Pauli prinsipi haqida

Volfgang Pauli hech qaysi ikki elektron bir xil kvant sonlari to‘plamiga ega bo‘la olmasligi haqidagi qonunni shakllantirgan

Pauli istisno prinsipi (Pauli taqiqlash prinsipi yoki shunchaki taqiqlash prinsipi) — kvant-mexanik prinsip bo‘lib, unga ko‘ra ikki yoki undan ortiq bir xil fermion (yarim butun spinga ega zarralar) bitta kvant holatini ayni bir kvant tizimida bir vaqtning o‘zida egallay olmaydi. Ushbu prinsip avstriyalik fizik Volfgang Pauli tomonidan 1925-yilda elektronlar uchun ifodalangan, keyinchalik esa uning spin va statistika o‘rtasidagi bog‘liqlik haqidagi teoremasi asosida 1940-yilda barcha fermionlarga tatbiq etilgan.

Atomlardagi elektronlarga nisbatan bu prinsipni quyidagicha ifodalash mumkin: ko‘p elektronli atomdagi ikkita elektron quyidagi to‘rtta kvant soni bo‘yicha aynan bir xil qiymatlarga ega bo‘la olmaydi: n (bosh kvant soni), l (orbital kvant soni), m (magnit kvant soni) va m_s, (spinning proyeksiyasi kvant soni). Masalan, agar ikkita elektron bitta orbitalda joylashgan bo‘lsa, ularning uchta kvant soni — n, l, m — qiymatlari bir xil bo‘ladi, shuning uchun m_s qiymatlari farqlanishi, ya’ni elektronlarning spin proyeksiyalari 1/2 va −1/2 (h birliklarida) qarama-qarshi bo‘lishi kerak.

Spini butun sonli bo‘lgan zarralarga, ya’ni bozonlarga Pauli istisno prinsipi tatbiq etilmaydi: bir xil bozonlarning istalgan miqdori bir kvant holatini egallashi mumkin. Masalan, bitta kvant holatini lazer nurlanishi fotonlari ham, Boze — Eynshteyn kondensatidagi atomlar ham egallashi mumkin.

Yanada qat’iy ta’rif ikkita bir xil zarra o‘rin almashishiga taalluqlidir: fermionlarning to‘liq (ko‘p zarrali) to‘lqin funksiyasi antisimmetrik, bozonlarniki esa simmetrik bo‘ladi. Bu shuni anglatadiki, agar ikkita aynan bir xil zarraning fazoviy va spin koordinatalari o‘zaro almashtirilsa, to‘liq to‘lqin funksiyasining ishorasi fermionlar uchun o‘zgaradi, bozonlar uchun esa o‘zgarmaydi.

Agar ikkita fermion bir xil holatda bo‘lganida (masalan, atomning bir orbitalida bir xil spinga ega bo‘lganida), ularning o‘rnini almashtirish hech narsani o‘zgartirmas va to‘liq to‘lqin funksiyasi ham o‘zgarmas edi. Fermionlar uchun talab qilinganidek, to‘liq to‘lqin funksiyasi bir vaqtning o‘zida ham ishorasini o‘zgartirishi, ham o‘zgarmas bo‘lib qolishi faqat uning butun aniqlanish sohasida nolga teng bo‘lgandagina mumkin. Bu esa bunday holat mavjud emasligini bildiradi. Mazkur mulohaza bozonlarga tatbiq etilmaydi, chunki ular uchun to‘liq to‘lqin funksiyasining ishorasi o‘zgarmaydi.

Pauli prinsipini quyidagicha ta’riflash mumkin: bitta kvant tizimida muayyan kvant holatini faqat bitta fermion egallashi mumkin, boshqa fermionning holati esa hech bo‘lmaganda bitta kvant soni bilan farqlanishi kerak. Statistik fizikada Pauli prinsipi ba’zan to‘lish sonlari orqali ifodalanadi: antisimmetrik to‘lqin funksiyasi bilan tavsiflanadigan bir xil zarralar tizimida to‘lish sonlari faqat ikkita qiymatni qabul qilishi mumkin: $N_{p}=0,1$ . Pauli prinsipining klassik fizikadagi muqobili mavjud emas.

Umumiy ma’lumot

Pauli istisno prinsipi barcha fermionlarning («yarim butun spin»ga ega zarralarning) xatti-harakatini tavsiflaydi, bozonlar («butun spinli» zarralar) esa boshqa qonuniyatlarga bo‘ysunadi. Fermionlar jumlasiga elementar zarralar, masalan, kvarklar, elektronlar va neytrinolar kiradi. Bundan tashqari, barionlar, ya’ni subatom zarralar, uchta kvarkdan tashkil topgan protonlar va neytronlar, shuningdek ayrim atomlar (masalan, geliy-3) ham fermion hisoblanadi va shuning uchun istisno prinsipiga bo‘ysunadi. Atomlarning umumiy «spini» turlicha bo‘lishi mumkin va aynan shu ularning fermion yoki bozon ekanini belgilaydi. Masalan, geliy-3 ning spini 1/2 bo‘lib, u fermiondir; geliy-4 esa spinining qiymati 0 bo‘lgani uchun bozondir. Shu tariqa Pauli istisno prinsipi odatiy moddaning ko‘plab xususiyatlariga — uning katta miqyosdagi barqarorligidan tortib atomlarning kimyoviy xossalarigacha — asos bo‘ladi.

«Yarim butun spin» deganda fermionlarning xususiy impuls momenti qiymati $\hbar =h/2\pi$ (keltirilgan Plank doimiysi) ning yarim butun songa (1/2, 3/2, 5/2 va hokazo) ko‘paytmasiga tengligi tushuniladi. Kvant mexanikasida fermionlar antisimmetrik holatlar bilan tavsiflanadi. Aksincha, butun spinli zarralarning to‘lqin funksiyalari simmetrik bo‘ladi; fermionlardan farqli ravishda ular bir xil kvant sonlariga ega bo‘lishi mumkin. Bozonlar jumlasiga foton, Kuper juftlari, ya’ni o‘ta o‘tkazuvchanlik uchun mas’ul bo‘lgan juftlar hamda W va Z bozonlari kiradi. (Fermionlar o‘z nomini ular bo‘ysunadigan Fermi — Dirak statistik taqsimotidan, bozonlar esa Boze — Eynshteyn taqsimotidan.)

Tarix

XX asr boshlarida elektronlari soni juft bo‘lgan atom va molekulalar elektronlari soni toq bo‘lganlarga qaraganda kimyoviy jihatdan barqarorroq ekani ma’lum bo‘ldi. Masalan, Gilbert N. Lyuisning 1916-yilda chop etilgan «Atom va molekula» maqolasidagi kimyoviy xatti-harakatga oid oltita postulatdan uchinchisida atom har qanday qobiqda juft sondagi elektronlarni, ayniqsa kubning sakkizta burchagida simmetrik joylashgan deb hisoblangan sakkizta elektronni saqlab qolishga intilishi ta’kidlangan. 1919-yilda kimyogar Irving Lengmyur davriy qonunni atomdagi elektronlar qandaydir tarzda o‘zaro bog‘langan yoki guruhlarga birlashgan bo‘lsa, tushuntirish mumkinligini taxmin qildi. Elektron guruhlari yadro atrofidagi bir necha elektron qobiqlarini egallaydi deb hisoblangan. 1922-yilda Nils Bor o‘zining atom modelini rivojlantirib, elektronlarning ma’lum soni (masalan, 2, 8 va 18) barqaror «to‘liq to‘lgan qobiqlar»ga mos kelishini taklif qildi.

Pauli dastlab faqat tajribaga asoslangan bo‘lgan bu sonlarning sababini izlagan. Shu bilan birga, u atom Zeyeman effekti bo‘yicha spektroskopiyasidagi va ferromagnetizmdagi tajriba natijalarini tushuntirishga harakat qilgan. U muhim dalilni Edmund Stonerning 1924-yilda chop etilgan maqolasidan topdi: unda berilgan bosh kvant soni (n) uchun tashqi magnit maydondagi ishqoriy metall spektrlaridagi bir elektronning energiya sathlari soni, barcha bir xil energiyali (aynigan) sathlar ajratilganda, nodir gazlarning xuddi shu bosh kvant soni n uchun to‘liq qobiqdagi elektronlar soniga tengligi qayd etilgan. Bu kuzatuv orqali Pauli to‘liq qobiqlardagi elektronlar soni haqidagi murakkab qonuniyatni, elektron holatlari to‘rtta kvant soni bilan ifodalanganda, har bir holatga bittadan elektron to‘g‘ri kelishi haqidagi oddiy qoidaga keltirish mumkinligini tushundi. Shu maqsadda u keyinchalik Semyuel Gaudsmit va Jorj Ulenbek tomonidan elektron spini sifatida aniqlangan yangi ikki qiymatli kvant sonini kiritdi.

Kvant holati simmetriyasi bilan bog‘liqlik

Bir qiymatli ko‘p zarrali to‘lqin funksiyasi uchun Pauli istisno prinsipi to‘lqin funksiyasi zarralar o‘rin almashishiga nisbatan antisimmetrik bo‘lishi talabiga teng kuchlidir. Agar $|x\rangle$ va $|y\rangle$ bitta zarrali tizimni tavsiflovchi Hilbert fazosining bazis vektorlari bo‘ylab o‘zgarsa, ularning tenzor ko‘paytmasi shunday ikkita zarradan iborat tizimni tavsiflaydigan $|x,y\rangle =|x\rangle \otimes |y\rangle$ Hilbert fazosining bazis vektorlarini hosil qiladi. Ikki zarrali har qanday holatni shu bazis vektorlarning superpozitsiyasi (ya’ni yig‘indisi) sifatida ifodalash mumkin:

|\psi \rangle =\sum _{x,y}A(x,y)|x,y\rangle ,

bu yerda har bir kompleks ko‘paytuvchi A(x,y) — skalyar koeffitsiyentdir. Zarralar o‘rin almashganda antisimmetriya shuni anglatadiki, A(x,y) = −A(y,x). Bundan kelib chiqadiki, A(x,y) = 0, agar x = y. Bu Pauli istisno prinsipining matematik ifodasidir. U har qanday bazis uchun o‘rinli, chunki bazisning lokal o‘zgarishlari antisimmetrik matritsalarning antisimmetrikligini saqlaydi.

Aksincha, agar diagonal kattaliklar A(x,x) har bir bazisda nolga teng bo‘lsa, to‘lqin funksiyasining komponenti

A(x,y)=\langle \psi |x,y\rangle =\langle \psi |{\Big (}|x\rangle \otimes |y\rangle {\Big )}

albatta antisimmetrik bo‘ladi. Buni isbotlash uchun quyidagi matritsa elementi qaraladi:

\langle \psi |{\Big (}(|x\rangle +|y\rangle )\otimes (|x\rangle +|y\rangle ){\Big )}.

Bir tomondan, bu ifoda nolga teng, chunki ikkita zarraning superpozitsiya holatida bo‘lish ehtimoli nolga teng. $|x\rangle +|y\rangle$ . Biroq u quyidagiga ham teng:

\langle \psi |x,x\rangle +\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle +\langle \psi |y,y\rangle .

Birinchi va oxirgi hadlar diagonal elementlar bo‘lib, nolga teng, umumiy yig‘indi ham nolga teng. Demak, to‘lqin funksiyasi matritsasining elementlari quyidagi shartni qanoatlantiradi:

\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle =0,

yoki

A(x,y)=-A(y,x).

Agar tizim n > 2 ta zarradan iborat bo‘lsa, ko‘p zarrali bazis holatlari bitta zarrali bazis holatlarining n karrali tenzor ko‘paytmalariga aylanadi, to‘lqin funksiyasining koeffitsiyentlari $A(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ esa n ta bitta zarrali holat orqali beriladi. Antisimmetriya sharti shuni bildiradiki, istalgan ikkita holat o‘rin almashganda koeffitsiyentlar ishorasini o‘zgartirishi kerak: $A(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=-A(\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{i},\ldots )$ — istalgan $i\neq j$ juftlik uchun. Istisno prinsipi shundan kelib chiqadiki, agar $x_{i}=x_{j}$ istalgan $i\neq j,$ uchun bo‘lsa, u holda $A(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=0.$ bo‘ladi. Demak, n ta zarraning hech qaysi ikkitasi bir xil kvant holatida bo‘la olmaydi.

Ilg‘or kvant nazariyasi

Spin va statistika o‘rtasidagi bog‘liqlik haqidagi teoremaga ko‘ra, butun spinli zarralarning kvant holatlari simmetrik to‘lqin funksiyalari, yarim butun spinli zarralarniki esa antisimmetrik to‘lqin funksiyalari bilan tavsiflanadi. Bundan tashqari, kvant mexanikasi qonunlari (uch o‘lchamli fazoda) spinning faqat butun va yarim butun qiymatlarda bo‘lishiga imkon beradi. Relyativistik kvant maydon nazariyasida Pauli prinsipi yarim butun spinli zarralarga aylanish operatorini mavhum vaqt bo‘yicha qo‘llashdan kelib chiqadi.

Bir o‘lchamli fazoda bozonlar ham, fermionlar singari, istisno prinsipiga bo‘ysunadi. Itaruvchi delta-funksiyaviy ta’sir kuchi cheksiz bo‘lgan bir o‘lchamli Boze gazi erkin fermionlar gaziga teng kuchlidir. Buning sababi shundaki, bir o‘lchamda zarralarning o‘rin almashishi ular bir-birining ichidan o‘tishini talab qiladi; cheksiz kuchli itarilishda esa bu sodir bo‘lolmaydi. Bunday model kvant nochiziqli Shryodinger tenglamasi bilan tavsiflanadi. Impulslar fazosida Pauli istisno prinsipi delta-funksiyaviy o‘zaro ta’sirli Boze gazida chekli itarilish kuchi uchun ham, shuningdek o‘zaro ta’sirlashuvchi spinlar, bir o‘lchamli Habbard modeli va Bete ansatsi (Bethe ansatz) yordamida yechiladigan boshqa modellarda ham amal qiladi. Bete ansatsi bilan yechiladigan modellarning asosiy holati Fermi sferasi bilan ifodalanadi.

Qo‘llanilishi

Atomlar

Pauli istisno prinsipi ko‘plab fizik hodisalarni tushuntirishga yordam beradi. Bu prinsipning ayniqsa muhim oqibatlaridan biri atomlarning murakkab elektron qobiq tuzilishi hamda atomlar o‘rtasida elektronlar almashinish usulidir. Bu kimyoviy elementlar va ularning birikmalari xilma-xilligini tushuntiradi. Elektr jihatdan neytral atomda bog‘langan elektronlar soni yadrodagi protonlar soniga teng bo‘ladi. Elektronlar fermion bo‘lgani sababli boshqa elektronlar bilan bir xil kvant holatini egallay olmaydi. Shuning uchun quyida tavsiflanganidek, bitta elektron orbitalidagi elektronlarning spinlari bir-biridan farq qilishi kerak.

Bunga neytral geliy atomi misol bo‘la oladi: unda ikkita bog‘langan elektron mavjud bo‘lib, ularning har biri eng past energiyali holatni (1s) egallashi va natijada qarama-qarshi spinlarga ega bo‘lishi mumkin. Spin elektronning kvant holatiga kirgani sababli ikki elektron turli kvant holatlarida bo‘ladi va Pauli prinsipini buzmaydi. Biroq spin faqat ikkita qiymatni (xos qiymatlarni) qabul qilishi mumkin. Uchta bog‘langan elektronga ega litiy atomida uchinchi elektron 1s- holatda joylasha olmaydi va uning o‘rniga energiyasi yuqoriroq bo‘lgan 2s-holatlardan birini egallashi kerak. Xuddi shunday, ketma-ket og‘irroq elementlarning elektronlari yuqori energiyali qobiqlarda joylashadi. Elementning kimyoviy xossalari ko‘p jihatdan tashqi qobig‘idagi elektronlar soniga bog‘liq. Egallangan elektron qobiqlari soni turlicha, ammo tashqi qobig‘idagi elektronlar soni bir xil bo‘lgan atomlar o‘xshash xossalarga ega. Bu holat kimyoviy elementlarning xossalariga asos bo‘ladi .

Geliy (He) atomi uchun Pauli istisno prinsipini tekshirish maqsadida Gordon Dreyk uni buzadigan faraziy geliy holatlari — paron holatlari (parafermion holatlari) energiyalarini juda yuqori aniqlikda hisoblagan. Keyinchalik K. Deylamian va hammualliflar atom-nur spektrometri yordamida 1s2s ¹ S _0, Dreyk hisoblagan paron holatini qidirgan. Izlanish muvaffaqiyatsiz yakunlanib, ushbu paron holatining statistik og‘irligi uchun yuqori chegara 5x10 ⁻⁶ ekanini ko‘rsatgan. (Istisno prinsipiga ko‘ra, bu og‘irlik nolga teng bo‘lishi kerak.)

Qattiq jismlarning xossalari

O‘tkazgichlar va yarimo‘tkazgichlarda juda ko‘p miqdordagi molekulyar orbitallar mavjud bo‘lib, ular amalda uzluksiz zonalar tuzilishini (energiya sathlari tizimini) hosil qiladi. O‘tkazgichlarda (metallarda) elektron gazi shu qadar degeneratsiyalashgan bo‘ladiki, hatto yuqori haroratlarda ham metallning issiqlik sig‘imiga katta hissa qo‘sha olmaydi. Qattiq jismlarning ko‘plab mexanik, elektr, magnit, optik va kimyoviy xossalari bevosita Pauli istisno prinsipidan kelib chiqadi.

Moddaning barqarorligi

Atomdagi har bir elektron holatining barqarorligi atomning kvant nazariyasi bilan tavsiflanadi. Unga ko‘ra, elektron yadroga yaqinlashganda uning kinetik energiyasi albatta ortadi. Bu Geyzenbergning noaniqlik prinsipi bilan mos keladi. Biroq ko‘p elektron va ko‘p nuklonlardan tashkil topgan yirik tizimlarning barqarorligi alohida masala bo‘lib, uni tushuntirish uchun Pauli istisno prinsipini qo‘llash kerak.

Pauli istisno prinsipi oddiy moddaning barqaror bo‘lishi va hajm egallashini ham ta’minlashi ko‘rsatilgan. Bu fikrni ilk bor 1931-yilda Paul Erenfest ilgari surgan. U atomdagi barcha elektronlar eng past energiyali orbitalga tushib keta olmasligini, aksincha, yadrodan tobora uzoqroq joylashgan qobiqlarni (bosh kvant sonlari kattaroq bo‘lgan orbitallarni) egallashi kerakligini ta’kidlagan. Shuning uchun atomlar hajm egallaydi va odatiy sharoitlarda haddan tashqari siqilib keta olmaydi.

Yanada qat’iyroq isbotni 1967-yilda Frimen Dayson va Endryu Lenard (nemischa) taqdim etgan. Ular tortishish (elektron–yadro) va itarilish (elektron–elektron hamda yadro–yadro) kuchlari muvozanatini ko‘rib chiqib, Pauli prinsipi bo‘lmaganida oddiy modda kollapsga uchrab, ancha kichik hajmni egallashini ko‘rsatgan.

Pauli prinsipidan kelib chiqishicha, bir xil spinga ega elektronlar itaruvchi almashinuv o‘zaro ta’siri sababli fazoda bir-biridan ajraladi. Bu qisqa masofada ta’sir qiladigan hodisa uzoq masofali elektrostatik yoki Kulon kuchi bilan birgalikda amal qiladi. Ushbu hodisa makroskopik dunyoda kuzatiladigan — ikkita qattiq jism bir vaqtning o‘zida aynan bir joyni egallay olmasligi — holatiga qisman sabab bo‘ladi.

Astrofizika

Dayson va Lenard ayrim astronomik jismlarda yuzaga keladigan o‘ta kuchli magnit yoki gravitatsion kuchlarni ko‘rib chiqmagan. 1995-yilda Elliot Lib va uning hamkasblari Pauli prinsipi kuchli magnit maydonlarda ham, masalan, neytron yulduzlarda modda barqarorligini ta’minlashini, ammo bunda zichlik odatiy moddadagiga qaraganda ancha yuqori bo‘lishini ko‘rsatgan. Umumiy nisbiylik nazariyasidan kelib chiqishicha, gravitatsion maydon yetarlicha kuchli bo‘lsa, modda kollapsga uchrab, qora tuynuk hosil qiladi.

Astronomiyada Pauli prinsipining moddaga ta’sirini yaqqol namoyon etuvchi misollar — oq mitti yulduzlar va neytron yulduzlardir. Har ikkala turdagi osmon jismida ham haddan tashqari katta bosim atom tuzilishini buzadi, ammo yulduzlar gidrostatik muvozanatda degeneratsiya bosimi, ya’ni Fermi bosimi tufayli saqlanib turadi. Moddaning bu noodatiy shakli degeneratsiyalashgan modda deb ataladi. Odatda yulduz massasining ulkan gravitatsion kuchi yulduz yadrosida issiqlik bosimi bilan muvozanatlashadi. Bu bosim termoyadro sintezi jarayonida ajralib chiqadigan issiqlik hisobiga yuzaga keladi. Yadroviy sintez reaksiyalari sodir bo‘lmaydigan oq mitti yulduzlarda gravitatsiyaga qarshi turuvchi kuch elektronlarning degeneratsiya bosimi bilan ta’minlanadi. Neytron yulduzlarda gravitatsiya yanada kuchli bo‘lib, elektronlar protonlar bilan birikib neytronlarni hosil qilgan. Neytronlar bundan ham yuqori degeneratsiya bosimini, ya’ni neytronlarning degeneratsiya bosimini yuzaga keltira oladi, garchi bu torroq sharoitlar oralig‘ida yuz bersa ham. Shu tufayli neytron yulduzlar keyingi kollapsdan saqlanadi, ammo ularning o‘lchami kichikroq, zichligi esa oq mittilarnikidan yuqoriroq bo‘ladi. Neytron yulduzlar hozircha ma’lum bo‘lgan eng «qattiq» jismlardir; ularning Yung moduli (aniqrog‘i, hajmiy elastiklik moduli) 20 tartibga kattaroqdir — olmosniki bilan taqqoslanganda. Biroq hatto bunday ulkan qattiqlikni ham gravitatsion maydon yenga oladi, agar neytron yulduz massasi Tolman — Oppengeymer — Volkov chegarasidan oshsa; buning natijasida qora tuynuk hosil bo‘ladi.

Adabiyotlar

Pauli V. «Atomdagi elektron guruhlarining to‘lishi bilan spektrlarning murakkab tuzilishi o‘rtasidagi bog‘liqlik haqida» (16-yanvar 1925-yilda qabul qilingan). «Volfgang Pauli. Kvant nazariyasiga oid asarlar: Kvant nazariyasi. To‘lqin mexanikasining umumiy prinsiplari. 1920—1928-yillardagi maqolalar» kitobida. Moskva: Nauka, 1975. 645-660-betlar
Pauli W. Uber den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen in Atom mit der Коmplexstruktur der Spektren,— Z. Phys., 1925, 31, 765—783.
Pauli V. To‘lqin mexanikasining umumiy prinsiplari. — M.—L. : GITTL, 1947.
Davidov A. S. Kvant mexanikasi. — Nauka, 1973. — B. 334.