de Broyl to‘lqini nima

De Broyl to‘lqini — ehtimollik to‘lqini (yoki ehtimollik amplitudasi to‘lqini) bo‘lib, ehtimollik zichligini belgilaydi, ya’ni obyektning berilgan konfiguratsion fazo oralig‘ida aniqlanish ehtimolligini ifodalaydi. Qabul qilingan atamashunoslikka ko‘ra, de Broyl to‘lqinlari har qanday zarralar bilan bog‘liq bo‘lib, ularning to‘lqin tabiatini aks ettiradi.

Faqat yorug‘lik kvantlari emas, balki massaga ega zarralar bilan ham bog‘liq to‘lqinlar haqidagi g‘oyani Lui de Broyl 1923—1924-yillarda ilgari surgan va bu de Broyl gipotezasi deb ataladi. Garchi to‘lqin amplitudasi modulining kvadratini konfiguratsion fazodagi ehtimollik zichligi sifatida talqin qilish g‘oyasi Maks Bornga tegishli bo‘lsa-da, an’anaga ko‘ra va fransuz fizigining xizmatlarini e’tirof etish maqsadida ular de Broyl to‘lqinlari deb ataladi.

De Broyl to‘lqinlari haqidagi g‘oya zarralarning to‘lqin xususiyatlari qaysi miqyoslarda namoyon bo‘lishini taxminiy baholash uchun foydalidir. Biroq u fizik voqelikning barcha jihatlarini aks ettirmagani sababli kvant mexanikasining matematik apparatiga asos bo‘la olmaydi. Kvant mexanikasida bu vazifani de Broyl to‘lqinlari o‘rniga to‘lqin funksiyasi, kvant maydon nazariyasida esa maydon operatorlari bajaradi.

Fotonlar va massaga ega zarralarning zarracha-to‘lqin dualizmi

Atomlar, molekulalar va ularning birikmalari, xususan kristallar, shuningdek atom yadrolari hamda elementar zarralar kabi obyektlar kvant mexanikasida o‘rganiladi. Kvant hodisalari xarakterli ta’sir kattaligi (xarakterli energiya bilan xarakterli vaqt yoki xarakterli impuls bilan xarakterli masofa ko‘paytmasi) $ℏ$ (Plank doimiysi) bilan taqqoslanadigan bo‘lganda muhim ahamiyat kasb etadi. Agar zarra vakuumdagi yorug‘lik tezligi $c$ dan ancha kichik tezlikda harakatlansa, norelyativistik kvant mexanikasi qo‘llanadi; yorug‘lik tezligiga yaqin tezliklarda esa, ya’ni $c$ , — relyativistik kvant mexanikasi qo‘llanadi.

Quyidagi qarashlar kvant mexanikasining asosini tashkil etadi: Plank tomonidan ilgari surilgan energiyaning diskret o‘zgarishi, jumladan, atomlar energiyasi haqidagi tasavvurlar, Eynshteynning fotonlar haqidagi qarashlari, shuningdek mikrodunyo zarralarining muayyan sharoitdagi holatini tavsiflovchi ayrim fizik kattaliklar (masalan, impuls va energiya) kvantlanishiga doir ma’lumotlar. Shu bilan birga, yorug‘lik nafaqat zarralar oqimi, balki to‘lqin sifatida ham namoyon bo‘lishi, ya’ni uning zarracha-to‘lqin dualizmiga ega ekanligi qat’iy isbotlangan.

De Broyl fotonlar uchun aniqlangan to‘lqin tarzida tarqalish xususiyati universal ekanligi haqidagi g‘oyani ilgari surdi. Bu xususiyat impulsga ega har qanday zarrada namoyon bo‘lishi kerak, bunda impuls $p$ . Impulsi chekli bo‘lgan barcha zarralar, ya’ni impulsi $p$ bo‘lgan zarralar to‘lqin xususiyatlariga ega bo‘lib, xususan interferensiya va difraksiyaga uchraydi.

De Broyl to‘lqinlarining tabiati

De Broyl to‘lqinlari klassik fizikada o‘rganiladigan to‘lqinlarga o‘xshamaydigan o‘ziga xos tabiatga ega: muayyan nuqtadagi de Broyl to‘lqini amplitudasining kvadrati zarra shu nuqtada aniqlanishi ehtimolligining o‘lchovidir. Tajribalarda kuzatiladigan difraksion manzaralar statistik qonuniyatning namoyon bo‘lishidir. Unga ko‘ra, zarralar qabul qilgichlarning muayyan joylariga, ya’ni de Broyl to‘lqini intensivligi eng katta bo‘lgan joylarga kelib tushadi. Statistik talqinga ko‘ra, «ehtimollik to‘lqini» amplitudasi modulining kvadrati nolga teng bo‘lgan joylarda zarralar aniqlanmaydi.

De Broyl formulalari

De Broyl formulasi harakatlanayotgan modda zarrasiga mos keluvchi to‘lqin uzunligi $λ$ ning zarra impulsi $p$ ga, shuningdek to‘liq energiya $E$ ning chastota $ν$ ga bog‘liqligini relyativistik invariant munosabatlar shaklida ifodalaydi:

λ = \frac{h}{p},

E = h ν,

bu yerda $h$ — Plank doimiysi.

De Broyl formulalarining boshqa ko‘rinishi:

𝐩 = \frac{h}{2 π} 𝐤 = ℏ 𝐤,

E = ℏ ω,

bu yerda $𝐤 = \frac{2 π}{λ} 𝐧$ — to‘lqin vektori, uning moduli $k = \frac{2 π}{λ}$ — to‘lqin soni, ya’ni $2 π$ uzunlik birligiga sig‘adigan to‘lqin uzunliklari soni; $ω = 2 π ν$ — burchak chastotasi; $𝐧$ — to‘lqin tarqalish yo‘nalishidagi birlik vektor; $ℏ = \frac{h}{2 π} \approx 1,05 \cdot 1 0^{- 34}$ Дж·с.

To‘liq energiya $E = E_{K} + m_{0} c^{2}$ kinetik energiya $E_{K}$ va tinchlik energiyasi $E_{0} = m_{0} c^{2}$ yig‘indisidan iborat bo‘lib, ular orqali quyidagicha ifodalanadi:

$λ = \frac{h}{p} = \frac{h c}{\sqrt{[E_{K} (E_{K} + 2 m_{0} c^{2})]}},$

bu yerda $h c$ = 1240 эВ×нм; $m_{0} c^{2}$ qiymati foton va boshqa massasiz zarralar uchun 0 ga, $m_{e} c^{2} =$ 511 кэВ (elektron uchun) va $m_{p} c^{2} =$ 938 МэВ (proton uchun) ga teng.

Norelyativistik chegara

Relyativistik chegaradan ancha past energiyali, tezligi $v ≪ c$ (yorug‘lik tezligi) shartini qanoatlantiradigan zarralar uchun impuls $p = m v$ bilan ifodalanadi (bu yerda $m$ — zarraning tinchlikdagi massasi), kinetik energiya $W = E - m c^{2}$ esa $W = \frac{m v^{2}}{2}$ formulasi orqali ifodalanadi. U holda de Broyl to‘lqin uzunligi:

λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v} = \frac{h}{\sqrt{2 m W}} .

Xususan, potensiallar farqi $Δ φ$ (voltlarda) bo‘lgan elektr maydonida tezlashtirilgan elektron uchun:

λ = \frac{12,25}{\sqrt{Δ φ}} Å .

O‘ta relyativistik chegara

Tezligi yorug‘lik tezligiga yaqin bo‘lgan o‘ta relyativistik zarralar uchun, $v \to c, E ≫ m c^{2}$ , to‘lqin uzunligi quyidagiga teng: $λ = \frac{h c}{E}$ .

4-vektorlar uchun de Broyl formulalari

To‘rt o‘lchamli ko‘rinishda de Broyl formulalari energiya-impuls to‘rt vektorini $p^{μ}$ to‘rt o‘lchamli to‘lqin vektori bilan bog‘laydi va quyidagi shaklga ega:

p^{μ} = (\begin{matrix} p_{0} \\ p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{E}{c} \\ p_{x} \\ p_{y} \\ p_{z} \end{matrix}) = ℏ (\begin{matrix} \frac{ω}{c} \\ k_{x} \\ k_{y} \\ k_{z} \end{matrix}) .

Har qanday moddiy obyektning energiyasi bilan impulsi quyidagi munosabat orqali bog‘langan:

\frac{E^{2}}{c^{2}} = m^{2} c^{2} + p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2} .

Chastota bilan to‘lqin vektori ham xuddi shunday munosabat orqali bog‘langan:

\frac{ω^{2}}{c^{2}} = \frac{m^{2} c^{2}}{ℏ^{2}} + k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2},

bu yerda $\frac{m c}{ℏ}$ — Kompton to‘lqin soni, ya’ni keltirilgan Kompton to‘lqin uzunligining teskarisi $\frac{λ_{C}}{2 π} .$

De Broyl to‘lqinlarining fazaviy va guruh tezligi

Fazaviy tezlik — erkin zarraning de Broyl to‘lqinlari uchun quyidagicha aniqlanadi:

v_{f} = \frac{ω}{k} = \frac{E}{p} = \frac{m c^{2}}{m v} = \frac{c^{2}}{v} ≃ \frac{c^{2}}{h} m λ = \frac{c^{2} p^{2}}{2 W h} λ .

Oxirgi munosabatlar norelyativistik yaqinlashuvdir. De Broyl to‘lqinlarining fazaviy tezligi to‘lqin uzunligiga bog‘liq ekanligi bu to‘lqinlarda dispersiya kuzatilishini ko‘rsatadi. De Broyl to‘lqinining fazaviy tezligi $v_{f}$ yorug‘lik tezligidan katta bo‘lsa-da, bu kattalik prinsip jihatidan axborot uzata olmaydi (u faqat matematik tushunchadir).

Guruh tezligi — de Broyl to‘lqinining harakat tezligi $u$ zarra tezligi bilan bir xil, ya’ni $v$ :

u = \frac{d ω}{d k} = \frac{d E}{d p} = v

.

Tasviriy tushuntirish

Massasi $m$ bo‘lgan, inersial sanoq sistemasida $x^{'}, c t^{'}$ , 4-o‘lchamli Minkovskiy fazosining psevdoevklid tekisligida tinch turgan zarraning o‘z sanoq sistemasi shartli qo‘zg‘almas sistemaga nisbatan $V$ tezlikda siljiydi; shartli qo‘zg‘almas sistemaning koordinatalari $x, c t$ bo‘lib, harakat $x$ o‘qining musbat yo‘nalishi bo‘ylab sodir bo‘ladi. Zarrani fazoning istalgan joyida aniqlashning kvant-mexanik ehtimollik amplitudasi hamma joyda bir xil, biroq faza vaqt funksiyasidir:

a e^{(- i ω_{0}) t^{'}}

,

bu yerda: $ω_{0} = \frac{E_{0}}{ℏ} = \frac{m c^{2}}{ℏ} = \frac{2 π \cdot c}{λ_{C}}$ ;

Bu yerda: $ω_{0}$ — fazaning o‘zgarish chastotasi;

E_{0}

— tinch turgan zarraning energiyasi;

ℏ = \frac{h}{2 π}

— keltirilgan Plank doimiysi:

c

— yorug‘lik tezligi;

λ_{C} = \frac{h}{m c}

— Kompton to‘lqin uzunligi — massasi

m

.

bo‘lgan tinch turgan zarraga tegishli. Rasmda quyidagilar belgilangan: $λ_{C} = O^{'} A_{1}$ . Bu sistemadagi teng fazali chiziqlar vaqt o‘qining nuqtalaridan fazoviy o‘qqa parallel o‘tkazilgan bir vaqtlilik chiziqlaridir: $x^{'}$ . Mazkur chiziqlar to‘lqin funksiyasi bilan ifodalanadigan yassi to‘lqinni tashkil etadi:

ψ_{(x^{'}, t^{'})} = a e^{(- i ω_{0}) t^{'}} = a e^{(- i / ℏ) E_{0} t^{'}}

;

1-rasmda $A_{1}$ va $A_{2}$ nuqtalardan o‘tkazilgan faqat ikkita teng fazali chiziq ko‘rsatilgan. Bu nuqtalarda ehtimollik amplitudasining fazasi boshlang‘ich deb olingan $O^{'}$ nuqtadagi fazaga teng. Shtrixsiz $x, c t$ sanoq sistemasida zarrani muayyan nuqtada aniqlash ehtimolligi amplitudasining fazasi endi faqat vaqtning emas, balki fazoning ham funksiyasidir.

Shtrixli $x^{'}, c t^{'}$ sistemaning teng fazali chiziqlari shtrixsiz $x, c t$ sistemaning vaqt va fazo o‘qlarini kesib o‘tadi hamda ularning har birini teng kesmalarga ajratadi.

Ehtimollik amplitudasining fazasi invariant kattalikdir. Agar shtrixli sanoq sistemasidagi fazo-vaqt nuqtalari $C_{1}$ va $B_{1}$ da faza $2 π$ ning butun sonli karrasi miqdorida $O^{'}$ nuqtadagi fazadan farq qilsa, shtrixsiz sistemada ham bu nuqtalardagi fazalar xuddi shunday $2 π$ miqdorga farq qilishi kerak. Bundan $c t$ va $x$ o‘qlaridagi kesmalar fazo va vaqtdagi to‘lqin uzunliklarini ifodalashi kelib chiqadi.

Relyativistik yondashuvga muvofiq, Lorens almashtirishlarini qo‘llasak, rasmdan quyidagi natija kelib chiqadi:

O C_{1} = O^{'} A_{1} \sqrt{1 - (V / c)^{2}} = c T = λ_{C} \sqrt{1 - (V / c)^{2}}

,

bu yerda: $T$ — shtrixsiz sistemada faza o‘zgarishining davri. Ushbu tengliklar zanjirining oxirgi tengligidan quyidagisi kelib chiqadi:

E = ℏ ω

,

bu yerda: $ω$ — faza o‘zgarishining burchak chastotasi, ko‘rilayotgan sanoq sistemasi $x, c t$ ;

E = m c^{2} / \sqrt{1 - (v / c)^{2}}

— zarraning to‘liq energiyasi, ko‘rilayotgan sanoq sistemasi

x, c t

;

Bu yerda zarraning tezligi $v$ zarra tinch turgan shtrixli sistemaning siljish tezligi $V$ ga teng ekani hisobga olingan.

Quyidagi $O B_{1} C_{1}$ uchburchagidan, $t g α = \frac{V}{c}$ ekanini hamda $v = V$ ni hisobga olsak, quyidagini olamiz:

B_{1} O = \frac{λ_{C} \sqrt{1 - (v / c)^{2}}}{t g α} = \frac{h}{p} = λ

,

bu yerda: $λ$ — de Broyl to‘lqinining uzunligi;

p

— zarraning impulsi.

De Broyl to‘lqini ehtimollik amplitudasi fazasining $x, c t$ sistemasidagi ifodasini shtrixli sistemadan shtrixsiz sistemaga o‘tishda vaqt uchun Lorens almashtirishini qo‘llab olish mumkin:

t^{'} = \frac{t - (V / c^{2}) x}{\sqrt{1 - (V / c)^{2}}}

;

Vaqtning $t^{'}$ o‘rniga $t$ ni qo‘yib, shtrixli sanoq sistemasidagi amplituda ifodasidan quyidagini olamiz:

a e^{(- i / ℏ) E_{0} t^{'}} = a e^{- (i / ℏ) [(E_{0} t / \sqrt{1 - (V / c)^{2}}) - (E_{0} V x / c^{2} \sqrt{1 - (V / c)^{2}})]}

;

Zarraning to‘liq energiyasi $E = E_{0} / \sqrt{1 - (v / c)^{2}}$ va uning impulsi $p = E_{0} v / c^{2} \sqrt{1 - (v / c^{2}}$ ni almashtirish natijasida olingan faza ifodasi bilan moslashtirib, $v = V$ ekanini hisobga olsak, de Broyl to‘lqini amplitudasining formulasi quyidagicha yoziladi:

a e^{- (i / ℏ) [E t - p x]}

;

To‘lqinning fazaviy tezligi — fazasi doimiy nuqtalarning ko‘chish tezligi (masalan, 1-rasmda bir xil fazaning $B_{1}$ nuqtadan $C_{1}$ nuqtaga o‘tishi) bevosita quyidagi uchburchak yordamida aniqlanadi — $O B_{1} C_{1}$ :

v_{f} = \frac{c^{2}}{v}

;

Monoxromatik to‘lqin — de Broyl to‘lqini quyidagi munosabatlar bilan tavsiflanadi: $Δ x = \infty$ va $Δ p = 0$ . Demak, bunday to‘lqin obyektining impulsi aniq belgilangan, joylashish sohasi esa mutlaqo noaniqdir. Fazoning barcha nuqtalarida zarrani aniqlash ehtimolligi amplitudasi bir xil deyilganda aynan shu nazarda tutiladi.

Hodisa, ya’ni zarracha-to‘lqin dualizmi, materiyaning barcha turlariga xos, ammo turli darajada namoyon bo‘ladi. Massasi $m = 1 0^{- 5}$ g bo‘lgan va $v = 1$ m/s tezlikda harakatlanayotgan zarraga to‘lqin uzunligi $λ = 6,6 \cdot 1 0^{- 22}$ sm bo‘lgan de Broyl to‘lqini mos keladi. Bunday to‘lqin uzunliklari kuzatish mumkin bo‘lgan diapazondan tashqarida yotadi. Shu sababli makroskopik jismlar mexanikasida to‘lqin xususiyatlari ahamiyatsiz deb hisoblanadi va inobatga olinmaydi.

Zarra tezligining to‘lqin uzunligiga bog‘liqligi

Zarra tezligining de Broyl to‘lqini uzunligiga bog‘liq holda o‘zgarish mexanizmi quyidagicha.

Zarra tinch turgan shtrixli (o‘z) sanoq sistemasining siljish tezligi ortganda, ushbu sistemaning koordinata o‘qlari qaychi tig‘lari singari $O^{'}$ bosh nuqta atrofida aylanib, shtrixsiz sistema o‘qlarining musbat yo‘nalishlari hosil qilgan kvadrant bissektrisasiga tomon buriladi. $A_{1}$ nuqta (1-rasm) — vaqt o‘qi $c t^{'}$ bilan invariant (birlik) giperbola $λ_{C}^{2} = c^{2} t^{2} - x^{2}$ ning kesishish nuqtasi bo‘lib, u shtrixli sistemadagi $λ_{C}$ uzunlikni belgilaydi. Bu nuqta kvadrant bissektrisasiga cheksiz yaqinlashadi; $x$ va $c t$ koordinatalari esa cheksiz musbat qiymatlarga intiladi. Shu nuqtadan o‘tkazilgan bir vaqtlilik chizig‘i (teng fazali chiziq) ham bissektrisaga yaqinlashadi. Uning $B_{1}$ nuqtasi, ya’ni chiziqning $x$ o‘qi bilan kesishish nuqtasi, O bosh nuqtaga intiladi. Shunday qilib, $v = V \to c$ bo‘lganda to‘lqin uzunligi $λ \to 0$ , zarra impulsi esa $p = m v / \sqrt{1 - (v / c)^{2}} \to \infty$ .

Zarraning o‘z sanoq sistemasining siljish tezligi kamayganda, koordinata o‘qlari qaychi tig‘lari singari kvadrant bissektrisasidan uzoqlashadi. Bunda $α$ burchak, ya’ni $c t^{'}$ o‘qining $c t$ o‘qiga va $x^{'}$ o‘qining $x$ o‘qiga nisbatan og‘ish burchagi nolga intiladi. $A_{1}$ nuqta — birlik giperbolaning shtrixli sistema vaqt o‘qi bilan kesishish nuqtasi — $A$ nuqtaga yaqinlashadi. Shu bilan birga $A_{1}$ nuqtadan o‘tkazilgan shtrixli sistemaning teng fazali chizig‘i $x$ o‘qiga parallellashadi, $B_{1}$ nuqta — ushbu chiziqning $x$ o‘qi bilan kesishgan nuqtasi — $x$ o‘qining manfiy yo‘nalishida cheksizlikka intiladi. Demak, $v = V \to 0$ bo‘lganda to‘lqin uzunligi $λ \to \infty$ , zarra impulsi esa $p \to 0$ . Bunday chegaraviy holatda ehtimollik amplitudasining fazasi faqat vaqtga bog‘liq bo‘ladi. To‘lqin parametri esa Kompton to‘lqin uzunligidir: $λ_{C} = O A$ .

Har ikkala chegaraviy holat natijalarini umumlashtirib, zarra to‘lqin uzunligi va impulsining ko‘paytmasi $(0 \cdot \infty)$ va $(\infty \cdot 0)$ ko‘rinishidagi noaniqliklarni hosil qilganda quyidagini ta’kidlash mumkin: $λ \cdot p = c o n s t$ . Bu de Broyl munosabatida ham tasdiqlanadi: $λ = \frac{h}{p}$ .

Tajriba orqali tekshirish

De Broyl gipotezasi quyidagi tajribalarni tushuntiradi; ularni klassik fizika doirasida izohlash mumkin emas:

Davisson — Jermer tajribasi — nikel kristallarida elektronlar difraksiyasini kuzatish tajribasi.
J. P. Tomson tajribasida elektronlar difraksiyasi yupqa metall folgada kuzatilgan.
Ramzauer effekti — kichik energiyali elektronlarning argon atomlarida sochilish kesimi anomal ravishda kamayishi.
Difraksiya neytronlarda ham kristallarda kuzatilgan (tajribalar: G. Xalban, P. Praysverk va D. Mitchell).

Makroskopik jismlarda to‘lqin xususiyatlari namoyon bo‘lmaydi. Bunday jismlarning de Broyl to‘lqin uzunliklari shu qadar kichikki, ularning to‘lqin xususiyatlarini aniqlash imkonsiz. Shunga qaramay, kvant effektlarini makroskopik miqyosda ham kuzatish mumkin. Buning yorqin misollari o‘ta o‘tkazuvchanlik va o‘ta oquvchanlik.

Adabiyotlar

Feynman R., Leyton R., Sends M. Feynman fizika ma’ruzalari. 3–4-sonlar. — 3-nashr. — M.: Mir, 1976. — 496 b.
www.e-libra.su/read/464761-tom-3-kvantovaya-mehanika.html# — Richard Fillips Feynman. 3-jild. Kvant mexanikasi, onlayn o‘qish. 5-bob, 1-§, 2-§.

Havolalar

De Broyl to‘lqinlari / «Kvant mexanikasi asoslari» ma’ruzasi
De Broyl munosabati // «Elementlar»