Amper kuchi nima

Amper qonuni — elektr toklarining o‘zaro ta’siri qonunidir. U birinchi marta Andre-Mari Amper tomonidan aynan 1820 yilda o‘zgarmas tok uchun aniqlangan. Amper qonuniga ko‘ra, parallel joylashgan o‘tkazgichlardan bir yo‘nalishda elektr toki o‘tsa, ular bir-biriga tortiladi, qarama-qarshi yo‘nalishda o‘tsa, itariladi. Amper qonuni, shuningdek, magnit maydonining tokli o‘tkazgich kichik bo‘lagiga ta’sir etuvchi kuchini aniqlovchi qonun hamdir. Bu kuch tok kuchiga ham, magnit induksiyasiga $B$ ham chiziqli bog‘liq. Magnit maydon ta’sirida yuzaga keladigan $d \vec{F}$ kuchning hajm elementi $d V$ , tok zichligi $\vec{j}$ va magnit induksiyasi $\vec{B}$ bo‘lgan tokli o‘tkazgich uchun Xalqaro birliklar tizimidagi (SI) ifodasi quyidagicha:

d \vec{F} = \vec{j} \times \vec{B} d V .

Agar tok ingichka o‘tkazgichdan o‘tsa, u holda $\vec{j} d V = I d \vec{l}$ , bu yerda $d \vec{l}$ — uzunlik elementi — o‘tkazgichga tegishli vektor bo‘lib, uning moduli $d l$ ga teng va yo‘nalishi tok yo‘nalishiga mos keladigan vektoridir. U holda kuch ifodasi quyidagicha yoziladi: $d \vec{F} = I d \vec{l} \times \vec{B}$ .

Amper qonunining fizik mazmuni

Amper qonuni deganda magnit maydonining tok o‘tayotgan o‘tkazgichga ko‘rsatadigan kuch ta’sirini ifodalovchi mulohazalar va formulalar majmui tushuniladi. Bu magnit maydonni boshqa tokli o‘tkazgich ham hosil qilishi mumkin. Qonun quyidagilarni aniqlaydi:

o‘tkazgichning $d l_{1}$ uzunlikdagi, toki $I_{1}$ bo‘lgan kichik bo‘lagining boshqa o‘tkazgichning $d l_{2}$ uzunlikdagi bo‘lagiga ko‘rsatadigan ta’sir kuchini, bunda ikkinchi bo‘lakdagi tok kuchi $I_{2}$ :

d^{2} {\vec{F}}_{12} = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{4 π} \cdot \frac{d {\vec{l}}_{2} \times [d {\vec{l}}_{1} \times ({\vec{r}}_{2} - {\vec{r}}_{1})]}{| {\vec{r}}_{1} - {\vec{r}}_{2} |^{3}} = I_{2} d {\vec{l}}_{2} \times d {\vec{B}}_{1} ({\vec{r}}_{2})

,

bu yerda

{\vec{r}}_{1}

va

{\vec{r}}_{2}

— radius-vektorlar o‘tkazgich uzunligi elementlari uchun belgilangan, ya’ni ular

d {\vec{l}}_{1}

va

d {\vec{l}}_{2}

elementlariga tegishli;

d^{2} {\vec{F}}_{12}

—

d {\vec{l}}_{1}

elementi hosil qilgan

d {\vec{B}}_{1} ({\vec{r}}_{2})

magnit maydon orqali

{\vec{r}}_{2}

nuqtada ikkinchi elementga ko‘rsatadigan ta’sir kuchi; ikkinchi element —

d {\vec{l}}_{2}

;

μ_{0}

— magnit doimiysi;

Tokli ikkita yopiq o‘tkazuvchi konturning o‘zaro ta’sir kuchini; ularning shakllari $ℂ_{1}$ va $ℂ_{2}$ , tok kuchlari esa $I_{1}$ va $I_{2}$ :

{\vec{F}}_{12} = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{4 π} \oint_{ℂ_{2}} \oint_{ℂ_{1}} \frac{[d {\vec{r}}_{2} \times [d {\vec{r}}_{1} \times ({\vec{r}}_{2} - {\vec{r}}_{1})]]}{| {\vec{r}}_{1} - {\vec{r}}_{2} |^{3}}

,

bu yerda

{\vec{r}}_{1}

va

{\vec{r}}_{2}

— radius-vektorlar bo‘lib, ular quyidagi konturlarning barcha nuqtalaridan o‘tadi:

ℂ_{1}

,

ℂ_{2}

;

{\vec{F}}_{12}

— 1-kontur 2-konturga ta’sir etuvchi kuchdir. Aslida bu oldingi banddagi ifodani integrallash natijasidir;

Quyidagi kuchni, ya’ni magnit maydoni tokli o‘tkazgichning $d l$ va toki $I$ (A) bo‘lgan o‘tkazgich bo‘lagiga, yuzi $d S$ va toki $\vec{i}$ (A/m) bo‘lgan yassi qismiga yoki hajmi $d V$ hamda toki $\vec{j}$ (A/m²):

d \vec{F} = I d \vec{l} \times \vec{B}, d \vec{F} = \vec{i} d S \times \vec{B}, d \vec{F} = \vec{j} d V \times \vec{B}

.

Kuchning

d \vec{F}

yo‘nalishi vektor ko‘paytmani hisoblash qoidasiga ko‘ra aniqlanadi. Sim uchun uning moduli quyidagicha topiladi:

d F = I B d l \sin α

, bu yerda

α

—

\vec{B}

bilan tok yo‘nalishi orasidagi burchak. O‘tkazgich magnit induksiya chiziqlariga perpendikulyar bo‘lganda kuch eng katta qiymatga ega bo‘ladi (

α = 9 0^{\circ}

). Integrallash orqali maydonning butun jismga ta’sir etuvchi kuchini aniqlash mumkin.

Ikkita parallel o‘tkazgich holati

Amper kuchini tasvirlaydigan eng mashhur misollardan biri quyidagi masaladir. Vakuumda bir-biridan $r$ masofada ikkita cheksiz uzun parallel o‘tkazgich joylashgan bo‘lib, ulardan bir yo‘nalishda $I_{1}$ va $I_{2}$ toklar oqadi. O‘tkazgich uzunligining bir birligiga ta’sir etuvchi kuchni topish talab etiladi.

Aynan Bio–Savar–Laplas qonuniga muvofiq, toki $I_{1}$ bo‘lgan cheksiz uzun o‘tkazgich undan $r$ masofadagi nuqtada induksiyasi quyidagicha bo‘lgan magnit maydonni hosil qiladi:

{\vec{B}}_{1} (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{2 I_{1}}{r} {\vec{e}}_{φ}

,

bu yerda $μ_{0}$ — magnit doimiysi, ${\vec{e}}_{φ}$ — toki quyidagiga teng bo‘lgan simning simmetriya o‘qi atrofidagi aylana bo‘ylab yo‘nalgan birlik vektor: $I_{1}$ .

Amper qonuniga ko‘ra, birinchi o‘tkazgich ikkinchisining $d \vec{l}$ kichik bo‘lagiga qanday kuch bilan ta’sir qilishini topamiz:

d {\vec{F}}_{12} = I_{2} d \vec{l} \times {\vec{B}}_{1} (r) .

Chap qo‘l qoidasiga ko‘ra, $d {\vec{F}}_{12}$ kuch birinchi o‘tkazgich tomon yo‘nalgan (xuddi shunday, birinchi o‘tkazgichga ta’sir etuvchi $d {\vec{F}}_{21}$ kuch ikkinchi o‘tkazgich tomon yo‘nalgan). Demak, o‘tkazgichlar bir-biriga tortiladi.

Ushbu kuchning moduli ( $r$ — o‘tkazgichlar orasidagi masofa):

d F_{12} = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{2 I_{1} I_{2}}{r} d l .

O‘tkazgichning uzunligi $L$ bo‘lgan qismi bo‘yicha integrallaymiz (integrallash chegaralari $l$ uchun 0 dan $L$ ):

F_{12} = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{2 I_{1} I_{2}}{r} \cdot L .

Agar $L$ birlik uzunlik bo‘lsa, bu ifoda izlanayotgan o‘zaro ta’sir kuchini beradi.

Olingan formula SI tizimida magnit doimiysi $μ_{0}$ ning son qiymatini belgilash uchun ishlatiladi. Darhaqiqat, amper SI tizimining asosiy birliklaridan biri bo‘lib, unda quyidagicha ta’riflanadi: «Vakuumda bir-biridan 1 metr masofada joylashgan ikkita o‘tkazgichdan o‘tganda ularning har birining 1 metr uzunlikdagi qismiga ta’sir etuvchi o‘zaro kuchning qiymati 2⋅10⁻⁷ nyuton».

Shunday qilib, olingan formula va amperning ta’rifidan magnit doimiysi $μ_{0}$ quyidagi qiymatga tengligini ko‘rsatadi: $4 π \times 1 0^{- 7}$ N/A² yoki, xuddi shu ma’noda, $4 π \times 1 0^{- 7}$ Gn/ m aniq.

Amper qonunining namoyon bo‘lishi

Podstansiyalarda uch fazali o‘zgaruvchan tok shinalarining (tok o‘tkazgichlarining) elektrodinamik deformatsiyasi — qisqa tutashuv toklarining ta’siri.
Tok o‘tkazgichlarining bir-biridan uzoqlashishi — relsotronlarda o‘q uzilganda.

Qo‘llanilishi

Elektrotexnikada elektromagnit maydon ta’sirida biror qismi harakatga keladigan barcha qurilmalarda Amper qonunidan foydalaniladi. Elektromexanik mashinalarning ishlash prinsipi (rotor chulg‘ami qismining stator chulg‘ami qismiga nisbatan harakati) Amper qonunidan foydalanishga asoslanadi. Eng keng tarqalgan va deyarli barcha texnik tuzilmalarda ishlatiladigan qurilma — elektr dvigatel yoki tuzilishi jihatidan unga deyarli o‘xshash bo‘lgan generatordir. Rotorning aylanishi aynan Amper kuchi ta’sirida yuz beradi, chunki statorning magnit maydoni rotor chulg‘amiga ta’sir etib, uni harakatga keltiradi. Elektr tortish kuchidan foydalanadigan barcha transport vositalari g‘ildiraklar joylashgan vallarni aylantirishda Amper kuchidan foydalanadi (tramvaylar, elektromobillar, elektropoyezdlar va boshqalar).

Magnit maydoni elektr qulflash mexanizmlarini ham harakatga keltiradi (elektr eshiklar, surilma darvozalar, lift eshiklari). Boshqacha aytganda, elektrda ishlaydigan va harakatlanuvchi qismlarga ega bo‘lgan barcha qurilmalarning ishlashi Amper qonuniga asoslanadi.

Bu qonun elektrotexnikaning boshqa ko‘plab sohalarida, masalan, dinamik kallakda (dinamikda) ham qo‘llanadi: dinamik (karnay)da tovush tebranishlarini hosil qiladigan membranani tebratishda doimiy magnitdan foydalaniladi. Uning yaqinidagi tokli o‘tkazgich hosil qilgan elektromagnit maydon ta’sirida Amper kuchi yuzaga keladi va bu kuch kerakli tovush chastotasiga muvofiq o‘zgaradi.

Shuningdek:

Elektrodinamik siqilish — plazmaning siqilishi; masalan, tokamaklarda hamda Z-pinch qurilmalarida.
Elektrodinamik presslash usuli.
Elektromagnit nasos

Amper kuchi va Nyutonning uchinchi qonuni

Aytaylik, tok kuchlari $I_{1}$ va $I_{2}$ bo‘lgan ikkita ingichka o‘tkazgichning shakli $C_{1}$ va $C_{2}$ egri chiziqlar bilan berilgan. Ularga mos radius-vektorlar — $𝐫_{1}$ va $𝐫_{2}$ .

orqali berilgan. Ushbu o‘tkazgichlarning cheksiz kichik qismlari o‘rtasidagi o‘zaro ta’sir kuchlari uchun Nyutonning uchinchi qonuni bajarilmaydi. Xususan, birinchi o‘tkazgich elementining ikkinchi elementga ko‘rsatadigan Amper kuchi $d^{2} 𝐅_{12}$ ikkinchi o‘tkazgich elementining birinchisiga ko‘rsatadigan kuchining teskari ishorali qiymatiga teng emas, ya’ni $d^{2} 𝐅_{21}$ :

d^{2} 𝐅_{12} = I_{2} d 𝐫_{2} \times d 𝐁_{1} (𝐫_{2}) \neq - d^{2} 𝐅_{21} = - I_{1} d 𝐫_{1} \times d 𝐁_{2} (𝐫_{1})

.

Bu yerda $d 𝐁_{1}$ va $d 𝐁_{2}$ — mos ravishda birinchi va ikkinchi simning bo‘laklari hosil qiladigan maydonlar. Bu holat Nyuton dinamikasini hech qanday tarzda inkor etmaydi, chunki o‘zgarmas tok faqat yopiq kontur bo‘ylab oqishi mumkin. Binobarin, Nyutonning uchinchi qonuni tokli ikkita yopiq o‘tkazgichning o‘zaro ta’sir kuchlari uchun bajarilishi kerak. Alohida elementlardan farqli ravishda, yopiq konturlar uchun Nyuton qonuni bajariladi:

𝐅_{12} = \oint_{ℂ_{2}} (I_{2} d 𝐫_{2} \times 𝐁_{1} (𝐫_{2})) = - 𝐅_{21} = - \oint_{ℂ_{1}} (I_{1} d 𝐫_{1} \times 𝐁_{2} (𝐫_{1}))

,

bu yerda $𝐁_{1}$ va $𝐁_{2}$ — mos ravishda birinchi va ikkinchi simning alohida qismlari emas, balki butun sim hosil qilgan maydonlar. Har ikkala holatda maydonni hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalaniladi: Bio–Savar–Laplas formulasi.

batafsil bayon

Aytaylik, tok kuchlari $I_{1}$ va $I_{2}$ bo‘lgan ikkita ingichka o‘tkazgichning shakli $C_{1}$ va $C_{2}$ egri chiziqlar orqali, radius-vektorlari esa $𝐫_{1}$ va $𝐫_{2}$ orqali berilgan. Bir simning tok elementiga ikkinchi simning tok elementi ta’sir etadigan kuch Bio–Savar–Laplas qonuni orqali aniqlanadi: tok elementi $I_{1} d 𝐫_{1}$ joylashgan nuqta — $𝐫_{1}$ ; u $𝐫_{2}$ nuqtada hosil qiladigan elementar magnit maydon —

d 𝐁_{1} (𝐫_{2}) = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{I_{1} [d 𝐫_{1}, 𝐫_{2} - 𝐫_{1}]}{| 𝐫_{2} - 𝐫_{1} |^{3}}

.

Amper qonuniga ko‘ra, $d 𝐁_{1} (𝐫_{2})$ maydonning $I_{2} d 𝐫_{2}$ tok elementiga $𝐫_{2}$ nuqtada ta’sir etuvchi kuchi quyidagiga teng:

d^{2} 𝐅_{12} = I_{2} d 𝐫_{2} \times d 𝐁_{1} (𝐫_{2}) = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{4 π} \frac{[d 𝐫_{2}, [d 𝐫_{1}, 𝐫_{2} - 𝐫_{1}]]}{| 𝐫_{2} - 𝐫_{1} |^{3}} .

Tok elementi $I_{2} d 𝐫_{2}$ joylashgan nuqta — $𝐫_{2}$ ; u $𝐫_{1}$ nuqtada hosil qiladigan elementar magnit maydon —

d 𝐁_{2} (𝐫_{1}) = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{I_{2} [d 𝐫_{2}, 𝐫_{1} - 𝐫_{2}]}{| 𝐫_{2} - 𝐫_{1} |^{3}}

.

Magnit maydon $d 𝐁_{2} (𝐫_{1})$ ning $I_{1} d 𝐫_{1}$ tok elementiga, u $𝐫_{1}$ nuqtada joylashganida, ta’sir etuvchi Amper kuchi quyidagiga teng:

d^{2} 𝐅_{21} = I_{1} d 𝐫_{1} \times d 𝐁_{2} (𝐫_{1}) = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{4 π} \frac{[d 𝐫_{1}, [d 𝐫_{2}, 𝐫_{1} - 𝐫_{2}]]}{| 𝐫_{2} - 𝐫_{1} |^{3}} .

Umumiy holda, ixtiyoriy $𝐫_{1}$ va $𝐫_{2}$ qiymatlar uchun $d^{2} 𝐅_{12}$ va $d^{2} 𝐅_{21}$ kuchlar hatto kollinear bo‘lmasligi mumkin. Demak, ular Nyutonning uchinchi qonuniga bo‘ysunmaydi: $d^{2} 𝐅_{12} + d^{2} 𝐅_{21} \neq 0$ .

Biroq bu natija mazkur holatda Nyuton dinamikasi noto‘g‘ri ekanini anglatmaydi. Umuman olganda, o‘zgarmas tok faqat yopiq kontur bo‘ylab oqishi mumkin. Shu sababli Nyutonning uchinchi qonuni faqat tokli ikkita yopiq o‘tkazgich orasidagi o‘zaro ta’sir kuchlari uchun bajarilishi lozim. Bunday ikkita o‘tkazgich uchun Nyutonning uchinchi qonuni bajarilishiga ishonch hosil qilish mumkin.

Faraz qilaylik, $C_{1}$ va $C_{2}$ egri chiziqlar yopiq. U holda $I_{1}$ tok $𝐫_{2}$ nuqtada quyidagi magnit maydonni hosil qiladi:

𝐁_{1} (𝐫_{2}) = \frac{μ_{0} I_{1}}{4 π} \oint_{ℂ_{1}} \frac{[d 𝐫_{1}, 𝐫_{2} - 𝐫_{1}]}{| 𝐫_{2} - 𝐫_{1} |^{3}},

bu yerda $C_{1}$ bo‘yicha integrallash $I_{1}$ tok oqimi yo‘nalishida amalga oshiriladi. $𝐁_{1} (𝐫_{2})$ maydonning $C_{2}$ konturga, undan $I_{2}$ tok oqayotgan paytda ko‘rsatadigan Amper kuchi quyidagiga teng:

𝐅_{12} = \oint_{ℂ_{2}} (I_{2} d 𝐫_{2} \times 𝐁_{1} (𝐫_{2})) = \oint_{ℂ_{2}} (I_{2} d 𝐫_{2} \times \frac{μ_{0} I_{1}}{4 π} \oint_{ℂ_{1}} \frac{[d 𝐫_{1}, 𝐫_{2} - 𝐫_{1}]}{| 𝐫_{2} - 𝐫_{1} |^{3}}) = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{4 π} \oint_{ℂ_{2}} \oint_{ℂ_{1}} \frac{[d 𝐫_{2}, [d 𝐫_{1}, 𝐫_{2} - 𝐫_{1}]]}{| 𝐫_{2} - 𝐫_{1} |^{3}},

bu yerda $C_{2}$ bo‘yicha integrallash $I_{2}$ tok oqimi yo‘nalishida amalga oshiriladi. Integrallash tartibi natijaga ta’sir qilmaydi.

Xuddi shunday, $𝐁_{2} (𝐫_{1})$ maydonni $I_{2}$ tok hosil qiladi; u $C_{1}$ konturga, undan $I_{1}$ tok oqayotganda ta’sir etuvchi Amper kuchi quyidagiga teng:

𝐅_{21} = \oint_{ℂ_{1}} (I_{1} d 𝐫_{1} \times 𝐁_{2} (𝐫_{1})) = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{4 π} \oint_{ℂ_{1}} \oint_{ℂ_{2}} \frac{[d 𝐫_{1}, [d 𝐫_{2}, 𝐫_{1} - 𝐫_{2}]]}{| 𝐫_{2} - 𝐫_{1} |^{3}} = \oint_{ℂ_{1}} \oint_{ℂ_{2}} d^{2} 𝐅_{21} .

Quyidagi tenglik: $𝐅_{12} + 𝐅_{21} = 0$ quyidagi tenglikka ekvivalent:

\oint_{ℂ_{2}} \oint_{ℂ_{1}} \frac{[d 𝐫_{2}, [d 𝐫_{1}, 𝐫_{2} - 𝐫_{1}]]}{| 𝐫_{2} - 𝐫_{1} |^{3}} = \oint_{ℂ_{1}} \oint_{ℂ_{2}} \frac{[d 𝐫_{1}, [d 𝐫_{2}, 𝐫_{2} - 𝐫_{1}]]}{| 𝐫_{2} - 𝐫_{1} |^{3}}

.

So‘nggi tenglikni isbotlash uchun Amper kuchining ifodasi yopiq kontur bo‘yicha magnit maydon sirkulyatsiyasi ifodasiga juda o‘xshash ekanini e’tiborga olaylik. Farqi shundaki, undagi tashqi skalyar ko‘paytma vektor ko‘paytma bilan almashtirilgan.

Lagranj ayniyatidan foydalanib, isbotlanishi kerak bo‘lgan tenglikning chap tomonidagi qo‘sh vektor ko‘paytmani quyidagicha yozish mumkin:

[d 𝐫_{2}, [d 𝐫_{1}, 𝐫_{2} - 𝐫_{1}]] = d 𝐫_{1} (d 𝐫_{2}, 𝐫_{2} - 𝐫_{1}) - (𝐫_{2} - 𝐫_{1}) (d 𝐫_{2}, d 𝐫_{1}) .

U holda isbotlanayotgan tenglikning chap tomoni quyidagi ko‘rinishga keladi:

\oint_{ℂ_{2}} \oint_{ℂ_{1}} \frac{[d 𝐫_{2}, [d 𝐫_{1}, 𝐫_{2} - 𝐫_{1}]]}{| 𝐫_{2} - 𝐫_{1} |^{3}} = \oint_{ℂ_{1}} \oint_{ℂ_{2}} \frac{d 𝐫_{1} (d 𝐫_{2}, 𝐫_{2} - 𝐫_{1})}{| 𝐫_{2} - 𝐫_{1} |^{3}} - \oint_{ℂ_{1}} \oint_{ℂ_{2}} \frac{(𝐫_{2} - 𝐫_{1}) (d 𝐫_{2}, d 𝐫_{1})}{| 𝐫_{2} - 𝐫_{1} |^{3}} .

Quyidagi integralni alohida ko‘rib chiqamiz: $\oint_{ℂ_{1}} \oint_{ℂ_{2}} \frac{d 𝐫_{1} (d 𝐫_{2}, 𝐫_{2} - 𝐫_{1})}{| 𝐫_{2} - 𝐫_{1} |^{3}}$ . Uni quyidagicha qayta yozish mumkin:

\oint_{ℂ_{1}} \oint_{ℂ_{2}} \frac{d 𝐫_{1} (d 𝐫_{2}, 𝐫_{2} - 𝐫_{1})}{| 𝐫_{2} - 𝐫_{1} |^{3}} = \oint_{ℂ_{1}} d 𝐫_{1} \oint_{ℂ_{2}} \frac{(𝐫_{2} - 𝐫_{1}, d (𝐫_{2} - 𝐫_{1}))}{| 𝐫_{2} - 𝐫_{1} |^{3}} .

Ichki integralda o‘zgaruvchini $𝐫 = 𝐫_{2} - 𝐫_{1}$ bilan almashtiramiz, bunda $𝐫$ vektor ${C_{2}}^{'}$ yopiq kontur bo‘ylab o‘zgaradi. Shunda ichki integral gradient maydonning yopiq kontur bo‘ylab sirkulyatsiyasi ekanini ko‘ramiz. Demak, u nolga teng:

\oint_{ℂ_{2}} \frac{(𝐫_{2} - 𝐫_{1}, d (𝐫_{2} - 𝐫_{1}))}{| 𝐫_{2} - 𝐫_{1} |^{3}} = \oint_{{ℂ_{2}}^{'}} \frac{(𝐫, d 𝐫)}{| 𝐫 |^{3}} = - \oint_{{ℂ_{2}}^{'}} (g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |}), d 𝐫) = 0.

Demak, butun qo‘sh egri chiziqli integral ham nolga teng. Bunday holda $𝐅_{12}$ kuch uchun quyidagini yozish mumkin:

𝐅_{12} = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{4 π} \oint_{ℂ_{1}} \oint_{ℂ_{2}} \frac{(𝐫_{1} - 𝐫_{2}) (d 𝐫_{2}, d 𝐫_{1})}{| 𝐫_{2} - 𝐫_{1} |^{3}} .

Kuchning $𝐅_{21}$ ifodasini kuchning $𝐅_{12}$ ifodasidan oddiy simmetriya mulohazalari asosida olish mumkin. Buning uchun indekslarni almashtiramiz: 2 o‘rniga 1, 1 o‘rniga esa 2 qo‘yamiz. Bu holda $𝐅_{21}$ kuch uchun quyidagini yozish mumkin:

𝐅_{21} = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{4 π} \oint_{ℂ_{1}} \oint_{ℂ_{2}} \frac{(𝐫_{2} - 𝐫_{1}) (d 𝐫_{2}, d 𝐫_{1})}{| 𝐫_{2} - 𝐫_{1} |^{3}} .

Endi $𝐅_{12} = - 𝐅_{21}$ ekanligi yaqqol ko‘rinib turibdi. Demak, yopiq o‘tkazgichlar uchun Amper kuchi Nyutonning uchinchi qonuniga bo‘ysunadi.

Ayrim tarixiy jihatlar

Hodisaning kashf etilishi

1820-yilda Hans Kristian Ersted tok o‘tayotgan sim magnit maydon hosil qilishini va kompas milini og‘dirishini kashf etdi. U magnit maydon kutilganidek tokka parallel emas, balki unga perpendikulyar ekanini aniqladi. Ersted tajribasi namoyishidan ilhomlangan Amper ikkita parallel tokli o‘tkazgichdagi toklar bir xil yoki qarama-qarshi yo‘nalishda oqishiga qarab, ular bir-biriga tortilishi yoki bir-biridan itarilishini aniqladi. Shunday qilib, elektr toki nafaqat magnit maydon hosil qiladi, balki magnit maydonning o‘zi ham tokka ta’sir etadi. Ersted o‘z tajribasini e’lon qilganidan atigi bir hafta o‘tgach, Amper buni quyidagicha izohladi: o‘tkazgich magnitga ta’sir qiladi, chunki magnit ichida ko‘plab kichik yopiq yo‘llar bo‘ylab tok aylanadi.

Kuch formulasini tanlash

Amper qonuni sifatida ma’lum bo‘lgan ikkita elementar elektr tokining o‘zaro ta’sir qonuni aslida keyinroq Grassman tomonidan taklif etilgan (shuning uchun uni Grassman qonuni deb atash to‘g‘riroq bo‘lardi).

Amperning dastlabki qonuni esa biroz boshqacha ko‘rinishda bo‘lgan: tok elementi $I_{1} d 𝐫_{1}$ joylashgan nuqta $𝐫_{1}$ bo‘lib, u $I_{2} d 𝐫_{2}$ tok elementiga $𝐫_{2}$ nuqtada quyidagi kuch bilan ta’sir etadi:

d^{2} 𝐅_{12} = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{4 π} \frac{(𝐫_{1} - 𝐫_{2})}{| 𝐫_{1} - 𝐫_{2} |^{3}} (2 (d 𝐫_{1}, d 𝐫_{2}) - 3 \frac{(𝐫_{1} - 𝐫_{2}, d 𝐫_{1}) (𝐫_{1} - 𝐫_{2}, d 𝐫_{2})}{| 𝐫_{1} - 𝐫_{2} |^{2}})

.

Tok elementi $I_{2} d 𝐫_{2}$ joylashgan nuqta $𝐫_{2}$ bo‘lib, uning $I_{1} d 𝐫_{1}$ tok elementiga $𝐫_{1}$ , nuqtada ko‘rsatadigan kuchini $d^{2} 𝐅_{12}$ kuch formulasidan indekslarni almashtirish orqali, ya’ni 2 o‘rniga 1 va 1 o‘rniga 2 qo‘yib, oddiy simmetriya asosida olish mumkin.

Bunda $d^{2} 𝐅_{21} = - d^{2} 𝐅_{12}$ , ya’ni Amperning dastlabki qonuni differensial shaklda ham Nyutonning uchinchi qonunini qanoatlantiradi. Amper bir qancha ifodalarni sinab ko‘rib, aynan shu ko‘rinishni tanlagan.

Agar biror masalada (amalda o‘zgarmas bo‘lmagan) ochiq toklar o‘rtasidagi o‘zaro ta’sir kuchini hisoblashda Nyutonning uchinchi qonuni buzilishiga yo‘l qo‘yib bo‘lmasa, Amperning dastlabki qonunidan foydalanish mumkin. Grassman qonunida esa uchinchi qonunga rioya qilinmasligini qoplash uchun magnit maydon degan qo‘shimcha fizik mohiyatni hisobga olishga to‘g‘ri keladi.

Amperning dastlabki qonunini integral shaklda qo‘llaganda, o‘zgarmas tok oqayotgan ikkita yopiq o‘tkazgichning o‘zaro ta’sir kuchlari Grassman qonunidagi kuchlar bilan bir xil chiqishini isbotlash mumkin.

isbot

Buni isbotlash uchun $𝐅_{21}$ kuchni quyidagi ko‘rinishda yozamiz:

𝐅_{21} = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{4 π} \oint_{ℂ_{1}} \oint_{ℂ_{2}} \frac{(𝐫_{2} - 𝐫_{1}) (d 𝐫_{2}, d 𝐫_{1})}{| 𝐫_{2} - 𝐫_{1} |^{3}} + \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{4 π} \oint_{ℂ_{1}} \oint_{ℂ_{2}} \frac{(𝐫_{2} - 𝐫_{1})}{| 𝐫_{2} - 𝐫_{1} |^{3}} ((d 𝐫_{1}, d 𝐫_{2}) - 3 \frac{(𝐫_{2} - 𝐫_{1}, d 𝐫_{1}) (𝐫_{2} - 𝐫_{1}, d 𝐫_{2})}{| 𝐫_{1} - 𝐫_{2} |^{2}}) .

Kuch Grassman qonunidagidek chiqishi uchun ikkinchi hadning nolga teng ekanini ko‘rsatish kifoya. Bundan keyin ikkinchi hadni integral belgilari oldidagi koeffitsiyentlarsiz ko‘rib chiqamiz, chunki bu koeffitsiyentlar umumiy holda nolga teng emas. Demak, qo‘sh egri chiziqli integralning o‘zi nol bo‘lishi kerak.

Shunday qilib, $𝐏 = \oint_{ℂ_{1}} \oint_{ℂ_{2}} \frac{(𝐫_{2} - 𝐫_{1})}{| 𝐫_{1} - 𝐫_{2} |^{3}} ((d 𝐫_{1}, d 𝐫_{2}) - 3 \frac{(𝐫_{2} - 𝐫_{1}, d 𝐫_{1}) (𝐫_{2} - 𝐫_{1}, d 𝐫_{2})}{| 𝐫_{1} - 𝐫_{2} |^{2}})$ deb belgilaymiz. Endi $𝐏 = 0$

tenglikni isbotlash kerak. Faraz qilaylik, $𝐏$ ifodada integrallash avval $C_{2}$ kontur bo‘yicha bajariladi. Bu holda o‘zgaruvchini quyidagicha almashtirish mumkin: $𝐫 = 𝐫_{2} - 𝐫_{1}$ , bunda $𝐫$ vektor ${C_{2}}^{'}$ yopiq kontur bo‘ylab o‘zgaradi. Shunda quyidagini yozish mumkin:

𝐏 = \oint_{ℂ_{1}} \oint_{{ℂ_{2}}^{'}} \frac{𝐫}{| 𝐫 |^{3}} ((d 𝐫_{1}, d 𝐫) - 3 \frac{(𝐫, d 𝐫_{1}) (𝐫, d 𝐫)}{| 𝐫 |^{2}}) .

Endi ${C_{2}}^{'}$ kontur bo‘yicha integrallash natijasida $𝐫_{1}$ ga bog‘liq ma’lum bir vektor funksiya hosil bo‘ladi; keyin u quyidagi kontur bo‘yicha integrallanadi: $C_{1}$ .

Isbotlash mumkinki, $𝐏$ ni quyidagicha ifodalash mumkin: $𝐏 = - \oint_{ℂ_{1}} \oint_{{ℂ_{2}}^{'}} 𝐫 (g r a d (g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |}), d 𝐫), d 𝐫_{1})$ , bunda ikkala gradient ham $𝐫$ o‘zgaruvchi bo‘yicha olinadi. Isbot oddiy: gradientlarni hisoblash amallarini bajarish kifoya.

Keyin Lagranj ayniyatiga ko‘ra quyidagini yozish mumkin:

\begin{matrix} g r a d (g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |}), d 𝐫) = \nabla (g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |}), d 𝐫) = [d 𝐫, [\nabla, g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |})]] + (d 𝐫, \nabla) g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |}) = \\ = 0 + \frac{\partial g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |})}{\partial x} d x + \frac{\partial g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |})}{\partial y} d y + \frac{\partial g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |})}{\partial z} d z = d (g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |})) \end{matrix} .

Bu yerda nol gradient maydonning rotori nolga teng bo‘lgani uchun paydo bo‘ladi. Natijada vektor funksiyaning to‘liq differensiali hosil bo‘ladi.

$g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |})$ Shunday qilib, endi $𝐏$ ifodani $𝐏 = - \oint_{ℂ_{1}} \oint_{{ℂ_{2}}^{'}} 𝐫 (d (g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |})), d 𝐫_{1})$ ko‘rinishida yozish mumkin. Ushbu integralni har bir proyeksiyani alohida integrallash orqali hisoblash mumkin. Misol sifatida x proyeksiyani integrallaymiz.

P_{x} = - \oint_{ℂ_{1}} \oint_{{ℂ_{2}}^{'}} x (d (g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |})), d 𝐫_{1}) = - \oint_{ℂ_{1}} (d 𝐫_{1}, \oint_{{ℂ_{2}}^{'}} d (x g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |})) - g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |}) d x) .

Har qanday yopiq kontur bo‘yicha to‘liq differensialdan olingan integral nolga teng: $\oint_{{ℂ_{2}}^{'}} d (x g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |})) = 0$ shuning uchun $P_{x}$ quyidagi ko‘rinishga keladi:

P_{x} = \oint_{ℂ_{1}} (d 𝐫_{1}, \oint_{{ℂ_{2}}^{'}} g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |}) d x) = \oint_{ℂ_{1}} (d 𝐫_{1}, \oint_{ℂ_{2}} \frac{𝐫_{1} - 𝐫_{2}}{| 𝐫_{1} - 𝐫_{2} |^{3}} d x_{2}) .

Bu safar avval $C_{1}$ kontur bo‘yicha integrallash kerak. O‘zgaruvchini almashtiramiz: $𝐫 = 𝐫_{1} - 𝐫_{2}$ , bunda $𝐫$ vektor ${C_{1}}^{'}$ yopiq kontur bo‘ylab o‘zgaradi. Shunda quyidagini yozish mumkin:

P_{x} = \oint_{ℂ_{2}} d x_{2} \oint_{{ℂ_{1}}^{'}} (d 𝐫, \frac{𝐫}{| 𝐫 |^{3}}) = - \oint_{ℂ_{2}} d x_{2} \oint_{{ℂ_{1}}^{'}} (d 𝐫, g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |})) = 0,

bu yerda gradient yana quyidagi o‘zgaruvchi bo‘yicha olinadi: $𝐫$ .

Ifodada yana gradient maydonning yopiq kontur bo‘ylab sirkulyatsiyasi paydo bo‘lgani sababli $P_{x} = 0$ .

Qolgan ikkita proyeksiya uchun ham xuddi shunday yozish mumkin:

P_{y} = - \oint_{ℂ_{1}} \oint_{{ℂ_{2}}^{'}} y (d (g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |})), d 𝐫_{1}) = - \oint_{ℂ_{1}} (d 𝐫_{1}, \oint_{{ℂ_{2}}^{'}} d (y g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |})) - g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |}) d y) = 0,

P_{z} = - \oint_{ℂ_{1}} \oint_{{ℂ_{2}}^{'}} z (d (g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |})), d 𝐫_{1}) = - \oint_{ℂ_{1}} (d 𝐫_{1}, \oint_{{ℂ_{2}}^{'}} d (z g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |})) - g r a d (\frac{1}{| 𝐫 |}) d z) = 0.

Demak, $𝐏 = 0$ .

Maksvell ikkita elementar tokli o‘tkazgichning o‘zaro ta’sir qonunining eng umumiy shaklini taklif qilgan. Unda k koeffitsiyent mavjud (uni faol tok yopiq kontur hosil qiladigan tajribalarga asoslangan ayrim farazlarsiz aniqlab bo‘lmaydi):

d^{2} 𝐅_{12} = \frac{1}{2} \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{4 π} (\begin{matrix} (3 - k) \frac{(𝐫_{1} - 𝐫_{2}) (d 𝐫_{1}, d 𝐫_{2})}{| 𝐫_{1} - 𝐫_{2} |^{3}} - 3 (1 - k) \frac{(𝐫_{1} - 𝐫_{2}) (𝐫_{1} - 𝐫_{2}, d 𝐫_{1}) (𝐫_{1} - 𝐫_{2}, d 𝐫_{2})}{| 𝐫_{1} - 𝐫_{2} |^{5}} - \\ - (1 + k) \frac{d 𝐫_{1} (𝐫_{1} - 𝐫_{2}, d 𝐫_{2})}{| 𝐫_{1} - 𝐫_{2} |^{3}} - (1 + k) \frac{d 𝐫_{2} (𝐫_{1} - 𝐫_{2}, d 𝐫_{1})}{| 𝐫_{1} - 𝐫_{2} |^{3}} \end{matrix}) .

O‘z nazariyasida Amper quyidagi qiymatni tanlagan: $k = - 1$ , Gauss esa quyidagi qiymatni belgilagan: $k = + 1$ , xuddi Grassman va Klauzius kabi. Efir tushunchasiga asoslanmaydigan elektron nazariyalarida Veber quyidagini qabul qilgan: $k = - 1$ , Riman esa quyidagini tanlagan: $k = + 1$ . Rits esa $k$ koeffitsiyentni o‘z nazariyasida aniqlanmagan holda qoldirgan.

Ikkita yopiq kontur $C_{1}$ va $C_{2}$ ning o‘zaro ta’sir kuchi uchun $k = + 1$ shartida standart ifoda olinadi.

hisoblash tafsilotlari

\begin{matrix} d^{2} 𝐅_{12} = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{4 π} (\frac{(𝐫_{1} - 𝐫_{2}) (d 𝐫_{1}, d 𝐫_{2})}{| 𝐫_{1} - 𝐫_{2} |^{3}} - \frac{d 𝐫_{1} (𝐫_{1} - 𝐫_{2}, d 𝐫_{2})}{| 𝐫_{1} - 𝐫_{2} |^{3}} - \frac{d 𝐫_{2} (𝐫_{1} - 𝐫_{2}, d 𝐫_{1})}{| 𝐫_{1} - 𝐫_{2} |^{3}}) = \\ = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{4 π} (\frac{[d 𝐫_{2}, [d 𝐫_{1}, 𝐫_{2} - 𝐫_{1}]]}{| 𝐫_{1} - 𝐫_{2} |^{3}} - \frac{d 𝐫_{2} (𝐫_{1} - 𝐫_{2}, d 𝐫_{1})}{| 𝐫_{1} - 𝐫_{2} |^{3}}) \end{matrix} .

Bu yerda dastlabki ikkita had Lagranj ayniyati yordamida birlashtirilgan, uchinchi had esa $C_{1}$ va $C_{2}$ yopiq konturlar bo‘yicha integrallanganda nolni beradi. Darhaqiqat,

\oint_{ℂ_{2}} \oint_{ℂ_{1}} \frac{d 𝐫_{2} (𝐫_{1} - 𝐫_{2}, d 𝐫_{1})}{| 𝐫_{1} - 𝐫_{2} |^{3}} = [\begin{matrix} 𝐫 = 𝐫_{1} - 𝐫_{2} \\ C_{1} \to {C_{1}}^{'} \end{matrix}] = \oint_{ℂ_{2}} d 𝐫_{2} \oint_{{ℂ_{1}}^{'}} \frac{(𝐫, d 𝐫)}{| 𝐫 |^{3}} = \oint_{ℂ_{2}} d 𝐫_{2} \oint_{{ℂ_{1}}^{'}} (g r a d \frac{1}{| 𝐫 |}, d 𝐫) = 0.

Shunday qilib, Amper qonunining Maksvell keltirgan shaklini olamiz:

𝐅_{12} = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{4 π} \oint_{ℂ_{2}} \oint_{ℂ_{1}} \frac{[d 𝐫_{2}, [d 𝐫_{1}, 𝐫_{2} - 𝐫_{1}]]}{| 𝐫_{1} - 𝐫_{2} |^{3}} .

Kuch koeffitsiyentning har xil qiymatlarida ham doimo bir xil bo‘lsa-da, masalan, $k$ , kuch momenti esa turlicha bo‘lishi mumkin. Masalan, to‘g‘ri burchak ostida kesishib o‘tadigan ikkita cheksiz uzun simning o‘zaro ta’sir kuchi nolga teng bo‘ladi. Har bir simga ta’sir qiladigan kuch momenti Grassman formulasi bilan hisoblansa, ularning hech biri nolga teng bo‘lmaydi (ammo yig‘indisi nolga teng bo‘ladi). Agar kuch momenti Amperning dastlabki qonuniga ko‘ra hisoblansa, ularning har biri nolga teng bo‘ladi.

Amper qonuni relyativistik hodisa sifatida

O‘tkazgichdagi elektr toki — zaryadlarning boshqa zaryadlarga nisbatan harakatidir. Bu harakat maxsus nisbiylik nazariyasida klassik fizikada alohida fizik mohiyat — magnetizm bilan tushuntiriladigan effektlarni yuzaga keltiradi. Maxsus nisbiylik nazariyasida bu effektlarni tushuntirish uchun magnetizmni alohida kiritish shart emas; birinchi yaqinlashishda Kulon o‘zaro ta’sirlarini ko‘rib chiqishning o‘zi yetarli. Amper qonunini maxsus nisbiylik nazariyasi doirasida tavsiflash uchun metall o‘tkazgich ma’lum chiziqli zichlikdagi musbat zaryadlar joylashgan to‘g‘ri chiziq hamda harakatlanuvchi zaryadlar joylashgan to‘g‘ri chiziq sifatida tasvirlanadi. Zaryad invariantdir, shu sababli Lorens uzunligining qisqarishi tufayli dastlab elektr jihatdan neytral bo‘lgan metall simda musbat va manfiy zaryadlarning zichliklari orasida farq paydo bo‘ladi. Ana shu sababli tokli ikkita o‘tkazgich orasida tortishish yoki itarilish kuchi yuzaga keladi.