matritsasining unitarlik sharti orqali ifodalanadi. Sochilish bo‘lmagan holatga mos birlik operator ajratilgach, bu shart to‘g‘ri o‘tish amplitudasini mumkin bo‘lgan oraliq holatlar bo‘yicha yig‘indi bilan bog‘laydi. Xususan, oldinga sochilish amplitudasining mavhum qismi tegishli kinematik ko‘paytuvchilar bilan o‘zaro ta’sirning to‘liq kesimi orqali aniqlanadi. Bunday munosabat optik teorema deb ataladi. U amplitudaning interferensiyaga oid xususiyatini barcha ruxsat etilgan kanallarning umumiy ehtimolligi bilan bog‘laydi. Kanallar bo‘yicha yig‘indi masalada qabul qilingan to‘liq holatlar to‘plamini qamrab olishi kerak. O‘lchov qo‘shimcha yumshoq fotonli jarayonlarni birlashtirsa, bu birlashtirish nazariyadagi kuzatiladigan kattalik ta’rifida ham aks ettirilishi kerak. Holatlarning bir qismini chiqarib tashlash hisoblash javob berayotgan savolni o‘zgartiradi. Shuning uchun unitarlikni tekshirish va tajriba bilan taqqoslash holatlar bo‘yicha matematik yig‘indi bilan hodisalarni tanlashning tajribaviy mezonlari o‘rtasida moslikni talab qiladi. Bu ayniqsa yumshoq nurlanish bilan kechadigan zaryadlangan zarralar jarayonlari uchun muhim.

Kvant elektrodinamikasining asosiy hisoblash usuli — g‘alayonlar usuli. Nolinchi yaqinlashuvda elektromagnit o‘zaro ta’sir e’tiborga olinmaydi va zarralar o‘zaro ta’sirlashmaydi deb olinadi. Birinchi, ikkinchi va keyingi yaqinlashuvlarda zarralar orasidagi bir martalik, ikki martalik va undan keyingi o‘zaro ta’sir hodisalari hisobga olinadi. O‘zaro ta’sirning har bir cho‘qqisi ehtimollikka emas, amplitudaga zaryadning bitta ko‘paytuvchisini ${\displaystyle e}$ kiritadi. O‘zaro ta’sir hodisalari qancha ko‘p ko‘rilsa, zaryad jarayon ehtimollik amplitudasi ifodasiga shuncha yuqori darajada kiradi. Kvant elektrodinamikasidagi hisoblashlar elementar zarralarning o‘zaro ta’sirini tavsiflovchi Lagranjiandan reaksiyalarning effektiv ta’sir kesimlarini va zarralarning parchalanish tezliklarini topishga qaratilgan. G‘alayonlar usulida hisoblash uchun Feynman diagrammalari usuli ishlatiladi; ular yordamida o‘tish ehtimolliklari ifodalariga kiruvchi matritsa elementlari hisoblanadi. Zaryad bo‘yicha tartib va halqalar soni diagrammaning turli jihatlarini ifodalaydi. Tashqi zarralar ma’lum to‘plami uchun eng past noldan farqli hissa, masalan, Kompton sochilishidagi kabi, bir necha cho‘qqini o‘z ichiga olishi mumkin. Qo‘shimcha halqa odatda bog‘lanish darajasini oshiradi, biroq hissalarni faqat rasmiga qarab taqqoslash yetarli emas: tashqi chiziqlar soni va muayyan kinematika ham muhim. Qabul qilingan normallashda radiatsion tuzatishlarning qulay o‘lchovsiz parametri nozik tuzilish doimiysi hisoblanadi. Kichik uzatilgan impulslarda u taxminan 1/137 ga teng; bu ko‘p masalalarda dastlabki tartiblarning amaliy samaradorligini tushuntiradi.

Agar asosiy amplituda ${\displaystyle {ℳ}_0}$, birinchi tuzatish esa ${\displaystyle \delta ℳ}$ bo‘lsa, ehtimollikka tuzatish avvalo ${\displaystyle 2\mathrm{Re}({ℳ}_0^{\ast }\delta ℳ)}$ interferensiya hadini o‘z ichiga oladi. Tuzatishning o‘z kvadrati yuqoriroq tartibga kiradi. Bundan amplituda va kuzatiladigan kattalik yoyilmasini bir xil izchillikda cheklash zarurligi kelib chiqadi. Alohida hisoblangan «diagrammalar ehtimolliklarini» oddiy qo‘shish natijani bermaydi, chunki bunda interferensiya hadlari tushib qoladi. Aynan shu holat nisbiy fazalar va ishoralarni, shu jumladan bir xil fermionlar almashuvidagi ishoralarni muhim qiladi. Ba’zi masalalarda boshqa nolinchi yaqinlashuv qulayroq. Bog‘langan elektron uchun yadroning Kulon maydonini shunchaki navbatdagi noyob to‘qnashuv deb bo‘lmaydi: u statsionar holatning o‘zini shakllantiradi. Kuchli tashqi magnit maydondagi harakatda ham berilgan maydondagi Dirak tenglamasining aniq yechimlari shunday vazifani bajaradi. Bunda kvantlangan nurlanish bilan o‘zaro ta’sir g‘alayon usulida hisoblanadi, tashqi potensial esa boshlang‘ich holatlar va propagatorlarga kiritilgan bo‘ladi. Radiatsion tuzatishning kichikligi bilan tashqi maydonning kuchsizligi turli farazlar bo‘lib, ular alohida tekshirilishi kerak.

Hisoblashlarda propagatorlarning Furye almashtirishlari bilan ishlash ancha qulay. Kvant elektrodinamikasi odatda sochilish tajribalarida tekshiriladi. Sochilish nazariyasida zarralarning joylashuvi emas, impulslari hisobga olinadi; zarralarni o‘zaro ta’sir vaqtida yaratiladigan yoki annigilyatsiyalanadigan deb tasavvur qilish qulay. Bu holda Feynman diagrammalari ko‘rinishidan bir xil, ammo chiziqlar boshqacha talqin qilinadi. Elektron chizig‘i muayyan energiya va impulsga ega elektronni, foton chizig‘i esa fotonni ifodalaydi. Cho‘qqi diagrammasi muayyan energiya va impulslarga ega bitta elektronning annigilyatsiyalanishi va boshqa elektronning yaratilishini, shu bilan birga fotonning yutilishi yoki yaratilishini tasvirlaydi.

Dayson qatorining hadlari haqidagi Vik teoremasidan foydalanib, kvant elektrodinamikasidagi S-matritsaning barcha hadlarini Feynman diagrammalari yordamida hisoblash mumkin. Ikki rasmda moslik qoidalari ko‘rsatilgan.

Bu qoidalarga yopiq konturlar uchun yana bittasini qo‘shish lozim; u impulslar bo‘yicha ${\displaystyle \int d^{4}p/(2\pi {)}^4}$ integrallashni nazarda tutadi, chunki mustaqil ichki to‘rt impulslar tashqi holatlar bilan belgilanmaydi. Ichki chiziqlar massa sirtidan tashqarida bo‘lishi mumkin, biroq har bir cho‘qqida to‘rt impuls saqlanadi.

Shular asosida bevosita ehtimollik amplitudalari hisoblanadi. Bunga Kompton sochilishi misol bo‘la oladi: bunda elektron va foton birgalikda elastik sochilishga uchraydi uchraydi. Bu holat uchun Feynman diagrammalari keltirilgan.

Tasvirlangan ikki diagrammaga g‘alayonlar qatorining zaryad bo‘yicha ikkinchi, eng past noldan farqli tartibidagi S-matritsa amplitudasi mos keladi:

${\displaystyle M_{fi}=(ie{)}^2\bar{u}({\overrightarrow{p}}^{\prime },s^{\prime })ϵ/{}^{\prime }({\overrightarrow{k}}^{\prime },{\lambda }^{\prime }{)}^{\ast }\frac{p/+k/+m_e}{(p+k{)}^2-m_e^2}ϵ/(\overrightarrow{k},\lambda )u(\overrightarrow{p},s)+(ie{)}^2\bar{u}({\overrightarrow{p}}^{\prime },s^{\prime })ϵ/(\overrightarrow{k},\lambda )\frac{p/-k{/}^{\prime }+m_e}{(p-k^{\prime }{)}^2-m_e^2}ϵ/{}^{\prime }({\overrightarrow{k}}^{\prime },{\lambda }^{\prime }{)}^{\ast }u(\overrightarrow{p},s),}$

bu yerda ${\displaystyle M_{fi}}$ — Kompton sochilishi amplitudasi, boshlang‘ich ${\displaystyle i}$ holatdan yakuniy ${\displaystyle f}$; ${\displaystyle i}$ holatga o‘tish uchun; ${\displaystyle (ie{)}^2}$ — mavhum birlik; ${\displaystyle e}$ ko‘paytuvchisidagi elektron zaryadining moduli; ${\displaystyle m_e}$ — elektron massasi; ${\displaystyle p}$ va ${\displaystyle p^{\prime }}$ — to‘rt impulslari — boshlang‘ich va yakuniy elektronlarga tegishli; ${\displaystyle k}$ va ${\displaystyle k^{\prime }}$ — tushuvchi va sochilgan fotonlarning to‘rt impulslari; ${\displaystyle \overrightarrow{p}}$, ${\displaystyle {\overrightarrow{p}}^{\prime }}$, ${\displaystyle \overrightarrow{k}}$ va ${\displaystyle {\overrightarrow{k}}^{\prime }}$ — ularning fazoviy komponentlari; ${\displaystyle s}$ va ${\displaystyle s^{\prime }}$ — boshlang‘ich va yakuniy elektronlarning spin holati belgilari; ${\displaystyle \lambda }$ va ${\displaystyle {\lambda }^{\prime }}$ — tushuvchi va sochilgan fotonlarning qutblanish holati belgilari. Amplituda ${\displaystyle |M_{fi}{|}^2}$ modulining kvadrati va kinematik ko‘paytuvchilar yordamida sochilish kesimi hisoblanadi; boshlang‘ich zarralar qutblanmagan va yakuniy qutblanishlar qayd etilmagan bo‘lsa, boshlang‘ich spin hamda qutblanish holatlari bo‘yicha o‘rtachalash, yakuniylari bo‘yicha yig‘ish bajariladi.

Ichki elektron chizig‘i uchun matritsali, foton chizig‘i uchun esa tenzorli propagator ishlatiladi. Cho‘qqida elektron toki Dirak matritsasi orqali foton potensiali bilan bog‘lanadi. Yopiq fermion chizig‘i uchun matritsalar ko‘paytmasining izi olinadi va qo‘shimcha manfiy ishora paydo bo‘ladi. Bir xil tashqi elektronlar uchun nisbiy ishorali almashuv diagrammalarini hisobga olish zarur. Bu qoidalar birgalikda o‘zaro ta’sirning lokal shakli, zarralar spini va ularning statistikasini ifodalaydi. Tashqi impulslar ichki o‘zgaruvchilarning faqat bir qismini belgilaydi. Halqalar mavjud bo‘lsa, ular bo‘yicha integrallanadigan mustaqil to‘rt impulslar qoladi. Propagator qutblari va Feynman qoidasi bu integrallar qanday talqin etilishini belgilaydi. Ultrabinafsha soha ichki impulsning katta qiymatlariga, infraqizil soha esa massasiz fotonning kichik energiyasiga mos keladi. Shu tariqa bitta grafik tasvir amplitudaning algebraik tuzilishini ham belgilaydi, integrallashning qaysi sohalari alohida tahlil talab qilishini ham ko‘rsatadi. Halqaning o‘zi mavjudligidan fizik natija divergent degan xulosa chiqarib bo‘lmaydi: suratlar, simmetriyalar va hissalar yig‘indisi muhimdir.

Kvant elektrodinamikasi bashoratlarining muvaffaqiyati ko‘p jihatdan Feynman diagrammalari orqali ifodalangan g‘alayonlar nazariyasidan foydalanishga asoslangan. Biroq kvant elektrodinamikasi g‘alayonlar nazariyasi doirasidan tashqaridagi hodisalarni ham bashorat qiladi. Berilgan elektr maydonda maydon manbai energiyasi hisobiga elektron-pozitron juftlari hosil bo‘lishi mumkin. Shvinger effekti^[ingl.] doimiy bir jinsli elektr maydonda kuchlanganlikka noanalitik bog‘liq bo‘lib, tashqi maydon bo‘yicha yoyilmaning chekli sondagi hadlari bilan ifodalanmaydi. Shu ma’noda u noperturbativ hodisadir. Vakuum holatining saqlanish ehtimolligi elektromagnit maydonning effektiv ta’siridagi mavhum qism bilan bog‘liq.

Erkin elektron vakuumda haqiqiy foton chiqarib, erkin elektronligicha qola olmaydi. Buni to‘rt impulsning saqlanishi bilan tekshirish mumkin: agar ${\displaystyle p=p^{\prime }+k}$ bo‘lsa, ${\displaystyle p^2=p{\text{'}}^2=m^2}$ va ${\displaystyle k^2=0}$ shartlar ${\displaystyle p^{\prime }\cdot k=0}$ ni beradi. Tinchlik sistemasida yakuniy elektron uchun bu ko‘paytma uning massasi va fotonning musbat energiyasi ko‘paytmasiga teng. Demak, noldan farqli foton uchun u nolga teng bo‘lolmaydi. Ammo Lagranjianda elementar cho‘qqining mavjudligi barcha tashqi zarralari haqiqiy bo‘lgan alohida jarayonning kinematik jihatdan mumkinligini kafolatlamaydi. Qo‘shimcha jism yoki tashqi maydon qatnashganda nurlanish mumkin bo‘ladi. Tormozlanish nurlanishida impulsning bir qismini sochuvchi markaz qabul qiladi; atom o‘tishida bog‘langan sistemaning ichki holati o‘zgaradi; sinxrotron nurlanishida harakat magnit maydon ta’sirida shakllanadi. Har bir holatda to‘liq sistemaning energiyasi va impulsi saqlanadi, garchi harakatsiz tashqi manba yaqinlashuvi uning tepkisini yashirishi mumkin bo‘lsa ham. Kinematik shartlar matritsa elementini hisoblashdan oldin aniqlanishi kerak: amplitudaning noldan farqli formal ifodasi saqlanish qonunlari taqiqlagan joyda ruxsat etilgan fazaviy hajmni yarata olmaydi.

Atom nurlanishini tavsiflashda elektronning boshlang‘ich va yakuniy holatlari tutib turuvchi potensialdagi tenglama yechimlari bilan aniqlanadi. Amplituda shu holatlar orasidagi tokning matritsa elementini va chiqariladigan foton xususiyatini o‘z ichiga oladi. Energiyalar farqi tepki uchun qabul qilingan yaqinlashuvni hisobga olgan holda mavjud chastotani belgilaydi. Ehtimollik faqat bunday farq mavjudligiga emas, matritsa elementiga ham bog‘liq: simmetriya va qutblanish ayrim o‘tishlarni susaytirishi mumkin. Shuning uchun spektr chizig‘i chastota, intensivlik va qutblanish xususiyatlari bilan tavsiflanadi; nazariya ular uchun turli, biroq o‘zaro bog‘liq bashoratlar beradi.

Maydonning kvantlanishi spontan va majburiy nurlanishni yagona tarzda tavsiflaydi. Yaratish operatori fotonlar soni ${\displaystyle N}$ bo‘lgan holatga ta’sir qilganda ${\displaystyle \sqrt{N+1}}$ ko‘paytuvchi, yo‘q qilish operatori ta’sir qilganda esa ${\displaystyle \sqrt{N}}$ ko‘paytuvchi hosil bo‘ladi. Amplituda kvadratga oshirilgach, tanlangan modaga nurlanish ${\displaystyle N+1}$ koeffitsiyentini, undan yutilish esa ${\displaystyle N}$ koeffitsiyentini o‘z ichiga oladi. Shuning uchun avval bo‘sh bo‘lgan modaga ham foton chiqarilishi mumkin, ammo bo‘sh modadan foton yutilmaydi. Nurlanish koeffitsiyentidagi birlik ehtimollikning spontan qismiga mos keladi. Modaning to‘lish darajasiga mutanosib hissa mavjud fotonlarning nurlanishni rag‘batlantirishini tavsiflaydi. Bunda to‘g‘ri va teskari o‘tishlarni taqqoslash uchun tegishli elektron holatlarini, chastotani, qutblanishni va foton holatlari zichligini hisobga olish kerak. Operator ko‘paytuvchilarining mosligi jarayonlar orasidagi bog‘liqlikning statistik qismini belgilaydi va spontan nurlanish, majburiy nurlanish hamda yutilish o‘rtasidagi munosabatlar asosida yotadi. Bunday tavsif vakuumda haqiqatan mavjud fotonlar to‘plami bor deb hisoblashni talab qilmaydi. Erkin maydon vakuumida to‘lish sonlari nol bo‘ladi, biroq yaratish operatori unga nol bo‘lmagan ta’sir ko‘rsatadi. Chiqarilgan foton energiyasi nurlanuvchi sistemaning energiyasi pastroq holatga o‘tishidan yoki tashqi manba ishidan olinadi. Manba energiyasi bilan maydonning kvant xususiyatlarini farqlash spontan nurlanish energiyaning saqlanishini buzadi yoki klassik jihatdan bo‘sh fazodan tayyor zarra chiqarib oladi degan xato tasavvurni oldini oladi.

Foton dastlab tinch holatdagi elektronda sochilganda energiyaning va impulsning saqlanishi yakuniy foton energiyasini sochilish burchagi bilan bog‘laydi:

${\displaystyle {\omega }^{\prime }=\frac{\omega }{1+(\omega /m)(1-\cos \theta )}.}$

Bu bog‘liqlik kinematik natijadir. Berilgan fazoviy burchakka sochilgan fotonlar sonini aniqlash uchun amplitudani dinamik hisoblash talab etiladi; bunda elektron spini, foton qutblanishi va eng past tartibdagi ikki diagrammaning interferensiyasi hisobga olinadi. Boshlang‘ich zarralar qutblanmagan bo‘lsa va yakuniy qutblanishlar bo‘yicha yig‘ilsa, Kleyn — Nishina formulasi olinadi:

${\displaystyle \frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}=\frac{r_e^2}{2}{\left(\frac{{\omega }^{\prime }}{\omega }\right)}^2(\frac{{\omega }^{\prime }}{\omega }+\frac{\omega }{{\omega }^{\prime }}-{\sin }^2\theta ),r_e=\frac{\alpha }{m}.}$

Bu yerda ${\displaystyle r_e}$ — elektronning klassik radiusi tabiiy birliklarda ifodalangan. U past energiyali elektromagnit kesim kattaligini belgilovchi massa va zaryad kombinatsiyasini ifodalaydi. Formula erkin elektron uchun amal qiladi, atomdagi bog‘lanish energiyasining ta’siri esa ko‘rilayotgan tajribada muhim bo‘lsa, alohida hisobga olinishi kerak. Foton energiyasi elektron massasiga nisbatan kichik bo‘lganda yakuniy va boshlang‘ich energiyalar nisbati birga yaqinlashadi. Kesim Tomson chegarasiga o‘tadi, burchaklar bo‘yicha integrallangach esa ${\displaystyle {\sigma }_{\mathrm{T}}=8\pi r_e^2/3}$ hosil bo‘ladi. Katta energiyalarda tepki sezilarli bo‘ladi: foton energiyasining katta qismini yo‘qotadi, burchak taqsimoti esa klassik holatdan farqlanadi. Bu o‘tish bitta kvant ifodasi ma’lum klassik yaqinlashuvni qanday takrorlashini va uning qo‘llanish chegaralarini belgilashini ko‘rsatadi.

Elektron katta energiya bilan harakat qilsa, laboratoriya sistemasida foton elektron hisobiga energiya olishi mumkin. Bu hodisa teskari Kompton sochilishi deb ataladi. Ayniqsa, qarama-qarshi yo‘nalishdagi to‘qnashuv geometrik sxemasi samaralidir: unda elektronning tinchlik sistemasida boshlang‘ich foton energiyasi Doppler siljishi tufayli ortadi. Sochilishdan keyin laboratoriya sistemasiga qayta o‘tish foton energiyasi va harakat yo‘nalishini qo‘shimcha ravishda o‘zgartiradi. Yetarlicha katta energiyalarda tepkini hisobga olish kerak, shuning uchun energiya oshishining sodda past energiyali baholarini cheksiz davom ettirib bo‘lmaydi.

KED fotonlar elektron-pozitron juftiga aylanishi yoki aksincha, elektron va pozitron annigilyatsiyalanib fotonlar hosil qilishi mumkinligini ko‘rsatadi. Ikki fotonli juft hosil bo‘lishida umumiy to‘rt impulsning kvadrati elektron ikki baravar massasining kvadratidan kam bo‘lmasligi kerak. Demak, bo‘sag‘a faqat fotonlarning energiyalariga emas, balki ularning harakat yo‘nalishlari orasidagi burchakka ham bog‘liq. Bir-biriga qat’iy parallel uchayotgan fotonlar juftining invariant massasi nolga teng, shu bois ular bunday ikki fotonli jarayonda massali zarralar hosil qila olmaydi. Bo‘sh fazodagi bitta haqiqiy foton ham elektron va pozitronga parchalana olmaydi: uning to‘rt impulsi kvadrati nolga teng, massali yakuniy juft uchun esa musbatdir. Yadro yoki boshqa ishtirokchi mavjud bo‘lsa, bu cheklov yo‘qoladi, chunki qo‘shimcha jism impulsni qabul qilishi mumkin. Og‘ir harakatsiz yadro yaqinlashuvida yadroga energiya uzatilishi kichik, biroq impuls uzatilishi muhimligicha qoladi. Shu sababli tashqi Kulon maydonini jarayonning kinematik izohidan chiqarib tashlab bo‘lmaydi, hatto manba tepki olishi energetik bo‘sag‘aga deyarli ta’sir qilmasa ham. Juft hosil bo‘lish, annigilyatsiya va Kompton sochilishi amplitudalari krossing simmetriyasi orqali bog‘lanadi. U tashqi chiziqlar talqinini o‘zgartirish va impulslarni analitik davom ettirish yo‘li bilan bir-biriga bog‘liq jarayonlar orasida o‘tish imkonini beradi. Bu munosabat amplitudalarga tegishli; kesimlar esa qo‘shimcha ravishda boshlang‘ich zarralar oqimi va yakuniy holatlar fazaviy hajmini o‘z ichiga oladi. Qutblanish va spinlar bo‘yicha o‘rtachalash ham har bir jarayonning muayyan shartlariga mos bo‘lishi kerak. Bo‘sag‘a yaqinida elektron va pozitronning nisbiy harakati sekinlashadi va ularning Kulon o‘zaro ta’siri alohida ahamiyat kasb etishi mumkin. Bunda erkin juft annigilyatsiyasi bilan bog‘langan holat — pozitroniy hosil bo‘ladigan jarayonlarni farqlash kerak. Erkin tashqi zarralar uchun eng past tartib bo‘sag‘a sohasining barcha xususiyatlarini o‘z-o‘zidan tavsiflab bermaydi.

Elektron massasi fotonlar va zaryadlangan zarralar energiyasini taqqoslash uchun tabiiy miqyosni belgilaydi. Foton energiyasi elektronning tinchlik energiyasidan ancha kichik bo‘lsa, Kompton jarayonida tepki kichik bo‘ladi. Ular taqqoslanadigan kattalikda bo‘lsa, tepki yakuniy chastota va burchak taqsimotini o‘zgartiradi. Yuqori energiyalarda relyativistik invariantlardan foydalanish qulay, chunki bir xil reaksiya laboratoriya sistemasida va impuls markazi sistemasida ancha farqli ko‘rinishi mumkin. Sanoq sistemasini ko‘rsatish energiya yoki burchak formulasini ta’riflashning bir qismidir.

Masalan, teskari Kompton sochilishida foton energiyasining ortishi laboratoriya sistemasiga tegishli. Boshlang‘ich elektronning tinchlik sistemasida odatiy Kompton kinematikasi qo‘llanadi; bu yerda sochilgan foton dastlab tinch turgan erkin zarradan energiya olmaydi. Bu ikki tavsif orasida ziddiyat yo‘q: sistemalar o‘zgartirilganda ikkala zarraning ham energiyasi va yo‘nalishi o‘zgaradi. Kuzatiladigan energiya oshishi laboratoriya tajribasidagi umumiy boshlang‘ich energiya balansiga kirgan elektronning kinetik energiyasi hisobiga yuz beradi.

Juft hosil bo‘lishi uchun eng ravshan mezon boshlang‘ich holatning invariant massasidir. Ikki foton yo‘nalishlari parallelga qanchalik yaqin bo‘lsa, alohida energiyalar bir xil bo‘lganda to‘qnashuvning invariant energiyasi shunchalik kichik bo‘ladi. Qarama-qarshi harakat esa ularning energiyasidan juft massasini hosil qilishda samaraliroq foydalanish imkonini beradi. Kesimning o‘lchovliligi ham turli chegaralarni taqqoslashga yordam beradi. Tabiiy birliklarda yuzaning o‘lchovliligi energiya kvadratiga teskari kattalikka teng. Nozik tuzilish doimiysi bilan elektron massasining kombinatsiyasi elektromagnit kesimlarning xos miqyosini belgilaydi. Energiya, burchak va qutblanishning o‘lchovsiz funksiyalari dinamika haqidagi ma’lumotni o‘z ichiga oladi hamda jarayondan jarayonga keskin farqlanishi mumkin. O‘lchovlilik bo‘yicha baholash formula izchilligini tekshiradi, sonli koeffitsiyent va kinematik bog‘liqlik esa amplitudadan olinishi kerak.

Kuchli tashqi ta’sirni muhokama qilishda alohida zarraning energiyasi, maydon kuchlanganligi va chiqariladigan foton energiyasini farqlash zarur. Yuqori energiyali elektronda nurlanishning sezilarli kvant effektlari yuzaga kelishi mumkin, hatto laboratoriyadagi maydonni berilgan klassik fon deb hisoblash qulay bo‘lsa ham. Nurlanishning klassik yaqinlashuvi uchun hal qiluvchi shart aniq harakatdagi tepkining kichikligidir. Tashqi maydonni Dirak tenglamasining boshlang‘ich yechimlariga kiritish uning ta’sirini kvantlangan fotonlar bilan o‘zaro ta’sir bo‘yicha yoyilmadan alohida hisobga olish imkonini beradi.

Kinematik chegaralar hisoblashlarni tekshirish uchun ham foydali. Formula ruxsat etilgan yakuniy holatlar bo‘lmaganda taqiqlangan kanalni chiqarib tashlashi, fizik ehtimollikning musbatligini saqlashi va shartlar bajarilgan joyda ma’lum yaqinlashuvni takrorlashi kerak. Kompton sochilishida bunday mezon Tomson chegarasi, juft hosil bo‘lishida energiya bo‘sag‘asi, sinxrotron nurlanishida esa tepki kichik bo‘lgandagi klassik natijaga o‘tishdir. Bu tekshiruvlar mos kelmaydigan ishoralar, tushib qolgan kinematik ko‘paytuvchilar yoki formulani qo‘llanish doirasidan tashqarida noto‘g‘ri ishlatishni aniqlashga yordam beradi. Turli mualliflar natijalarini taqqoslashda holatlar normallanishi, birliklar sistemasi va qutblanishlar bo‘yicha o‘rtachalash qoidalari ham solishtiriladi. Faqat shundan keyin yozuvdagi farqni bir jarayon haqidagi fizik bashoratlarning farqi deb talqin etish mumkin.

Ba’zi yuqori energiyali to‘qnashuvlarda ekvivalent fotonlar yaqinlashuvi qo‘llanadi. U Veytsekker — Uilyams usuli deb ham ataladi. Unda tez harakatlanuvchi zaryad bilan o‘zaro ta’sir taxminan fotonlar oqimi bilan o‘zaro ta’sirga keltiriladi. Bu o‘ta relyativistik zarraning elektromagnit maydoni asosan ko‘ndalang bo‘lishi va ma’lum kinematik sohada uzatiladigan foton virtualligining kichikligi bilan asoslanadi. Usul dastlabki to‘qnashuvni to‘liq hisoblash o‘rniga haqiqiy foton qatnashadigan soddaroq jarayon kesimidan foydalanishga imkon beradi.

Sxematik ravishda natija quyidagi ko‘rinishga ega:

${\displaystyle \sigma \simeq \int {\sigma }_{\gamma }(\omega )dN(\omega ),}$

bu yerda ${\displaystyle {\sigma }_{\gamma }}$ — tegishli fotojarayon kesimi, ${\displaystyle dN}$ esa ekvivalent fotonlar spektri. Spektr zaryadlangan manbaning harakati va kinematik cheklovlarga bog‘liq. Gap mos sharoitlarda virtual foton almashinuvi amplitudasini taxminiy faktorlash haqida bormoqda. Bu farqni saqlash usul nomini fizik talqin qilishda ayniqsa muhim. Qo‘llanish shartlari uzatilgan to‘rt impuls kvadratining fotojarayonning xarakterli miqyoslariga nisbatan kichikligi va to‘qnashayotgan zarralar nisbiy energiyasining yetarlicha kattaligini o‘z ichiga oladi. Virtuallik sezilarli bo‘lsa, ichki fotonni haqiqiy foton bilan almashtirish matritsa elementining muhim qismlarini yo‘qotadi. Shuning uchun bu usul diagramma texnikasining universal o‘rnini bosmaydi: u to‘liq natija soddalashadigan sohani ajratadi. Kinematik chegaralar spektr aniqlanayotgan masalaga, jumladan, impuls uzatishning ruxsat etilgan eng kichik va eng katta qiymatlariga mos kelishi kerak. Logarifmik yaqinlashuvda asosiy hissa virtualliklarning keng oralig‘i bo‘yicha integrallashdan keladi. Yuqori chegaraning tafsilotlari doimiy hadlarga yetakchi katta logarifmga qaraganda kamroq ta’sir qilishi mumkin. Bu usulning amaliy soddaligini tushuntiradi va bir vaqtning o‘zida aniqligini cheklaydi. Yuqori aniqlikdagi taqqoslashda yetakchi logarifm yetarlimi yoki tashlab yuborilgan qismlarni ham hisobga olish kerakmi, tekshirish lozim. Bu misol KEDda zaryad bo‘yicha yoyilmadan tashqari kinematik yaqinlashuvlardan ham foydalanilishini va ularning xatolari boshqa sabablarga ega ekanini ko‘rsatadi.

Tormozlanish nurlanishi zaryadlangan zarra foton chiqargan holda sochilganda yuzaga keladi. Yadro maydonidagi elektron uchun eng past tartibda nurlanish elektron chizig‘i bo‘ylab sochuvchi maydon bilan o‘zaro ta’sirdan oldin yoki keyin sodir bo‘ladigan hissalar mavjud. Bu hissalar bir xil yakuniy holatni tavsiflaydi va amplituda darajasida qo‘shilishi kerak. Ketma-ketlik nomlari diagrammalarni farqlash uchun ishlatiladi. Tashqi maydon impuls uzatilishini ta’minlaydi; busiz erkin elektronning nurlanishi mumkin bo‘lmas edi. Kuzatiladigan taqsimot elektron energiyasiga, foton energiyasi va yo‘nalishiga, shuningdek, sochuvchi markaz xususiyatlariga bog‘liq. Tashqi Kulon maydoni yaqinlashuvida yadro potensial manbai deb olinadi, uning tepki olishi va tuzilishi esa zarur bo‘lsa qo‘shimcha hisobga olinadi. Spektrning yumshoq qismi tajribaviy ajratish chegarasini belgilashni elastik sochilishga radiatsion tuzatishlardagidek izchil talab etadi. Juda zaif nurlanishli hodisalar tajribada «nurlanishsiz» toifaga kirishi mumkin; shuning uchun kanallar orasidagi nazariy chegara fotonlarni qayd etish bo‘sag‘asiga mos bo‘lishi kerak.

Farri tasvirida tashqi klassik potensial elektron maydonining boshlang‘ich tenglamasiga kiritiladi. Elektronning boshlang‘ich va yakuniy holatlari bu maydonni allaqachon hisobga oladi, kvantlangan nurlanish esa g‘alayon sifatida qaraladi. Bu yondashuv atom o‘tishlari, magnit maydondagi harakat va tashqi ta’sir holatlar asosiy tuzilishini belgilaydigan boshqa masalalarda qulay. Erkin yassi to‘lqinlar atrofidagi yoyilmadan farqli ravishda elektron funksiyalari va propagatorlari o‘zgaradi, biroq tokning kvantlangan potensial bilan lokal bog‘lanishi saqlanadi. Shu bilan birga berilgan maydonni aniq hisobga olish butun o‘zaro ta’sirlashuvchi kvant nazariyasini aniq yechish bilan teng emas. Maydon manbai ma’lum yaqinlashuvda ko‘riladi, teskari ta’sir tashlab yuborilishi mumkin, radiatsion tuzatishlar esa hamon chekli tartibgacha hisoblanadi. Hisoblashni shunday tashkil qilish foydali, chunki g‘alayonlar nazariyasini qo‘llashdan oldin muhim tashqi ta’sirni hisobga olishga imkon beradi. Uning aniqligi bir necha mustaqil farazga ko‘ra baholanadi: manba tavsifi, tanlangan elektron holatlari va nurlanish bilan o‘zaro ta’sir tartibi.

Elektron magnit maydonda harakat qilganda elektromagnit kuch uning impulsi yo‘nalishini o‘zgartiradi va elektron nurlanadi. Klassik nazariya bitta foton zarra energiyasining kichik qismini olib ketadigan sharoitdagi spektrni tavsiflaydi. Kvant nazariyasi qo‘shimcha ravishda nurlanishning diskretligi, tepki va spinni hisobga oladi. Fotonlarning xarakterli energiyasi elektron energiyasi bilan taqqoslanadigan bo‘lsa, klassik yaqinlashuv yetarli bo‘lmaydi va nurlanish ehtimolligi hamda spektral taqsimot kvant kinematikasi bilan hisoblanishi kerak. Spin aylanishi bilan kechadigan o‘tishlar ehtimolligi ikkita qarama-qarshi boshlang‘ich yo‘nalish uchun har xil. Shuning uchun dastlab qutblanmagan dasta ham vaqt o‘tishi bilan spinning ustun yo‘nalishiga ega bo‘ladi. Bu mexanizm Sokolov — Ternov effekti deb ataladi. Elektronlar uchun spinning ustun yo‘nalishi magnit maydoniga qarama-qarshi, pozitronlar uchun esa u bilan bir xil bo‘ladi. Bu dasta nurlanish dinamikasiga tegishli: qutblanish magnit maydondagi ikki spin holati energiyasining farqi bilangina emas, o‘tish tezliklarining turlicha bo‘lishi sababli ham yuzaga keladi. Bir jinsli maydonda o‘ta relyativistik zarra harakatining ideallashtirilgan masalasida, kvant tepkisi kichik va depolyarizatsiya bo‘lmaganda, muvozanat qutblanishining moduli ${\displaystyle 8/(5\sqrt{3})\approx \mathrm{0,924}}$ ga teng. Doimiy sharoitda muvozanatga yaqinlashish spin o‘tishlari tezliklari yig‘indisi bilan belgilanadigan xarakterli vaqtli eksponensial bog‘liqlik orqali tavsiflanadi. Haqiqiy to‘plagich sistemasida yakuniy qutblanish magnit maydon tuzilishi va spinlar tartibini buzadigan jarayonlarga ham bog‘liq.

Regulyarlashtirilgan Lagranjianga dastlab tanlangan regulyatorga bog‘liq parametrlar kiritiladi. Elektronning o‘lchanadigan massasi fizik zarraning massa sirti joylashuvi, zaryad esa tanlangan elektromagnit o‘lchov orqali belgilanadi. Boshlang‘ich parametrlarni fizik parametrlar orqali yoyish halqaviy ifodalarning divergent qismlarini kompensatsiyalovchi qo‘shimcha hadlarni hosil qiladi. Bunday qo‘shimchalar qarshi hadlar deb ataladi. Ularning koeffitsiyentlari har bir yangi tajriba uchun mustaqil tanlanmaydi: qayta normallash shartlari belgilanganidan keyin barcha jarayonlarda izchil qo‘llanadi. Qayta normallanuvchi nazariyaning bashorat qilish qudrati shunda.

Maydonni qayta normallash uning fizik bir zarrachali holat bilan bog‘lanishi normallanishining o‘zgarishini hisobga oladi. Elektron va foton maydonlari uchun tegishli ko‘paytuvchilar kiritiladi; ular odatda indeksli Z harflar bilan belgilanadi. Ular propagatorlar va cho‘qqi tuzatishlari bilan birga paydo bo‘ladi. Alohida ko‘paytuvchi regulyarlashtirish yoki kalibrlash usuliga bog‘liq bo‘lishi mumkin, biroq kuzatiladigan kesim bu yordamchi kelishuvlarga ixtiyoriy bog‘liqlikni saqlamasligi kerak. Shu bois fizik talqin alohida oraliq koeffitsiyentlarga emas, o‘lchanadigan parametrlar orqali ifodalangan yakuniy amplitudaga berilishi kerak. Yoyilmaning har bir yangi tartibida yangi koeffitsiyentlarni hisoblash, kichik diagrammalarni tekshirish va oldin kiritilgan qarshi hadlarni murakkabroq graflarda hisobga olish zarur. Lagranjiandagi mumkin bo‘lgan tuzilmalar soni cheklanadi. Aynan shuning uchun nazariya qayta normallanuvchi bo‘lib, yuqori aniqlikdagi natija uchun katta hisoblashlarni ham talab qilishi mumkin.

Regulyarlashtirish usulini tanlash oraliq texnik qadamdir. Masalan, katta impulslarni tahlil qilish uchun ultrabinafsha sohani cheklovchi parametr, yumshoq fotonlar uchun esa alohida infraqizil parametr kiritiladi. Bu cheklovlarning vazifalari turlicha. Ultrabinafsha bog‘liqlik parametrlar va maydonlarni qayta normallash orqali yutiladi, infraqizil bog‘liqlik esa virtual va haqiqiy hissalarning mos yig‘indisida qisqaradi. Yakuniy ifodada yordamchi parametrlardan birining saqlanib qolishi odatda hisoblashning to‘liqligini yoki kuzatiladigan kattalik ta’rifini tekshirish zarurligini bildiradi.

Vakuum qutblanishi elektromagnit maydon tarqalishiga tuzatish sifatida namoyon bo‘ladi. Eng past halqaviy tartibda foton chizig‘ida yopiq elektron halqasi mavjud. Grafik jihatdan bu virtual elektron-pozitron holatlari amplitudada qatnashishi mumkinligini ifodalaydi. Tuzatish o‘zaro ta’sirning uzatilgan impulsga bog‘liqligini o‘zgartiradi. Zaryad qayta normallangandan keyin elektromagnit jarayonlar va bog‘langan holatlarga ta’sir qiladigan chekli qism qoladi. Ekranlanish effektiv zaryad maydon o‘rganilayotgan miqyosga qanday bog‘liqligini tavsiflaydi. Katta masofalarda aniqlanadigan zaryad vakuum qutblanishi ta’sirini allaqachon o‘z ichiga oladi. Uzatilgan impuls ortganida tuzatishlar o‘zaro ta’sir kuchini o‘zgartiradi. G‘alayonlar nazariyasi qo‘llanadigan sohada bu bog‘liqlik nazariyaning hisoblanadigan xususiyatidir. Atom masalasida Kulon potensialiga chekli tuzatish sathlar energiyasini o‘zgartiradi. Uning kattaligi yadro maydoniga tuzatish muhim bo‘lgan sohadagi elektron zichligi taqsimotiga bog‘liq. Shu bois turli holatlar turlicha siljiydi. Vakuum qutblanishi radiatsion hissalardan biridir, biroq to‘liq Lamb siljishini hisoblashda talab qilinadigan aniqlikka qarab bog‘langan elektronning xususiy energiyasi va boshqa tuzatishlarni ham hisobga olish kerak. Barcha siljishni faqat bitta halqaviy tuzilma bilan aynanlashtirish noto‘liq tavsif bo‘ladi.

Dirak tenglamasida spin va magnit momentining bog‘lanishi giromagnit nisbatni ikki ga teng qiladi. Elektromagnit radiatsion tuzatishlar bu qiymatni o‘zgartiradi. Dastlabki Dirak natijasidan og‘ishni bevosita tavsiflovchi anomal qismni ${\displaystyle a_e=(g_e-2)/2}$ ajratish qulay. KEDning eng past tartibida quyidagisi olinadi:

${\displaystyle a_e=\frac{\alpha }{2\pi }+O({\alpha }^2).}$

Musbat ko‘paytuvchini aniqlashda ${\displaystyle g_e}$ elektron magnit momentining ishorasi munosabatdagi manfiy zaryad orqali hisobga olinadi: ${\displaystyle 𝝁=g_e(e/2m)𝐒}$. Bu tuzatish elektronni klassik tarzda aylanadigan zaryadlangan hajm deb tasavvur qilishdan emas, elektromagnit cho‘qqining o‘zgarishidan kelib chiqadi. Cho‘qqi funksiyasi kvant jarayonlarini hisobga olgan holda elektronning kuchsiz tashqi maydon bilan qanday ta’sirlashishini belgilaydi. Uning tuzilishining bir qismi elektr zaryadiga, boshqa qismi magnit momentga bog‘liq. Fizik zaryad belgilangandan keyin chekli spin hissasi qoladi. Shu sababli anomal moment nazariya oldindan berilgan parametrlar asosida kichik, ammo o‘lchanadigan tuzatishni bashorat qiladigan kuzatiluvchi kattalikka yaqqol misol bo‘ladi.

Massasiz foton istalgancha kichik energiyaga ega bo‘lishi mumkin. Bunday holatlar bo‘yicha integrallanganda alohida virtual tuzatishlar va haqiqiy nurlanish ehtimolliklarida infraqizil divergentsiyalar paydo bo‘lishi mumkin. Ular ultrabinafsha divergentsiyalardan farq qiladi: muammo past energiya chegarasi bilan bog‘liq. Oraliq hisob uchun kiritilgan kichik parametr, masalan, fotonning formal massasi regulyator vazifasini bajaradi; uni haqiqiy fotonning o‘lchangan massasi deb talqin qilish mumkin emas. Tajriba qurilmasining energiya bo‘yicha ajratish qobiliyati chekli. Foton belgilangan chegaradan kamroq energiyani olib ketsa, hodisa elastik sochilish sifatida qayd etilishi mumkin. Bunday hodisalar toifasining nazariy ehtimolligi qayd etilgan nurlanishsiz holatni va ajratib bo‘lmaydigan yumshoq fotonli holatlarni qamrab oladi. Virtual tuzatishlar bilan haqiqiy nurlanish bog‘lanishning bir xil tartibida qo‘shilishi kerak. Bunda yordamchi infraqizil regulyatorga bog‘liqlik qisqaradi, haqiqiy qayd etish chegarasiga bog‘liqlik esa saqlanadi.

Ajratish chegarasiga bog‘liqlik fizik jihatdan mazmunli natijadir. Detektor bo‘sag‘asining o‘zgarishi o‘lchanadigan toifaga kiruvchi hodisalar to‘plamini o‘zgartiradi. Shuning uchun bo‘sag‘alari turlicha bo‘lgan ikki tajribadagi «elastik» kesimlar farqlanishi mumkin, garchi har ikkalasi bir nazariyaga mos kelsa ham. Taqqoslash uchun ma’lumotlarni kuzatiladigan kattalikning yagona ta’rifiga keltirish yoki har bir kesimni tegishli tanlash sharti bilan hisoblash kerak. Divergentsiyalarning qisqarishi bu bog‘liqlikni yo‘qotmaydi va kesimning tajribaviy ta’rifini ortiqcha qilmaydi. Yuqori energiyalarda radiatsion tuzatish elektron energiyasining uning massasiga va fotonlarni qayd etish chegarasiga nisbatlari logarifmlarini o‘z ichiga olishi mumkin. Bunda kichik nozik tuzilish doimiysi ham qo‘shimcha sonli ko‘paytuvchilarga ko‘paytiriladi. Shuning uchun aniqlikni faqat bog‘lanish doimiysining kattaligi bilan baholash yetarli emas: energiya miqyoslari va tajriba cheklovlari ham muhim. Buni virtual tuzatishlar bilan yumshoq tormozlanish nurlanishi birlashtirilgach tashqi maydonda elektron sochilishi misolida ko‘rsatish mumkin.

Masalan, Sochilish tajribalarida faqat hodisalarning umumiy soni tekshirilmaydi. Differensial kesim burchaklar va energiyalar bo‘yicha taqsimotni, qutblanishga oid kuzatiladigan kattaliklar esa amplitudaning spin tuzilishini ajratishga imkon beradi. Ikki yaqinlashuv yaqin integral natijalar bersa ham, fazaviy fazoning ayrim sohalarida sezilarli farqlanishi mumkin. Shu sababli taqsimotlarni taqqoslash bitta umumiy kattalikni tekshirishdan ko‘proq ma’lumot beradi. KED bu xususiyatlarni yagona matritsa elementi bilan bog‘laydi; keyin u tajriba shartlariga muvofiq yig‘iladi va o‘rtachalanadi. Kompton sochilishida chastota va burchak orasidagi kinematik bog‘lanish hamda sochilish ehtimolligining dinamik formulasini mustaqil taqqoslash mumkin. Birinchi sinov kuzatilgan energiyalarning to‘rt impuls saqlanish qonuniga mosligini, ikkinchisi esa elektron va elektromagnit maydonlar o‘zaro ta’siri tuzilishini tekshiradi. Amalda boshlang‘ich elektron harakati, uning moddada bog‘langanligi va qayd etish geometriyasi ham hisobga olinadi. Shuning uchun erkin elektron formulasidan foydalanish bu ta’sirlar kichik bo‘lgan sharoitlarni yoki ideallashtirilgan modelga tuzatishlarni talab etadi.

Radiatsion tuzatishlarni tekshirish o‘lchanadigan kattalikni yanada batafsil tavsiflashni talab qiladi. Qo‘shimcha nurlanish hissasi qaysi fotonlar qayd etilishi, detektor qaysi burchaklarni qamrashi va yakuniy zarra energiyasi qanday aniqlanishiga bog‘liq. Nazariy natija ham aynan shu shartlarga tegishli bo‘lishi kerak. Aks holda formula bilan ma’lumotlar orasidagi farq elektromagnit nazariyaning xatosini emas, kuzatiladigan kattaliklar ta’rifining nomuvofiqligini aks ettirishi mumkin. Yuqori nisbiy aniqlik da’vo qilinganda bu omillarni ajratish ayniqsa muhimdir.

Atom spektroskopiyasida elektron va maydonning alohida mutlaq energiyalari emas, energiyalar farqi o‘lchanadi. Hisoblash bog‘langan holat uchun tanlangan yaqinlashuvdan boshlanadi, keyin radiatsion o‘zgarishlar hisobga olinadi. Elektronning xususiy energiyasi va vakuum qutblanishi sathlarni bir xil o‘zgartirmaydi, chunki turli holatlarning to‘lqin funksiyalari tashqi potensial bilan turlicha bog‘langan. Shu bois kuzatiladigan farq sistemaning umumiy energiyasi fonida kamroq seziladigan kichik tuzatishni ajratib ko‘rsatishi mumkin. Bunday masalada massani qayta normallash erkin elektron massasining ta’rifiga mos bo‘lishi kerak. Allaqachon hisobga olingan tuzatishni ikkinchi bor kiritish noto‘g‘ri siljishni beradi. Erkin zarradan bog‘langan zarraga o‘tishda holatlar va propagatorlar o‘zgaradi, ammo massaning fizik parametri nazariyaning o‘sha kirish parametri bo‘lib qoladi. Tarixan erkin xususiy energiya bilan atomdagi energiya o‘zgarishini ajratish Lamb siljishining asosiy kattaligini chekli tarzda tushuntirishga imkon berdi. Bir necha o‘tishni taqqoslash umumiy energiya miqyosidagi o‘zgarishlar bilan o‘ziga xos radiatsion tuzatishlarni ham farqlashga yordam beradi. Bunda elektromagnit hisoblash aniqligini tashqi manba tavsifi aniqligidan ajratish kerak. Berilgan Kulon maydoni modeli yaqinlashuv bo‘lib, yetarlicha aniq o‘lchovlarda manba xususiyatlari muhim bo‘lib qolishi mumkin. Shuning uchun KEDni tekshirish haqidagi bayon doimo sistema ko‘rsatilmagan alohida formulaga emas, nazariy farazlar va o‘lchangan kirish ma’lumotlarining muayyan majmuasiga tegishlidir.

2023-yilda chop etilgan ishda elektronning magnit momenti uchun quyidagi qiymat olingan:

${\displaystyle \frac{g_e}{2}=\mathrm{1,001}15965218059(13).}$

Qavs ichidagi noaniqlik yozuvning oxirgi raqamlariga tegishli, nisbiy tajribaviy noaniqlik esa taxminan trilliondan bir ulushning o‘ndan biriga teng. Ushbu qiymat to‘liq magnit momentning Bor magnetoniga nisbatiga tegishli. Nazariyani tekshirish uchun bashorat bog‘liq bo‘lgan nozik tuzilish doimiysining mustaqil aniqlangan qiymati ham kerak. Ko‘rsatilgan o‘lchov mualliflari nozik tuzilish doimiysining mustaqil aniqlanishlari orasidagi nomuvofiqlik tekshiruvni yanada kuchaytirishni cheklashini ta’kidlaydi. Shuning uchun o‘lchangan magnit moment aniqligi bilan nazariy bashorat tekshiruvining aniqligi turli xususiyatlardir. Aksincha, nazariya va o‘lchovdan birgalikda foydalanib, nozik tuzilish doimiysining qiymatini chiqarish mumkin.

O‘ta relyativistik harakat nurlanishni tezlikning oniy yo‘nalishi atrofidagi tor burchak sohasiga jamlaydi. Xarakterli burchak elektron energiyasi oshishi bilan kichrayadi. Nurlanish yo‘nalishi kuzatuvchining ko‘rish chizig‘idan o‘tganda u qisqa impulsni qayd etadi, impulsning qisqa davomiyligi esa keng chastota spektriga bog‘liq. Bu xususiyatlar sinxrotron yorug‘ligining kuchli yo‘nalganligi va keng spektrini bir vaqtning o‘zida tushuntiradi. Ularni hisoblash o‘lchangan nurlanishni elektron dastasi parametrlari bilan bog‘lash imkonini beradi. Nurlanish dastaning o‘ziga ham ta’sir qiladi. Energiya yo‘qotishlari, harakatning radiatsion so‘nishi va chiqarilishning kvant fluktuatsiyalari zarralar dinamikasining halqali tezlatkichdagi tavsifiga kiradi. Shunday qilib, foton spektri faqat chiqish signali emas, balki manba holatini o‘zgartiruvchi mexanizmning ham namoyon bo‘lishidir. Ushbu dinamikaning klassik va kvant qismlari o‘zaro muvofiq ko‘rilishi kerak: o‘rtacha energiya yo‘qotilishi alohida elektronlar impulsining tasodifiy o‘zgarishlarini to‘liq tavsiflamaydi.

Magnit maydon geometriyasining o‘zgarishi spektr shakllanishini ham o‘zgartiradi. Ondulyatorning davriy maydonida harakatning turli qismlaridan kelgan hissalar interferensiyalashib, yaqqol garmonikalarni hosil qilishi mumkin. Agar shakllanishning xarakterli uzunligi maydon o‘zgarishi miqyosiga nisbatan kichik bo‘lsa, nurlanish asosan trayektoriyaning lokal egriligi bilan belgilanadi. Boshqa rejimda harakatning uzunroq qismini hisobga olish kerak. Bu farq faqat bitta nuqtadagi tezlanishning oniy kattaligi bilan emas, amplitudalar fazalari bilan bog‘liq. Spektrda yuqori chastotali qism mavjudligi elektron aynan shu chastotada orbita bo‘ylab aylanadi degani emas. Relyativistik yo‘nalganlik va kechikish kuzatishning belgilangan yo‘nalishida qisqa impulslarni keltirib chiqaradi, qisqa impuls esa keng garmonikalar to‘plamiga ega. Shu sababli spektrning energetik miqyosi aylanish chastotasining Plank doimiysiga ko‘paytmasidan ancha katta bo‘lishi mumkin. Kvant cheklovi alohida foton energiyasi elektron energiyasining sezilarli qismiga aylanganda paydo bo‘ladi. Bunda tepkini hisobga olish zarur.

Erkin elektromagnit maydon vakuumi deb har bir modadagi fotonlar soni nolga teng holatga aytiladi. Maydon garmonik ossillyatorlar yig‘indisi sifatida kvantlanganda har bir modaga nol nuqta energiyasi ${\displaystyle \hslash \omega /2}$ mos keladi, cheksiz sondagi modalar bo‘yicha yig‘indi esa divergent bo‘ladi. Normal tartiblash erkin Gamiltoniandan bu doimiy hadni ayiradi va vakuum energiyasining nol nuqtasini tanlash imkonini beradi. Normal tartiblash erkin Gamiltonian uchun qulay nolni belgilaydi; vakuum qutblanishi va boshqa radiatsion tuzatishlar o‘zaro ta’sirda paydo bo‘lib, kuzatiladigan kattaliklar bog‘liqligini o‘zgartiradi. «Vakuum» so‘zining bu ikki ishlatilishi hisoblashning turli bosqichlariga tegishli. Energiyadagi doimiy hadni yo‘qotish qayta normallashni almashtirmaydi yoki zarralar tarqalishi va tashqi maydon bilan o‘zaro ta’sirga ta’sir qiluvchi bog‘langan diagrammalarni hisoblashni bekor qilmaydi. Haqiqiy jarayonlar saqlanish qonunlariga bo‘ysunishi va mumkin bo‘lgan yakuniy holatlarga ega bo‘lishi kerak. Tashqi elektr maydon masala qo‘yilishini o‘zgartiradi, chunki u hosil bo‘layotgan zaryadlarga energiya uzatishi mumkin. Shu sababli tashqi maydonda juftlar hosil bo‘lishini muhokama qilish uchun maydon manbai va uni yoqish shartlarini alohida aniqlash lozim, bu manzarani erkin vakuumga ko‘chirib bo‘lmaydi. Vakuumning mutlaq energiyasi gravitatsion ta’siri haqidagi masala berilgan yassi fazo-vaqtdagi elektromagnit va Dirak maydonlari modelidan (KEDdan) tashqariga chiqadi.

Freeman Daysonning dalili KED g‘alayonlar nazariyasi qatorlarining yaqinlashish radiusi nol ekanini ko‘rsatadi. U manfiy qiymatga formal ${\displaystyle e^2}$ analitik davom ettirishga asoslanadi. Bunday faraziy nazariyada bir xil ishorali zaryadlar bir-birini tortar edi, ishoralari bo‘yicha ajratilgan ko‘plab zaryadlarni hosil qilish esa vakuum energiyasini pasaytirishi mumkin edi. Bu beqarorlik nol bog‘lanish atrofidagi odatiy analitiklikka to‘sqinlik qiladi. Dalil fizik xususiyatga ega bo‘lib, muayyan qatorlarning barcha xossalari uchun qat’iy isbot o‘rnini bosmaydi. Amalda qator asimptotik deb olinadi va g‘alayonlar nazariyasining chekli tartibida to‘xtatiladi. Nozik tuzilish doimiysi kichik bo‘lganda dastlabki hadlar yuqori aniqlik berishi mumkin. Biroq bundan istalgancha diagramma qo‘shish natijani albatta yaxshilaydi degan xulosa chiqmaydi. Impuls ortganda effektiv bog‘lanishning kuchayishi Landau qutbi muammosiga bog‘liq. Perturbativ ifodani uning qutbigacha formal davom ettirish yaqinlashuv ishonchliligi doirasidan chiqadi. KEDni cheksiz energiyalarda noperturbativ ta’riflash masalasi uni har bir belgilangan tartibda qayta normallash imkoniyatidan farq qiladi.

Yoyilmaning asimptotik xususiyati g‘alayonlar nazariyasini qo‘llash usulini cheklaydi, ammo o‘zi chekli sondagi tartiblar natijasini inkor etmaydi. Nozik tuzilish doimiysi darajasining tartib raqamini qo‘shimcha shartlarsiz diagrammadagi cho‘qqilar soni bilan aynanlashtirib bo‘lmaydi: cho‘qqi zaryadni o‘z ichiga oladi, ehtimollik esa amplitudalar yig‘indisini kvadratga oshirgach olinadi. KEDning barcha jarayonlari uchun foizning qat’iy bitta nihoyatda kichik ulushi ko‘rinishidagi universal xato formulasi mavjud emas. Asimptotik qator uchun yaqinlashuvning foydaliligi ko‘rilayotgan parametrlar oralig‘ida uning chekli yig‘indisi qanday tutishiga bog‘liq. Dastlabki tuzatishlar kichrayishi, yetarlicha uzoq hadlar esa osha boshlashi mumkin. Eng qulay tartib muayyan kattalik va koeffitsiyentlar tuzilishiga bog‘liq. Faktorial o‘suvchi koeffitsiyentli namunaviy qator divergentsiyaning mumkin bo‘lgan mexanizmini ko‘rsatadi, ammo KEDdagi istalgan amplitudaning har bir hadi uchun universal formula bermaydi. Haqiqiy koeffitsiyentlar ko‘plab diagrammalar yig‘indisi, simmetriya cheklovlari va kinematik funksiyalarni o‘z ichiga oladi. Qayta normallashdan keyin bog‘lanishning har bir belgilangan darajasi oldidagi koeffitsiyent chekli bo‘lishi mumkin, biroq ushbu koeffitsiyentlar qatori baribir divergent bo‘lishi mumkin. Boshqa tomondan, birinchi tartibning muvaffaqiyatli aniqlanishi barcha tartiblar yig‘indisining yaqinlashishi haqida hech narsa demaydi. Bu masalalarni farqlash ko‘plab hisoblashlarning yuqori amaliy aniqligini ham, g‘alayonlar nazariyasi qatorini yaqinlashuvchi qator deb so‘zma-so‘z talqin qilish cheklanganligini ham tan olishga imkon beradi.

Ultrabinafsha va infraqizil divergentsiyalarni farqlash zarur. Birinchilari katta virtual impulslar bilan bog‘liq va qayta normallanuvchi KEDda tegishli qarshi hadlar kiritish orqali bartaraf etiladi. Ikkinchilari fotonning past energiyasida yuzaga keladi; o‘lchanadigan ehtimolliklar uchun virtual tuzatishlar va haqiqiy yumshoq nurlanishni birgalikda hisobga olish muhim. Shuning uchun divergent oraliq integral mavjudligining o‘zi nazariya kuzatiladigan jarayonga qo‘llanmasligini isbotlamaydi. O‘zaro ta’sirning lokal shakli maydonlarning bir nuqtadagi bog‘lanishini belgilaydi, halqaviy integrallar esa barcha miqyosdagi virtual impulslarni hisobga oladi. Divergent ultrabinafsha qism ajratilib, ruxsat etilgan lokal tuzilmalar orqali ifodalanadi. Uni chekli qarshi hadlar to‘plami bilan ajratish imkoniyati qayta normallanuvchanlikning mazmunidir. To‘g‘ri bashorat butun jarayondan — regulyarlashtirish, fizik parametrlarni belgilash va yordamchi bog‘liqlikni yo‘qotishdan — kelib chiqadi. Landau qutbi boshqa chegaraga, ya’ni effektiv zaryadning o‘ta katta impulslarga bog‘liqligini formal davom ettirishga tegishli. Bu davom ettirishda bog‘lanish kuchaysa, kichik parametr bo‘yicha boshlang‘ich yoyilma ishonchliligini yo‘qotadi. Masala nazariyani mustaqil ta’riflash chegaralari va uni sinovdan o‘tgan rejimdan tashqariga davom ettirishga taalluqli. Mavjud miqyoslardagi chekli natijalar bu chegaraviy masaladan alohida baholanishi kerak.