Burchak tezligi — vektor fizik kattalik, u aylanayotgan moddiy nuqta yoki mutlaq qattiq jismning aylanish o‘qiga nisbatan aylanish tezligi va yo‘nalishini tavsiflaydi. Burchak tezligining moduli aylanma harakatda oniy aylanish burchak chastotasiga teng bo‘ladi, uning yo‘nalishi esa aylanish tekisligiga perpendikulyar bo‘lib, aylanish yo‘nalishi bilan o‘ng vint qoidasi orqali bog‘lanadi. Aniqrog‘i, burchak tezligi psevdovektor (aksial vektor) sifatida ifodalanadi va uni antisimmetrik tenzor shaklida ham tasvirlash mumkin.

Uch o‘lchamli fazoda burchak tezligi vektorining kattaligi nuqtaning aylanish markazi atrofida birlik vaqt ichida amalga oshirgan burchak burilishiga teng:

${\displaystyle \omega =\frac{d\phi }{dt},}$

Vektorning yo‘nalishi esa aylanish o‘qi bo‘ylab parma qoidasiga muvofiq belgilanadi, ya’ni u parma yoki vint o‘ng rezbali bo‘lib, shu tomonga aylantirilganda ichkariga kiradigan yo‘nalishga mos keladi. Aylanish yo‘nalishi bilan burchak tezligi vektorining yo‘nalishi o‘rtasidagi bog‘liqlikni eslab qolishning boshqa usuli ham bor: aylanish markazidan chiquvchi burchak tezligi vektorining uchida turgan xayoliy kuzatuvchiga aylanish soat miliga teskari yo‘nalishda sodir bo‘layotgandek ko‘rinadi.

Burchak tezligi aksial vektor (psevdovektor) hisoblanadi. Koordinatalar tizimining o‘qlari aks ettirilganda oddiy vektorning (masalan, nuqtaning radius-vektori) komponentlari ishorasini o‘zgartiradi. Biroq bunday koordinata almashtirishida psevdovektorning (xususan, burchak tezligining) komponentlari o‘zgarishsiz qoladi.

Burchak tezligining o‘lchov birligi Xalqaro birliklar tizimi (SI), SGS va MKGS tizimlarida, — radian/soniya (ruscha belgilanishi: rad/s, xalqaro belgilanishi: rad/s). Texnikada, shuningdek, soniyadagi aylanishlar soni ishlatiladi, ancha kam hollarda esa yoy graduslari, minutlari va sekundlari soniyada, gradlar soniyadagi miqdorlari qo‘llanadi. Texnikada ko‘pincha minutiga aylanishlar sonidan foydalaniladi. Bu an’ana sekin aylanuvchi bug‘ mashinalarining aylanish chastotasi oddiy ko‘z bilan, birlik vaqt ichidagi aylanishlar sonini sanash orqali aniqlangan davrlardan qolgan.

Aylanayotgan mutlaq qattiq jismning burchak tezligi ${\displaystyle \overrightarrow{\omega }}$ bo‘lsa, istalgan nuqtasining oniy tezlik vektori quyidagi formula bilan aniqlanadi:

${\displaystyle \overrightarrow{v}=[\overrightarrow{\omega },\overrightarrow{r}],}$

bu yerda ${\displaystyle \overrightarrow{r}}$ — jismning aylanish o‘qida joylashgan koordinatalar boshidan shu nuqtagacha bo‘lgan radius-vektor, kvadrat qavslar esa vektor ko‘paytmani bildiradi. Nuqtaning aylanish o‘qidan masofasi (radiusi) ${\displaystyle r}$ bo‘lganda, uning chiziqli tezligini (tezlik vektorining modulini) quyidagicha hisoblash mumkin: ${\displaystyle v=\omega r.}$ Agar radian o‘rniga boshqa burchak o‘lchov birliklari qo‘llansa, so‘nggi ikki formulada birga teng bo‘lmagan ko‘paytuvchi paydo bo‘ladi.

• Tekislikda aylanish holatida, ya’ni jism nuqtalari tezliklarining barcha vektorlari doimo bitta tekislikda («aylanish tekisligi»da) yotganda, jismning burchak tezligi shu tekislikka doimo perpendikulyar bo‘ladi. Shu sababli, agar aylanish tekisligi oldindan ma’lum bo‘lsa, burchak tezligini skalyar kattalik — uning aylanish o‘qiga, ya’ni aylanish tekisligiga ortogonal to‘g‘ri chiziqqa proyeksiyasi bilan almashtirish mumkin. Bunday vaziyatda aylanish kinematikasi ancha soddalashadi. Ammo umumiy holda burchak tezligi vaqt o‘tishi bilan uch o‘lchamli fazoda o‘z yo‘nalishini o‘zgartirishi mumkin, shuning uchun bunday soddalashtirilgan tasvir yaramaydi.
• Burchak tezligi vektori doimiy bo‘lgan harakat tekis aylanma harakat deb ataladi (bunda burchak tezlanishi nolga teng). Tekis aylanish tekislikda aylanishning xususiy holatidir.
• Burchak tezligining hosilasi vaqt bo‘yicha olinib, burchak tezlanishini beradi.
• Burchak tezligi (erkin vektor sifatida qaralganda) barcha inersial sanoq sistemalarida bir xil bo‘ladi. Bu sistemalar sanoq boshining joylashuvi va harakat tezligi bilan farq qiladi, biroq bir-biriga nisbatan bir tekis, to‘g‘ri chiziq bo‘ylab va ilgarilanma harakat qiladi. Shu bilan birga, ushbu inersial sanoq sistemalarida ayni bir jismning ayni bir vaqtdagi aylanish o‘qi yoki markazining joylashuvi farq qilishi mumkin (ya’ni burchak tezligining «qo‘yilish nuqtasi» turlicha bo‘ladi).
• Uch o‘lchamli fazoda harakatlanayotgan nuqtaning tanlangan koordinatalar boshiga nisbatan burchak tezligini quyidagicha ifodalash mumkin:

${\displaystyle \overrightarrow{\omega }=\frac{\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}}{(\overrightarrow{r},\overrightarrow{r})},}$ bu yerda ${\displaystyle \overrightarrow{r}}$ — nuqtaning radius-vektori (koordinatalar boshidan hisoblangan), ${\displaystyle \overrightarrow{v}}$ — shu nuqtaning tezligi, ${\displaystyle \overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}}$ — vektor ko‘paytma, ${\displaystyle (\overrightarrow{r},\overrightarrow{r})}$ — vektorlarning skalyar ko‘paytmasi. Biroq bu formula burchak tezligini bir qiymatli aniqlamaydi (birgina nuqta uchun aylanish o‘qining yo‘nalishini ixtiyoriy tanlash orqali ta’rifga mos boshqa burchak tezligi vektorlarini olish mumkin, masalan, ${\displaystyle \overrightarrow{\omega },}$ bunda aylanish o‘qi boshqacha yo‘nalishda tanlanadi). Umumiy holda (jism bir nechta moddiy nuqtadan iborat bo‘lganda) bu formula butun jismning burchak tezligi uchun yaramaydi (chunki u har bir nuqta uchun turli ${\displaystyle \overrightarrow{\omega }}$ qiymatlarni beradi, holbuki mutlaq qattiq jism aylanganda uning barcha nuqtalarining burchak tezligi vektorlari bir xil bo‘ladi). Ikki o‘lchamli holatda (tekislikda aylanishda) esa bu formula yetarli, bir qiymatli va to‘g‘ri, chunki bunday holatda aylanish o‘qining yo‘nalishi oldindan aniq belgilanadi.

• Mutlaq qattiq jism tekis aylanma harakat qilganda (ya’ni burchak tezligi vektori o‘zgarmaganda), uning nuqtalarining Dekart koordinatalari garmonik tebranishlar bajaradi; bu tebranishlarning burchak (siklik) chastotasi burchak tezligi vektorining moduliga teng bo‘ladi.
• Burchak tezligi soniyadagi aylanishlar soni (ayl/s) bilan o‘lchanganda, tekis aylanma harakatning burchak tezligi moduli aylanish chastotasi f ga teng bo‘ladi. Bu chastota gerslarda (Hz) o‘lchanadi, ya’ni mazkur birliklarda ${\displaystyle \omega =f.}$ Agar burchak tezligining odatiy fizik birligi — sekundiga radian qo‘llansa, burchak tezligi moduli aylanish chastotasi bilan son jihatdan quyidagicha bog‘lanadi: ${\displaystyle \omega =2\pi f.}$ Nihoyat, soniyadagi graduslardan foydalanilganda aylanish chastotasi bilan son jihatdan bog‘lanish quyidagicha bo‘ladi: ${\displaystyle \omega =360^{\circ }f.}$

• Vaqtga bog‘liq burilish berilgan bo‘lsin. Uning burchak qiymati ${\displaystyle \theta (t)}$, chekli burilish o‘qining birlik vektori esa fazoda ${\displaystyle \overrightarrow{n}(t).}$ Bu burilishga mos burchak tezligi quyidagiga teng:

${\displaystyle \overrightarrow{\omega }=\overrightarrow{n}\dot{\theta }+\dot{\overrightarrow{n}}\sin \theta +\overrightarrow{n}\times \dot{\overrightarrow{n}}(1-\cos \theta ).}$

• Agar u burilish matritsasi ${\displaystyle T_{ij}=n_i{n}_j+({\delta }_{ij}-n_i{n}_j)\cos \theta -n_k{\epsilon }_{ijk}\sin \theta ,}$ orqali berilgan bo‘lsa, bu yerda ${\displaystyle {\delta }_{ij}}$ — Kroneker belgisi, ${\displaystyle {\epsilon }_{ijk}}$ — Levi-Chivita belgisi (yig‘indi olish Eynshteyn qoidasiga muvofiq 1 dan 3 gacha bajariladi), matritsa elementlarining ${\displaystyle \theta }$ va ${\displaystyle \overrightarrow{n}}$ orqali ifodalarini, masalan, Rodrig formulasi yordamida olish mumkin. U holda burchak tezligi quyidagiga teng:

${\displaystyle {\omega }_i=\frac{1}{2}{\epsilon }_{ijk}{T}_{jn}{\dot{T}}_{kn}.}$

• Agar burilishni tavsiflash uchun kvaternion ishlatilsa va u ${\displaystyle \theta }$ burchak hamda aylanish o‘qining birlik vektori ${\displaystyle \overrightarrow{n}}$ orqali quyidagicha ifodalansa: ${\displaystyle q=(\cos (\theta /2),\overrightarrow{n}\sin (\theta /2)),}$ u holda burchak tezligi quyidagi ifodadan topiladi: ${\displaystyle (0,\overrightarrow{\omega })=2\dot{q}\bar{q}.}$
• Agar burilishni ifodalovchi vektor ${\displaystyle \overrightarrow{V}=\overrightarrow{n}\mathrm{tg}(\theta /4),}$ vaqt davomida o‘zgarsa, quyidagini belgilaymiz: ${\displaystyle \overrightarrow{W}=d\overrightarrow{V}/dt(W_i=d{V}_i/dt),}$ shuningdek, ${\displaystyle T_{ij}^{1/2}=n_i{n}_j+({\delta }_{ij}-n_i{n}_j)\cos (\theta /2)-n_k{\epsilon }_{ijk}\sin (\theta /2)}$ — yarim burilish matritsasi ${\displaystyle (T_{ij}^{1/2}{T}_{jk}^{1/2}=T_{ik}),}$ ${\displaystyle V^2}$ — vektor modulining kvadrati ${\displaystyle \overrightarrow{V}.}$ U holda burchak tezligi:

${\displaystyle {\omega }_i=\frac{4T_{ij}^{1/2}{W}_j}{1+V^2}.}$

• Lurye A. I. Analitik mexanika. — Moskva: GIFML, 1961. — B. 100-136. — 824 b.