Tebranishlar nima

Tebranishlar — vaqt davomida tizim holatining muvozanat nuqtasi atrofida ma’lum darajada takrorlanib turadigan o‘zgarish jarayonidir. Masalan, mayatnik tebranganda uning vertikal yo‘nalishga nisbatan og‘ish burchaklari takrorlanadi; elektr tebranish konturida esa tokning g‘altakdan o‘tish paytidagi kattaligi va yo‘nalishi takrorlanadi.

Tebranishlar deyarli har doim energiyaning bir shakldan boshqa shaklga va aksincha aylanishi bilan bog‘liq.

Fizik tabiati turlicha bo‘lgan tebranishlar ko‘plab umumiy qonuniyatlarga ega va to‘lqinlar bilan chambarchas bog‘liq. Shu sababli mazkur qonuniyatlarni tebranishlar va to‘lqinlar nazariyasi o‘rganadi. To‘lqinlarning asosiy farqi shundaki, ularning tarqalishi energiya ko‘chishi bilan birga kechadi.

Tasniflanishi

Tebranishlarning turlarga ajratilishi tebranish jarayonlari yuz beradigan tizimlar (ossillyatorlar)ning qaysi xususiyatlari asos qilib olinishiga bog‘liq.

Qo‘llaniladigan matematik usullarga ko‘ra

Davriyligiga ko‘ra

Davriy
Kvazidavriy
Davriy bo‘lmagan
Antidavriy

Masalan, davriy tebranishlar quyidagicha ta’riflanadi:

Davriy funksiyalar deb [...] shunday $f (t)$ funksiyalarga aytiladiki, ular uchun biror $τ$ qiymatni topish mumkin va bunda
$f (t + τ) = f (t)$
Bu tenglik istalgan qiymatdagi argument uchun bajariladi: $t$ .Andronov va hammualliflar

Fizik tabiatiga ko‘ra

Mexanik (tovush, vibratsiya)
Elektromagnit (yorug‘lik, radioto‘lqinlar, issiqlik tebranishlari)
Kvant ossillyatori
Aralash turdagi — yuqorida sanab o‘tilgan turlarning kombinatsiyalari

Atrof-muhit bilan o‘zaro ta’sir xususiyatiga ko‘ra

Majburiy — tashqi davriy ta’sir ostida tizimda yuz beradigan tebranishlar. Misollar: daraxt barglarining tebranishi, qo‘lni ko‘tarish va tushirish. Majburiy tebranishlarda rezonans hodisasi yuz berishi mumkin: xususiy chastota tebranish tizimida tashqi ta’sir chastotasiga mos kelganida, tebranish amplitudasi keskin ortadi.
Erkin (yoki xususiy) — tizim muvozanat holatidan chiqarilgach, undagi dastlabki energiya zaxirasi hisobiga yuz beradigan tebranishlardir (haqiqiy sharoitlarda erkin tebranishlar doimo so‘nuvchi bo‘ladi). Erkin tebranishlarga prujinaga mahkamlangan yukning yoki ipga osilgan yukning tebranishlari eng oddiy misol bo‘la oladi.
Avtotebranishlar — tizimda tebranishlarni yuzaga keltirishga sarflanadigan potensial energiya zaxirasi mavjud bo‘lgan tebranishlar (bunday tizimga misol — mexanik soat). Avtotebranishlarning majburiy tebranishlardan muhim farqi shundaki, ularning amplitudasi tashqi ta’sir parametrlariga emas, balki tizimning o‘z xususiyatlariga bog‘liq.
Parametrik — tashqi ta’sir natijasida tebranish tizimining biror parametri o‘zgarganda yuzaga keladigan tebranishlar.

Parametrlari

Amplituda — tebranayotgan kattalikning muvozanat holatidan eng katta og‘ishi, $A$ (m)
Davr — bitta to‘liq tebranish uchun ketadigan vaqt; shu vaqt o‘tgach, tizim holatining muayyan ko‘rsatkichlari takrorlanadi (tizim bir marta to‘liq tebranadi), $T$ (s)
Chastota — vaqt birligidagi tebranishlar soni, $f$ (Gs, s⁻¹).

Tebranish davri $T$ va chastotasi $f$ — bir-biriga teskari kattaliklar:

T = \frac{1}{f}

va

f = \frac{1}{T}

Aylanma yoki siklik jarayonlarda «chastota» tavsifi o‘rniga burchak (siklik) chastotasi $ω$ (rad/s, Gs, s⁻¹) tushunchasi qo‘llanadi. U $2 π$ vaqt birligidagi tebranishlar sonini ko‘rsatadi:

ω = \frac{2 π}{T}

va

T = \frac{2 π}{ω}

Siljish — jismning muvozanat holatidan og‘ishi, $X$ (m)
Tebranish fazasi — istalgan vaqt lahzasidagi siljishni, ya’ni tebranish tizimining holatini belgilaydi.

Qisqacha tarixi

Garmonik tebranishlar XVII asrdan beri ma’lum.

«Relaksatsion tebranishlar» atamasini 1926-yilda van der Pol taklif qilgan. Bu atamani kiritish faqat mazkur tadqiqotchining bunday tebranishlarning barchasi «relaksatsiya vaqti» mavjudligi bilan bog‘liq, deb hisoblaganiga asoslangan edi. Relaksatsiya vaqti degan tushuncha fan rivojining o‘sha tarixiy bosqichida eng tushunarli va keng tarqalgan tushunchalardan biri hisoblangan. Yuqorida tilga olingan bir qancha tadqiqotchilar tavsiflagan yangi turdagi tebranishlarning muhim xususiyati ularning chiziqli tebranishlardan sezilarli darajada farq qilishidir. Bu, avvalo, mashhur Tomson formulasidan chetlanishda namoyon bo‘lgan. Batafsil tarixiy tadqiqot shuni ko‘rsatdiki, van der Pol 1926-yilda o‘zi kashf etgan «relaksatsion tebranishlar» fizik hodisasi Puankare tomonidan kiritilgan «chegaraviy sikl» matematik tushunchasiga mos kelishini hali anglamagan. U buni faqat 1929-yilda A. A. Andronov.

ning maqolasi chop etilganidan keyingina tushungan. Xorijiy tadqiqotchilar sovet olimlari orasida L. I. Mandelshtamning shogirdlari jahon miqyosida shuhrat qozonganini e’tirof etadilar. Ular 1937-yilda chiziqli va nochiziqli tebranishlar haqidagi o‘sha davr bilimlarini umumlashtirgan ilk kitobni nashr etishgan. Biroq sovet olimlari «van der Pol taklif etgan „relaksatsion tebranishlar“ atamasini qo‘llashmagan. Ular Blondel ishlatgan „uzlukli harakatlar“ atamasini afzal ko‘rishgan. Buning sabablaridan biri mazkur tebranishlarni sekin va tez rejimlar orqali tavsiflash niyati bo‘lgan. Bu yondashuv faqat singulyar g‘alayonlar nazariyasi doirasida yetuk shaklga kelgan».

Tebranish tizimlarining asosiy turlariga qisqacha tavsif

Chiziqli tebranishlar

Tebranishlarning muhim turlaridan biri garmonik tebranishlar bo‘lib, ular sinus yoki kosinus qonuni bo‘yicha sodir bo‘ladi. 1822-yilda Furye aniqlaganidek, har qanday davriy tebranishni tegishli funksiyani Furye qatoriga yoyish orqali garmonik tebranishlar yig‘indisi sifatida ifodalash mumkin. Bu yig‘indidagi qo‘shiluvchilar orasida chastotasi eng kichik bo‘lgan garmonik tebranish mavjud. Uning chastotasi asosiy chastota, tebranishning o‘zi esa birinchi garmonika yoki asosiy ton deb ataladi. Qolgan barcha qo‘shiluvchi garmonik tebranishlarning chastotalari asosiy chastotaga karrali bo‘ladi. Bunday tebranishlar yuqori garmonikalar yoki obertonlar deb ataladi: birinchi, ikkinchi va hokazo.

Nochiziqli relaksatsion tebranishlar

Ta’kidlanishicha, van der Pol taklif etgan «to‘satdan sakrash bilan davom etadigan sekin evolyutsiya» (asl nusxada: «slow evolution followed by a sudden jump») degan ta’rif turlicha talqin qilinishning oldini olish uchun yetarli emas. Bunga van der Polning zamondoshlari ham e’tibor qaratishgan.

Shunga qaramay, keyingi ishlarda ham relaksatsion tebranishlar shunga o‘xshash tarzda ta’riflangan. Masalan, Ye. F. Mishchenko va hammualliflar relaksatsion tebranishlarni «davriy harakatlar» deb ataydilar; bunday harakatlar yopiq faza trayektoriyasi bo‘ylab yuz beradi va ularda «faza holatining nisbatan sekin va ravon o‘zgarishlari juda tez, sakrashsimon o‘zgarishlar bilan almashinib turadi». Bundan tashqari, «bunday davriy yechimga ega bo‘lgan singulyar g‘alayonlangan tizim relaksatsion tizim deb ataladi».

A. A. Andronov va hammualliflarning klassik jamoaviy monografiyasida ular alohida ko‘rib chiqilgan va sovet matematika maktabida ko‘proq qabul qilingan «uzlukli tebranishlar» nomi bilan atalgan.

Keyinchalik bu yo‘nalish singulyar g‘alayonlar nazariyasiga aylangan (masalan, qarang).

Adabiyotlar

Kitoblar

↑ Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — 2-е изд., перераб. и испр.. — М.: Наука, 1981. — 918 с.
↑ § 16. Резонансные явления при действии негармонической периодической силы. // Элементарный учебник физики / Под ред. Г.С. Ландсберга. — 13-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. 3. Колебания и волны. Оптика. Атомная и ядерная физика. — С. 41—44.
↑ Мищенко Е. Ф., Колесов Ю. С., Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. — М.: Физматлит, 1995. — 336 с. — 1000 экз. — ISBN 5-02-015129-7.

Maqolalar

↑ Колесов А. Ю. Структура окрестности однородного цикла в среде с диффузией (рус.) // Изв. АН СССР. Сер. матем. : журнал. — 1989. — Т. 53, № 2. — С. 345–362.
↑ Van der Pol. On „relaxation-oscillations“ (англ.) // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical magazine and Journal of Science : журнал. — 1926. — Vol. 2, no. 11. — P. 978–992. — doi:10.1080/14786442608564127.
↑ Van der Pol. Oscillations sinusoïdales et de relaxation (фр.) // Onde Électrique : журнал. — 1930. — N^o 9. — P. 245–256 & 293–312.
1 2 3 4 Ginoux J.-M. and Letellier Ch. Van der Pol and the history of relaxation oscillations: Toward the emergence of a concept (англ.) // Chaos : журнал. — 2012. — Vol. 22. — P. 023120. — doi:10.1063/1.3670008.

Havolalar

Fizika. Katta ensiklopedik lug‘at / Bosh muharrir A. M. Proxorov. — 4-nashr. — M.: Katta Rossiya ensiklopediyasi, 1999. — B. 293—295. ISBN 5-85270-306-0 (BRE)

[b-Andron-1981ru-6] Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — 2-е изд., перераб. и испр.. — М.: Наука, 1981. — 918 с.

[b-Landsberg-2003ru-7] § 16. Резонансные явления при действии негармонической периодической силы. // Элементарный учебник физики / Под ред. Г.С. Ландсберга. — 13-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. 3. Колебания и волны. Оптика. Атомная и ядерная физика. — С. 41—44.

[b-Mishchenko-1995ru-11] Мищенко Е. Ф., Колесов Ю. С., Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. — М.: Физматлит, 1995. — 336 с. — 1000 экз. — ISBN 5-02-015129-7.

[a-Kolesov-1989ru-1] Колесов А. Ю. Структура окрестности однородного цикла в среде с диффузией (рус.) // Изв. АН СССР. Сер. матем. : журнал. — 1989. — Т. 53, № 2. — С. 345–362.

[a-van-der-Pol-1926en-3] Van der Pol. On „relaxation-oscillations“ (англ.) // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical magazine and Journal of Science : журнал. — 1926. — Vol. 2, no. 11. — P. 978–992. — doi:10.1080/14786442608564127.

[a-van-der-Pol-1930fr-4] Van der Pol. Oscillations sinusoïdales et de relaxation (фр.) // Onde Électrique : журнал. — 1930. — N^o 9. — P. 245–256 & 293–312.

[a-Ginoux-2012en-5] 1 2 3 4 Ginoux J.-M. and Letellier Ch. Van der Pol and the history of relaxation oscillations: Toward the emergence of a concept (англ.) // Chaos : журнал. — 2012. — Vol. 22. — P. 023120. — doi:10.1063/1.3670008.