Spin-orbital o‘zaro ta’sir

Spin-orbital o‘zaro ta’sir — kvant fizikasida harakatlanayotgan zarracha bilan uning o‘ziga xos magnit momenti o‘rtasidagi, zarrachaning spini bilan bog‘liq o‘zaro ta’sirdir. Bunday ta’sirning eng ko‘p uchraydigan misoli — elektronning atomdagi orbitalardan biri bo‘ylab harakati bilan o‘z spini orasidagi ta’siridir. Bu ta’sir, xususan, nozik tuzilma — elektronning energiya spektridagi xususiyat — paydo bo‘lishiga va atomning spektroskopik chiziqlari ajralishiga olib keladi.

Spin-orbital o‘zaro ta’sir gamiltonianini keltirib chiqarish

Spin-orbital o‘zaro ta’sir relyativistik hodisa hisoblanadi. Shu sababli bu ta’sirga mos gamiltonian hadini keltirib chiqarishda Dirak tenglamasidan foydalanish kerak. Bunda tashqi elektromagnit maydonning vektor potensiali A va skalyar potensiali φ gamiltonianda hisobga olinadi. Buning uchun Lagranj formalizmiga muvofiq Dirak tenglamasida quyidagi almashtirishlarni bajarish lozim: $\mathbf {p} \to \mathbf {p} -(e/c)\mathbf {A}$ va $E\to E+e\varphi .$ Natijada Dirak tenglamasi quyidagi ko‘rinishni oladi: $i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left[c{\boldsymbol {\alpha }}\left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)+\beta mc^{2}+e\varphi \right]\psi ,$ bu yerda $\beta ={\begin{pmatrix}\mathbf {1} &0\\0&-\mathbf {1} \end{pmatrix}},\ {\boldsymbol {\alpha }}={\begin{pmatrix}0&{\boldsymbol {\sigma }}\\{\boldsymbol {\sigma }}&0\end{pmatrix}},$ va $\sigma _{i}$ — Pauli matritsalari: $\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad \mathbf {1} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.$

Ushbu gamiltoniandan ko‘rinadiki, to‘lqin funksiyasi ψ to‘rtta komponentdan iborat bo‘lishi kerak. Ma’lumki, uning ikkita komponenti musbat energiyali yechimlarga, yana ikkitasi esa manfiy energiyali yechimlarga mos keladi. Magnit hodisalarni o‘rganishda manfiy energiyali yechimlarning ahamiyati kichik, chunki kovaklar manfiy energiya spektrida pozitronlarga mos keladi. Ularni hosil qilish uchun taxminan $mc^{2}$ energiya talab etiladi. Bu esa magnit hodisalar bilan bog‘liq energiyadan ancha katta. Shu sababli kanonik Foldi–Vautxayzen almashtirishidan foydalanish qulay. Bu almashtirish Dirak tenglamasini ikkita ikki komponentli tenglamaga ajratadi. Ulardan biri manfiy energiyali, ikkinchisi musbat energiyali yechimlarni ifodalaydi. Musbat energiyali yechimning gamiltoniani quyidagi ko‘rinishga ega:

{\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\left[mc^{2}+{\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}\right]+e\varphi -{\frac {e\hbar }{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {H} +\\&+\left\{-i{\frac {e\hbar ^{2}}{8m^{2}c^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \times \mathbf {E} -{\frac {e\hbar }{4m^{2}c^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {E} \times \mathbf {p} \right\}-{\frac {e\hbar ^{2}}{8m^{2}c^{2}}}{\nabla }\cdot \mathbf {E} .\end{aligned}}

Jingalak qavslar ichidagi hadlar spin-orbital o‘zaro ta’sirni ifodalaydi. Xususan, elektr maydoni markaziy simmetriyaga ega bo‘lsa, quyidagi tenglik o‘rinli: $\nabla \times \mathbf {E} =0$ , spin-orbital o‘zaro ta’sir gamiltoniani esa quyidagi ko‘rinishni oladi: ${\mathcal {H}}_{\text{so}}=-{\frac {e\hbar }{4m^{2}c^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {E} \times \mathbf {p} ={\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {r} \times \mathbf {p} ={\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {L} ,$ bu yerda $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ — elektronning orbital impuls momenti operatori.

Ushbu natija elektron spinining uning orbital harakati tufayli yuzaga keladigan maydon bilan o‘zaro ta’sirini tavsiflovchi klassik ifodaga mos keladi. Buni tushuntiramiz.

Atomdagi elektron uchun spin-orbital o‘zaro ta’sir energiyasining klassik ifodasi

Elektron v tezlik bilan tekis va to‘g‘ri chiziqli harakatlanayotgan bo‘lsin. U 1-koordinatalar sistemasining boshida joylashgan yadro hosil qiladigan Kulon maydonida harakatlanadi: $e\mathbf {E} =-{\frac {\mathbf {r} }{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}.$ Harakatlanayotgan elektron bilan bog‘liq 2-koordinatalar sistemasida kuzatuvchi harakatlanayotgan yadroni ko‘radi. Bu yadro elektr va magnit maydonlarni hosil qiladi; ularning kuchlanganliklari mos ravishda E' va H' bilan belgilanadi. Nisbiylik nazariyasiga ko‘ra, E' va H' kattaliklari Е bilan quyidagi munosabatlar orqali bog‘langan: $\mathbf {E} '=\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} '\approx -{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{mc}}\mathbf {p} \times \mathbf {E} ,$ bu yerda quyidagi tartibdagi hadlar hisobga olinmagan: $v^{2}/c^{2}.$

U holda spinning impuls momenti $\mathbf {S} ={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}$ (Ulenbek–Gaudsmit gipotezasiga ko‘ra, giromagnit nisbat orqali magnit moment ${\boldsymbol {\mu }}$ bilan quyidagicha bog‘langan: ${\frac {|{\boldsymbol {\mu }}|}{|\mathbf {S} |}}={\frac {|e|}{mc}}$ ) uchun 2-koordinatalar sistemasidagi o‘zgarish tenglamasi quyidagicha bo‘ladi: ${\frac {d\mathbf {S} }{dt}}=\mu \times \mathbf {H} '=-{\frac {e\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\times [\mathbf {p} \times \mathbf {E} ].$

Bu tenglama elektron spinining elektromagnit maydon bilan o‘zaro ta’siriga mos keladi. Ushbu ta’sir quyidagi gamiltonian bilan tavsiflanadi: ${\mathcal {H}}'_{\text{so}}={\frac {e\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} \times \mathbf {E} .$

Shuni ta’kidlash kerakki, bu gamiltonianning ko‘rinishi 1/2 ko‘paytuvchigacha bo‘lgan aniqlikda Dirak tenglamasidan Foldi–Vautxayzen almashtirishi yordamida olingan gamiltonianning spin-orbital qismiga mos keladi. Mazkur ko‘paytuvchining yo‘qligi shundaki, elektron magnit momentining o‘zgarish tenglamasi faqat 2-koordinatalar sistemasi aylanmaydigan bo‘lsagina to‘g‘ri bo‘ladi. Aks holda bu tenglama Tomas pretsessiyasi tufayli quyidagi ko‘rinishga ega bo‘lishi kerak: ${\frac {d\mathbf {S} }{dt}}={\frac {e\hbar }{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\times \mathbf {H} '-\omega _{\text{T}}\times \mathbf {S} ,$ bu yerda $\omega _{\text{T}}$ — Tomas pretsessiyasiga xos aylanishning burchak tezligi.

Atomda elektron ekranlangan Kulon maydoni ta’sirida tezlanish oladi. Shu sababli Tomas pretsessiyasining burchak tezligi quyidagi munosabat bilan ifodalanadi: $\omega _{\text{T}}\approx {\frac {1}{2m^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}[\mathbf {r} \times \mathbf {p} ].$

Shunday qilib, spin-orbital o‘zaro ta’sir gamiltoniani quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi: ${\begin{aligned}{\mathcal {H}}_{\text{so}}&={\frac {\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {dV}{dr}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {r} \times \mathbf {p} -{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {r} \times \mathbf {p} =\\[1ex]&={\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {r} \times \mathbf {p} ,\end{aligned}}$ bu esa avval olingan natijaga aynan mos keladi.

Qattiq jismda

Yarimo‘tkazgichlarda spin-orbital o‘zaro ta’sirni tavsiflovchi modellar — Rashba gamiltoniani va Dresselxauz gamiltoniani.

Adabiyotlar

Stepanov N. F. Kvant mexanikasi va kvant kimyosi. — M.: Mir, 2001. — B. 391—398. — 519 b. — 5000 nusxa. — ISBN 5-03-003414-5.
Borisenko Viktor Yevgenyevich, Danilyuk Aleksandr Leonidovich, Migas Dmitriy Borisovich. Spintronika : o‘quv qo‘llanma. — 2-nashr. — M.: «Laboratoriya znaniy», 2021. — 232 b. — ISBN 978-5-93208-558-5.
Uayt R. Magnetizmning kvant nazariyasi / Ingliz tilidan tarjima. — 2-nashr, tuzatilgan va to‘ldirilgan. — M.: Mir, 1985. — 304 b.
Byorken J. D., Drell S. D. Relyativistik kvant nazariyasi. 2-jild. — IO NFMI, 2000. — 296 b.
Jekson J. Klassik elektrodinamika. — M.: Mir, 1965. — 703 b.