To‘lqin funksiyasi nima

To‘lqin funksiyasiyoki psi-funksiya $\psi$ — kompleks qiymatli funksiyabo‘lib, u kvant mexanikasida tizimning sof holatini matematik tavsiflash uchun ishlatiladi. Bunda kvant holati tashqi ta’sirlardan ajratilgan kvant-mexanik tizimga tegishlidir. To‘lqin funksiyasi uchun eng ko‘p qo‘llanadigan belgilar yunon alifbosidagi harflar: ψ va Ψ (mos ravishda kichik va bosh psi harflari). U holat vektorining bazis (koordinata, impuls va boshqalar bazisi) bo‘yicha yoyilish koeffitsiyentidir. Masalan, koordinata bazisi bo‘yicha yoyilganda:

$\left|\psi (t)\right\rangle =\int \Psi (x,t)\left|x\right\rangle dx,$

bu yerda $\left|x\right\rangle =\left|x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right\rangle$ — koordinata bazis vektori, $\Psi (x,t)=\langle x\left|\psi (t)\right\rangle$ — koordinata tasviridagi to‘lqin funksiyasidir.

To‘lqin funksiyasining o‘lcham birligi uning tasvirlanishiga bog‘liq; eng keng tarqalgan koordinata tasvirida bu birlik m^−3/2, impuls tasvirida esa kg^−3/2m^−3/2s^3/2.

Aynan Born qoidasiga ko‘ra, normallashtirilgan to‘lqin funksiyasi uchun $|\Psi |^{2}$ kattalik tanlangan tasvirni belgilovchi fizik miqdorlarni o‘lchash natijalarining ehtimollik zichligini ifodalaydi.

To‘lqin funksiyasi — funksiya bo‘lib, erkinlik darajalarigabog‘liq va muayyan maksimal to‘plamdagi o‘zaro kommutativ kuzatiladigan kattaliklargamos keladi. Shu tasvir tanlangach, to‘lqin funksiyasini kvant holatidan olish mumkin.

Berilgan tizim uchun o‘zaro kommutativ erkinlik darajalarini tanlash yagona emas, shuning uchun to‘lqin funksiyasining aniqlanish sohasi ham yagona bo‘lmaydi. Masalan, uni koordinatalar fazosidagi barcha zarrachalar joylashuv koordinatalarining yoki impulslar fazosidagibarcha zarrachalar impulslarining funksiyasi sifatida qarash mumkin; bu ikki tasvir Furye almashtirishiorqali bog‘langan. Ba’zi zarrachalar, jumladan elektronlar va fotonlarnolga teng bo‘lmagan spingaega; ularning to‘lqin funksiyasi spinni ichki diskret erkinlik darajasi sifatida ham qamrab oladi. Turli tizimlar uchun boshqa diskret o‘zgaruvchilar, masalan, izospinham qaralishi mumkin. Tizim ichki erkinlik darajalariga ega bo‘lsa, to‘lqin funksiyasi uzluksiz erkinlik darajalarining har bir nuqtasida (masalan, koordinatalar fazosidagi nuqtada) diskret erkinlik darajalarining har bir mumkin bo‘lgan qiymatiga (masalan, spinning z-komponentasiga) kompleks son mos qo‘yadi. Bu qiymatlar ko‘pincha ustun vektor ko‘rinishida beriladi (masalan, 2 × 1 spinli norelyativistik elektron uchun).

Kvant mexanikasidagi superpozitsiya prinsipiga ko‘ra, to‘lqin funksiyalarini qo‘shish va kompleks sonlarga ko‘paytirish orqali yangi to‘lqin funksiyalarini hosil qilish mumkin. Ularga mos matematik tuzilma — Hilbert fazosi. Skalyar ko‘paytma Hilbert fazosida ikki to‘lqin funksiyasi orasidagi skalyar ko‘paytma ularga mos fizik holatlarning o‘zaro qoplanish darajasini ko‘rsatadi va kvant mexanikasining asosiy ehtimollik talqinida, Born qoidasidaishlatiladi. Bu qoida o‘tish ehtimolliklarini holatlarning skalyar ko‘paytmasi bilan bog‘laydi. Shryodinger tenglamasi to‘lqin funksiyalarining vaqt o‘tishi bilan qanday o‘zgarishini belgilaydi. To‘lqin funksiyasi sifat jihatidan boshqa to‘lqinlar, masalan, suv to‘lqinlari yoki tor bo‘ylab tarqaluvchi to‘lqinlarga o‘xshaydi, chunki Shryodinger tenglamasi matematik jihatdan to‘lqin tenglamasiningbir turidir. «To‘lqin funksiyasi» nomi ham shundan kelib chiqqan va bu to‘lqin-zarracha ikkiyoqlamaligigaolib keladi. Biroq kvant mexanikasida to‘lqin funksiyasi turli talqinlargaochiq bo‘lgan va klassik mexanik to‘lqinlardan tubdan farq qiluvchi fizik hodisani ifodalaydi.

Norelyativistik kvant mexanikada Bornning statistik talqiniga ko‘ra, to‘lqin funksiyasi modulining kvadrati — haqiqiy sonbo‘lib, u ehtimollik zichligi sifatida talqin qilinadi: zarracha muayyan vaqtda belgilangan nuqtada yoki belgilangan impuls bilan aniqlanishi, shuningdek, ehtimol, diskret erkinlik darajalarining muayyan qiymatlariga ega bo‘lishi ehtimolini ifodalaydi. Ehtimollik talqiniga ko‘ra, mazkur kattalikning tizimning barcha erkinlik darajalari bo‘yicha integrali 1 ga teng bo‘lishi kerak. To‘lqin funksiyasi bajarishi shart bo‘lgan bu umumiy talab normallash shartideb ataladi. To‘lqin funksiyasi kompleks qiymatli bo‘lgani uchun uning faqat nisbiy fazasi va nisbiy kattaligini o‘lchash mumkin. Uning alohida olingan qiymati o‘lchanadigan kuzatiluvchi kattaliklarning qiymatlari yoki yo‘nalishlari haqida ma’lumot bermaydi; buning uchun kvant operatorlarini, ya’ni xos qiymatlari o‘lchashning mumkin bo‘lgan natijalariga mos keladigan operatorlarni, to‘lqin funksiyasiga ψ qo‘llash va o‘lchanadigan kattaliklarning statistik taqsimotlarini hisoblash kerak.

Tarix

1905-yilda Albert Eynshteyn foton chastotasi $f$ va uning energiyasi $E$ , $E=hf$ o‘rtasidagi proporsionallikni, 1916-yilda esa foton impulsi $p$ va to‘lqin uzunligi $\lambda$ , $\lambda =h/p$ o‘rtasidagi bog‘lanishni ilgari surdi; bu yerda $h$ — Plank doimiysiishlatiladi. 1923-yilda de Broyl birinchi bo‘lib $\lambda =h/p$ , munosabat — hozir de Broyl munosabatideb ataladigan ifoda — massali (ya’ni massaga ega) zarrachalar uchun ham o‘rinli ekanini taklif qildi. Uni tushunishdagi asosiy kalit Lorens invariantligibo‘lib, bu g‘oya zamonaviy kvant mexanikasi rivojining boshlanish nuqtasi deb qaralishi mumkin. Mazkur tenglamalar to‘lqin-zarracha ikkiyoqlamaligini massasiz hamda massali zarrachalar uchun tavsiflaydi.

1920–1930-yillarda kvant mexanikasi matematik analiz va chiziqli algebrausullaridan foydalanib rivojlandi. O‘z tadqiqotlarida matematik analizdan Lui de Broyl, Ervin Shryodinger va «to‘lqin mexanikasi»ni ishlab chiqqan boshqa olimlar foydalangan. Chiziqli algebra usullarini qo‘llaganlar orasida Verner Geyzenberg, Maks Born va «matritsali mexanika»ni yaratgan boshqalar bor edi. Keyinchalik Shryodinger bu ikki yondashuvning o‘zaro teng kuchli ekanini ko‘rsatdi.

1926-yilda Shryodinger hozir Shryodinger tenglamasideb ataladigan to‘lqin tenglamasini e’lon qildi. Bu tenglama klassik energiyaning saqlanish qonunigaasoslangan, ammo kvant operatorlari va de Broyl munosabatlari yordamida yozilgan edi. Uning yechimlari kvant tizimining to‘lqin funksiyalari ko‘rinishida ifodalandi. Biroq bu natijalarni qanday talqin qilishnihech kim bilmasdi. Dastlab Shryodinger va boshqa olimlar to‘lqin funksiyasi fazoda tarqalgan zarrachani ifodalaydi, uning katta qismi to‘lqin funksiyasi qiymati yuqori bo‘lgan joyda to‘plangan, deb o‘ylashgan. Ammo zarrachani ifodalovchi to‘lqin paketining sochuvchi jismdan elastik sochilishini tekshirish bu fikrga zid ekanini ko‘rsatdi: to‘lqin paketi barcha yo‘nalishlarga tarqaladi. Holbuki, zarracha istalgan yo‘nalishda sochilishi mumkin bo‘lsa-da, u bo‘laklarga ajralib, bir vaqtning o‘zida hamma yoqqa uchib ketmaydi. 1926-yilda Born ehtimollik amplitudasitalqinini taklif qildi. U kvant mexanikasidagi hisob-kitoblarni tajribada kuzatiladigan ehtimolliklar bilan bevosita bog‘laydi. Hozir bu qarash Kopengagen talqinining bir qismi sifatida qabul qilingan. Kvant mexanikasining boshqa ko‘plab talqinlariham mavjud. 1928-yilda Duglas Xartri ko‘p elektronli masalani taxminan yechish uchun o‘z-o‘ziga moslashuvchi maydon usulini ishlab chiqdi. 1930-yilda Vladimir Fok bu yondashuvni ko‘p elektronli to‘lqin funksiyasining antisimmetriyasi va almashinuv o‘zaro ta’sirini hisobga olgan holda takomillashtirdi. Hozir u Xartri — Fok usuli. Determinant va permanent Sleyter (matritsalari) deb ataladigan ifodalar usul tarkibiga kiradi. Bu usulning muallifi — Jon K. Sleyter.

Shryodinger o‘zining norelyativistik tenglamasini e’lon qilishdan avval relyativistik to‘lqin tenglamasini ham ko‘rib chiqqan edi. Biroq uning vodorod atomi uchun olgan spektri tajribada kuzatilgan nozik tuzilishni aks ettirmadi. 1926-yilda xuddi shu relyativistik skalyar tenglamaga bir-biridan mustaqil bir necha tadqiqotchi, jumladan, Oskar Kleyn, Vladimir Fok, Lui de Broyl va Valter GordonKeyinchalik bu tenglama quyidagi nom bilan tanildi: Kleyn — Gordon tenglamasi.

1927-yilda Pauli elektromagnit maydondagi spini 1/2 bo‘lgan zarrachalarni tavsiflovchi norelyativistik tenglamani fenomenologik yo‘l bilan topdi. Hozir bu tenglama Pauli tenglamasideb ataladi. Pauli to‘lqin funksiyasini fazo va vaqtga bog‘liq bitta kompleks funksiya bilan ifodalab bo‘lmasligini, buning o‘rniga fermionning +1/2 va −1/2 spin holatlariga mos keluvchi ikkita kompleks son kerakligini aniqladi. Ko‘p o‘tmay, 1928-yilda Dirak birinchi muvaffaqiyatli birlashtirish asosida tenglama topdi: maxsus nisbiylik nazariyasi va kvant mexanikasi elektrongaqo‘llanilganda hosil bo‘lgan bu tenglama hozir Dirak tenglamasideb ataladi. Bunda to‘lqin funksiyasi spinor, bo‘lib, to‘rtta kompleks komponent bilan ifodalanadi: ikkitasi elektron uchun, ikkitasi esa elektronning antizarrachasi — pozitron uchun.Norelyativistik chegarada Dirakning to‘lqin funksiyasi elektron uchun Pauli to‘lqin funksiyasiga o‘xshaydi. Keyinchalik boshqa relyativistik to‘lqin tenglamalari ham topildi..

Zamonaviy nazariyalarda to‘lqin funksiyalari va to‘lqin tenglamalari

Bu to‘lqin tenglamalarining barchasi hozirgacha ahamiyatini saqlab kelmoqda. Shryodinger va Pauli tenglamalari ko‘p hollarda relyativistik masalalar uchun juda yaxshi yaqinlashuv beradi. Amaliy masalalarda ularni relyativistik muqobillariga qaraganda yechish ancha oson.

Relyativistik bo‘lgan Kleyn — Gordon va Diraktenglamalari ham kvant mexanikasi bilan maxsus nisbiylik nazariyasini to‘liq birlashtirmaydi. Bu tenglamalar Shryodinger tenglamasi kabi o‘rganiladigan kvant mexanikasi bo‘limi ko‘pincha relyativistik kvant mexanikasideb ataladi. U juda muvaffaqiyatli bo‘lsa-da, ayrim cheklovlarga (masalan, Lemb siljishi) va konseptual muammolarga (masalan, Dirak dengizi).

Nisbiylik nazariyasiga ko‘ra, tizimdagi zarrachalar soni o‘zgarmas bo‘lishi shart emas. Nazariyalarni to‘liq muvofiqlashtirish uchun kvant maydon nazariyasikerak. Bu nazariyada ham to‘lqin tenglamalari va funksiyalar qo‘llanadi, biroq biroz boshqacha shaklda. Asosiy o‘rganiladigan obyektlar to‘lqin funksiyalari emas, balki holatlarning Hilbert fazosidagi maydon operatorlari (yoki shunchaki maydonlar, bu yerda «operatorlar» tushuniladi) hisoblanadi. Ma’lum bo‘lishicha, Hilbert fazosini qurish uchun dastlabki relyativistik to‘lqin tenglamalari va ularning yechimlari hamon zarur. Bundan tashqari, erkin maydon operatorlari, ya’ni o‘zaro ta’sirlashmaydigan zarrachalar operatorlari, ko‘p hollarda maydonlar (to‘lqin funksiyalari) bilan rasman bir xil tenglamaga bo‘ysunadi.

Shu tariqa, Kleyn — Gordon tenglamasi (spin 0) hamda Dirak tenglamasi (spin 1⁄2) ushbu shaklda nazariyada saqlanadi. Kattaroq spinlar uchun o‘xshash tenglamalar qatoriga Proka tenglamasi (spin 1), Rarita — Shvinger tenglamasi (spin 3⁄2) va yanada umumiyroq holda Bargman — Vigner tenglamalarikiradi. Massasiz erkin maydonlar uchun misollar — Maksvell tenglamalari (erkin maydon, spin 1) va Eynshteyn tenglamasi (erkin maydon, spin 2) bo‘lib, ular maydon operatorlariga qo‘llanadi. Bularning barchasi, mohiyatan, Lorens invariantligitalabidan bevosita kelib chiqadi. Ularning yechimlari Lorens almashtirishida ma’lum tartibda, ya’ni muayyan Lorens guruhi tasvirigamuvofiq o‘zgarishi kerak. Shu talabning o‘zi (masalan, klasterlarga ajralish prinsipikabi boshqa ba’zi oqilona talablar bilan birga), sababiyatni hisobga olgan holda, tenglamani moslashtirish uchun yetarlidir.

Bu o‘zaro ta’sirlar kiritilmagan erkin maydon tenglamalariga tegishli. Agar Lagranjian zichligi (o‘zaro ta’sirlarni ham o‘z ichiga olgan) ma’lum bo‘lsa, Lagranj formalizmi klassik darajadagi harakat tenglamasini beradi. Bu tenglama juda murakkab va yechib bo‘lmaydigan bo‘lishi mumkin. Har qanday yechim zarrachalarning o‘zgarmas soniga tegishli bo‘ladi va bu nazariyalarda tushuniladigan «o‘zaro ta’sir» atamasini hisobga olmaydi: u odatiy kvant nazariyasidagi tashqi potensiallarni emas, balki zarrachalarning yaratilishi va yo‘q qilinishini o‘z ichiga oladi (birlamchi kvantlash).

Xususan, strunalar nazariyasida vaziyat ham shunga o‘xshaydi. Masalan, impulslar fazosidagi to‘lqin funksiyasi impulsi aniq belgilanmagan zarracha (struna)ning umumiy holatida Furye yoyilmasining koeffitsiyenti vazifasini bajaradi.

Fizik ma’nosi

Koordinata tasvirida to‘lqin funksiyasi $\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)$ tizim koordinatalariga (yoki umumlashgan koordinatalariga) bog‘liq bo‘ladi. Uning fizik ma’nosi shundan iboratki, modulining kvadrati $\left|\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)\right|^{2}$ shu nuqtada tizimni aniqlashning ehtimollik zichligi $\omega$ (diskret spektrlar uchun esa shunchaki ehtimollik) tizimni fazoning $x_{1}=x_{01},x_{2}=x_{02},\ldots ,x_{n}=x_{0n}$ nuqtasida, vaqtning berilgan momentida aniqlash ehtimoli. $t$ :

\omega ={\frac {dP}{dv}}=\left|\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)\right|^{2}=\Psi ^{\ast }\Psi

.

To‘lqin funksiyasi bilan tavsiflangan tizimning ma’lum kvant holatida $\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)$ ehtimollik $P$ , ya’ni zarrachaning $V$ sohada, hajmi cheklangan konfiguratsiyalar fazosidaaniqlanish ehtimoli quyidagiga teng:

P={\int {dP}}={\int \limits _{V}{\omega }dv}={\int \limits _{V}{\Psi ^{\ast }\Psi }dv}

.

To‘lqin funksiyasi fazalarining farqini ham o‘lchash mumkin, masalan, Aharonov — Bom tajribasida.

To‘lqin funksiyasining normallashganligi

Zarrachani butun fazoda aniqlashning umumiy ehtimolligi birga teng bo‘lgani uchun uning to‘lqin funksiyasi $\Psi$ , masalan, koordinata tasvirida quyidagicha yoziladigan normallash shartini bajarishi kerak:

{\int \limits _{V}{\Psi ^{\ast }\Psi }dv}=1

.

Umumiy holatda integrallash to‘lqin funksiyasi tanlangan tasvirda ochiq bog‘liq bo‘lgan barcha o‘zgaruvchilar (vaqtdan tashqari) bo‘yicha bajarilishi kerak.

Kvant holatlarining superpozitsiya prinsipi

To‘lqin funksiyalari uchun superpozitsiya prinsipio‘rinlidir: agar tizim $\Psi _{1}$ va $\Psi _{2}$ to‘lqin funksiyalari bilan tavsiflanadigan holatlarda bo‘la olsa, u quyidagi to‘lqin funksiyasi tavsiflaydigan holatda ham bo‘lishi mumkin:

\Psi _{\Sigma }=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}

,

bu yerda $c_{1}$ va $c_{2}$ — kompleks koeffitsiyentlar. Agar $\Psi _{1}$ va $\Psi _{2}$ normallashgan hamda o‘zaro ortogonal bo‘lsa, superpozitsiyaning normallash sharti quyidagicha bo‘ladi: $|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1$ .

Shubhasiz, istalgan sondagi kvant holatlarining superpozitsiyasi (yig‘indisi) haqida ham gapirish mumkin, ya’ni tizimning quyidagi to‘lqin funksiyasi bilan tavsiflanadigan kvant holati mavjud:

\Psi _{\Sigma }=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+\ldots +{c}_{N}{\Psi }_{N}=\sum _{n=1}^{N}{c}_{n}{\Psi }_{n}

.

Bunday holatda ${c}_{n}$ koeffitsiyent moduli kvadrati o‘lchash vaqtida tizimning ${\Psi }_{n}$ .

to‘lqin funksiyasi tavsiflaydigan holatda aniqlanish ehtimolini belgilaydi. Normallashgan to‘lqin funksiyalari uchun $\sum _{n=1}^{N}\left|c_{n}\right|^{2}=1$ .

To‘lqin funksiyasining muntazamlik shartlari

To‘lqin funksiyasining ehtimollik ma’nosi kvant mexanikasi masalalarida unga muayyan cheklovlar yoki shartlar qo‘yadi. Bunday standart talablar ko‘pincha to‘lqin funksiyasining muntazamlik shartlari deb ataladi.

To‘lqin funksiyasining cheklanganlik sharti. To‘lqin funksiyasi $\int |\Psi |^{2}dv$ integralning uzoqlashishiga olib keladigan cheksiz qiymatlarni qabul qila olmaydi. Shuning uchun u kvadrati integrallanuvchi funksiya bo‘lishi, ya’ni Hilbert fazosiga $L^{2}$ tegishli bo‘lishi kerak. Kvadrati integrallanuvchanlikning o‘zi funksiyaning cheksizlikdagi limiti mavjudligini talab qilmaydi.
To‘lqin funksiyasining bir qiymatlilik sharti. To‘lqin funksiyasi koordinatalar va vaqtning bir qiymatli funksiyasi bo‘lishi shart, chunki har bir masalada zarrachaning aniqlanish ehtimollik zichligi bir qiymatli aniqlanishi kerak. Silindrik yoki sferik koordinatalar tizimida bunday shart to‘lqin funksiyalarining burchak o‘zgaruvchilariga nisbatan davriyligiga olib keladi.
To‘lqin funksiyasining uzluksizlik sharti. Bo‘lakli uzluksiz va chekli potensialga ega oddiy bir o‘lchamli Shryodinger tenglamasi uchun to‘lqin funksiyasi ham, uning birinchi hosilasi ham uzluksiz bo‘ladi. Singulyar potensiallarda vaziyat boshqacha bo‘lishi mumkin: masalan, delta-funksiyaqatnashgan potensialda to‘lqin funksiyasi uzluksizligicha qoladi, ammo birinchi hosilasida sakrash yuz beradi; cheksiz baland potensial devor chegarasida ham hosila uzlukli bo‘lishi mumkin.

To‘lqin funksiyasi turli tasvirlarda

Funksiyaning argumentlarivazifasini bajaruvchi koordinatalar to‘plami o‘zaro kommutativ kuzatiladigan kattaliklarning to‘liq tiziminitashkil etadi. Kvant mexanikasida kuzatiladigan kattaliklarning bir nechta to‘liq to‘plamini tanlash mumkin. Shu sababli ayni bir holatning to‘lqin funksiyasini turli argumentlarga bog‘liq holda yozish mumkin. Tanlangan to‘liq kattaliklar to‘plami to‘lqin funksiyasining tasvirinibelgilaydi. Masalan, koordinata tasviri, impuls tasviri mavjud; kvant maydon nazariyasida qo‘llanadi ikkilamchi kvantlash va bandlik sonlari tasviriyoki Fok tasviriva boshqalar.

Masalan, atomdagi elektronning to‘lqin funksiyasi koordinata tasviridaberilgan bo‘lsa, uning modulining kvadrati elektronni fazoning muayyan nuqtasida aniqlash ehtimollik zichligini anglatadi. Ayni funksiya impuls tasviridaberilgan bo‘lsa, uning modulining kvadrati ehtimollik zichligini ifodalaydi; bu holda aniqlanadigan kattalik — impuls.

Matritsali va vektorli ifodalanishlar

Ayni bir holat turli tasvirlarda bitta vektorning har xil koordinata tizimlaridagi ifodalanishiga mos keladi. To‘lqin funksiyalari ustidagi boshqa amallarning ham vektorlar tilida muqobillari mavjud. To‘lqin mexanikasi va matritsali mexanika kvant mexanikasining matematik jihatdan teng kuchli ifodalanishlaridir. Ularning farqi faqat kuzatiladigan kattaliklar spektrining uzluksiz yoki diskret bo‘lishiga bog‘liq emas.

Aralash kvant holatlarini tavsiflash

To‘lqin funksiyasi kvant-mexanik tizimning sof holatini tavsiflash usulidir. Aralash kvant holatlarini ( kvant statistikasida) esa quyidagi matematik vosita yordamida tavsiflanadi: zichlik matritsasi.

Koordinata va impuls tasvirlari

To‘lqin funksiyasi koordinatalar orqali $\psi =\psi ({\vec {r}})$ ifodalanganida, uning tegishli nomi: koordinata tasviri.

Koordinata tasviridagi har qanday to‘lqin funksiyasini xos funksiyalar — impuls operatorining xos funksiyalari — bo‘yicha yoyish mumkin.:

\psi _{\vec {p}}={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}e^{{\frac {i}{\hbar }}{\vec {p}}{\vec {r}}}

Natijada quyidagi teskari Furye almashtirishi:

\psi ({\vec {r}})=\int a({\vec {p}})\psi _{\vec {p}}({\vec {r}})d^{3}p={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}\int a({\vec {p}})e^{{\frac {i}{\hbar }}{\vec {p}}{\vec {r}}}d^{3}p

,

bu yerda $d^{3}p=dp_{x}dp_{y}dp_{z}$

Yoyilma koeffitsiyentlari $a({\vec {p}})$ Furye almashtirishiga teng.

a({\vec {p}})=\int \psi ({\vec {r}})\psi _{\vec {p}}^{*}({\vec {r}})dV={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}\int \psi ({\vec {r}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\vec {p}}{\vec {r}}}d^{3}V

Funksiya $a({\vec {p}})$ zarrachaning impuls tasviridagito‘lqin funksiyasi deb ataladi, chunki $|a({\vec {p}})|^{2}d^{3}p$ — zarracha impulsining berilgan oraliqqa tushish ehtimolidir: $d^{3}p$ .

To‘lqin funksiyalari va funksional fazolar

Funksional fazolar tushunchasi to‘lqin funksiyalarini muhokama qilishda tabiiy ravishda qo‘llanadi. Funksional fazo — odatda funksiyalar ma’lum talablarni bajaradigan funksiyalar to‘plami (bu holda ular kvadrati integrallanuvchi^[inglizcha]), ayrim hollarda to‘plamda algebraik tuzilma (bu holda vektor fazosi tuzilmasi va skalyar ko‘paytma) hamda topologiya belgilangan bo‘ladi. Topologiya bu yerda^[qayerda?] kamdan-kam ishlatiladi; u faqat funksional fazoning yopiq qism to‘plami nimani anglatishini aniq belgilash uchun zarur. Quyida to‘lqin funksiyalari fazosining Hilbert fazosiekani ko‘rsatiladi. Bu xulosa kvant mexanikasi matematik ifodalanishining asosini tashkil qiladi.

Vektor fazosining tuzilishi

To‘lqin funksiyasi funksional fazoning elementi sifatida quyidagi aniq va mavhum tavsiflar bilan qisman xarakterlanadi.

Shryodinger tenglamasi chiziqlidir. Demak, uning yechimlari — to‘lqin funksiyalarini qo‘shish va skalyar sonlarga ko‘paytirish orqali yangi yechim olish mumkin. Shryodinger tenglamasi yechimlari to‘plami vektor fazosini tashkil qiladi.
Kvant mexanikasining superpozitsiya prinsipi. Agar Ψ va Φ kvant-mexanik tizimning mavhum holatlar fazosidagi ikkita holat bo‘lsa, a va b istalgan ikkita kompleks son bo‘lsa, aΨ + bΦ ham ruxsat etilgan holatdir. Nol vektor Hilbert fazosining elementi bo‘lsa ham, fizik kvant holatini ifodalamaydi. Sof fizik holatga Hilbert fazosidagi noldan farqli vektorlar nuri mos keladi.

Bu o‘xshashlik tasodifiy emas. Shu bilan birga, fazolar orasidagi farqlarni ham yodda tutish lozim.

Tasvirlar

Bazis holatlar kvant sonlari to‘plami bilan xarakterlanadi. Bu sonlar maksimal to‘plamdagi o‘zaro kommutativ kuzatiladigan kattaliklaroperatorlarining xos qiymatlaridir. Fizik kuzatiladigan kattaliklar holat vektorlari fazosida chiziqli operatorlar — kuzatiladigan operatorlar bilan ifodalanadi. Maksimallik shuni anglatadiki, bunday to‘plamga mavjud kattaliklar bilan kommutatsiyalanadigan boshqa hech qanday algebraik mustaqil kuzatiladigan kattalikni qo‘shib bo‘lmaydi. Bunday to‘plamni tanlash tasvirni tanlash.

deb atalishi mumkin. Kvant mexanikasi postulatlariga ko‘ra, tizimning holat, impuls yoki spin kabi fizik kuzatiladigan kattaligi holatlar fazosidagi chiziqli Ermit operatori bilan ifodalanadi. Bu kattalikni o‘lchashda mumkin bo‘lgan natijalar operatorning xos qiymatlari hisoblanadi. Chuqurroq qaralganda, kuzatiladigan kattaliklarning ko‘pchiligi, ehtimol barchasi, simmetriyalarning.
generatorlari sifatida yuzaga keladi. Fizik talqinga ko‘ra, bunday to‘plam nazariy jihatdan bir vaqtning o‘zida istalgan aniqlikda o‘lchash mumkin bo‘lgan kattaliklarni ifodalaydi. Geyzenberg noaniqlik munosabati esa o‘zaro kommutativ bo‘lmagan ikki kattalikni bir vaqtda aniq o‘lchashni taqiqlaydi.
Bu to‘plam yagona emas. Bitta zarrachali tizim uchun u, masalan, z proyeksiyasi (x, S_z) y proyeksiyasi (p, S_y)bo‘lishi mumkin. Bunda koordinataga mos operator (ko‘paytirish operatori koordinata tasvirida) va impulsga mos operator (differensial operator koordinata tasvirida) o‘zaro kommutativ emas.
Tasvir tanlangandan keyin ham noaniqlik qoladi: koordinata tizimini tanlash kerak. Bu, masalan, x, y va z o‘qlarini yoki egri chiziqli koordinatalarni tanlashni anglatishi mumkin. Bunga misol sifatida vodorod atomi to‘lqin funksiyalarida ishlatiladigan sferik koordinatalarniko‘rsatish mumkin. Bu yakuniy tanlov mavhum Hilbert fazosidagi bazisni ham belgilaydi. Bazis holatlar o‘zaro kommutativ kuzatiladigan kattaliklarning maksimal to‘plamiga va tegishli koordinata tizimiga mos kvant sonlari bilan belgilanadi.

Mavhum holatlar faqat aniq tavsiflash uchun kerak bo‘ladigan erkin tanlov berilmagani ma’nosida «mavhum»dir. Boshqacha aytganda, o‘zaro kommutativ kuzatiladigan kattaliklarning maksimal to‘plami hali tanlanmagan. Bu bazisi belgilanmagan vektor fazosiga o‘xshaydi. Demak, kvant holatiga mos keluvchi to‘lqin funksiyalari yagona emas. Bu ko‘p ma’nolilik maksimal kommutativ kuzatiladigan kattaliklar to‘plamini tanlash erkinligini aks ettiradi. Bir o‘lchamda spinli bitta zarracha uchun muayyan holatga ikkita to‘lqin funksiyasi mos keladi: Ψ(x, S_z) va Ψ(p, S_y); ikkalasi ham aynan bir xil holatni ifodalaydi.

Mavhum holatlar fazosi uchun o‘zaro kommutativ kuzatiladigan kattaliklarning maksimal to‘plamini har qanday tanlashga to‘lqin funksiyalarining funksional fazosi bilan bog‘liq alohida tasvir mos keladi.
Turli funksional fazolar bilan mavhum holatlar fazosi o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud (bu yerda normallash va kuzatilmaydigan faza ko‘paytuvchilari hisobga olinmaydi). Ularning umumiy asosi aniq bir mavhum holatdir. Masalan, ayni bir holatni ifodalovchi impuls va koordinata to‘lqin funksiyalari orasidagi bog‘lanish quyidagi usul yordamida ifodalanadi — Furye almashtirishi.

Tasvirning har bir tanlovini ushbu tasvirga mos to‘lqin funksiyalari aniqlangan alohida funksional fazoning belgilanishi sifatida ko‘rish lozim. Hatto bunday ikki fazo matematik jihatdan teng, masalan, kvadrati integrallanuvchi funksiyalar to‘plami ekani aytilsa ham, bu farqni saqlash ma’qul. Ularni ayni to‘plamning ikki alohida nusxasi deb tasavvur qilish mumkin.

Skalyar ko‘paytma

To‘lqin funksiyalarining vektor fazolari va mavhum holatlar fazosi qo‘shimcha algebraik tuzilmaga ega.

Fizik jihatdan turli to‘lqin funksiyalari qisman bir-birini qoplaydi, deb talqin qilinadi. Agar Ψholati umuman bilan qoplanmasa, Φ holatidagi tizimni o‘lchash natijasida Φ holati aniqlanmaydi. Agar Φ₁, Φ₂, … funksiyalari Ψ bilan qandaydir darajada qoplansa, u holda Ψ bilan tavsiflangan tizimni o‘lchaganda Φ₁, Φ₂, … holatlarini aniqlash ehtimoli mavjud. Bundan tashqari, tanlash qoidalariham amal qiladi. Odatda ular ayrim kvant sonlarining saqlanishi orqali ifodalanadi. Demak, ba’zi nuqtayi nazarlardan (masalan, energiya va impuls saqlanishi jihatidan) ruxsat etilgan ayrim jarayonlar amalga oshmaydi, chunki boshlang‘ich va yakuniy to‘liq to‘lqin funksiyalari bir-birini qoplamaydi.
Matematik jihatdan muayyan potensiallar uchun Shryodinger tenglamasining yechimlari ma’lum ma’noda ortogonalekani aniqlanadi. Bu odatda quyidagi integral orqali ifodalanadi:

\int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}w\,dV=\delta _{nm},

bu yerda m, n — turli yechimlarni bildiruvchi indekslar (kvant sonlari) to‘plami; w — qat’iy musbat vazn funksiyasi, δ_mn — — Kroneker deltasideb ataladi. Integrallash tegishli fazoning barcha nuqtalari bo‘yicha bajariladi.

Bu yuqoridagi matematik natijalarga tasvirga o‘tganda mos keladigan, mavhum kvant holatlari vektor fazosida skalyar ko‘paytma tushunchasini kiritishga asos beradi. U (Ψ, Φ)yoki bra va ket yozuvi $\langle \Psi |\Phi \rangle$ bilan belgilanadi. Natijada kompleks son olinadi. Skalyar ko‘paytmaga ega funksional fazo Hilbertoldi fazosibo‘ladi. Skalyar ko‘paytmaning aniq shakli (odatda integral yoki integrallar yig‘indisi) tanlangan tasvirga bog‘liq, biroq (Ψ, Φ) kompleks soni bog‘liq emas. Kvant mexanikasining fizik talqini asosan Born qoidasidankelib chiqadi. Bu qoidaga ko‘ra, tizim p ehtimollik bilan o‘lchashda Φ holati sifatida aniqlanadi, agar u Ψ holatida bo‘lsa. Bu ehtimollik quyidagiga teng:

p=|(\Phi ,\Psi )|^{2},

bu yerda Φ va Ψ normallashgan deb qabul qilinadi. Keling, sochilish tajribasiniko‘rib chiqaylik. Kvant maydon nazariyasida Φ_out sochilayotgan zarrachalar o‘rtasidagi o‘zaro ta’sirlar tugagandan keyingi «uzoq kelajak»dagi holatni («chiquvchi to‘lqin») ifodalasa, Ψ_in «uzoq o‘tmish»dagi tushuvchi to‘lqinni ifodalaydi. Shunda (Φ_out, Ψ_in)) kattaliklari, bu yerda Φ_out va Ψ_in mos ravishda barcha tushuvchi va chiquvchi to‘lqinlar to‘plami bo‘yicha o‘zgaradi, S-matritsa yoki sochilish matritsasideb ataladi. Uni bilish, mohiyatan, hech bo‘lmaganda bashoratlar nuqtayi nazaridan mavjud masalani yechish demakdir. O‘lchanadigan kattaliklar, jumladan, parchalanish tezligi va sochilish kesimlariS-matritsa yordamida hisoblanadi.

Hilbert fazosi

Yuqoridagi natijalar elementlari to‘lqin funksiyalari bo‘lgan funksional fazolarning mohiyatini ko‘rsatadi. Biroq tavsif hali to‘liq emas. Funksional fazoga qo‘yiladigan yana bir texnik talab — to‘liqliktalabi mavjud. U funksional fazodagi ketma-ketliklarning limitini olishga imkon beradi va limit mavjud bo‘lsa, uning ham shu funksional fazoga tegishli bo‘lishini kafolatlaydi. To‘liq Hilbertoldi fazosi Hilbert fazosideb ataladi. To‘liqlik xossasi kvant mexanikasining ilg‘or yondashuvlari va qo‘llanishlarida juda muhim. Masalan, proyeksiya operatorlarining mavjudligi ham fazoning to‘liqligiga bog‘liq. Bunday operatorlar esa ko‘plab foydali teoremalarni, masalan, spektral teoremaniifodalash va isbotlash uchun zarur. Kvant mexanikasiga kirish uchun bu unchalik muhim emas, texnik tafsilotlar va manbalarni quyidagi kabi izohlardan topish mumkin. L² fazosi — skalyar ko‘paytmasi quyida keltiriladigan Hilbert fazosidir. Rasmdagi misolning funksional fazosi L²fazosining qism fazosidir. Hilbert fazosining qism fazosi yopiq bo‘lsa, u ham Hilbert fazosi deb ataladi.

Shunday qilib, to‘lqin funksiyalarining tegishli fazosi Hilbert fazosidir. Faqat normallashgan to‘lqin funksiyalari to‘plamining o‘zi vektor fazosi emas.

Qiziqish uyg‘otadigan funksiyalarning barchasi ham muayyan Hilbert fazosining, masalan, L²fazosining elementi bo‘lavermaydi. Eng yaqqol misol — e^{2πip · x⁄h} funksiyalar to‘plami. Bu yassi to‘lqinlar erkin zarracha uchun Shryodinger tenglamasining yechimlaridir, ammo ular normallashmaydi va shu sababli L²fazosiga tegishli emas. Shunga qaramay, ular kvant mexanikasini tavsiflash uchun juda muhim. Ular yordamida normallash mumkin bo‘lgan funksiyalarni to‘lqin paketlariko‘rinishida ifodalash mumkin. Muayyan ma’noda ular kerakli to‘lqin funksiyalarini ifodalashga xizmat qiladigan bazisdir (ammo Hilbert fazosi bazisi ham, Hamelbazisi ham emas). Yozishni qulaylashtirish uchun ko‘pincha «delta-funksiya bo‘yicha normallash» deb ataladigan boshqa tavsif ham ishlatiladi; quyiga qarang. Delta-funksiyalarning o‘zi ham kvadrati integrallanuvchi emas.

Yuqorida to‘lqin funksiyalarini o‘z ichiga oladigan funksional fazoga berilgan tavsif asosan matematik sabablarga asoslangan. To‘liqlik xususiyati tufayli funksional fazolar muayyan ma’noda juda kengdir. Har qanday funksiya ham biror fizik tizimning real holatini tavsiflay olmaydi. Masalan, L² fazosida barcha ratsional sonlar uchun 0 qiymatini, irratsional sonlar uchun esa -i qiymatini oluvchi funksiya mavjud. [0, 1]. Bu funksiyaning kvadrati integrallanuvchi, lekin uning fizik holatni ifodalashi ehtimoldan yiroq.

Umumiy Hilbert fazolari

Yechimlar fazosi odatda Hilbert fazosi bo‘lsa-da, boshqa ko‘plab Hilbert fazolari ham mavjud.

Muayyan oraliqda kvadrati integrallanuvchi kompleks qiymatli funksiyalar: [0, 2π]to‘plam. {e^int/2π, n ∈ ℤ} Hilbert fazosining bazisi, ya’ni maksimal ortonormal to‘plam hisoblanadi.
Furye almashtirishi yuqorida ko‘rsatilgan fazodagi funksiyalarni l²(ℤ)fazosining elementlariga, ya’ni kvadratlari yig‘indisi chekli bo‘lgan ℤ → ℂfunksiyalar fazosiga o‘tkazadi. Oxirgi fazo Hilbert fazosi bo‘lib, Furye almashtirishi Hilbert fazolari izomorfizmini beradi. Uning bazisi: {e_i, i ∈ ℤ} bu yerda e_i(j) = δ_ij, i, j ∈ ℤ .
Cheklangan polinomlarning eng oddiy misoli — muayyan oraliqda kvadrati integrallanuvchi funksiyalar fazosi bo‘lib, [–1, 1] bu fazoda Lejandr polinomlari Hilbert fazosi bazisini (to‘liq ortonormal to‘plamni) tashkil etadi.
Birlik sferada S² kvadrati integrallanuvchi funksiyalar Hilbert fazosini hosil qiladi. Bu holda bazis funksiyalar sferik garmonikalardir.Lejandr polinomlari sferik garmonikalarning tarkibiga kiradi. Aylanish simmetriyasiga ega masalalarning aksariyati ushbu simmetriya bo‘yicha «bir xil» (ma’lum) yechimga ega, shuning uchun boshlang‘ich masala o‘lchami kichikroq masalaga keltiriladi.
Tegishli Lagerr polinomlari vodorod atomining to‘lqin funksiyalari masalasida sferik garmonikalar ajratilganidan keyin paydo bo‘ladi. Ular yarimcheksiz oraliqda kvadrati integrallanuvchi funksiyalar Hilbert fazosini qamrab oladi. [0, ∞) .

Umumiyroq holda ikkinchi tartibli Shturm — Liuvill tenglamalarining barcha polinom yechimlarini Hilbert fazosi nuqtayi nazaridan ko‘rib chiqish mumkin. Bularga Lejandr va Lagerr polinomlari, shuningdek, Chebishev polinomlari, Yakobi va Ermit polinomlarikiradi. Ular haqiqiy fizik masalalarda uchraydi; oxirgisi garmonik ossillyatordapaydo bo‘ladi. Aks holda maxsus funksiyalarningchalkash xossalari labirintidek ko‘ringan narsa yaxlit manzaraga aylanadi. Bu haqda Bayron, & Fuller (1992, 5-bob) .

Chekli o‘lchamli Hilbert fazolari ham mavjud. Masalan, ℂⁿ — o‘lchami nbo‘lgan Hilbert fazosidir. Uning ichki ko‘paytmasi bu fazolar uchun odatdagi skalyar ko‘paytmadir. Bitta zarracha to‘lqin funksiyasining «spin qismi» unda joylashadi.

Elektronning norelyativistik tavsifida n = 2bo‘ladi; to‘liq to‘lqin funksiyasiga mos keladigan tenglama esa — Pauli tenglamasi.
Tegishli relyativistik tavsifda n = 4 bo‘ladi, to‘lqin funksiyasiga mos keladigan tenglama esa — Dirak tenglamasi.

Zarrachalar soni ko‘paysa, vaziyat murakkablashadi. Bunda tenzor ko‘paytmalar va tegishli simmetriya guruhlarining tasvirlar nazariyasidan (aylanish guruhi va mos ravishda Lorens guruhi) foydalanish kerak bo‘ladi. Zarrachalar erkin bo‘lmagan relyativistik holatlarda qo‘shimcha qiyinchiliklar tug‘iladi. Qarang: Bete — Salpeter tenglamasi. Shunga o‘xshash mulohazalar izospintushunchasiga ham tegishli, uning simmetriya guruhi SU (2). Oltmishinchi yillardagi yadro kuchlari modellarida (ular bugun ham qo‘llanadi, qarang: yadro kuchlari) simmetriya guruhi SU (3)ishlatilgan. Bunda ham ichki simmetriyalarga mos to‘lqin funksiyalari qismi ma’lum ℂⁿ fazolarida yoki shunday fazolar tenzor ko‘paytmalarining qism fazolarida joylashadi.

Kvant maydon nazariyasida asosiy Hilbert fazosi Fok fazosidir.U tanlangan tasvirdagi erkin bir zarrachali holatlardan, ya’ni to‘lqin funksiyalaridan quriladi va vaqt bo‘yicha o‘zgarmas bo‘lishi shart bo‘lmagan istalgan chekli miqdordagi zarrachalarni qamrab oladi. Qiziqarli dinamika to‘lqin funksiyalarida emas, maydon operatorlaridayashiringan bo‘lib, ular Fok fazosida ta’sir qiladi. Shu sababli Geyzenberg tasviri qulayroq bo‘ladi (holatlar o‘zgarmas, operatorlar esa vaqt bo‘yicha o‘zgaradi).

Tizimning cheksiz o‘lchamli tabiati tufayli unga tegishli matematik vositalar funksional analizning o‘rganish obyektidir.

Ontologiya

To‘lqin funksiyasi haqiqatan ham mavjudmi va u nimani ifodalaydi? Bular kvant mexanikasini talqin qilishningasosiy savollaridir. Oldingi avlodning ko‘plab mashhur fiziklari bu masala ustida bosh qotirgan, masalan, Shryodinger, Eynshteyn va Bor. Ba’zi olimlar Kopengagen talqinini (yoki uning variantlarini, masalan, Bor, Vigner va fon Neyman), boshqalar esa, jumladan, Uiler yoki Jeynsklassikroq yondashuvni yoqlagan hamda to‘lqin funksiyasini kuzatuvchi ongidagi axborot, ya’ni voqelik haqidagi bilim darajamiz ifodasi sifatida ko‘rgan. Ba’zi olimlar, jumladan Shryodinger, Bom, Everett va boshqalar to‘lqin funksiyasi obyektiv fizik mavjudlikka ega bo‘lishi lozim, deb hisoblagan. Eynshteynning fikricha, fizik voqelikning to‘liq tavsifi mavhum matematik fazoga tegishli to‘lqin funksiyasidan farqli ravishda, bevosita fizik makon va vaqtga bog‘liq bo‘lishi kerak.

Adabiyotlar

Arons, A. B.; Peppard, M. B. (1965). Einstein's proposal of the photon concept: A translation of the Annalen der Physik paper of 1905 (PDF). American Journal of Physics. 33 (5): 367. Bibcode:1965AmJPh..33..367A. doi:10.1119/1.1971542.
Atkins, P. W. Quanta: A Handbook of Concepts. — 1974. — ISBN 978-0-19-855494-3.
Bohr, N. Niels Bohr - Collected Works: Foundations of Quantum Physics I (1926 - 1932). — Amsterdam : North Holland, 1985. — Vol. Volume 6. — ISBN 978-044453289-3.
Born, M. (1926). Zur Quantenmechanik der Stoßvorgange. Z. Phys. 37 (12): 863—867. Bibcode:1926ZPhy...37..863B. doi:10.1007/bf01397477.
Born, M. (1926). Quantenmechanik der Stoßvorgange. Z. Phys. 38 (11—12): 803—827. Bibcode:1926ZPhy...38..803B. doi:10.1007/bf01397184.
Born, M. (1927). Physical aspects of quantum mechanics. Nature. 119 (2992): 354—357. Bibcode:1927Natur.119..354B. doi:10.1038/119354a0.
Born, M. (11 декабря 1954). The statistical interpretation of quantum mechanics. Nobel Lecture. 122 (3172). Nobel Foundation: 675—9. doi:10.1126/science.122.3172.675. PMID 17798674.
de Broglie, L. (1923). Radiations—Ondes et quanta [Radiation—Waves and quanta]. Comptes Rendus (фр.). 177: 507—510, 548, 630. Online copy (French) Online copy (English)
de Broglie, L. Non-linear Wave Mechanics: a Causal Interpretation. — Amsterdam : Elsevier, 1960.
Byron, F. W. Mathematics of Classical and Quantum Physics / F. W. Byron, R. W. Fuller. — revised. — Dover Publications, 1992. — ISBN 978-0-486-67164-2.
Camilleri, K. Heisenberg and the Interpretation of Quantum Mechanics: the Physicist as Philosopher. — Cambridge UK : Cambridge University Press, 2009. — ISBN 978-0-521-88484-6.
Conway, J. B. A Course in Functional Analysis. — Springer Verlag, 1990. — Vol. Volume 96. — ISBN 978-0-387-97245-9.
Dirac, P. A. M. (1939). A new notation for quantum mechanics. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 35 (3): 416—418. Bibcode:1939PCPS...35..416D. doi:10.1017/S0305004100021162.
Dirac, P. A. M. The principles of quantum mechanics. — 4th. — Oxford University Press, 1982. — ISBN 0-19-852011-5.
Einstein, A. (1905). Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt. Annalen der Physik (нем.). 17 (6): 132—148. Bibcode:1905AnP...322..132E. doi:10.1002/andp.19053220607.
Einstein, A. (1916). Zur Quantentheorie der Strahlung. Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich. 18: 47—62.
Einstein, A. (1917). Zur Quantentheorie der Strahlung. Physikalische Zeitschrift (нем.). 18: 121—128. Bibcode:1917PhyZ...18..121E.
Einstein, A. Albert Einstein: Philosopher-Scientist. — 3rd. — La Salle Publishing Company, Illinois : Open Court, 1998. — Vol. VII. — ISBN 978-0-87548-133-3.
Eisberg, R. Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles / R. Eisberg, R. Resnick. — 2nd. — John Wiley & Sons, 1985. — ISBN 978-0-471-87373-0.
Greiner, W. Quantum Electrodynamics / W. Greiner, J. Reinhardt. — 4th. — springer, 2008. — ISBN 978-354087560-4.
Griffiths, D. J. Introduction to Quantum Mechanics. — 2nd. — Essex England : Pearson Education, 2004. — ISBN 978-013111892-8.
Griffiths, David. Introduction to elementary particles. — Wiley-VCH, 2008. — P. 162ff. — ISBN 978-3-527-40601-2.
ter Haar, D. The Old Quantum Theory. — Pergamon Press, 1967. — P. 167–183.
Hanle, P.A. (1977), Erwin Schrodinger's Reaction to Louis de Broglie's Thesis on the Quantum Theory, Isis, 68 (4): 606—609, doi:10.1086/351880
Heisenberg, W. Physics and Philosophy: the Revolution in Modern Science. — New York : Harper & Row, 1958.
Jaynes, E. T. Probability Theory: The Logic of Science. — Cambridge University Press, 2003. — ISBN 978-0-521 59271-0.
Landau, L.D. Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory / L.D. Landau, E. M. Lifshitz. — 3rd. — Pergamon Press, 1977. — Vol. Vol. 3. — ISBN 978-0-08-020940-1. Online copy
Lerner, R.G. Encyclopaedia of Physics / R.G. Lerner, G.L. Trigg. — 2nd. — VHC Publishers, 1991. — ISBN 978-0-89573-752-6.
Ludwig, G. Wave Mechanics. — Oxford UK : Pergamon Press, 1968. — ISBN 978-0-08-203204-5.
Martin, B.R. Particle Physics / B.R. Martin, G. Shaw. — 3rd. — John Wiley & Sons, 2008. — ISBN 978-0-470-03294-7.
Murdoch, D. Niels Bohr's Philosophy of Physics. — Cambridge UK : Cambridge University Press, 1987. — ISBN 978-0-521-33320-7.
Newton, R.G. Quantum Physics: a Text for Graduate Student. — New York : Springer, 2002. — ISBN 978-0-387-95473-8.
Pauli, Wolfgang (1927). Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons. Zeitschrift für Physik (нем.). 43 (9—10): 601—623. Bibcode:1927ZPhy...43..601P. doi:10.1007/bf01397326.
Peleg, Y. Quantum mechanics / Y. Peleg, R. Pnini, E. Zaarur … [и др.]. — 2nd. — McGraw Hill, 2010. — ISBN 978-0-07-162358-2.
Rae, A.I.M. Quantum Mechanics. — 5th. — Taylor & Francis Group, 2008. — Vol. Volume 2. — ISBN 978-1-5848-89700.
Schrödinger, E. (1926). An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules (PDF). Physical Review. 28 (6): 1049—1070. Bibcode:1926PhRv...28.1049S. doi:10.1103/PhysRev.28.1049. Архивировано (PDF) 17 декабря 2008.
Shankar, R. Principles of Quantum Mechanics. — 2nd. — 1994. — ISBN 978-030644790-7.
Tipler, P. A. Physics for Scientists and Engineers – with Modern Physics / P. A. Tipler, G. Mosca, Freeman. — 6th. — 2008. — ISBN 978-0-7167-8964-2.
Weinberg, S. (2002), The Quantum Theory of Fields, vol. 1, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55001-7 — Internet Archive
Weinberg, S. (2013), Lectures in Quantum Mechanics, Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-02872-2
Wheeler, J.A. Quantum Theory and Measurement / J.A. Wheeler, W.H. Zurek. — Princeton NJ : Princeton University Press, 1983.
Young, H. D. Sears' and Zemansky's University Physics / H. D. Young, R. A. Freedman. — 12th. — Addison-Wesley, 2008. — ISBN 978-0-321-50130-1.
Zettili, N. Quantum Mechanics: Concepts and Applications. — 2nd. — 2009. — ISBN 978-0-470-02679-3.
Zwiebach, Barton. A First Course in String Theory. — Cambridge University Press, 2009. — ISBN 978-0-521-88032-9.
Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. — М.: Сов. Энциклопедия, 1984. — 944 с.
Yong-Ki Kim. Practical Atomic Physics // National Institute of Standards and Technology. — 2000. — 2 сентября. — С. 1 (55 pages). Архивировано 22 июля 2011 года.
Polkinghorne, John. Quantum Theory, A Very Short Introduction (англ.). — Oxford University Press, 2002. — ISBN 978-0-19-280252-1.