Impulsning saqlanish qonuni nima

Impulsning saqlanish qonuni (harakat miqdorining saqlanish qonuni) — qonunga ko‘ra, umumiy impuls barcha sistema jismlari uchun o‘zgarmas kattalik bo‘lib qoladi, agar tashqi kuchlarning sistemaga ta’sir etuvchi vektor yig‘indisi nolga teng bo‘lsa.

Klassik mexanikada impulsning saqlanish qonuni odatda Nyuton qonunlarining natijasi sifatida keltirib chiqariladi. Nyuton qonunlaridan kelib chiqadiki, sistema bo‘sh fazoda harakatlanganda uning impulsi vaqt o‘tishi bilan saqlanadi, tashqi ta’sir mavjud bo‘lganda esa impulsning o‘zgarish tezligi sistemaga qo‘yilgan kuchlarning yig‘indisi bilan belgilanadi. Shunga ko‘ra, berk sistemadagi jismlar fazoda bir xil masofaga parallel ko‘chirilganda ham sistemaning fizik xossalari o‘zgarmaydi.

Boshqa fundamental saqlanish qonunlari singari, impulsning saqlanish qonuni ham Nyoter teoremasiga ko‘ra, fundamental simmetriyalardan biri, — fazoning bir jinsliligi bilan bog‘liq.

Impulsning saqlanish qonunini birinchi bo‘lib R. Dekart ta’riflagan.

Nyuton mexanikasida keltirib chiqarilishi

Nyutonning ikkinchi qonuniga ko‘ra, N ta zarradan iborat sistema uchun quyidagi munosabat o‘rinli:

{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}},

bu yerda ${\vec {p}}$ — sistemaning impulsi:

{\vec {p}}=\sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n},

${\vec {p}}_{n}$ — moddiy nuqtaning impulsi, ${\vec {F}}$ — sistema zarralariga ta’sir etuvchi barcha kuchlarning teng ta’sir etuvchisi:

{\vec {F}}=\sum _{k=1}^{N}\ {\vec {F}}_{k}^{ext}+\sum _{n=1}^{N}\sum _{m=1}^{N}\ {\vec {F}}_{n,m},\quad m\neq n.

Bu yerda ${\vec {F}}_{n,m}$ — n-zarraga m-zarra tomonidan ta’sir etuvchi kuch (yoki bir nechta kuch bo‘lsa, ularning yig‘indisi), ${\vec {F}}_{k}^{ext}$ — k-zarraga ta’sir etuvchi barcha tashqi kuchlarning teng ta’sir etuvchisi. Nyutonning uchinchi qonuniga ko‘ra, ${\vec {F}}_{n,m}$ va ${\vec {F}}_{m,n}$ turidagi kuchlar modul jihatidan teng va yo‘nalish jihatidan qarama-qarshi, ya’ni ${\vec {F}}_{n,m}=-{\vec {F}}_{m,n}$ . Shu sababli, ${\vec {F}}$ ifodaning o‘ng tomonidagi ikkinchi yig‘indi nolga teng bo‘ladi, ichki kuchlar o‘zaro qisqaradi. Natijada sistema impulsining vaqt bo‘yicha hosilasi sistemaga ta’sir etuvchi barcha tashqi kuchlarning vektor yig‘indisiga tengligi kelib chiqadi:

{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum _{k=1}^{N}\ {\vec {F}}_{k}^{ext}.

Tarkibida N ta zarra bo‘lgan va barcha tashqi kuchlar yig‘indisi nolga teng sistema uchun:

\sum _{k=1}^{N}\ {\vec {F}}_{k}^{ext}=0,

va ayniqsa, zarralariga tashqi kuchlar ta’sir etmaydigan sistema uchun ( ${\vec {F}}_{k}^{ext}=0$ barcha k uchun 1 dan N gacha), quyidagiga ega bo‘lamiz:

{\frac {d}{dt}}\sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n}=0.

Ma’lumki, biror ifodaning hosilasi nolga teng bo‘lsa, bu ifoda hosila olinayotgan o‘zgaruvchiga nisbatan o‘zgarmas kattalik bo‘ladi. Demak:

\sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n}={\overrightarrow {\mathrm {const} }}\qquad

(o‘zgarmas vektor).

Demak, N ta zarradan iborat sistemaning umumiy impulsi o‘zgarmas kattalikdir. N = 1 bo‘lganda bitta zarra uchun ifodani olamiz. Shunday qilib, quyidagi xulosa kelib chiqadi:

Agar sistemaga ta’sir etuvchi barcha tashqi kuchlarning vektor yig‘indisi nolga teng bo‘lsa, sistema impulsi saqlanadi, ya’ni vaqt o‘tishi bilan o‘zgarmaydi.

Impulsning saqlanish qonuni nafaqat tashqi kuchlar ta’sir etmaydigan sistemalar uchun, balki sistemaga ta’sir etuvchi barcha tashqi kuchlarning yig‘indisi nolga teng bo‘lgan hollarda ham bajariladi. Demak, tashqi kuchlarning mavjud emasligi impuls saqlanishi uchun yetarli shart, ammo zaruriy shart emas.

Agar tashqi kuchlar yig‘indisining biror yo‘nalish yoki koordinata o‘qiga proyeksiyasi nolga teng bo‘lsa, impulsning aynan shu yo‘nalish yoki koordinata o‘qiga proyeksiyasi saqlanishi haqida gapiriladi.

Fazoning bir jinsliligi bilan bog‘liqligi

Fizikada simmetriya
Almashtirish	Mos keluvchi invariantlik	Mos keluvchi saqlanish qonuni
↕ Siljitishlar vaqt bo‘yicha	Vaqtning bir jinsliligi	…energiya
⊠ C, P, CP va T-simmetriyalari	Vaqtning izotropligi	…juftlik
↔ Siljitishlar fazo bo‘yicha	Fazoning bir jinsliligi	…impuls
↺ Aylantirishlar fazoda	Fazoning izotropligi	…impuls momenti
⇆ Lorens guruhi (bustlar)	Nisbiylik Lorens kovariantligi	…massa markazining harakati
~ Kalibrlash almashtirishi	Kalibrlashga nisbatan invariantlik	…zaryad

Nyoter teoremasiga ko‘ra, har bir saqlanish qonuniga sistemani tavsiflovchi tenglamalarning muayyan simmetriyasi mos keladi. Xususan, impulsning saqlanish qonuni fazoning bir jinsliligiga, ya’ni sistemani tavsiflovchi barcha qonunlarning uning fazodagi joylashuviga bog‘liq emasligiga teng kuchlidir. Bu fikrning eng oddiy isboti sistemani tavsiflashda Lagranj usulidan foydalanishga asoslanadi.

Energiyaning saqlanish qonunidan keltirib chiqarish

Elastik to‘qnashadigan (mexanik energiyaning bir qismi boshqa shakllarga aylanmaydigan) bir nechta zarradan iborat sistemani ko‘rib chiqamiz. Zarralarning massalari $m_{i}$ , tezliklari esa to‘qnashuvdan oldin ${\vec {u}}_{i}$ va to‘qnashuvdan keyin ${\vec {U}}_{i}$ bo‘lsin. Energiyaning saqlanish qonuni quyidagi ko‘rinishga ega:

{\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}u_{i}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}U_{i}^{2}.

Endi tezligi ${\vec {v}}$ bo‘lgan, tekis va to‘g‘ri chiziqli harakatlanuvchi sanoq sistemasiga o‘tamiz. Bu sanoq sistemasida zarralarning tezliklari to‘qnashuvdan oldin ${\vec {u}}_{i}-{\vec {v}}$ va to‘qnashuvdan keyin ${\vec {U}}_{i}-{\vec {v}}$ bo‘ladi. Ushbu sanoq sistemasida energiyaning saqlanish qonuni quyidagicha ifodalanadi:

{\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}{({\vec {u}}_{i}-{\vec {v}})}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}{({\vec {U}}_{i}-{\vec {v}})}^{2},

yoki

{\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}{(u_{i}^{2}-2{\vec {v}}{\vec {u}}_{i}+{v}^{2})}={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}{(U_{i}^{2}-2{\vec {v}}{\vec {U}}_{i}+{v}^{2})}.

Binobarin, $\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}{\vec {u}}_{i}=\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}{\vec {U}}_{i}$ , bundan ${\vec {v}}\sum _{i}m_{i}{\vec {u}}_{i}={\vec {v}}\sum _{i}m_{i}{\vec {U}}_{i}$ . Tezlik ${\vec {v}}$ ixtiyoriy bo‘lgani sababli, oxirgi tenglik faqat impulsning saqlanish qonuni bajarilgandagina o‘rinli bo‘ladi:

\sum _{i}m_{i}{\vec {u}}_{i}=\sum _{i}m_{i}{\vec {U}}_{i}.

Lagranj formalizmidan keltirib chiqarish

Erkin jismning Lagranj funksiyasini ko‘rib chiqamiz. Bu funksiya ${\mathcal {L}}\equiv {\mathcal {L}}(q_{i},{\dot {q}}_{i},t),$ umumlashgan koordinatalarga $q_{i}\,,$ umumlashgan tezliklarga ${\dot {q}}_{i}$ va vaqtga $t$ bog‘liq. Bu yerda $q$ ustidagi nuqta vaqt bo‘yicha hosila olishni bildiradi, ${\dot {q}}_{i}\equiv {\frac {\partial q_{i}}{\partial t}}.$ Ko‘rib chiqish uchun to‘g‘ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasini tanlaymiz, u holda $q_{i}={\vec {r}}_{a},\ {\dot {q}}_{i}={\vec {v}}_{a}$ har bir $a$ -zarra uchun. Fazoning bir jinsliligidan foydalanib, barcha zarralarning radius-vektorlariga bir xil orttirma berishimiz mumkin. Bu harakat tenglamalariga ta’sir qilmaydi: ${\vec {r}}_{a}\to {\vec {r}}_{a}+{\vec {\xi }},$ bu yerda ${\vec {\xi }}\equiv {\overrightarrow {\mathrm {const} }}.$ Tezlik o‘zgarmas bo‘lgan holda Lagranj funksiyasi quyidagicha o‘zgaradi:

\delta {\mathcal {L}}=\sum _{a}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {r}}_{a}}}\delta {\vec {r}}_{a}={\vec {\xi }}\ \sum _{a}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {r}}_{a}}},

bu yerda yig‘indi sistemaning barcha zarralari bo‘yicha olinadi. Orttirma harakat tenglamalariga ta’sir qilmagani uchun Lagranj funksiyasining variatsiyasi nolga teng bo‘lishi kerak: $\delta {\mathcal {L}}=0.$ Bunda ${\vec {\xi }}$ vektori ixtiyoriy ekanini hisobga olsak, so‘nggi shart quyidagida bajariladi:

\sum _{a}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {r}}_{a}}}=0.

Endi Lagranj tenglamasidan ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0:$

\sum _{a}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {r}}_{a}}}=\sum _{a}{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {v}}_{a}}}={\frac {d}{dt}}\sum _{a}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {v}}_{a}}}=0.

foydalanamiz. Bu differensial belgisi ostidagi yig‘indi ko‘rilayotgan sistema uchun o‘zgarmas kattalik ekanini anglatadi. Yig‘indining o‘zi esa sistemaning umumiy impulsidir:

{\vec {P}}=\sum _{a}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\vec {v}}_{a}}}={\overrightarrow {\mathrm {const} }}.

Erkin zarra uchun lagranjian quyidagi ko‘rinishga ega ekanini hisobga olsak: ${\mathcal {L}}={\frac {mv^{2}}{2}},$ oxirgi ifoda Nyuton formalizmidagi ifoda bilan bir xil ekanini osongina ko‘ramiz:

{\vec {P}}=\sum _{a}m_{a}{\vec {v}}_{a}={\overrightarrow {\mathrm {const} }}.

Relyativistik erkin zarra uchun lagranjian biroz boshqacha ko‘rinishga ega: ${\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},$ bu esa impulsning relyativistik ta’rifiga olib keladi:

{\vec {P}}=\sum _{a}{\frac {m_{a}{\vec {v}}_{a}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\overrightarrow {\mathrm {const} }}.

Hozirgi vaqtda impulsning saqlanish qonuni bajarilmasligini ko‘rsatadigan biror tajriba natijasi mavjud emas.

Kvant mexanikasida impulsning saqlanish qonuni

Yakkalangan sistemalarda impulsning saqlanish qonuni kvant mexanikasida ham bajariladi. Zarralarning korpuskulyar xossalari namoyon bo‘lgan hodisalarda ularning impulsi klassik mexanikadagi kabi ${\vec {p}}=m{\vec {v}}$ ga teng bo‘ladi, to‘lqin xossalari namoyon bo‘lganda esa impuls $p={\frac {\hbar }{\lambda }}$ ga teng bo‘ladi. Bu yerda $\lambda$ — to‘lqin uzunligi. Kvant mexanikasida impulsning saqlanish qonuni koordinatalar bo‘yicha siljitishga nisbatan simmetriyaning natijasidir.

Nisbiylik nazariyasida impulsning saqlanish qonuni

Impulsning saqlanish qonuni nisbiylik nazariyasida ham amal qiladi. Klassik mexanikadan farqi shundaki, nisbiylik nazariyasida impulsning tezlikka bog‘liqligi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

{\vec {p}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.

Umumiy nisbiylik nazariyasida, energiyaning saqlanish qonuni bilan bog‘liq vaziyatga o‘xshash tarzda, egri fazo-vaqtga o‘tilganda, impulsning saqlanish qonuni energiya-impuls tenzorining

T_{\nu ;\mu }^{\mu }=0,

(bu yerda nuqtali vergul kovariant hosilani bildiradi) munosabatining fazoviy komponentlari orqali ifodalanadi va faqat lokal saqlanuvchi kattaliklarga olib keladi. Buning sababi umumiy ko‘rinishdagi fazo-vaqtda fazoning global bir jinsliligi mavjud emasligidir.

Gravitatsion maydon impulsiga shunday ta’riflar berish mumkinki, jismlar va maydonlardan iborat sistema vaqt davomida harakatlanganda impulsning global saqlanish qonuni bajariladi. Biroq bunday ta’riflarning barchasida ma’lum darajada ixtiyoriylik bor, chunki kiritilayotgan gravitatsion maydon impulsi koordinatalarning ixtiyoriy almashtirishlarida tenzor kattalik bo‘la olmaydi.^{[manba 1220 kundan beri ko‘rsatilmagan]}

Havolalar

Impulsning saqlanish qonunini sharlar yordamida namoyish etuvchi tajriba (video)

Adabiyotlar

Kuznetsov B. G. Klassik fizika tamoyillari. — M.: SSSR Fanlar akademiyasi, 1958. — 321 b.
Feynman R. F. Feynmanning fizika bo‘yicha ma’ruzalari. 1-jild. Tabiat haqidagi zamonaviy fan. Mexanika qonunlari.. — M.: Editorial URSS, 2004. — 440 b. — ISBN 5-354-00699-6.
Shirokov Yu. M., Yudin N. P. Yadro fizikasi. — M.: Nauka, 1972. — 670 b.
Gott V. S. Zamonaviy fizikaning falsafiy masalalari. — M.: Oliy maktab, 1972. — 416 b.
Fermi E. Kvant mexanikasi. — M.: Mir, 1968. — 367 b.