Snellius qonuni

Snellius qonuni (shuningdek, Snell yoki Snel) ikki shaffof muhit chegarasida yorug‘likning sinishini tavsiflaydi. Bu qonun boshqa turdagi to‘lqinlar, masalan, tovush to‘lqinlarining sinishini tavsiflash uchun ham qo‘llanadi. Snellius qonunining nazariy izohi Sinish haqidagi maqolada keltirilgan.

Qonun 1621-yilda niderlandiyalik matematik Villebrord Snellius tomonidan kashf etilgan. Biroz keyinroq bu qonunni, ehtimol, mustaqil ravishda qayta kashf etib, e’lon qilgan olim — Rene Dekart.

Qonunning ifodalanishi

Yorug‘likning sirtga tushish burchagi sinish burchagi bilan quyidagi munosabat orqali bog‘langan:

$n_{1} \sin θ_{1} = n_{2} \sin θ_{2},$

bu yerda

n_{1}

— sinish ko‘rsatkichi — yorug‘lik muhitlar chegarasiga tushayotgan birinchi muhitning sinish ko‘rsatkichi;

θ_{1}

— yorug‘likning tushish burchagi, ya’ni sirtga tushayotgan nur bilan sirtga o‘tkazilgan normal orasidagi burchak;

n_{2}

— yorug‘lik chegaradan o‘tib kiradigan ikkinchi muhitning sinish ko‘rsatkichi;

θ_{2}

— yorug‘likning sinish burchagi, ya’ni sirtdan o‘tgan nur bilan sirtga o‘tkazilgan normal orasidagi burchak.

Qonunning keltirib chiqarilishi

Faraz qilaylik, $\vec{k}$ chizma tekisligida yotsin. $x$ o‘qi gorizontal, $y$ o‘qi esa vertikal yo‘nalgan bo‘lsin. Simmetriyadan kelib chiqadiki, $\vec{k},$ $\vec{k^{'}}$ va $\vec{k^{″}}$ (mos ravishda tushuvchi, qaytgan va singan to‘lqinlar uchun) bitta tekislikda yotishi kerak.

Tushayotgan nurdan yassi qutblangan tarkibiy qismni ajratib olamiz. Bunda $\vec{E}$ bilan tekislik orasidagi burchak ixtiyoriy bo‘lsin. Boshlang‘ich fazani nolga teng deb olsak:

E = E_{m} e^{i (ω t - \vec{k} \vec{r})} = E_{m} e^{i (ω t - k_{x} x - k_{y} y)};

E^{'} = E'_{m} e^{i (ω^{'} t - \vec{k^{'}} \vec{r})} = E'_{m} e^{i (ω^{'} t - k'_{x} x - k'_{y} y + α^{'})};

E^{″} = E^{'}'_{m} e^{i (ω^{″} t - \vec{k^{″}} \vec{r})} = E^{'}'_{m} e^{i (ω^{″} t - k^{'}'_{x} x - k^{'}'_{y} y + α^{″})} .

Birinchi va ikkinchi muhitlardagi natijaviy maydonlar mos ravishda quyidagicha bo‘ladi:

E_{1} = E + E^{'} = E_{m} e^{i (ω t - k_{x} x - k_{y} y)} + E'_{m} e^{i (ω^{'} t - k'_{x} x - k'_{y} y + α^{'})};

E_{2} = E^{″} = E^{'}'_{m} e^{i (ω^{″} t - k^{'}'_{x} x - k^{'}'_{y} y + α^{″})} .

Ma’lumki, $E_{1}$ va $E_{2}$ maydonlarining tangensial tashkil etuvchilari muhitlar chegarasida o‘zaro teng bo‘lishi kerak, ya’ni $y = 0.$

U holda:

E_{m} e^{i (ω t - k_{x} x)} + E'_{m} e^{i (ω^{'} t - k'_{x} x + α^{'})} = E^{'}'_{m} e^{i (ω^{″} t - k^{'}'_{x} x + α^{″})} .

Oxirgi tenglama barcha $t,$ qiymatlarida bajarilishi uchun $ω = ω^{'} = ω^{″}$ bo‘lishi, barcha $x,$ qiymatlarida bajarilishi uchun esa quyidagi shart bajarilishi zarur:

k_{x} = k'_{x} = k^{'}'_{x} \Leftrightarrow k \sin α = k^{'} \sin α^{'} = k^{″} \sin α^{″} \Leftrightarrow \frac{ω}{v_{1}} \sin α = \frac{ω}{v_{1}} \sin α^{'} = \frac{ω}{v_{2}} \sin α^{″},

bu yerda

v_{1}

va

v_{2}

— mos ravishda birinchi va ikkinchi muhitdagi to‘lqin tezliklari.

Bundan quyidagi natija kelib chiqadi: $\frac{\sin α}{\sin α^{″}} = \frac{v_{1}}{v_{2}} = n_{12} ◼ .$

Qonunning qo‘llanish sohasi

Snellius qonuni «geometrik optika» sharoitida, ya’ni to‘lqin uzunligi nur sindiruvchi sirt o‘lchamlariga nisbatan yetarlicha kichik bo‘lgan holatda yaxshi aniqlangan. Umuman olganda, qonun geometrik optikaning o‘zi kabi taqribiy tavsif doirasida amal qiladi.

Agar $n_{1} \sin θ_{1} > n_{2},$ unda to‘liq ichki qaytish yuz beradi (singan nur hosil bo‘lmaydi, tushayotgan nur esa muhitlar chegarasidan to‘liq qaytadi).

Shuni ta’kidlash kerakki, anizotrop muhitlarda (masalan, simmetriyasi past kristallarda yoki mexanik ravishda deformatsiyalangan qattiq jismlarda) sinish biroz murakkabroq qonunga bo‘ysunadi. Bunda singan nurning yo‘nalishi nafaqat tushayotgan nurning yo‘nalishiga, balki uning qutblanishiga ham bog‘liq bo‘lishi mumkin (qarang: ikki karra nur sinishi).

Snellius qonuni tushayotgan, singan va qaytgan nurlarning intensivliklari hamda qutblanishlari orasidagi nisbatlarni tavsiflamaydi. Ularni batafsil ifodalaydigan tenglamalar — Frenel formulalari.

Tarixiy sharh

Yorug‘likning sinish qonunini, ya’ni sinish burchagining tushish burchagiga bog‘liqligini tajriba yo‘li bilan aniqlashga birinchi bo‘lib qadimgi dunyoning mashhur astronomi Klavdiy Ptolemey o‘zining «Optika»^[ingl.] risolasining beshinchi kitobida uringan. Ptolemey tushish burchagi $1 0^{\circ}$ dan $8 0^{\circ},$ gacha o‘zgarganda sinish burchagi qanday o‘zgarishini o‘lchagan va muhitlar almashinuvining uchta holati — havo–suv, havo–shisha va suv–shisha uchun jadvallar tuzgan. Masalan, havo–suv holati uchun Ptolemey jadvali quyidagicha (taqqoslash uchun zamonaviy ma’lumotlar va xatolik qiymatlari ham keltirilgan):

Ptolemey ma’lumotlari va zamonaviy ma’lumotlarga ko‘ra sinish burchaklari (havo–suv)
Tushish burchagi, gradus	10°	20°	30°	40°	50°	60°	70°	80°
Ptolemey ma’lumotlari	8° 0'	15° 30'	22° 30'	29° 0'	35° 0'	40° 30'	45° 30'	50° 0'
Zamonaviy ma’lumotlar	7° 29'	14° 52'	22° 01'	28° 49'	35° 04'	40° 30'	44° 48'	47° 36'
Xatolik qiymati	+31'	+38'	+29'	+11'	−4'	0'	+42'	+144'

Tarixchilar Ptolemey aslida nurning og‘ishini faqat 60° va unga yaqin burchaklarda o‘lchagan, degan xulosaga kelishgan. Chunki uchala jadvalda ham aynan shu qiymat uchun xatolik nolga teng, boshqa burchaklar uchun esa u o‘zi tanlagan koeffitsiyentlar yordamida chiziqli yaqinlashtirish (approksimatsiya) usulidan foydalangan. Aslida esa sinish burchagining tushish burchagiga bog‘liqligi chiziqli emas. Shu sababli Ptolemey hisoblarida katta xatoliklar yuzaga kelgan.

XI asr arab fizigi va astronomi Ibn al-Haysam o‘zining «Optika kitobi^[ingl.]» (1021-yil) asarida ham ushbu masalani muhokama qilib, Ptolemey jadvallariga yaqin jadvallarni keltirgan, biroq izlanayotgan qonunni matematik shaklda ifodalashga urinmagan.

1990-yilda arab ilm-fan tarixchisi Rushdiy Roshid, jahon ilm-faniga arab olimlarining qo‘shgan hissasini o‘rganishga ixtisoslashgan tadqiqotchi, maqola e’lon qilib, X asrda yashagan, unchalik mashhur bo‘lmagan olim Ibn Sahl qo‘lyozmasining ikki parchasini topganini ma’lum qilgan. Ibn Sahl Ibn al-Haysamning ustozlaridan biri bo‘lgan. Roshid, shuningdek, mazkur parchalar asosida matnni qayta tiklashga muvaffaq bo‘lganini va undan Ibn Sahl Snellius qonunini kashf etib, to‘g‘ri ifodalagani kelib chiqishini bildirgan. Hozircha Roshidning da’volarini mustaqil ravishda tasdiqlovchi dalillar yo‘q. Shuningdek, nima uchun Ibn Sahlning izdoshlari, jumladan uning shogirdi Ibn al-Haysam bu muhim yutuqni tilga olmagani va Ibn Sahlning o‘zi kashfiyotini qaysi tajribalar bilan isbotlaganini bayon etmagani ham tushuntirilishi kerak.

Yevropada sinish qonunining dastlabki ifodasi ingliz matematigi Tomas Harriotning e’lon qilinmagan qo‘lyozmasida (1602-yil) uchraydi. Nemis astronomi Iogann Kepler, yig‘uvchi linzalarning eng yaxshi shaklini tanlash muammosi bilan shug‘ullanib, Harriotdan o‘zi kashf etgan qonunning tafsilotlarini so‘ragan. Biroq Harriot salomatligi yomonligi sabab qonunni nashrga yaroqli shaklda ifodalay olmasligini aytib, faqat aniqlashtirilgan jadvallarni yuborish bilan cheklangan.

Bu qonun yana bir bor kashf etilgan, ammo e’lon qilinmagan holat 1621-yilda sodir bo‘lgan. O‘shanda niderlandiyalik matematik Villebrord Snell (Snellius) sinish qonunini hozirgi ifodaga teng kuchli quyidagi ko‘rinishda yozgan: «bir xil muhitlar juftligida tushish va sinish burchaklari kosekanslarining nisbati doimiy bo‘lib qoladi». 1626-yildagi kutilmagan vafoti Snellga o‘z kashfiyotini e’lon qilishga imkon bermagan. Biroq bu haqdagi xabarlar tarqalgan va Snell maqolasining qoralamasi saqlanib qolgan; u hozir Amsterdam universiteti.

kutubxonasida saqlanadi. Keyinchalik «Snellius qonuni» mustaqil ravishda qayta kashf etilib, Rene Dekart tomonidan «Metod haqida mulohaza» asarida («Dioptrika» ilovasi, 1637-yil) e’lon qilingan. Snellning birinchilik huquqini Xristian Gyuygens 1703-yilda (Snell vafotidan 77 yil o‘tib), bu qonun allaqachon hammaga ma’lum bo‘lganda nashr etilgan «Dioptrika» asarida aniqlagan. Gyuygens, shuningdek, «Yorug‘lik haqida risola^[ingl.]» asarida Snellius qonunining yorug‘likning to‘lqin nazariyasi va Gyuygens–Frenel prinsipidan kelib chiqishini asoslagan. Dekartning muxoliflari uni plagiatda ayblashgan: ularning gumonicha, Dekart Leydenga qilgan safarlaridan birida Snell kashfiyoti haqida eshitgan va uning qo‘lyozmalari bilan tanishish imkoniga ega bo‘lgan. Ammo plagiatni tasdiqlovchi hech qanday dalil mavjud emas, Dekartning bu kashfiyotga mustaqil ravishda qanday kelgani esa tarixchilar tomonidan batafsil o‘rganilgan.

Ferma prinsipi

Yorug‘lik nuri ikki nuqta orasida eng kam vaqt talab qiladigan yo‘l bo‘ylab harakatlanishi haqidagi mashhur prinsipdan sinish qonunini isbotlash uchun foydalanish mumkin. Faraz qilaylik, ikki muhitda yorug‘lik tezliklari $v_{1}$ va $v_{2}$ bo‘lsin. U holda A va B nuqtalar orasidagi harakat vaqti muhitlar chegarasidagi P nuqtaning tanlanishiga bog‘liq:

T = \frac{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}{v_{1}} + \frac{\sqrt{b^{2} + (d - x)^{2}}}{v_{2}} .

Bu funksiya hosilasi nolga teng bo‘lganda minimum qiymatga ega bo‘ladi:

\frac{d T}{d x} = \frac{x}{v_{1} \sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \frac{- (d - x)}{v_{2} \sqrt{b^{2} + (d - x)^{2}}} = 0 .

Bu yerda burchaklarning sinuslarini uchburchaklar orqali ifodalash mumkin:

\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} = \sin α, \frac{d - x}{\sqrt{b^{2} + (d - x)^{2}}} = \sin β

Hosila quyidagi ko‘rinishga keltiriladi:

\frac{\sin α}{v_{1}} - \frac{\sin β}{v_{2}} = 0,

bundan quyidagi natija kelib chiqadi:

\frac{\sin α}{\sin β} = \frac{v_{1}}{v_{2}} .

Bu ifoda Snellius qonunini bildiradi.

Vektor ko‘rinishidagi formula

Faraz qilaylik, ${\vec{v}}_{1}$ va ${\vec{v}}_{2}$ nur vektorlari mos ravishda tushayotgan va singan yorug‘lik nurlarining yo‘nalishlarini ko‘rsatsin; ularning uzunliklari $| {\vec{v}}_{1} | = n_{1}$ hamda $| {\vec{v}}_{2} | = n_{2},$ $\vec{n}$ esa sinish nuqtasida nur sindiruvchi sirtga o‘tkazilgan birlik normal vektor bo‘lsin. U holda:

{\vec{v}}_{2} = {\vec{v}}_{1} + (\sqrt{\frac{n_{2}^{2} - n_{1}^{2}}{({\vec{v}}_{1} \cdot \vec{n})^{2}} + 1} - 1) ({\vec{v}}_{1} \cdot \vec{n}) \vec{n} .

Havolalar

Katta ilm-fan unsurlari: Snellius qonuni