To‘lqin tenglamasi nima

To‘lqin tenglamasi fizikada — chiziqli giperbolik xususiy hosilali differensial tenglama bo‘lib, yupqa membrananing yoki torning kichik ko‘ndalang tebranishlarini, shuningdek, tutash muhitlarda (akustika, asosan chiziqli akustika: gazlar, suyuqliklar va qattiq jismlardagi tovush) hamda elektromagnetizmda (elektrodinamikada) sodir bo‘ladigan boshqa tebranish jarayonlarini tavsiflaydi. Nazariy fizikaning boshqa sohalarida, masalan, gravitatsion to‘lqinlarni tavsiflashda ham qo‘llanadi. Bu matematik fizikaning asosiy tenglamalaridan biri hisoblanadi.

Tenglamaning ko‘rinishi

Ko‘p o‘lchovli holatda bir jinsli to‘lqin tenglamasi quyidagicha yoziladi

Δ u = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}

,

bu yerda $Δ$ — Laplas operatori, $u = u (x, t)$ — noma’lum funksiya, $t \in ℝ$ — vaqt, $x \in ℝ^{n}$ — fazoviy o‘zgaruvchi, $v$ — fazaviy tezlik.

Uch o‘lchovli holat uchun keltirib chiqarish.

Keltirilgan matematik mulohazalarni, albatta, ko‘p o‘lchovli holatlarga ham umumlashtirish mumkin. Demak,

Yassi to‘lqin tenglamasi berilgan bo‘lsin:

A (\vec{r}, t) = A_{0} c o s (ω t - (\vec{k}, \vec{r}) + φ_{0}),

bu yerda

$A (x, t)$ — berilgan nuqtadagi g‘alayonlanish kattaligi: fazoda $x$ va vaqtda $t$ ;
$A_{0}$ — amplitudasi to‘lqinning;
$ω$ — burchak chastota;
$\vec{k}$ — to‘lqin vektori, u quyidagiga teng: $k \vec{n}$

bu yerda

$k$ — to‘lqin soni;
$\vec{n}$ — birlik normal, u to‘lqin frontiga yo‘naltirilgan

$\vec{r} (x, y, z)$ — radius-vektor quyidagi koordinatali nuqtaning: $x, y$ va $z$ ;
$(\vec{k}, \vec{r})$ — skalyar ko‘paytmasi vektorlarning: $\vec{k}$ va $\vec{r}$ . Bu yerda va keyingi o‘rinlarda skalyar ko‘paytma shu tarzda belgilanadi;
$φ_{0}$ — tebranishlarning boshlang‘ich fazasi.

Uni $x$ , $y$ , $z$ va $t$ bo‘yicha differensiallaymiz. Natijada to‘rtta tenglama hosil bo‘ladi:

{\begin{matrix} \frac{\partial^{2} A (\vec{r}, t)}{\partial t^{2}} = - ω^{2} A_{0} c o s (ω t - (\vec{k}, \vec{r}) + φ_{0}) = - ω^{2} A (\vec{r}, t) (1) \\ \frac{\partial^{2} A (\vec{r}, t)}{\partial x^{2}} = - k_{x}^{2} A_{0} c o s (ω t - (\vec{k}, \vec{r}) + φ_{0}) = - k_{x}^{2} A (\vec{r}, t) (2) \\ \frac{\partial^{2} A (\vec{r}, t)}{\partial y^{2}} = - k_{y}^{2} A_{0} c o s (ω t - (\vec{k}, \vec{r}) + φ_{0}) = - k_{y}^{2} A (\vec{r}, t) (3) \\ \frac{\partial^{2} A (\vec{r}, t)}{\partial z^{2}} = - k_{z}^{2} A_{0} c o s (ω t - (\vec{k}, \vec{r}) + φ_{0}) = - k_{z}^{2} A (\vec{r}, t) (4) \end{matrix}

Quyidagilarni qo‘shamiz: $(2), (3)$ va $(4) :$

\frac{\partial^{2} A (\vec{r}, t)}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} A (\vec{r}, t)}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} A (\vec{r}, t)}{\partial z^{2}} = - (k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2}) A (\vec{r}, t) = - {\vec{k}}^{2} \cdot A (\vec{r}, t)

Olingan tenglama hamda $(1),$ tenglamadan foydalanib, $\frac{k^{2}}{ω^{2}} = \frac{1}{v^{2}},$ deb almashtirsak, quyidagiga ega bo‘lamiz:

\frac{\partial^{2} A (\vec{r}, t)}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} A (\vec{r}, t)}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} A (\vec{r}, t)}{\partial z^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} A (\vec{r}, t)}{\partial t^{2}} \Leftrightarrow Δ A (\vec{r}, t) = \frac{1}{v^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} A (\vec{r}, t)}{\partial t^{2}}

Bir o‘lchovli holatda bu tenglama torning tebranish tenglamasi yoki sterjenning bo‘ylama tebranishlari tenglamasi deb ham ataladi va quyidagicha yoziladi

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}

.

Bu tenglamani quyidagicha talqin qilish mumkin. Koordinataning vaqt bo‘yicha ikkinchi hosilasi bilan bog‘liq kuch (Nyutonning ikkinchi qonuniga ko‘ra) torning egriligiga (koordinata bo‘yicha ikkinchi hosilaga) proporsionaldir. Boshqacha aytganda, tordagi «do‘ngliklar» qanchalik egri (ya’ni qanchalik o‘tkir) bo‘lsa, torning shu qismini cho‘zuvchi kuch shunchalik katta bo‘ladi.

Dalamber operatori

Quyidagi ayirma $Δ - \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}$ Dalamber operatori deb ataladi va $◻$ bilan belgilanadi (turli manbalarda turlicha ishora ishlatiladi). Shunday qilib, Dalamber operatori (dalembertian) yordamida bir jinsli to‘lqin tenglamasi quyidagicha yoziladi

◻ u = 0

Bir jinsli bo‘lmagan tenglama

Bir jinsli bo‘lmagan to‘lqin tenglamasini ham qarash mumkin

\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = v^{2} Δ u + f

,

bu yerda $f = f (x, t)$ — tashqi ta’sirning (tashqi kuchning) oldindan berilgan muayyan funksiyasi.

To‘lqin tenglamasining statsionar ko‘rinishi — Laplas tenglamasi (Puasson tenglamasi — bir jinsli bo‘lmagan holatda).

To‘lqin tenglamasi bilan tavsiflanadigan tizimning normal tebranishlarini topish masalasi xos qiymatlar masalasiga (Laplas tenglamasi uchun), ya’ni Gelmgolts tenglamasining yechimlarini topish masalasiga olib keladi. Gelmgolts tenglamasi quyidagi almashtirish orqali hosil bo‘ladi: $u (x, t) = U (x) e^{i ω t}$ yoki $u (x, t) = U (x) c o s (ω t)$ .

To‘lqin tenglamasining yechimi

Giperbolik xususiy hosilali differensial tenglamaning analitik yechimi mavjud. Ixtiyoriy o‘lchamli Yevklid fazosida u Kirxgof formulasi deb ataladi. Xususiy holatlar: tor tebranishlari uchun ( $ℝ^{1}$ ) — Dalamber formulasi, membrana tebranishlari uchun ( $ℝ^{2}$ ) — Puasson formulasi.

Dalamber formulasi

Bir o‘lchovli to‘lqin tenglamasining yechimi (bu yerda $v = a$ — fazaviy tezlik)

u_{t t} = a^{2} u_{x x} + f (x, t)

(

f (x, t)

funksiya majburlovchi tashqi kuchga mos keladi)

quyidagi boshlang‘ich shartlarda

u (x, 0) = φ (x), u_{t} (x, 0) = ψ (x)

quyidagi ko‘rinishga ega

u (x, t) = \frac{φ (x + a t) + φ (x - a t)}{2} + \frac{1}{2 a} \int_{x - a t}^{x + a t} ψ (α) d α + \frac{1}{2 a} \int_{0}^{t} \int_{x - a (t - τ)}^{x + a (t - τ)} f (s, τ) d s d τ

Bir jinsli masalaning yechimi ekanini ta’kidlash qiziq

u_{t t} = a^{2} u_{x x}

,

u quyidagi ko‘rinishga ega:

u (x, t) = \frac{φ (x + a t) + φ (x - a t)}{2} + \frac{1}{2 a} \int_{x - a t}^{x + a t} ψ (α) d α

,

quyidagicha ifodalanishi mumkin

u (x, t) = f_{1} (x + a t) + f_{2} (x - a t)

,

bu yerda

f_{1} (x) = \frac{φ (x)}{2} + \frac{1}{2 a} \int_{0}^{x} ψ (α) d α, f_{2} (x) = \frac{φ (x)}{2} + \frac{1}{2 a} \int_{x}^{0} ψ (α) d α

.

Bunday holda yechim yuguruvchi to‘lqinlar yig‘indisi ko‘rinishida ifodalangan deyiladi, $f_{1} (x)$ va $f_{2} (x)$ — esa mos ravishda chapga va o‘ngga tarqalayotgan to‘lqinlarning profillaridir. Qaralayotgan holatda to‘lqinlarning profillari vaqt o‘tishi bilan o‘zgarmaydi.

Ko‘p o‘lchovli holatda Koshi masalasining yechimini ham yuguruvchi to‘lqinlarga ajratish mumkin, biroq yo‘nalishlar cheksiz ko‘p bo‘lgani uchun bu endi yig‘indi emas, integral shaklida bo‘ladi. Buni Furye almashtirishi

Yarim to‘g‘ri chiziqdagi masala

Yarim to‘g‘ri chiziqda bir jinsli tebranish tenglamasini qaraymiz: $[0; + \infty)$

u_{t t} = a^{2} u_{x x}

uchi mahkamlangan bo‘lsin:

u (0, t) = 0

va boshlang‘ich shartlari

u (x, 0) = φ (x), u_{t} (x, 0) = ψ (x)

Masalaning yechimi mavjud bo‘lishi uchun boshlang‘ich va chegaraviy shartlar o‘zaro mos kelishi, ya’ni quyidagi talab bajarilishi zarur:

φ (0) = 0, ψ (0) = 0

Boshlang‘ich shartlarni toq simmetriya bo‘yicha davom ettirish orqali yarim to‘g‘ri chiziqdagi masalani to‘g‘ri chiziqdagi masalaga oson keltirish mumkin:

φ (- x) = - φ (x), ψ (- x) = - ψ (x) \forall x \in [0, + \infty)

Boshlang‘ich shartlar $φ (x), ψ (x)$ — toq funksiyalar bo‘lgani sababli, yechim $u (x, t)$ ham toq funksiya bo‘lishini kutish tabiiy. Buni Dalamber formulasi ko‘rinishidagi yechimni qarab, bevosita tekshirish mumkin. Shu sababli hosil bo‘lgan u(x, t) yechim boshlang‘ich shartlarni ham, $u (0, t) = 0$ chegaraviy shartni ham qanoatlantiradi (oxirgisi funksiyaning toqligidan kelib chiqadi).

Ko‘rsatilgan usul keng qo‘llanadi (faqat to‘lqin tenglamasida emas) va akslantirish usuli deb ataladi. Masalan, yarim to‘g‘ri chiziqda to‘lqin tenglamasini, lekin uning uchida ikkinchi tur chegaraviy shartni qarash mumkin: $x = 0$ :

u_{x} (0, t) = 0

.

Fizik ma’noda bu shart sterjenning chap uchi (agar tizim sterjenning bo‘ylama tebranishlari sifatida qaralsa) erkinligini, ya’ni unga hech qanday kuch ta’sir qilmasligini bildiradi.

Chegaralangan bir o‘lchovli sohada yechish usullari

Akslantirishlar usuli

Kesmadagi bir o‘lchovli bir jinsli to‘lqin tenglamasini qaraymiz: $[0, a]$

u_{t t} = a^{2} u_{x x}

birinchi turdagi bir jinsli chegaraviy shartlar bilan (ya’ni uchlari mahkamlanganda)

u (0, t) = 0 u (a, t) = 0

va boshlang‘ich shartlari

u (x, 0) = φ (x), u_{t} (x, 0) = ψ (x) \forall x \in [0, a]

Akslantirish usuli yordamida masalani yana to‘g‘ri chiziqdagi masalaga keltirish mumkin. Bu holda cheksiz ko‘p akslantirish talab etiladi va natijada davom ettirilgan boshlang‘ich shartlar quyidagicha aniqlanadi:

φ (2 n a + x) = φ (x) ψ (2 n a + x) = ψ (x) \forall x \in [0, a] \forall n \in Z

φ (2 n a - x) = - φ (x) ψ (2 n a - x) = - ψ (x) \forall x \in [0, a] \forall n \in Z

Bir jinsli bo‘lmagan to‘lqin tenglamasi qaralganda:

u_{t t} = a^{2} u_{x x} + f (x, t)

aynan shu mulohazalardan foydalaniladi va $f (x, t)$ funksiya ham xuddi shu tarzda davom ettiriladi.

Furye usuli

Yana kesmadagi bir o‘lchovli bir jinsli to‘lqin tenglamasini qaraymiz: $[0, l]$

u_{t t} = a^{2} u_{x x}

birinchi turdagi bir jinsli chegaraviy shartlar bilan

u (0, t) = 0 u (l, t) = 0

va boshlang‘ich shartlari

u (x, 0) = φ (x), u_{t} (x, 0) = ψ (x) \forall x \in [0, l]

Furye usuli yechimni quyidagi ko‘rinishdagi masalaning sodda yechimlaridan tuzilgan (cheksiz) chiziqli kombinatsiya sifatida ifodalashga asoslanadi:

X (x) T (t)

, bunda ikkala funksiya ham faqat bitta o‘zgaruvchiga bog‘liq.

Shu sababli usulning yana bir nomi — o‘zgaruvchilarni ajratish usuli.

Funksiya $u (x, t) = X (x) T (t)$ tebranish tenglamasining yechimi bo‘lib, chegaraviy shartlarni qanoatlantirishi uchun quyidagi shartlar bajarilishi zarur:

X (0) = 0 X (l) = 0

a^{2} X^{″} (x) = - λ X (x)

T^{″} (t) = - λ T (t)

Quyidagi Shturm–Liuvill masalasini $X (x)$ kesmada yechish natijasida quyidagiga ega bo‘lamiz:

X_{n} (x) = \sin (\frac{π n x}{l}) n \in 𝐍

hamda ularga mos xos qiymatlar $λ_{n} = {(\frac{π n a}{l})}^{2}$

Ularga mos funksiyalar $T$ quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi

T_{n} (t) = α_{n} \sin ({\sqrt{λ}}_{n} t) + β_{n} \cos ({\sqrt{λ}}_{n} t) .

Shunday qilib, ularning chiziqli kombinatsiyasi (qator yaqinlashgan taqdirda) aralash masalaning yechimi bo‘ladi:

u (x, t) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} X_{n} (x) T_{n} (t) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} (α_{n} \sin ({\sqrt{λ}}_{n} t) + β_{n} \cos ({\sqrt{λ}}_{n} t)) \sin \frac{π n x}{l} .

Funksiyalarni $φ (x), ψ (x)$ Furye qatoriga yoyish orqali $α_{n}, β_{n}$ koeffitsiyentlarini topish mumkin; bunda yechim berilgan boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiradi.

To‘lqinlarni hisobga olish usuli

Yana kesmadagi bir o‘lchovli bir jinsli to‘lqin tenglamasini qaraymiz: $[0, a]$

u_{t t} = u_{x x},

biroq bu gal bir jinsli boshlang‘ich shartlarni olamiz

u (x, 0) \equiv 0, u_{t} (x, 0) \equiv 0 \forall x \in [0, a]

va bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy shartlarni qaraymiz. Masalan, sterjen uchlari holatining vaqtga bog‘liqligi berilgan deb olamiz (birinchi turdagi chegaraviy shart)

u (0, t) = μ (t) u (a, t) = ν (t)

Yechim quyidagicha yoziladi

u (x, t) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} [μ (t - x - 2 k a) - μ (t + x - (2 k + 2) a)] + \sum_{k = 0}^{+ \infty} [ν (t + x - (2 k + 1) a) - ν (t - x - (2 k + 1) a)]

Uning tenglamani hamda boshlang‘ich-chegaraviy shartlarni qanoatlantirishini bevosita tekshirish mumkin. Talqini qiziq: yechimdagi har bir qo‘shiluvchi chegaraviy to‘lqinlardan birining muayyan akslanishiga mos keladi. Masalan, chap chegaraviy shart quyidagi ko‘rinishdagi to‘lqinni yuzaga keltiradi:

μ (t - x),

bu to‘lqin а vaqt ichida o‘ng uchga yetib borib, qaytadi va quyidagicha hissa qo‘shadi:

μ (t + x - 2 a),

yana а vaqt o‘tgach, yana akslanib, quyidagicha hissa qo‘shadi:

μ (t - x - 2 a),

Bu jarayon cheksiz davom etadi. Barcha to‘lqinlarning hissasini qo‘shib, yuqorida keltirilgan yechimni olamiz. Agar yechimni $[0, T]$ oraliqda topish kerak bo‘lsa, faqat dastlabki $⌈ T / a ⌉$ ta qo‘shiluvchi bilan cheklanishimiz mumkin.

Yassi elektromagnit to‘lqin tenglamasi

To‘lqin tenglamasi elektromagnit to‘lqinning elektr va magnit tashkil etuvchilarini ham tavsiflaydi.

Quyidagi Maksvell tenglamalari tizimi differensial shaklda quyidagicha yoziladi

rot 𝐄 = - \frac{\partial 𝐁}{\partial t} div 𝐃 = ρ

rot 𝐇 = 𝐣 + \frac{\partial 𝐃}{\partial t} div 𝐁 = 0

.

Bunda quyidagi munosabatlar o‘rinli: $𝐁 = μ μ_{0} 𝐇$ va $𝐃 = ε ε_{0} 𝐄$ . Bu yerda $𝐄$ — elektr maydon kuchlanganligi, $𝐇$ — magnit maydon kuchlanganligi, $𝐁$ — magnit induksiyasi, $𝐃$ — elektr siljishi, $𝐣$ — tok zichligi, $ρ$ — zaryad zichligi, $μ$ — magnit singdiruvchanlik, $ε$ — dielektrik singdiruvchanlik, $μ_{0}$ — magnit doimiysi, $ε_{0}$ — elektr doimiysi.

Elektromagnit to‘lqin uchun $𝐣 = 0$ , $ρ = 0$ , shu sababli muhit bir jinsli bo‘lsa, tenglamalar quyidagi ko‘rinishni oladi

ε ε_{0} div 𝐄 = 0

rot 𝐇 = \frac{\partial 𝐃}{\partial t}

.

To‘lqin X yo‘nalishda tarqalib, $𝐄$ vektori Y yo‘nalishda tebranadi deb faraz qilsak, elektr maydonning $E_{y}$ tashkil etuvchisi uchun to‘lqin tenglamasini keltirib chiqarish mumkin; magnit maydonning mos tashkil etuvchisi — $H_{z}$ :

keltirib chiqarishni ko‘rsatish

rot

— rotor, differensial operator,

rot 𝐄 = 𝜵 \times 𝐄 = | \begin{matrix} 𝐢 & 𝐣 & 𝐤 \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ E_{x} & E_{y} & E_{z} \end{matrix} | = (\frac{\partial E_{z}}{\partial y} - \frac{\partial E_{y}}{\partial z}) 𝐢 + (\frac{\partial E_{x}}{\partial z} - \frac{\partial E_{z}}{\partial x}) 𝐣 + (\frac{\partial E_{y}}{\partial x} - \frac{\partial E_{x}}{\partial y}) 𝐤

div

— divergensiya, differensial operator,

div 𝐄 = \nabla \cdot 𝐄 = \frac{\partial E_{x}}{\partial x} + \frac{\partial E_{y}}{\partial y} + \frac{\partial E_{z}}{\partial z}

Δ

— Laplas operatori,

Δ 𝐄 = Δ E_{x} 𝐢 + Δ E_{y} 𝐣 + Δ E_{z} 𝐤

,

Δ = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}

Vektor maydon rotorining xossasiga ko‘ra, $rot rot 𝐄 = grad (div 𝐄) - Δ E$ . Bunga $rot 𝐄 = - \frac{\partial 𝐁}{\partial t}$ va $div 𝐄 = 0$ ni qo‘ysak, quyidagini olamiz:

rot (- \frac{\partial 𝐁}{\partial t}) = - Δ 𝐄

Keyin quyidagi tengliklar zanjiriga ega bo‘lamiz:

Δ 𝐄 = rot \frac{\partial 𝐁}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} rot 𝐁 = μ μ_{0} \frac{\partial}{\partial t} rot 𝐇

Bunga Maksvell tenglamalaridan $rot 𝐇 = \frac{\partial 𝐃}{\partial t}$ ni qo‘yib, quyidagini olamiz:

Δ 𝐄 = μ μ_{0} \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial 𝐃}{\partial t}) = μ μ_{0} \frac{\partial^{2} 𝐃}{\partial t^{2}} = μ μ_{0} ε ε_{0} \frac{\partial^{2} 𝐄}{\partial t^{2}}

Tarqalish tezligini $v = 1 / \sqrt{μ μ_{0} ϵ ϵ_{0}}$ deb belgilab, quyidagicha yozamiz:

Δ E_{x} 𝐢 + Δ E_{y} 𝐣 + Δ E_{z} 𝐤 = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} (E_{x} 𝐢 + E_{y} 𝐣 + E_{z} 𝐤)

Vektor $𝐄$ $X Y$ tekislikda, $X$ o‘qiga perpendikulyar ravishda tebranadi, shuning uchun $E_{x} = E_{z} = 0$ .

Δ E_{y} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}}

\frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial z^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}}

To‘lqin $X$ o‘qi bo‘ylab tarqaladi, shuning uchun $𝐄$ quyidagi koordinatalarga bog‘liq emas: $y$ va $z$ :

\frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}}

.

Xuddi shunday, magnit maydon kuchlanganligini ham qaraymiz: $𝐇$

\frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}} v = \frac{1}{\sqrt{μ μ_{0} ϵ ϵ_{0}}}

\frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial x^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial t^{2}}

.

Bu tenglamalarning eng sodda yechimlari quyidagi funksiyalar bo‘ladi:

E_{y} = E_{m} \cos (ω t - k x)

H_{z} = H_{m} \cos (ω t - k x)

,

bu yerda $k$ — to‘lqin soni. Uni yechimni to‘lqin tenglamasiga qo‘yish orqali topamiz:

E_{m} k^{2} \cos (ω t - k x) = \frac{1}{v^{2}} E_{m} ω^{2} \cos (ω t - k x)

Bundan quyidagi natija kelib chiqadi: $k = ω / v$ .

Elektromagnit to‘lqinning elektr va magnit tashkil etuvchilari amplitudalari nisbatini Maksvell tenglamalari yordamida aniqlash mumkin.

rot 𝐄 = - μ μ_{0} \frac{\partial 𝐇}{\partial t} rot 𝐇 = ε ε_{0} \frac{\partial 𝐄}{\partial t}

.

Yuqorida yozilgan maydon yechimlarini bu tenglamalarga qo‘yib, ikkita munosabat olamiz:

almashtirish tafsilotlarini ko‘rsatish

Eng umumiy ko‘rinishda $rot 𝐄$ uchun tenglama quyidagicha yoyib yoziladi

(\frac{\partial E_{z}}{\partial y} - \frac{\partial E_{y}}{\partial z}) 𝐢 + (\frac{\partial E_{x}}{\partial z} - \frac{\partial E_{z}}{\partial x}) 𝐣 + (\frac{\partial E_{y}}{\partial x} - \frac{\partial E_{x}}{\partial y}) 𝐤 = - μ μ_{0} \frac{\partial}{\partial t} (H_{x} 𝐢 + H_{y} 𝐣 + H_{z} 𝐤)

,

Magnit maydon uchun $rot 𝐇$ esa quyidagicha yoziladi

(\frac{\partial H_{z}}{\partial y} - \frac{\partial H_{y}}{\partial z}) 𝐢 + (\frac{\partial H_{x}}{\partial z} - \frac{\partial H_{z}}{\partial x}) 𝐣 + (\frac{\partial H_{y}}{\partial x} - \frac{\partial H_{x}}{\partial y}) 𝐤 = ε ε_{0} \frac{\partial}{\partial t} (E_{x} 𝐢 + E_{y} 𝐣 + E_{z} 𝐤)

To‘lqin $X$ o‘qi bo‘ylab harakatlanadi, shuning uchun $\partial x$ va $\partial z$ bo‘yicha hosilalar nolga teng.

$𝐄$ $X Y$ tekislikda $X$ ga perpendikulyar yo‘nalishda tarqaladi, shuning uchun $E_{x} = E_{z} = 0$

$𝐇$ $X Z$ tekislikda $X$ ga perpendikulyar yo‘nalishda tarqaladi, shuning uchun $H_{x} = H_{y} = 0$ Shu sababli ifoda keskin soddalashadi va quyidagi formulalar hosil bo‘ladi:

\frac{\partial E_{y}}{\partial x} = - μ μ_{0} \frac{\partial H_{z}}{\partial t} \frac{\partial H_{z}}{\partial x} = - ε ε_{0} \frac{\partial E_{y}}{\partial t}

.

Bu yerga quyidagi yechimlarni qo‘yib

E_{y} = E_{m} \cos (ω t - k x)

H_{z} = H_{m} \cos (ω t - k x)

,

quyidagini olamiz

E_{m} k \sin (ω t - k x) = μ μ_{0} H_{m} ω \sin (ω t - k x)

H_{m} k \sin (ω t - k x) = ε ε_{0} E_{m} ω \sin (ω t - k x)

sinuslar qisqartirilgandan so‘ng asosiy matndagi ifodalar hosil bo‘ladi.

E_{m} k = μ μ_{0} H_{m} ω

ε ε_{0} E_{m} ω = H_{m} k

Agar ularni bir-biriga ko‘paytirsak, amplitudalar orasidagi quyidagi bog‘lanish hosil bo‘ladi:

ε ε_{0} E_{m}^{2} k ω = μ μ_{0} H_{m}^{2} k ω

.

Vakuum holatida ( $c$ — yorug‘lik tezligi vakuumda):

\frac{E_{m}}{H_{m}} = \sqrt{\frac{μ_{0}}{ε_{0}}} = \sqrt{(4 π 1 0^{- 7}) (4 π c^{2} 1 0^{7})} = 120 π \approx 377

Om.

Havolalar

To‘lqin tenglamasi // Katta sovet ensiklopediyasi : [30 jildda] / bosh muharrir A. M. Proxorov. — 3-nashr. — M. : Sovet ensiklopediyasi, 1969—1978.
Tixonov A. N., Samarskiy A. A. Matematik fizika tenglamalari: O‘quv qo‘llanma.. — 6-nashr, tuzatilgan va to‘ldirilgan.. — M.: MDU nashriyoti, 1999. — 798 bet. — ISBN 5-211-04138-0.
I. V. Savelyev «Umumiy fizika kursi», II jild
V. G. Vodnev, A. F. Naumovich, N. F. Naumovich «Oliy maktab matematik lug‘ati». MPI nashriyoti, 1984