Impuls nima

Impuls
Impuls
	p→=mv→
O‘lchamlik	LMT−1
O‘lchov birliklari
SI	kg·m/s
SGS	g·sm/s
Qo‘shimcha ma’lumot
	vektor kattalik

Impuls, harakat miqdori — vektor fizik kattalik bo‘lib, jismning mexanik harakatini ifodalaydi.

Klassik mexanikada jism impulsi uning massasi $m$ bilan tezligi $\vec{v},$ ko‘paytmasiga teng; impuls yo‘nalishi tezlik vektori yo‘nalishiga mos keladi:

\vec{p} = m \vec{v} .

Relyativistik fizikada impuls quyidagicha hisoblanadi:

\vec{p} = \frac{m \vec{v}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}},

bu yerda $c$ — yorug‘lik tezligining vakuumdagi qiymati; kichik $v$ qiymatlarda formula klassik ko‘rinishga o‘tadi.

Jism impulsi qatnashadigan eng muhim fizik qonunlardan biri — Nyutonning ikkinchi qonuni:

\frac{d \vec{p}}{d t} = \vec{F},

bu yerda $t$ — vaqt, $\vec{F}$ — jismga ta’sir etuvchi kuch.

Nyutonning ikkinchi qonuni impuls orqali yozilganda ( $\vec{F} = m \vec{a},$ $\vec{a}$ — tezlanish) faqat klassik mexanikada emas, relyativistik mexanikada ham amal qiladi.

Eng umumiy ta’rifga ko‘ra, impuls — additiv harakat integrali bo‘lib, mexanik sistema uchun Nyoter teoremasiga muvofiq fundamental simmetriya — fazoning bir jinsliligi bilan bog‘liq.

«Impuls» tushunchasining umumlashmalari nazariy mexanikada, elektromagnit maydon mavjud bo‘lgan hollarda (maydondagi zarra uchun ham, maydonning o‘zi uchun ham), shuningdek, kvant mexanikasida ham mavjud.

Nemis va ingliz tillarida ruscha atamaga talaffuzi yaqin bo‘lgan so‘zlar mavjud (nem. Impuls, ingl. impulse). Biroq nemis tilidagi fizika adabiyotlarida Impuls atamasi rus tilidagidek ma’noni bildirsa, ingliz tilidagi ilmiy adabiyotlarda impulse atamasi kuchning muayyan vaqt davomida jismga ta’sirini anglatadi; rus tilida bu tushuncha alohida kuch impulsi atamasi bilan ifodalanadi (quyidagi «Atamaning paydo bo‘lish tarixi» bo‘limiga qarang). «Impuls» atamasining inglizcha muqobili esa ingl. momentum.

Atamaning paydo bo‘lish tarixi

O‘rta asrlardagi naturfaylasuflar, Aristotel ta’limotiga muvofiq, harakatni davom ettirish uchun albatta qandaydir kuch kerak, kuch bo‘lmasa, harakat to‘xtaydi, deb hisoblashgan. Ayrim olimlar bu fikrga e’tiroz bildirishgan: tashlangan toshga qo‘lning kuchi endi ta’sir etmasa ham, nega u harakatda davom etadi?

Bunday savollarga javob topish maqsadida Jan Buridan (XIV asr) falsafada avvaldan mavjud bo‘lgan «impetus» tushunchasini qayta talqin qildi. Buridanning fikricha, uchayotgan tosh «impetus»ga ega bo‘lib, havo qarshiligi bo‘lmasa, u saqlanib qolardi. Bunda «impetus» tezlikka to‘g‘ri proporsional bo‘ladi. Boshqa bir o‘rinda u og‘irligi kattaroq jismlar ko‘proq impetusga ega bo‘lishi mumkinligini yozgan.

XVII asrning birinchi yarmida Rene Dekart «harakat miqdori» tushunchasini kiritdi. U harakat miqdori nafaqat tashqi ta’sirlardan ajratilgan bitta jismda, balki faqat o‘zaro ta’sirlashadigan jismlardan tashkil topgan har qanday sistemada ham saqlanadi, deb taxmin qildi. O‘sha davrda massaning fizik tushunchasi hali qat’iy shakllanmagan edi, shu sababli u harakat miqdorini «jism kattaligining uning harakat tezligiga ko‘paytmasi» deb ta’rifladi. Dekart tezlik deganda uning yo‘nalishini hisobga olmagan holda mutlaq qiymatini (modulini) tushungan. Shu bois Dekart nazariyasi tajribalarga faqat ayrim hollarda mos kelgan (masalan, Uollis, Ren va Gyuygens 1678-yilda undan massalar markazi sistemasidagi mutlaq elastik to‘qnashuvni o‘rganishda foydalangan).

1668-yilda Uollis birinchi bo‘lib harakat miqdorini skalyar emas, balki yo‘nalishga ega kattalik deb hisoblashni va yo‘nalishlarni «plyus» hamda «minus» ishoralari bilan belgilashni taklif qildi. 1670-yilda u harakat miqdorining saqlanish qonunini uzil-kesil ifodaladi. Yangi qonun noelastik zarbalarni hamda istalgan sanoq sistemalaridagi zarbalarni hisoblash imkonini bergani uning tajribaviy tasdig‘i bo‘ldi.

Harakat miqdorining saqlanish qonuni Isaak Nyuton tomonidan uchinchi va Nyutonning ikkinchi qonuni yordamida nazariy jihatdan isbotlandi. Nyutonga ko‘ra, «harakat miqdori — tezlik va massaga mutanosib ravishda aniqlanadigan harakat o‘lchovidir».

«Impuls» so‘zi lotincha lot. impulsus («turtki» deb tarjima qilinadi) so‘zidan kelib chiqqan va dastlab kuch impulsi $F t$ ni anglatgan. Ingliz tilidagi ingl. impulse so‘zi ham shu ma’noda qo‘llanadi. Ammo nemis tilidagi nem. Impuls so‘zi harakat miqdorini anglatadigan bo‘ldi $m v$ . Hozirgi rus ilmiy terminologiyasida esa «impuls» so‘zi bilan harakat miqdori ifodalanadi.

Rasmiy mavhum ta’rif

Impuls — fazoning bir jinsliligi bilan bog‘liq saqlanuvchi fizik kattalik (ya’ni fazoviy ko‘chirishlarga nisbatan invariant).

Aynan fazoning bir jinsliligi xossasidan yopiq sistema Lagranj funksiyasining uning fazodagi joylashuviga bog‘liq emasligi kelib chiqadi: yaxshi izolyatsiyalangan sistemaning xatti-harakati uning fazoning qaysi nuqtasida joylashganiga bog‘liq bo‘lmaydi. Nyoter teoremasiga ko‘ra, ushbu bir jinslilikdan impuls deb ataladigan muayyan fizik kattalikning saqlanishi kelib chiqadi.

Fizikaning turli bo‘limlarida amaliy masalalar uchun impulsning hisoblashlarda qo‘llash mumkin bo‘lgan aniqroq ta’riflari beriladi.

Mexanikada jism impulsining ta’riflari

Klassik mexanika

Klassik mexanikada moddiy nuqtalar sistemasining to‘liq impulsi deb moddiy nuqtalar massalarining ularning tezliklariga ko‘paytmalari yig‘indisiga teng vektor kattalik aytiladi:

\vec{p} = \sum_{i} m_{i} {\vec{v}}_{i} .

Shunga mos ravishda, ${\vec{p}}_{i} = m_{i} {\vec{v}}_{i}$ kattalik bitta moddiy nuqtaning impulsi deyiladi. Bu zarra tezligi bilan bir xil yo‘nalgan vektor kattalikdir. Xalqaro birliklar sistemasida (SI) impulsning o‘lchov birligi kilogramm-metr taqsim sekund (kg·m/s) hisoblanadi.

O‘lchamlari chekli bo‘lgan jismning impulsi uni xayolan moddiy nuqta deb qarash mumkin bo‘lgan kichik qismlarga ajratish va ular bo‘yicha integrallash orqali topiladi:

\vec{p} = \int ρ (x, y, z) \vec{v} (x, y, z) d x d y d z .

Integral ostidagi $\vec{s} = ρ \vec{v}$ ko‘paytma impuls zichligi deb ataladi ( $ρ$ — shunchaki zichlik).

Relyativistik mexanika

Relyativistik mexanikada moddiy nuqtalar sistemasi impulsi quyidagicha aniqlanadi:

\vec{p} = \sum_{i} \frac{m_{i} {\vec{v}}_{i}}{\sqrt{1 - v_{i}^{2} / c^{2}}},

bu yerda $m_{i}$ — massa, ya’ni $i$ -moddiy nuqtaning massasi, ${\vec{v}}_{i}$ — uning tezligi.

Shuningdek, to‘rt o‘lchamli impuls kiritiladi; massasi $m$ bo‘lgan bitta moddiy nuqta uchun u quyidagicha aniqlanadi:

p_{μ} = (E / c, \vec{p}) = (\frac{m c}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}}, \frac{m \vec{v}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}}) .

Amaliyotda zarra massasi $m$ , impulsi $𝐩$ va energiyasi $E$ o‘rtasidagi quyidagi munosabatlar tez-tez qo‘llanadi:

E^{2} - 𝐩^{2} c^{2} = m^{2} c^{4}, 𝐩 = \frac{E}{c^{2}} 𝐯 .

Impulsning xossalari

Additivlik. Bu xossaga ko‘ra, moddiy nuqtalardan tashkil topgan mexanik sistemaning impulsi uning tarkibidagi barcha moddiy nuqtalar impulslarining yig‘indisiga teng.
Impuls modulining inersial sanoq sistemasi (ISS) aylantirilishiga nisbatan invariantligi.. Biroq umumiy holda ISS o‘zgarganda impulsning ham, uning modulining ham invariantligi relyativistik mexanikada ham, klassik chegarada ham saqlanmaydi.
Impulsning vaqt o‘tishi bilan o‘zgarishiga kuch sabab bo‘ladi ( Nyutonning ikkinchi qonuni, $d \vec{p} / d t = \vec{F}$ ).
Saqlanish. Hech qanday tashqi kuchlar ta’sir etmaydigan (yoki ularning ta’siri o‘zaro muvozanatlashgan) sistemaning impulsi vaqt o‘tishi bilan saqlanadi: $d \vec{p} / d t = 0$ (qarang: Impulsning saqlanish qonuni).

Impulsning saqlanishi Nyutonning ikkinchi va uchinchi qonunlaridan kelib chiqadi: sistemani tashkil etuvchi har bir moddiy nuqta uchun ikkinchi qonunni yozib, har bir nuqtaga ta’sir etuvchi kuchni tashqi ${\vec{F}}_{i, e x t}$ kuch va qolgan barcha nuqtalar bilan o‘zaro ta’sir kuchlari yig‘indisi sifatida ifodalasak hamda olingan tenglamalarni qo‘shsak, quyidagiga ega bo‘lamiz:

\frac{d \vec{p}}{d t} = \sum_{i} \frac{d {\vec{p}}_{i}}{d t} = \sum_{i} {\vec{F}}_{i} = \sum_{i} ({\vec{F}}_{i, e x t} + \sum_{j, j \neq j} {\vec{F}}_{i, j}) = \sum_{i} {\vec{F}}_{i, e x t} + \sum_{i} \sum_{j, j \neq i} F_{i, j} .

Birinchi qo‘shiluvchi tashqi kuchlar o‘zaro muvozanatlashgani sababli nolga teng, ikkinchisi esa Nyutonning uchinchi qonuniga ko‘ra nolga teng (ikki karra yig‘indidagi ${\vec{F}}_{a, b}$ va ${\vec{F}}_{b, a}$ qo‘shiluvchilar juft-juft bo‘lib bir-birini yo‘q qiladi).

Sistema faqat mexanik xususiyatlarini o‘zgartiruvchi o‘zaro ta’sirlarda qatnashganda impuls o‘zgarmaydi. Bu xossa Galiley almashtirishlariga nisbatan invariantdir. Kinetik energiyaning saqlanishi, impulsning saqlanishi va Nyutonning ikkinchi qonuni impulsning matematik ifodasini keltirib chiqarish uchun yetarlidir.

Moddiy nuqtalar orasida elektromagnit o‘zaro ta’sir mavjud bo‘lganda Nyutonning uchinchi qonuni bajarilmasligi mumkin — bunday vaziyatda nuqtalar impulslari yig‘indisi ham saqlanmaydi. Bunday hollarda, ayniqsa relyativistik mexanikada, «sistema» tushunchasiga faqat nuqtalar majmuasini emas, balki ular orasidagi o‘zaro ta’sir maydonini ham kiritish qulay. Shunda sistemani tashkil etuvchi zarralar impulslari bilan birga o‘zaro ta’sir maydonining impulsi ham hisobga olinadi. Buning uchun energiya-impuls tenzori deb ataladigan kattalik kiritiladi va u saqlanish qonunlariga to‘liq bo‘ysunadi.

4-impulsga kelsak, o‘zaro ta’sirlashmaydigan moddiy nuqtalardan iborat sistemaning umumiy 4-impulsi barcha zarralar impulslari yig‘indisiga teng. O‘zaro ta’sir mavjud bo‘lsa, bunday yig‘indi ma’nosini yo‘qotadi.

Umumlashgan impuls

Umuman nazariy mexanikada

Nazariy mexanikada umumlashgan impuls deb xususiy hosila — sistemaning Lagranj funksiyasidan umumlashgan tezlik bo‘yicha olingan hosila tushuniladi:

p_{i} = \frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_{i}} .

Umumlashgan impuls ham oddiy impuls singari $\vec{p};$ harfi bilan belgilanishi mumkin; odatda, gap qaysi kattalik haqida ketayotgani kontekstdan ayon bo‘ladi.

Umumlashgan impulsning o‘lchamligi umumlashgan koordinataning o‘lchamligiga bog‘liq. Agar $q_{i}$ ning o‘lchamligi uzunlik bo‘lsa, $p_{i}$ oddiy impuls o‘lchamligiga ega bo‘ladi; agar $q_{i}$ koordinata sifatida burchak (o‘lchamsiz kattalik) ishlatilsa, $p_{i}$ impuls momenti o‘lchamligiga ega bo‘ladi. Agar sistemaning Lagranj funksiyasi biror umumlashgan koordinataga bog‘liq bo‘lmasa, Lagranj tenglamalaridan $d p_{i} / d t = 0.$

Agar umumlashgan koordinata odatdagi koordinata bo‘lsa (u holda uning vaqt bo‘yicha hosilasi shunchaki tezlik bo‘ladi) va tashqi maydonlar mavjud bo‘lmasa, umumlashgan impuls oddiy impuls bilan aynan bir xil bo‘ladi. Masalan, erkin zarra uchun Lagranj funksiyasi quyidagi ko‘rinishga ega:

ℒ = - m c^{2} \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}

, bundan:

\vec{p} = m \vec{v} / \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}

.

Elektromagnit maydondagi zarra uchun

Elektromagnit maydonda zarraning Lagranj funksiyasi yuqoridagi ifodadan qo‘shimcha hadlar bilan farq qiladi, ya’ni $ℒ = - m c^{2} \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}} - q φ + q \vec{v} \cdot \vec{A} .$ Shunga muvofiq, zarraning umumlashgan impulsi (SI):

𝐏 = \frac{m 𝐯}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} + q 𝐀,

bu yerda $𝐀$ — elektromagnit maydonning vektor potensiali, $q$ — zarraning elektr zaryadi; $ℒ$ ifodada, shuningdek, skalyar potensial $φ$ ham qatnashgan. $𝐏$ bilan belgilangan hamda oddiy impuls bilan $𝐏 = 𝐩 + q 𝐀$ munosabat orqali bog‘langan bu impuls yana kanonik impuls deb ataladi; u magnit maydon qo‘yilganda saqlanadi.

Elektromagnit maydon impulsi

Elektromagnit maydon ham, har qanday boshqa moddiy obyekt kabi, impulsga ega. Uni Poynting vektorini hajm bo‘yicha integrallash orqali topish mumkin. Vakuum uchun:

𝐩 = \frac{1}{c^{2}} \int 𝐒 d V = \frac{1}{c^{2}} \int [𝐄 \times 𝐇] d V

( SI),

muhit uchun esa $c$ o‘rniga yorug‘likning $c_{m}$ shu muhitdagi tezligi olinadi. Elektromagnit maydonning impulsi mavjudligi, masalan, elektromagnit nurlanish bosimi hodisasini tushuntiradi. Bu yerda $𝐄$ va $𝐇$ — elektr maydon kuchlanganligi hamda magnit maydon kuchlanganligini bildiradi.

Kvant mexanikasida impuls

Operator orqali ta’riflash

Kvant mexanikasida impuls operatori deb zarraga ta’sir etuvchi operator — ko‘chirishlar guruhi generatori tushuniladi. Bu ermit operator, uning xos qiymatlari zarralar sistemasining kanonik impulsiga (magnit maydon bo‘lmasa, oddiy impulsiga) mos keladi. Relyativistik bo‘lmagan zarralar sistemasi uchun koordinatalar tasvirida u quyidagicha yoziladi:

\hat{𝐏} = \sum_{j} {\hat{𝐏}}_{j} = \sum_{j} - i ℏ \nabla_{j}

,

bu yerda $\nabla_{j}$ — nabla operatori — $j$ -zarraning koordinatalari bo‘yicha differensiallashga mos operator.

Gamiltonian sistema uchun impuls operatori orqali ifodalanadi:

\hat{H} = \sum_{i} \frac{1}{2 m_{i}} {\hat{𝐏}}_{i}^{2} + U (𝐫_{𝟏}, \dots)

.

Yopiq sistema uchun (potensial energiya $U = 0$ ) impuls operatori Gamiltonian bilan kommutatsiyalanadi, shu sababli impuls saqlanadi.

De Broyl to‘lqinlari orqali ta’riflash

De Broyl formulasi kanonik impulsni de Broyl to‘lqinining to‘lqin uzunligi bilan bog‘laydi. Impulsning «kanonik» ekanini alohida ta’kidlash ko‘pincha ortiqcha, chunki bu kontekstda magnit maydon mavjud bo‘lgan vaziyat kamdan-kam tahlil qilinadi (quyida ham maydon yo‘q deb faraz qilinadi).

Impuls moduli to‘lqin uzunligiga teskari proporsional; bu uzunlik $λ :$

p = \frac{h}{λ}

,

bu yerda $h$ — Plank doimiysi; shu belgining ustidan chiziq tortilgan shakli ( $ℏ$ ) keltirilgan Plank doimiysini bildiradi ( $ℏ = h / 2 π$ ).

Energiyasi uncha katta bo‘lmagan va $v ≪ c$ tezlikda harakatlanuvchi zarralar uchun impuls moduli $p = m v$ ga teng (bu yerda $m$ — zarra massasi) va

λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}

.

Demak, impuls moduli qanchalik katta bo‘lsa, de Broyl to‘lqin uzunligi shunchalik kichik bo‘ladi.

Vektor ko‘rinishida bu quyidagicha yoziladi:

\vec{p} = \frac{h}{2 π} \vec{k} = ℏ \vec{k}

,

bu yerda $\vec{k}$ — to‘lqin vektori.

Klassik mexanikadagi kabi, kvant mexanikasida ham izolyatsiyalangan sistemalarda impuls saqlanadi. Zarralarning korpuskulyar xossalari namoyon bo‘ladigan hodisalarda ularning impulsi «klassik» tarzda $p = m v$ deb yoziladi, to‘lqin xossalari namoyon bo‘lganda esa $p = h λ^{- 1}$ bog‘lanish amal qiladi. Bunda ham klassik mexanikadagi kabi impulsning saqlanishi koordinatalarning siljishiga nisbatan simmetriyaning natijasidir.

Gidrodinamikada impuls

Gidrodinamikada moddiy nuqta massasi o‘rniga birlik hajm massasi, ya’ni suyuqlik yoki gazning zichligi olinadi. Bu zichlikning belgisi — $ρ .$ Bunda impuls o‘rniga massa oqimi zichligi vektoriga mazmunan teng bo‘lgan impuls zichligi vektori qaraladi.

\vec{s} = ρ \vec{v} .

Ayniqsa turbulent oqimda moddaning holatini tavsiflovchi kattaliklar (jumladan, zichlik va tezlik) tartibsiz tebranishlarga uchragani sababli, o‘rtachalashtirilgan kattaliklar fizik jihatdan muhimdir. Gidrodinamik fluktuatsiyalarning oqim dinamikasiga ta’siri statistik gidromexanika usullari yordamida hisobga olinadi. Oqimning o‘rtacha xususiyatlarini tavsiflovchi harakat tenglamalari O. Reynolds usuliga ko‘ra, ya’ni Navye–Stoks tenglamalarini o‘rtachalashtirish orqali olinadi.

Agar Reynolds usuliga ko‘ra $ρ = \overline{ρ} + ρ^{'},$ $\vec{v} = \overline{\vec{v}} + {\vec{v}}^{'},$ deb ifodalasak, bu yerda ustki chiziq o‘rtachalashtirish belgisini, shtrix esa o‘rtacha qiymatdan og‘ishni bildiradi. Shunda o‘rtacha impuls zichligi vektori quyidagi ko‘rinishga keladi:

\overline{\vec{s}} = \overline{ρ \vec{v}} = \overline{ρ} \overline{\vec{v}} + \vec{S},

bu yerda $\vec{S} = \overline{ρ^{'} {\vec{v}}^{'}}$ — fluktuatsion massa oqimi zichligi vektori (yoki «turbulent impuls zichligi»).

Maydon kvant nazariyasida impuls tasviri

Maydon kvant nazariyasida ko‘pincha impuls tasviri qo‘llanadi, u Furye almashtirishidan foydalanishga asoslangan. Uning afzalliklari: fizik sistemalarni fazo-vaqt koordinatalari orqali emas, balki energiya va impulslar orqali tavsiflash qulayligi; dinamik o‘zgaruvchilarning ixchamroq va ko‘rgazmaliroq tuzilishi.

Adabiyotlar

Arnold V. I. Klassik mexanikaning matematik usullari. — 5-nashr, o‘zgarishsiz. — M.: Editorial URSS, 2003. — 416 b. — 1500 nusxa — ISBN 5-354-00341-5.
Landau L. D., Lifshits Ye. M. Mexanika. — 4-nashr, tuzatilgan. — M.: Nauka, 1988. — 215 b. — («Nazariy fizika», jild I). — ISBN 5-02-013850-9.
Landau L. D., Lifshits Ye. M. Maydon nazariyasi. — 7-nashr, tuzatilgan. — M.: Nauka, 1988. — 512 b. — («Nazariy fizika», jild II). — ISBN 5-02-014420-7.
Sivuxin D. V. Fizikaning umumiy kursi. — 4-nashr. — M.: Fizmatlit, 2002. — J. I. Mexanika. — 792 b. — ISBN 5-9221-0225-7.
Ayzerman M. A. Klassik mexanika. — M.: Nauka, 1980. — 368 b.